·略论高斯定理的应用
陈
（甘肃省教育科学研究所
高斯定理是用来解决对称性问题的有力工具，而对称性问题通常是利用积分方法来计算的。高斯定理产生于流体力学，主要用来解决静电学问题，在万有引力领域里解决问题却很少有人知道。本文通过静电学来介绍高斯定理，并且运用高斯定理来处理一些简单的引力场问题。
一、高斯定理的概述
高斯定理一般用如下形式表示：·∫∫∫divfdv =∫∫f n ds
这里f 为任一位置函数的矢量，等式左边可以看作是对函数的散度的体积分，而右边可认为是通过物体一个表面的通量。
以电学为例，高斯定理在电学中的表述如下：
通过一个任意闭合曲面S 的电通量准等于该面积所包围的所有电荷电量的代数和q 除以ε0，与闭合面外的电荷无关。用公式表示为：准=q 。
勇
甘肃
兰州
730000）
其中，通过表面积S 的电通量也可以直接表示为：
准=EScosθ。θ是电场与垂直
表面的夹角（如右图所示）。
而更一般的情况，则是使用积分的
方法来计算通过某一表面的电通量。
二、高斯定理的应用
（一）高斯定理在电场中的应用
E
1. 点电荷。由于点电荷产生的电场是球对称的，球的体
积取决于距点电荷的间距r （如下图所示）。因为点电荷在球的中心，电场的方向与r 的方向相同，球表面上任意一点的电场的方向都与球表面垂直并且在此表面上电场大小是相同的。
那么，通过这个球表面的电通量可表示为准=∫∫Eds =问题的能力时, 往往可以由数到形、以形思数、用数形结合利用比较直观的图形解决抽象的数量关系问题. 也可用比较直观的图形使数量关系的变化趋势更加明确; 还可以把几何图形转化为数量关系. 数学大师华罗庚说:“数缺形时少直观, 形缺数时难入微”. 这句话道出了数与形相结合的真谛。由此可见数形结合是解决许多数学问题的有效思想，如数轴上的点与实数的关系，是初中数学教材中数形结合的第一个实例, 它不仅使实数与数轴上的点之间建立了一一对应的关系, 而且揭示了数形间的内在联系, 使实数的很多性质可由数轴上相应点的位置关系得到形象生动的说明，更好地把负数、相反数、绝对值、有理数的大小比较、实数的相关概念、不等式（组）的解集等知识和数轴有机地融合在一起, 起到事半功倍的效果.
数学教学是培养学生逻辑思维的主要途径，而初中学生在思维活动中形象思维占主导地位，容易对数学产生畏难情绪和厌学心理，教师只有在“兴趣”二字上多下功夫，多想办法，才能将学生逐步引导到学习数学的自由境界中，真正实现由“要我学”到“我要学”的转变.
（责任编辑：王春梅）
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
“甲、乙、丙三人打的，说好AA 制，甲在全程1/3下车，乙在全程2/3下车，丙在终点支付车费90元，问甲、乙分别应付丙车费多少元？”多数学生一下子找不到解决问题的突破口，教师可以抓住这一契机，在课外兴趣活动中让学生亲身感受生活中的AA 制. 在操场上确定30米的一段跑道，选出甲、乙、丙三个学生从起点同时“坐车”走，甲在10米处“下车”，乙在
的思想方法考虑问题，把抽象的数量关系用图形反映出来,
20米处“下车”，丙坚持到终点“下车”，于是知道甲、乙、丙三
名同学分别坐车为10米、20米、30米，相当于单人坐车60米，这样甲坐车占总里程的1/6，乙坐车占总里程的2/6,丙坐车占总里程的3/6，所以丙掏一半的费用45元，甲为15元，乙为
30元. 一个抽象而枯燥的问题，在学生身临其境的学习中，
变得浅显，生动而有趣，犹如满天迷雾被太阳驱散，一切东西都看得明明白白，又能让学生回味无穷. 在教学《图形的认识》的过程中，对正方体、圆柱体、圆锥体等立体图形的认识，教师让学生通过亲自动手制作这些模型，让他们真正能看得见，摸得着，对这些立体图形的特征记忆到脑海深处.
