第２４卷第３期
２００８年６月大学数学Ｖ０１．２４，№．３Ｊｕｎ．２００８Ｃ０１．Ｉ。ＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
微分中值定理的另类证明与推广
王家军
（浙江林学院理学院．浙江临安３１１３００）
［摘要］通常教科书中。微分中值定理的证明建立在罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理之上．本文以实数连续性中的重
要定理——区间套定理为依据，给出了拉格朗日微分中值定理的另类证明．此外，还给出了中值定理的若干推广形式．
［关键词］微分中值定理；区间套定理；连续；可导
［中图分类号］０１７１［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２—１４５４（２００８）０３—０１６９．０３
微分中值定理是微积分学的重要结论之一．它不仅沟通了函数与其导数的关系，也是微分学理论应用的桥梁与基石．
在通常教科书中，微分中值定理的证明建立在罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理之上，而罗尔定理则以“可导函数在极值点处的导数是零”为基础［１．２｜．由于事实上“导数为零的点未必是极值点”，因而该证明显得有点“美中不足”．本文以实数连续性描述中的重要定理——区间套定理为依据，给出了拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）微分中值定理的另类证明．这不仅避开了上述的“不足”，也将实数定理与微分中值定理建立了联系．这无疑对数学分析有关内容的学习和掌握是有益的．
１微分中值定理及其证明
力刀便订伦，我１ＩＪ无给出奶卜明绢呆：
引理设非零函数厂（ｚ）在［口，６］上连续，且，（口）一厂（６），则存在［口，印ｃ［口，６］，使得
卢一ａ＝丢（６一口），且厂（口）一／（肛
证令
如Ｈ［升号ｃｈ，］叫“ｚ∈卜字］．
由题设与连续函数的运算性质，妒（ｚ）在［口，竺笋］上连续，且
如）一小＋丢（ｈ）］叫口）＝厂（字）叫口），
ＰＩＴａ＋ｂＪ＼＝，ｌｒ＇ａＴ＋ｂ十虿ｌ（ｈ）卜／（字）
＝ｍ）一，（字）＝ｍ）一厂（掌）
２～９（口）．
从而由连续函数的零点定理知，存在｛∈（口，生笋），使得［收稿日期］２００６—０６—２６
１７０大学数学第２４卷
垆（ｅ）＝厂［导＋专（６一ｎ）］一，（ｅ）＝。．
特别，令口＝ｅ，卢一手＋丢（６一口），即有
，（口）＝厂（肛－ａ＝丢（６一ｄ
当然，假如厂（６）＝，（生笋），则口一拿可改为
。口＝口旦ｊ‘口＝—■－ｂ．口＋
定理１（Ｌａｇｒａｎｇｅ）设，（工）在［口，６］上连续，在（ｎ，６）内可导，则存在亭∈（ｎ，６），使得
证令Ｆ（ｚ）一厂（ｚ）一Ａｚ，ｚ∈［口，６］，其中Ａ＝丛掣．由题设可知Ｆ（ｚ）在［口，６］上连续，且验厂（６）一，（口）一／（ｅ）（ｂ－－ａ）．（１）
算可得Ｆ（口）：丛哩趔：Ｆ（６）．
从而由引理知，存在［口，，届］ｃＥａ，６］，使
Ｆ（口１）＝Ｆ（届），Ｊ９ｌ一口１一丢（６一盘），
亦即ｆ（ａ１）一Ａ口－＝，（向）一Ａ届．于是
Ａ：出尝丛生．』，１一口１
继续对Ｆ（ｚ）应用引理，又知，存在［口ｚ，Ｊ８２］ｃ［口・，角］，使得
Ｆ（口。）＝Ｆ（位），屉一口：一ｉ１（向一ａ。）＝丢（６一ｎ）．
从而又得
Ａ：出尝丛型．胁一口２
如此继续，可得一个闭区间套序列｛［口。，屏］，玎≥１），满足
［口。，岛］］［ａ川，岛＋－］，以≥１，
岛一ａ。＝刍（６一日）一ｏ，行一∞；
且Ａ２掣，纠．
由区间套定理知，存在车∈Ｌ口。，岛ＪｃＬａ，ｂＪ，刀≥ｌ，开便得
Ｈ—ｘｌｉｍａ。＝ｌｉｍＪ臼：．一￡．月…
借鉴引理开头的证明可知Ｆ（犀）一Ｆ（口。）介于Ｆ（车）一Ｆ（口。）与Ｆ（岛）一Ｆ（ｅ）之间，故知丛譬三二丛盟必介于旦昱掣与丛孕掣之间．根据定理条件及导数定义，６－。
。胁一口”
手一口Ｈ胁～ｆ。１．．ｉｍ。』！掣－ｆ７（ｅ），。ｌ—ｉｍ。』紫－ｆ７（ｅ）．
从而有
Ａ＝掣，及ｎ－．ｚｌｉｍ鲤掣：ｆ，（搴）．珏＾一Ｑ”Ａ三掣，嘲．
第３期王家军：微分中值定理的另类证明与推广１７１故得Ａ一丛掣一厂７（车），代人（１）即得所证．
２微分中值定理的推广
微分中值定理要求函数厂（工）在［口，６］上连续，在（口，６）内可导，这是较强的条件，但实际上可以推广如下［３］．
推论１设厂（ｚ）在［口，６］上连续，在（口，６）内除有限个点之外可导，则存在ｅ∈（口，６），使得
Ｉ厂（６）一厂（口）Ｉ≤Ｉｆ７（亭）ｌ（６一口）．（２）
