二．判断题（每题3分，共30分） 1．f (z ) =z z n 在z =0解析。【 】
2．f (z ) 在z 0点可微，则f (z ) 在z 0解析。【 】 3．f (z ) =e z 是周期函数。【 】
4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑c n 收敛，而∑|c n |发散，则∑c n z n 的收敛半径为1。
n =0
n =0
n =0
∞
∞
∞
【 】
6． tan() 能在圆环域0
9．如果u 是D 内的调和函数, 则
1
dz =2
z (z -1)
f (z ) 在z 0解析，那末映射ω=f (z ) 在z 0具有保角性。
1z
f =
∂u ∂u -i ∂x ∂y
是D 内的解析函数。
【 】10．⎰
3
|z |=
2
⎰
|z |=
32
1
2dz =2πi 1|=2πi 。【 】 2z =1z -1z
三．（8分）v =e px sin y 为调和函数，求p 的值，并求出解析函数
f (z ) =u +iv 。
四．（8分） 求f (z )=
z
在圆环域1
(z -1)(z -2)
洛朗展开式。 五．（8分）计算积分⎰-∞六．（8分）设f (z ) =C
+∞
2cos x
。 2
x +4x +5
3ξ2+7ξ+1
d ξ
ξ-z
，其中C 为圆周|z |=3的正向，求
f '(1+i ) 。
七．（8分）求将带形区域{z |0复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一. 填空(各3分)
1. e -2k π+i ln 3； 2. 三级极点 ；3. 3z 2 ；4. 0 ；5. 0 ；6. ；
6s 2-27. 23
(s +1)
1e
；8. 0；
11
++πδ(ω-2) +πδ(ω+2)]。
2j (ω-2) j (ω+2)
9. 0 ；10. 1[
二. 判断1. 错；2. 错；3. 正确； 4. 错 ；5. 正确 ；6. 错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。 三(8分) 解: 1)在1
∞
111∞z n 1∞1n z n +11
f (z ) =z (-) =z (-∑() -∑() ) =-∑(n +1+n ) -----4
z -2z -12n =02z n =0z z n =02
分
2) 在1
∞111111
f (z ) =(1+) =(1+) =+∑(-1) n
n +2
1z -2z -2+1z -2z -2(z -2) n =0
(z -2)(1+)
z -2
--4
分
四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次, 且在实轴上无奇点, 在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
e ix e iz
⎰-∞x 2+4x +5=2πi Re s [z 2+4z +5, -2+i ]
+∞
--------3分 --------6分 故
+∞
e iz π
=2πi lim (z -(-2+i )) 2=(cos2-i sin 2) z →-2+i z +4z +5e
+∞2cos x e ix 2π
dx =2Re =cos 2 ⎰-∞x 2+4x +5⎰-∞x 2+4x +5e
---------8分 五
.(8
分
)
解
:
3ξ2+7ξ+1
f '(z ) = ξ 2⎰(ξ-z ) C
-------3分
由于1+i在|z |=3所围的圆域内, 故
3ξ2+7ξ+1
f '(1+i ) =d ξ=2πi (3ξ2+7ξ+1) '|ξ=1+i =2π(-6+13i ) -------82
(ξ-(1+i )) C
分
六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射, 可以得到
π
f (z ) =e i θ
e
a
z
-λ
e a -z
(映射不唯一, 写出任何一个都算对)
七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:
s 2`Y (s ) -sy (0) -y '(0) +(sY (s ) -y (0)) -3Y (s ) =
3 s +1
3+1
代入初始条件, 得Y (s ) =2 --------4分
s +2s -3
513
-
31
=+=++ (s +1)(s +3)(s -1) (s +3)(s -1) s +1s -1s +3
351
故, y (t ) =-e -t +e t +e -3t ---------8
488
分(用
留数做也可以)
复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一. 填空(各3分)1. e -2k π+i ln 3 ；2. 三级极点 ；3. 3z 2； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. sin 1-cos 1 ；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。 二. 判断1. 错；2. 错；3. 正确 ；4. 错 ；5. 正确 ；6. 错 ；7. 错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。
三.(8分) 解:因为v =e px sin y 是调和函数, 则有
∂2v ∂2v
+2=02∂x ∂y
1
e
, 即
分
p 2e px sin y -e px sin y =(p 2-1) e px sin y =0
故
p =±1---------2
1) 当 p =1时, v =e x sin y , 由C-R 方程,
∂u ∂v ==e x cos y , 则u (x , y ) =e x cos y +g (y ) , 又由 ∂x ∂y ∂u ∂v