五、寻求数学思想方法的科学精髓是增强学生数学学习兴趣的终极目标
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓. 在初中阶段学习数学基础知识和培养学生解决实际
2013年第1
期
-49-
·
4πr 2E 。
其中这个球表面积为4πr 2，利用高斯定理可以得到：
场场强g 。
1. 厚块物体的引力场。
令一厚块物体密度为ρ，厚度为t ，我们来看它的高斯面，引力流将在厚块两边沿伸（注意要仅视垂直于表面的引力场为有效的）。
4πr 2E =q 或者E =
q ，这
4πr 20
就是我们熟悉的库仑定律。
2. 电场中的导体。在导体中
有大量自由移动的电荷。这些自由电荷在外加电场的作用下在导体中做定向的移动。当运动到导
体两端的正负电荷运动达到一定的程度之后，形成的新电场与外加电场大小相同，方向相反，这便达到了静电平衡状态。此时，导体内部的电场强度就变成了零。而导体表面的电场强度（如下图）同样可以通过高斯定理进行计算。通过导体上表面的电通量可以通过公式准=AE计算，A 是导体上端的表面积。
导体内部的电场为零，所以通过导体底部的电通量为零（上面的公式仅适用于电场垂直于表面的导体）。我们假设电荷密度ψ在上表面分布是均匀的则被包围的面积所包括的电量大小可以通过Q =A ψ来计算，其中ψ是导体内的电荷密度。
应用高斯定理可以得到准=AE =Q =A ψ，这样导体表面
t
被高斯面所包围的物体的质量为m =At ρ。
在这里A 是箭头所指的表面面积，高斯定理告诉我们2gA =-4πGm ，两倍是表示引力流通过了两个表面。这样，代换m 后可得到g =-2πGt ρ。
这个结果表明被封闭的厚块表面的引力场强是一定的。
2. 圆柱体的引力场。设一圆柱体的半径为r 密度为ρ（如
下图所示），我们认为高斯面为其同轴的圆柱表面，设这个表面的半径为c （r ＞c ），高为L （比圆柱体的高度低），这和讨论厚块物体时类似。被高斯面所包围的物体质量为m =
πc 2L ρ，引力通量通过的表面积为A =2πrL 。按照上面高斯定
理的结论可得到：gA =-4πGm ，将A 代换后得到：g 2πrL =-
00
4πG πc 2L ρ，这样就能得到：
g=-2πGc ρ，我们注
2
积上的电场强度为E =ψ。
ε0
意到如果高斯面取圆柱的
E E
（二）高斯定理应用于引力场
来看一下高斯定理如何在引力场中进行应用。有一个质量为m 的质点，以质点为中心构造一个球形表面。表面上任一点的引力场的方向都与表面垂直，且引力强度大小相同。下面，把引力场与前面讨论的电场进行比较分析。我们能够通过公式计算通过这个表面的引力通量准即：准=∫∫gds =
实际表面，即当r =c 时，g =-
2πGL ρ，这和前面讨论的
厚块的情况是一致的。
3. 球壳内部的引力场。
利用高斯定理来解决球壳内部的引力场的过程如下：如果我们设一个以球壳中心质量为零的球
形表面，通过高斯定理，可以知道被球形表面积包围的质量为零，所以引力通量为零，这个结论类似与电学中的结果。
如果考虑在地球内部的引力场时，就会产生一个有趣的结果。即通过地球内部的高斯面的引力通量为零，这将推理出关于地球内部密度不相同的有趣结论。
三、结束语
高斯定理是解决物理问题中有力的数学工具。它运用简单的几何关系获得结论要比完整的积分运算简单的多。本文所举的例子只代表了高斯定理在物理学中的一些简单应用。以此希望物理教师能够在物理教学的过程中了解高斯定理在物理学中的作用和意义。
（责任编辑：陈
勇）
4πr 2g ，g 是引力场的场强。由于引力通量与物体的质量成正
比，与电场中高斯定理的表达形式相比较，可以将通过任一闭合曲面的引力通量表示为：准=-km （其中k 是常数），即（在万有引力的作用下，引力场的方4πr 2g=-km 或者g =-km