证不妨设，（工）仅在点ｃＥ（口，６）不可导，则分别在区间［口，ｃ］及［ｆ，６］上运用定理１，得到
，（ｆ）一，（口）一ｆ’（ａ）（ｆ一口），
，（６）－－ｆ（ｃ）一厂，（岛）（６一ｆ），
取Ｉｆ７（搴）ｌ＝ｍａｘ｛Ｉ，７（亭。）ｌ，１厂，（岛）ｆ｝，即得所证．
推论２设，（ｚ）在［口，６］上连续，在（口，６）内除刀个点之外可导，则存在行＋１个点｛＆，１≤志≤咒＋１）
，ｒ¨ａ∈（口。ｆ），龟∈（ｆ，６）．
Ｃ（ａ，６）和九＋１个正数｛口。，１≤忌≤行＋１）。使得∑口。＝１，且
＾＝ｌ
，件ｌ
，（６）一厂（口）＝∑ｍ厂７（＆）（６一ｎ）．
证先假设，（ｚ）仅在点ｃ∈（口，６）不可导，则在区间［口，ｆ］及［ｃ，６］上分别运用定理１，得到
厂（ｃ）一ｆ（ａ）＝ｆ’（导１）（ｆ—ｎ），６∈（ｆ，６）
和
厂（口）－－ｆ（ｃ）＝，７（＆）（口一ｆ），岛∈（口，ｆ）．
取口ｌ，口２，使得
口ｌ（６一ａ）＝ｆ一口，口２（６一ａ）一６一ｆ，
则口ｌ＋口２—１，口１＞Ｏ，口２＞０，且
厂（６）－－ｆ（ａ）＝［口。ｆ７（导，）＋口２／。（岛）］（６——口）．
将此结果推广到Ｆ／个不可导点分成的村＋１个小区间上，即得所证．
［参考文献］
１－１］刘玉琏，等．数学分析讲义（上册）（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社。２００３．
［２］谢惠民。等．数学分析习题课讲义（上册）（第一版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２００３．
［３］汪林，等．数学分析问题研究与评注（第一版）［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９５．
ＴｈｅＤｉｆｆｅｒｅｎｔＰｒｏｏｆａｎｄＳｐｒｅａｄｏｆｔｈｅＭｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ
ＷＡＮＧＪｉａ－ｊＵｔｔ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓＺｈｅｊｉａｎｇＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｎ’ａｎＺｈｅｊｉａｎｇ３１１３００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｅｔ：Ｉｎｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｔｅｘｔｂｏｏｋｓ，ｔｈｅｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍｉｓｂｕｉｌｔ
Ｔｈｉｓ
ｇｉｖｅｓｐａｐｅｒｉｓｂａｓｅｄａｏｎｏｎｔｈｅＲｏｌｌｅ’Ｔｈｅｏｒｅｍ．ｔｈｅＴｈｅｏｒｅｍｏｆｗｈｉｅｈｉｓｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｆｒｅａｌｎｕｍｂｅｒｓ．ＡｌｓｏｉｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗａｙｏｆｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅＬａｇｒａｎｇｅＭｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ．ＢｅｓｉｄｅｓｉｔｄｒａｗｓｓｅｖｅｒａｌｇｅｎｅｒａｌｉｚｉｎｇｆｏｒｍｓｏｆｔｈｅＭｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ；ｔｈｅｏｒｅｍｏｆｎｅｓｔｅｄｉｎｔｅｒｖａｌｓ；ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ
微分中值定理的另类证明与推广
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：王家军， WANG Jia-jun浙江林学院,理学院,浙江,临安,311300大学数学COLLEGE MATHEMATICS2008，24(3)0次
参考文献(3条)
1. 刘玉琏 数学分析讲义 2003
2. 谢惠民 数学分析习题课讲义 2003
3. 汪林 数学分析问题研究与评注 1995
相似文献(4条)
1.期刊论文 王良成. WANG Liang-chen 可导函数的几个重要性质 -达县师范高等专科学校学报2005,15(2) 给出可导函数的几个重要性质,并据此举出了一些应用实例.
