第1讲 整数的基本性质
一、选择题
1. 三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47,61,60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是( )
A. 28 B. 27 C. 26 D . 25
2. 有1997盏亮着的电灯，各由一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1,2，……，1997，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后亮着的灯的盏数位（ ）
A. 1464 B. 533 C. 999 D . 998
3. 从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的和与它的差的乘积的数从小到大排列，在这种排列种，第1998个数是( )
A. 2662 B. 2664 C. 2665 D . 2666
4. 探索规律：3=3 ，个位数字是3；3=9，个位数字是9； 3=27 个位数字是7；3=81 个位数字是1；……那么320051234 的个位数字是（ ）
A. 3 B. 9 C. 7 D . 1
5. 三角形的三边长是a, b, c都是整数，且[a ,b ,c]=60, (a, b)=4 ,(b ,c)=3 则a +b+ c的最小值是（ ）
A. 30 B. 31 C. 32 D . 33
6. 若a ,b ,c 都是大于1的自然数，且a c =252b ，则a 的最小值是 ( )
A. 42 B. 24 C. 21 D . 15
二、填空题
7. 3个质数a ,b ,c 的乘积等于这3个质数的和的5倍，则a 2+b 2+c 2= 。
8．一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是
9． 在1～2005的所有整数中，共有__________个整数x ，使得3
相同。
10. 2m +20063x +1 和x 被5除的余数3+2m (m是正整数) 的末位数字是___________.
2200611. 如果n 为正整数，并且(n -1) 整除n -1 ，那么n 的最大值是__________.
12. 设a 1=12⨯8, a 2=102⨯98, a 3=1002⨯998, a 4=10002⨯9998, ……，又设S =1a +a a +2+3
三、解答题 a +，那么S 的各位数字和为_____________。
13. 按下面的规则扩充新数：已知有a ，b 两数，可按规则c= ab +a +b扩充一个新数，而a, b, c 三个数中任取两个数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作。现
有数1和4，求按照上述规则经过三次扩充得到的最大新数。
14. 23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？写出你的结论，并说明理由。
15. （1）求证：奇数的平方被8除余1；
（2）请你进一步的证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和。
16 .已知k ,a ,b 为正整数，k 被a , b 整除所得的商分别为m ，m+116.
（1）若a ，b 互质，求证：a b 与a ，b 都互质.
（2）当a ，b 互质时，求k 的值。
（3）若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值。
17. 一个六位数3434ab 能同时被8和9整除，已知a + b=c ，求c 的最小值。
18. 有一个四位数ABCD ，将这个数的千位和个位的数字换位后，可得到DBCA 这个四位数，ABCD 和DBCA 的最大公约数是63. 求出满足上述条件的所有ABCD 和DBCA 。 222222
第1讲 整数的基本性质
一、选择题
1. 三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47,61,60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是( )
A. 28 B. 27 C. 26 D . 25
2. 有1997盏亮着的电灯，各由一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1,2，……，1997，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后亮着的灯的盏数位（ ）
A. 1464 B. 533 C. 999 D . 998
3. 从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的和与它的差的乘积的数从小到大排列，在这种排列种，第1998个数是( )
A. 2662 B. 2664 C. 2665 D . 2666
4. 探索规律：3=3 ，个位数字是3；3=9，个位数字是9； 3=27 个位数字是7；3=81 个位数字是1；……那么320051234 的个位数字是（ ）
A. 3 B. 9 C. 7 D . 1
5. 三角形的三边长是a, b, c都是整数，且[a ,b ,c]=60, (a, b)=4 ,(b ,c)=3 则a +b+ c的最小值是（ ）
A. 30 B. 31 C. 32 D . 33
6. 若a ,b ,c 都是大于1的自然数，且a c =252b ，则a 的最小值是 ( )
A. 42 B. 24 C. 21 D . 15
二、填空题
7. 3个质数a ,b ,c 的乘积等于这3个质数的和的5倍，则a 2+b 2+c 2= 。
8．一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是
9． 在1～2005的所有整数中，共有__________个整数x ，使得3
相同。
10. 2m +20063x +1 和x 被5除的余数3+2m (m是正整数) 的末位数字是___________.
2200611. 如果n 为正整数，并且(n -1) 整除n -1 ，那么n 的最大值是__________.
12. 设a 1=12⨯8, a 2=102⨯98, a 3=1002⨯998, a 4=10002⨯9998, ……，又设S =1a +a a +2+3
三、解答题 a +，那么S 的各位数字和为_____________。
13. 按下面的规则扩充新数：已知有a ，b 两数，可按规则c= ab +a +b扩充一个新数，而a, b, c 三个数中任取两个数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作。现
有数1和4，求按照上述规则经过三次扩充得到的最大新数。
14. 23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？写出你的结论，并说明理由。
15. （1）求证：奇数的平方被8除余1；
（2）请你进一步的证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和。
16 .已知k ,a ,b 为正整数，k 被a , b 整除所得的商分别为m ，m+116.
（1）若a ，b 互质，求证：a b 与a ，b 都互质.
（2）当a ，b 互质时，求k 的值。
（3）若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值。
17. 一个六位数3434ab 能同时被8和9整除，已知a + b=c ，求c 的最小值。
18. 有一个四位数ABCD ，将这个数的千位和个位的数字换位后，可得到DBCA 这个四位数，ABCD 和DBCA 的最大公约数是63. 求出满足上述条件的所有ABCD 和DBCA 。 222222