向指向质点，取负号）。如果将k 认为是4πG ，这个公式可以推导出牛顿的万有引力定律，G 就是具有广泛意义的万有引力常量了。如果有一质点m ，当其外部被任意面积A 完全封闭，那么通过这个表面的引力通量是-4πGm ，可以表示为：准=-4πGm 。与电场相比较可以定义出通过面积A 的引力
-50-
2013年第1
期
·略论高斯定理的应用
陈
（甘肃省教育科学研究所
高斯定理是用来解决对称性问题的有力工具，而对称性问题通常是利用积分方法来计算的。高斯定理产生于流体力学，主要用来解决静电学问题，在万有引力领域里解决问题却很少有人知道。本文通过静电学来介绍高斯定理，并且运用高斯定理来处理一些简单的引力场问题。
一、高斯定理的概述
高斯定理一般用如下形式表示：·∫∫∫divfdv =∫∫f n ds
这里f 为任一位置函数的矢量，等式左边可以看作是对函数的散度的体积分，而右边可认为是通过物体一个表面的通量。
以电学为例，高斯定理在电学中的表述如下：
通过一个任意闭合曲面S 的电通量准等于该面积所包围的所有电荷电量的代数和q 除以ε0，与闭合面外的电荷无关。用公式表示为：准=q 。
勇
甘肃
兰州
730000）
其中，通过表面积S 的电通量也可以直接表示为：
准=EScosθ。θ是电场与垂直
表面的夹角（如右图所示）。
而更一般的情况，则是使用积分的
方法来计算通过某一表面的电通量。
二、高斯定理的应用
（一）高斯定理在电场中的应用
E
1. 点电荷。由于点电荷产生的电场是球对称的，球的体
积取决于距点电荷的间距r （如下图所示）。因为点电荷在球的中心，电场的方向与r 的方向相同，球表面上任意一点的电场的方向都与球表面垂直并且在此表面上电场大小是相同的。
那么，通过这个球表面的电通量可表示为准=∫∫Eds =问题的能力时, 往往可以由数到形、以形思数、用数形结合利用比较直观的图形解决抽象的数量关系问题. 也可用比较直观的图形使数量关系的变化趋势更加明确; 还可以把几何图形转化为数量关系. 数学大师华罗庚说:“数缺形时少直观, 形缺数时难入微”. 这句话道出了数与形相结合的真谛。由此可见数形结合是解决许多数学问题的有效思想，如数轴上的点与实数的关系，是初中数学教材中数形结合的第一个实例, 它不仅使实数与数轴上的点之间建立了一一对应的关系, 而且揭示了数形间的内在联系, 使实数的很多性质可由数轴上相应点的位置关系得到形象生动的说明，更好地把负数、相反数、绝对值、有理数的大小比较、实数的相关概念、不等式（组）的解集等知识和数轴有机地融合在一起, 起到事半功倍的效果.
数学教学是培养学生逻辑思维的主要途径，而初中学生在思维活动中形象思维占主导地位，容易对数学产生畏难情绪和厌学心理，教师只有在“兴趣”二字上多下功夫，多想办法，才能将学生逐步引导到学习数学的自由境界中，真正实现由“要我学”到“我要学”的转变.
（责任编辑：王春梅）
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
“甲、乙、丙三人打的，说好AA 制，甲在全程1/3下车，乙在全程2/3下车，丙在终点支付车费90元，问甲、乙分别应付丙车费多少元？”多数学生一下子找不到解决问题的突破口，教师可以抓住这一契机，在课外兴趣活动中让学生亲身感受生活中的AA 制. 在操场上确定30米的一段跑道，选出甲、乙、丙三个学生从起点同时“坐车”走，甲在10米处“下车”，乙在
的思想方法考虑问题，把抽象的数量关系用图形反映出来,
20米处“下车”，丙坚持到终点“下车”，于是知道甲、乙、丙三
名同学分别坐车为10米、20米、30米，相当于单人坐车60米，这样甲坐车占总里程的1/6，乙坐车占总里程的2/6,丙坐车占总里程的3/6，所以丙掏一半的费用45元，甲为15元，乙为
30元. 一个抽象而枯燥的问题，在学生身临其境的学习中，
变得浅显，生动而有趣，犹如满天迷雾被太阳驱散，一切东西都看得明明白白，又能让学生回味无穷. 在教学《图形的认识》的过程中，对正方体、圆柱体、圆锥体等立体图形的认识，教师让学生通过亲自动手制作这些模型，让他们真正能看得见，摸得着，对这些立体图形的特征记忆到脑海深处.