2.期刊论文 许在库 用区间套定理证明Rolle定理、Lagrange定理 -安徽大学学报(自然科学版)2003,27(2)
Rolle定理和Lagarange定理是两个重要的微分中值定理,它们是Cauchy定理的基础,进一步为L'Hospital法则求极限提供了理论依据.它们还是研究函数增减性、凹凸性的基础.它在整个微分学中起着把微分的概念和方法应用于许多数学物理问题的桥梁作用.本文用区间套定理给出它的另一种证明.
3.期刊论文 敏志奇 关于中值定理证明的统一处理 -聊城师院学报（自然科学版）2002,15(3)
给出了微分中值定理的一种统一处理的方法,同时给出了Cauchy定理的一种新的证明方法.
4.期刊论文 黄德丽 用五种方法证明柯西中值定理 -湖州师范学院学报2003,25(z1)
从多角度全方面介绍了微分中值定理中柯西中值定理的五种证明方法,其中有利用构造辅助函数,根据罗尔定理证明;利用闭区间套定理证明;借助引理,并应用反证法证明;用达布(Darboux)定理和反证法证明;利用坐标旋转变换证明等方法,使柯西中值定理更好的被认识、学习.
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第２４卷第３期
２００８年６月大学数学Ｖ０１．２４，№．３Ｊｕｎ．２００８Ｃ０１．Ｉ。ＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
微分中值定理的另类证明与推广
王家军
（浙江林学院理学院．浙江临安３１１３００）
［摘要］通常教科书中。微分中值定理的证明建立在罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理之上．本文以实数连续性中的重
要定理——区间套定理为依据，给出了拉格朗日微分中值定理的另类证明．此外，还给出了中值定理的若干推广形式．
［关键词］微分中值定理；区间套定理；连续；可导
［中图分类号］０１７１［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２—１４５４（２００８）０３—０１６９．０３
微分中值定理是微积分学的重要结论之一．它不仅沟通了函数与其导数的关系，也是微分学理论应用的桥梁与基石．
在通常教科书中，微分中值定理的证明建立在罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理之上，而罗尔定理则以“可导函数在极值点处的导数是零”为基础［１．２｜．由于事实上“导数为零的点未必是极值点”，因而该证明显得有点“美中不足”．本文以实数连续性描述中的重要定理——区间套定理为依据，给出了拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）微分中值定理的另类证明．这不仅避开了上述的“不足”，也将实数定理与微分中值定理建立了联系．这无疑对数学分析有关内容的学习和掌握是有益的．
１微分中值定理及其证明
力刀便订伦，我１ＩＪ无给出奶卜明绢呆：
引理设非零函数厂（ｚ）在［口，６］上连续，且，（口）一厂（６），则存在［口，印ｃ［口，６］，使得
卢一ａ＝丢（６一口），且厂（口）一／（肛
证令
如Ｈ［升号ｃｈ，］叫“ｚ∈卜字］．
由题设与连续函数的运算性质，妒（ｚ）在［口，竺笋］上连续，且
如）一小＋丢（ｈ）］叫口）＝厂（字）叫口），
ＰＩＴａ＋ｂＪ＼＝，ｌｒ＇ａＴ＋ｂ十虿ｌ（ｈ）卜／（字）
＝ｍ）一，（字）＝ｍ）一厂（掌）
２～９（口）．
从而由连续函数的零点定理知，存在｛∈（口，生笋），使得［收稿日期］２００６—０６—２６
１７０大学数学第２４卷
垆（ｅ）＝厂［导＋专（６一ｎ）］一，（ｅ）＝。．
特别，令口＝ｅ，卢一手＋丢（６一口），即有
，（口）＝厂（肛－ａ＝丢（６一ｄ
当然，假如厂（６）＝，（生笋），则口一拿可改为
。口＝口旦ｊ‘口＝—■－ｂ．口＋
定理１（Ｌａｇｒａｎｇｅ）设，（工）在［口，６］上连续，在（ｎ，６）内可导，则存在亭∈（ｎ，６），使得
