高中数学必修2第四章测试(含答案)

第四章测试

(时间：120分钟总分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知两圆的方程是x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( )

A ．相离 B ．相交 C ．外切

D ．内切

2．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 C ．x ＋3y －5＝0

B ．3x ＋y －7＝0 D ．x －3y ＋1＝0

3．若直线(1＋a ) x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1，－1 C ．1

B ．2，－2 D ．－1

4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (26) 的切线方程是( ) A ．x 6y －10＝0 C ．x －6y ＋10＝0

B. 6x －2y ＋10＝0 D ．2x 6y －10＝0

5．点M (3，－3,1) 关于xOz 平面的对称点是( ) A ．(－3,3，－1) C ．(3，－3，－1)

B ．(－3，－3，－1) D ．(3,3,1)

6．若点A 是点B (1,2,3)关于x 轴对称的点，点C 是点D (2，－2,5) 关于y 轴对称的点，则|AC |＝( )

A ．5 13 C ．10 D. 10

7．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点) ，则k 的值为( )

D. 和－8．与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( )

A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 9．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且与直线x ＋2y ＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．2x －y ＝0 C ．x ＋2y －3＝0

B ．2x －y －2＝0 D ．x －2y ＋3＝0

10．圆x 2＋y 2－(4m ＋2) x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心在直线x ＋y －4＝0上，那么圆

的面积为( )

A. 9π B. π C ．2π D ．由m 的值而定

11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是( )

A ．(x ＋3) 2＋y 2＝4 C ．(2x －3) 2＋4y 2＝1

B ．(x －3) 2＋y 2＝1 D ．(2x ＋3) 2＋4y 2＝1

12．曲线y ＝1＋4－x 与直线y ＝k (x －2) ＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) 5A ．(0，)

1213C ．]

B ．)

1253D ．，]

124

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________． 14．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________．

15．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．

16．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分) 自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 18．(12分) 已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．

19．(12分) 已知圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．

20．(12分) 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．

21．(12分) 已知⊙C ：(x －3) 2＋(y －4) 2＝1，点A (－1,0) ，B (1,0)，点P 是圆上动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大、最小值及对应的P 点坐标．

22．(12分) 已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10) y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；

(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．

1解析：将圆x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，

化为标准方程得(x －3) 2＋(y －4) 2＝16. ∴两圆的圆心距(0－3)＋(0－4)＝5，又r 1＋r 2＝5，∴两圆外切．答案：C

2解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2) ，由直线的两点式方程得3x －y －5＝0. 答案：A

|1＋a ＋0＋1|

3解析：圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得＝1，即|a ＋

(1＋a )＋12|＝(a ＋1)＋1，平方整理得a ＝－1. 答案：D

4解析：∵点M (26) 在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝∴过点M 的切线的斜率为k ＝－故切线方程为y －6＝－

6 3

6 2

y ＋2x －1

＝1＋22－1

(x －2) ， 3

即2x ＋6y －10＝0. 答案：D

5解析：点M (3，－3,1) 关于xOz 平面的对称点是(3,3,1)．答案：D 6解析：依题意得点A (1，－2，－3) ，C (－2，－2，－5) ． ∴|AC |＝(－2－1)＋(－2＋2)＋(－5＋3)13. 答案：B 1

7解析：由题意知，圆心O (0,0)到直线y ＝kx ＋1

2∴

，∴k ＝答案：C 1＋k 2

8解析：两圆的方程配方得，O 1：(x ＋2) 2＋(y －2) 2＝1， O 2：(x －2) 2＋(y －5) 2＝16，

圆心O 1(－2,2) ，O 2(2,5)，半径r 1＝1，r 2＝4， ∴|O 1O 2|＝(2＋2)＋(5－2)＝5，r 1＋r 2＝5.

∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B 9解析：依题意知，直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2， ∴l 的方程为y －2＝2(x －1) ，即2x －y ＝0. 答案：A 10解析：∵x 2＋y 2－(4m ＋2) x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0， ∴[x －(2m ＋1)]2＋(y －m ) 2＝m 2. ∴圆心(2m ＋1，m ) ，半径r ＝|m |. 依题意知2m ＋1＋m －4＝0，∴m ＝1. ∴圆的面积S ＝π×12＝π.答案：B

11解析：设P (x 1，y 1) ，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y ) ， x 1＋3y 则x ＝y ＝，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .

22又点P (x 1，y 1) 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3) 2＋4y 2＝1.