五、寻求数学思想方法的科学精髓是增强学生数学学习兴趣的终极目标
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓. 在初中阶段学习数学基础知识和培养学生解决实际
2013年第1
期
-49-
·
4πr 2E 。
其中这个球表面积为4πr 2，利用高斯定理可以得到：
场场强g 。
1. 厚块物体的引力场。
令一厚块物体密度为ρ，厚度为t ，我们来看它的高斯面，引力流将在厚块两边沿伸（注意要仅视垂直于表面的引力场为有效的）。
4πr 2E =q 或者E =
q ，这
4πr 20
就是我们熟悉的库仑定律。
2. 电场中的导体。在导体中
有大量自由移动的电荷。这些自由电荷在外加电场的作用下在导体中做定向的移动。当运动到导
体两端的正负电荷运动达到一定的程度之后，形成的新电场与外加电场大小相同，方向相反，这便达到了静电平衡状态。此时，导体内部的电场强度就变成了零。而导体表面的电场强度（如下图）同样可以通过高斯定理进行计算。通过导体上表面的电通量可以通过公式准=AE计算，A 是导体上端的表面积。
导体内部的电场为零，所以通过导体底部的电通量为零（上面的公式仅适用于电场垂直于表面的导体）。我们假设电荷密度ψ在上表面分布是均匀的则被包围的面积所包括的电量大小可以通过Q =A ψ来计算，其中ψ是导体内的电荷密度。
应用高斯定理可以得到准=AE =Q =A ψ，这样导体表面
t
被高斯面所包围的物体的质量为m =At ρ。
在这里A 是箭头所指的表面面积，高斯定理告诉我们2gA =-4πGm ，两倍是表示引力流通过了两个表面。这样，代换m 后可得到g =-2πGt ρ。
这个结果表明被封闭的厚块表面的引力场强是一定的。
2. 圆柱体的引力场。设一圆柱体的半径为r 密度为ρ（如
下图所示），我们认为高斯面为其同轴的圆柱表面，设这个表面的半径为c （r ＞c ），高为L （比圆柱体的高度低），这和讨论厚块物体时类似。被高斯面所包围的物体质量为m =
πc 2L ρ，引力通量通过的表面积为A =2πrL 。按照上面高斯定
理的结论可得到：gA =-4πGm ，将A 代换后得到：g 2πrL =-
00
4πG πc 2L ρ，这样就能得到：
g=-2πGc ρ，我们注
2
积上的电场强度为E =ψ。
ε0
意到如果高斯面取圆柱的
E E
（二）高斯定理应用于引力场
来看一下高斯定理如何在引力场中进行应用。有一个质量为m 的质点，以质点为中心构造一个球形表面。表面上任一点的引力场的方向都与表面垂直，且引力强度大小相同。下面，把引力场与前面讨论的电场进行比较分析。我们能够通过公式计算通过这个表面的引力通量准即：准=∫∫gds =
实际表面，即当r =c 时，g =-
2πGL ρ，这和前面讨论的
厚块的情况是一致的。
3. 球壳内部的引力场。
利用高斯定理来解决球壳内部的引力场的过程如下：如果我们设一个以球壳中心质量为零的球
形表面，通过高斯定理，可以知道被球形表面积包围的质量为零，所以引力通量为零，这个结论类似与电学中的结果。
如果考虑在地球内部的引力场时，就会产生一个有趣的结果。即通过地球内部的高斯面的引力通量为零，这将推理出关于地球内部密度不相同的有趣结论。
三、结束语
高斯定理是解决物理问题中有力的数学工具。它运用简单的几何关系获得结论要比完整的积分运算简单的多。本文所举的例子只代表了高斯定理在物理学中的一些简单应用。以此希望物理教师能够在物理教学的过程中了解高斯定理在物理学中的作用和意义。
（责任编辑：陈
勇）
4πr 2g ，g 是引力场的场强。由于引力通量与物体的质量成正
比，与电场中高斯定理的表达形式相比较，可以将通过任一闭合曲面的引力通量表示为：准=-km （其中k 是常数），即（在万有引力的作用下，引力场的方4πr 2g=-km 或者g =-km
向指向质点，取负号）。如果将k 认为是4πG ，这个公式可以推导出牛顿的万有引力定律，G 就是具有广泛意义的万有引力常量了。如果有一质点m ，当其外部被任意面积A 完全封闭，那么通过这个表面的引力通量是-4πGm ，可以表示为：准=-4πGm 。与电场相比较可以定义出通过面积A 的引力
-50-
2013年第1
期