证令Ｆ（ｚ）一厂（ｚ）一Ａｚ，ｚ∈［口，６］，其中Ａ＝丛掣．由题设可知Ｆ（ｚ）在［口，６］上连续，且验厂（６）一，（口）一／（ｅ）（ｂ－－ａ）．（１）
算可得Ｆ（口）：丛哩趔：Ｆ（６）．
从而由引理知，存在［口，，届］ｃＥａ，６］，使
Ｆ（口１）＝Ｆ（届），Ｊ９ｌ一口１一丢（６一盘），
亦即ｆ（ａ１）一Ａ口－＝，（向）一Ａ届．于是
Ａ：出尝丛生．』，１一口１
继续对Ｆ（ｚ）应用引理，又知，存在［口ｚ，Ｊ８２］ｃ［口・，角］，使得
Ｆ（口。）＝Ｆ（位），屉一口：一ｉ１（向一ａ。）＝丢（６一ｎ）．
从而又得
Ａ：出尝丛型．胁一口２
如此继续，可得一个闭区间套序列｛［口。，屏］，玎≥１），满足
［口。，岛］］［ａ川，岛＋－］，以≥１，
岛一ａ。＝刍（６一日）一ｏ，行一∞；
且Ａ２掣，纠．
由区间套定理知，存在车∈Ｌ口。，岛ＪｃＬａ，ｂＪ，刀≥ｌ，开便得
Ｈ—ｘｌｉｍａ。＝ｌｉｍＪ臼：．一￡．月…
借鉴引理开头的证明可知Ｆ（犀）一Ｆ（口。）介于Ｆ（车）一Ｆ（口。）与Ｆ（岛）一Ｆ（ｅ）之间，故知丛譬三二丛盟必介于旦昱掣与丛孕掣之间．根据定理条件及导数定义，６－。
。胁一口”
手一口Ｈ胁～ｆ。１．．ｉｍ。』！掣－ｆ７（ｅ），。ｌ—ｉｍ。』紫－ｆ７（ｅ）．
从而有
Ａ＝掣，及ｎ－．ｚｌｉｍ鲤掣：ｆ，（搴）．珏＾一Ｑ”Ａ三掣，嘲．
第３期王家军：微分中值定理的另类证明与推广１７１故得Ａ一丛掣一厂７（车），代人（１）即得所证．
２微分中值定理的推广
微分中值定理要求函数厂（工）在［口，６］上连续，在（口，６）内可导，这是较强的条件，但实际上可以推广如下［３］．
推论１设厂（ｚ）在［口，６］上连续，在（口，６）内除有限个点之外可导，则存在ｅ∈（口，６），使得
Ｉ厂（６）一厂（口）Ｉ≤Ｉｆ７（亭）ｌ（６一口）．（２）
证不妨设，（工）仅在点ｃＥ（口，６）不可导，则分别在区间［口，ｃ］及［ｆ，６］上运用定理１，得到
，（ｆ）一，（口）一ｆ’（ａ）（ｆ一口），
，（６）－－ｆ（ｃ）一厂，（岛）（６一ｆ），
取Ｉｆ７（搴）ｌ＝ｍａｘ｛Ｉ，７（亭。）ｌ，１厂，（岛）ｆ｝，即得所证．
推论２设，（ｚ）在［口，６］上连续，在（口，６）内除刀个点之外可导，则存在行＋１个点｛＆，１≤志≤咒＋１）
，ｒ¨ａ∈（口。ｆ），龟∈（ｆ，６）．
Ｃ（ａ，６）和九＋１个正数｛口。，１≤忌≤行＋１）。使得∑口。＝１，且
＾＝ｌ
，件ｌ
，（６）一厂（口）＝∑ｍ厂７（＆）（６一ｎ）．
证先假设，（ｚ）仅在点ｃ∈（口，６）不可导，则在区间［口，ｆ］及［ｃ，６］上分别运用定理１，得到
厂（ｃ）一ｆ（ａ）＝ｆ’（导１）（ｆ—ｎ），６∈（ｆ，６）
和
厂（口）－－ｆ（ｃ）＝，７（＆）（口一ｆ），岛∈（口，ｆ）．
取口ｌ，口２，使得
口ｌ（６一ａ）＝ｆ一口，口２（６一ａ）一６一ｆ，
则口ｌ＋口２—１，口１＞Ｏ，口２＞０，且
厂（６）－－ｆ（ａ）＝［口。ｆ７（导，）＋口２／。（岛）］（６——口）．
将此结果推广到Ｆ／个不可导点分成的村＋１个小区间上，即得所证．
［参考文献］
１－１］刘玉琏，等．数学分析讲义（上册）（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社。２００３．
［２］谢惠民。等．数学分析习题课讲义（上册）（第一版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２００３．
［３］汪林，等．数学分析问题研究与评注（第一版）［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９５．
ＴｈｅＤｉｆｆｅｒｅｎｔＰｒｏｏｆａｎｄＳｐｒｅａｄｏｆｔｈｅＭｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ
ＷＡＮＧＪｉａ－ｊＵｔｔ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓＺｈｅｊｉａｎｇＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｎ’ａｎＺｈｅｊｉａｎｇ３１１３００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｅｔ：Ｉｎｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｔｅｘｔｂｏｏｋｓ，ｔｈｅｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍｉｓｂｕｉｌｔ
Ｔｈｉｓ
ｇｉｖｅｓｐａｐｅｒｉｓｂａｓｅｄａｏｎｏｎｔｈｅＲｏｌｌｅ’Ｔｈｅｏｒｅｍ．ｔｈｅＴｈｅｏｒｅｍｏｆｗｈｉｅｈｉｓｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｆｒｅａｌｎｕｍｂｅｒｓ．ＡｌｓｏｉｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗａｙｏｆｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅＬａｇｒａｎｇｅＭｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ．ＢｅｓｉｄｅｓｉｔｄｒａｗｓｓｅｖｅｒａｌｇｅｎｅｒａｌｉｚｉｎｇｆｏｒｍｓｏｆｔｈｅＭｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ；ｔｈｅｏｒｅｍｏｆｎｅｓｔｅｄｉｎｔｅｒｖａｌｓ；ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ
微分中值定理的另类证明与推广
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：王家军， WANG Jia-jun浙江林学院,理学院,浙江,临安,311300大学数学COLLEGE MATHEMATICS2008，24(3)0次
参考文献(3条)
1. 刘玉琏 数学分析讲义 2003
2. 谢惠民 数学分析习题课讲义 2003
3. 汪林 数学分析问题研究与评注 1995
相似文献(4条)
1.期刊论文 王良成. WANG Liang-chen 可导函数的几个重要性质 -达县师范高等专科学校学报2005,15(2) 给出可导函数的几个重要性质,并据此举出了一些应用实例.
2.期刊论文 许在库 用区间套定理证明Rolle定理、Lagrange定理 -安徽大学学报(自然科学版)2003,27(2)
Rolle定理和Lagarange定理是两个重要的微分中值定理,它们是Cauchy定理的基础,进一步为L'Hospital法则求极限提供了理论依据.它们还是研究函数增减性、凹凸性的基础.它在整个微分学中起着把微分的概念和方法应用于许多数学物理问题的桥梁作用.本文用区间套定理给出它的另一种证明.
3.期刊论文 敏志奇 关于中值定理证明的统一处理 -聊城师院学报（自然科学版）2002,15(3)
给出了微分中值定理的一种统一处理的方法,同时给出了Cauchy定理的一种新的证明方法.
4.期刊论文 黄德丽 用五种方法证明柯西中值定理 -湖州师范学院学报2003,25(z1)
从多角度全方面介绍了微分中值定理中柯西中值定理的五种证明方法,其中有利用构造辅助函数,根据罗尔定理证明;利用闭区间套定理证明;借助引理,并应用反证法证明;用达布(Darboux)定理和反证法证明;利用坐标旋转变换证明等方法,使柯西中值定理更好的被认识、学习.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxsx200803036.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：6a58f98c-835f-406f-b670-9dcc01552109
下载时间：2010年8月8日