故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3) 2＋4y 2＝1. 答案：C 12解析：如图所示，曲线y ＝14－x

变形为x 2＋(y －1) 2＝4(y ≥1) ，直线y ＝k (x －2) ＋4过定点(2,4)，当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|5

2，解得k ＝.

12k ＋13

当直线l 过点(－2,1) 时，k ＝.

因此，k k ≤. 答案：D

124

13解析：圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4.

|1＋1－4|

14解析：r 2，所以圆的方程为(x －1) 2＋(y －1) 2＝2.

15解析：已知方程配方得，(x ＋a ) 2＋(y －a ) 2＝2a 2(a ≠0) ，圆心坐标为(－a ，a ) ，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．

16解析：由x 2＋y 2－6x －2y －15＝0，得(x －3) 2＋(y －1) 2＝25.

|3＋2×1|

圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝5. 在弦心距、半径、半弦长组成的直

5角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝45.

y y

17解：解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y ) ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即x x －4＝－1，

即x 2＋y 2－4x ＝0①

当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，

∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内) ．

解法2：由解法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝|OA |＝2，由圆的定

2义知，P 点轨迹方程是以M (2,0)为圆心，2为半径的圆．

故所求的轨迹方程为(x －2) 2＋y 2＝4(在已知圆内) ．

18解：由圆M 与圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2) ，N (－1，－1) ．两圆的方程相减得直线AB 的方程为 2(m ＋1) x －2y －m 2－1＝0. ∵A ，B 两点平分圆N 的圆周，

∴AB 为圆N 的直径，∴AB 过点N (－1，－1) ， ∴2(m ＋1) ×(－1) －2×(－1) －m 2－1＝0，解得m ＝－1.

故圆M 的圆心M (－1，－2) ．

19解：设两圆的交点为A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则A 、B 两点的坐标是方程组

22⎧⎪x ＋y －3x －3y ＋3＝0⎨2的解，两方程相减得：x ＋y －3＝0， 2⎪x ＋y －2x －2y ＝0⎩

∵A 、B 两点的坐标都满足该方程， ∴x ＋y －3＝0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式， (x －1) 2＋(y －1) 2＝2， ∴圆心C 2(1,1)，半径r ＝2.

|1＋1－3|1

圆心C 2到直线AB 的距离d ＝

22|AB |＝2r －d ＝2－＝6. 2

20解：如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2

－|MC |2.

设P (x ，y ) ，C (－1,2) ，|MC |＝2. ∵|PM |＝|PO |，

∴x 2＋y 2＝(x ＋1) 2＋(y －2) 2－2，

化简得点P 的轨迹方程为：2x －4y ＋3＝0.

求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入5

点到直线的距离公式可求得|PM |.

21解：设点P 的坐标为(x 0，y 0) ，则

d ＝(x 0＋1) 2＋y 02＋(x 0－1) 2＋y 02＝2(x 02＋y 02) ＋2.

欲求d 的最大、最小值，只需求u ＝x 02＋y 02的最大、最小值，即求⊙C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值．

作直线OC ，设其交⊙C 于P 1(x 1，y 1) ，P 2(x 2，y

2) ，如图所示．

则u 最小值＝|OP 1|2＝(|OC |－|P 1C |)2＝(5－1) 2＝16. x 1y 14此时，

3451216∴x 1y 1＝55

1216⎫∴d 的最小值为34，对应点P 1的坐标为⎛⎝55⎭. 1824⎫同理可得d 的最大值为74，对应点P 2的坐标为⎛⎝55⎭. 22解：(1)证明：原方程可化为(x ＋k ) 2＋(y ＋2k ＋5) 2＝5(k ＋1) 2 ∵k ≠－1，∴5(k ＋1) 2>0.

故方程表示圆心为(－k ，－2k －5) ，半径为5|k ＋1|的圆．

⎧⎪x ＝－k ，

设圆心的坐标为(x ，y ) ，则⎨

⎪y ＝－2k －5，⎩

消去k ，得2x －y －5＝0.

∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为

(2x ＋4y ＋10) k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20) ＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，

⎧2x ＋4y ＋10＝0，⎪

∴⎨22 ⎪x ＋y ＋10y ＋20＝0. ⎩⎧⎪x ＝1，解得⎨

⎪y ＝－3. ⎩

∴曲线C 过定点(1，－3) ． (3)∵圆C 与x 轴相切，

∴圆心(－k ，－2k －5) 到x 轴的距离等于半径，即|－2k －5|＝5|k ＋1|.

两边平方，得(2k ＋5) 2＝5(k ＋1) 2， ∴k ＝5±5.