=-e x sin y +g '(y ) =-=-e x sin y ，故 g '(y ) =0, 所以g (y ) =c 。 ∂y ∂x
则 ----------3分
2) 当 p =-1时, v =e -x sin y , 由C-R 方程,
f (z ) =e z +c
∂u ∂v ==-e -x cos y , 则u (x , y ) =-e -x cos y +g (y ) , 又由 ∂x ∂y ∂u ∂v
=e -x sin y +g '(y ) =-=e x sin y ，故 g '(y ) =0, 所以g (y ) =c 。 ∂y ∂x
则 f (z ) =-e -z +c 四(8分) 解: 1)在1
∞
111∞z n 1∞1n z n +11
f (z ) =z (-) =z (-∑() -∑() ) =-∑(n +1+n ) -----4分
z -2z -12n =02z n =0z z n =02
2) 在1
f (z ) =
1111(1+) =(1+)
z -2z -2+1z -2(z -2)(1+) z -2
∞
11=+∑(-1) n
z -2n =0(z -2) n +2
-------4分
五.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次, 且在实轴上无奇点, 在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
e ix e iz
⎰-∞x 2+4x +5=2πi Re s [z 2+4z +5, -2+i ]
+∞
--------3分
e iz π
lim (z -(-2+i )) 2=(cos2-i sin 2) =2πi z →-2+i z +4z +5e
--------6分 故六
.(8
分
)
+∞
+∞2cos x e ix 2π
dx =2Re =cos 2 ⎰-∞x 2+4x +5⎰-∞x 2+4x +5e
---------8分
解
:
3ξ2+7ξ+1
f '(z ) = ξ 2⎰(ξ-z ) C
-------3分
由于1+i在|z |=3所围的圆域内, 故
3ξ2+7ξ+1
f '(1+i ) =d ξ=2πi (3ξ2+7ξ+1) '|ξ=1+i
2
(ξ-(1+i )) C
=2π(-6+13i ) -------8
分
七. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射, 可以得到
π
f (z ) =e i θ
e
a
z
-λ
π
e a -z
(映射不唯一, 写出任何一个都算对)
二．判断题（每题3分，共30分） 1．f (z ) =z z n 在z =0解析。【 】
2．f (z ) 在z 0点可微，则f (z ) 在z 0解析。【 】 3．f (z ) =e z 是周期函数。【 】
4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑c n 收敛，而∑|c n |发散，则∑c n z n 的收敛半径为1。
n =0
n =0
n =0
∞
∞
∞
【 】
6． tan() 能在圆环域0
9．如果u 是D 内的调和函数, 则
1
dz =2
z (z -1)
f (z ) 在z 0解析，那末映射ω=f (z ) 在z 0具有保角性。
1z
f =
∂u ∂u -i ∂x ∂y
是D 内的解析函数。
【 】10．⎰
3
|z |=
2
⎰
|z |=
32
1
2dz =2πi 1|=2πi 。【 】 2z =1z -1z
三．（8分）v =e px sin y 为调和函数，求p 的值，并求出解析函数
f (z ) =u +iv 。
四．（8分） 求f (z )=
z
在圆环域1
(z -1)(z -2)
洛朗展开式。 五．（8分）计算积分⎰-∞六．（8分）设f (z ) =C
+∞
2cos x
。 2
x +4x +5
3ξ2+7ξ+1
d ξ
ξ-z
，其中C 为圆周|z |=3的正向，求
f '(1+i ) 。
七．（8分）求将带形区域{z |0复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一. 填空(各3分)
1. e -2k π+i ln 3； 2. 三级极点 ；3. 3z 2 ；4. 0 ；5. 0 ；6. ；
6s 2-27. 23
(s +1)
1e
；8. 0；
11
++πδ(ω-2) +πδ(ω+2)]。
2j (ω-2) j (ω+2)
9. 0 ；10. 1[
二. 判断1. 错；2. 错；3. 正确； 4. 错 ；5. 正确 ；6. 错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。 三(8分) 解: 1)在1
∞
111∞z n 1∞1n z n +11
f (z ) =z (-) =z (-∑() -∑() ) =-∑(n +1+n ) -----4
z -2z -12n =02z n =0z z n =02
分
2) 在1
∞111111
f (z ) =(1+) =(1+) =+∑(-1) n
n +2
1z -2z -2+1z -2z -2(z -2) n =0
(z -2)(1+)
z -2
--4
分
四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次, 且在实轴上无奇点, 在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
e ix e iz
⎰-∞x 2+4x +5=2πi Re s [z 2+4z +5, -2+i ]
+∞
--------3分 --------6分 故
+∞
e iz π
=2πi lim (z -(-2+i )) 2=(cos2-i sin 2) z →-2+i z +4z +5e
+∞2cos x e ix 2π
dx =2Re =cos 2 ⎰-∞x 2+4x +5⎰-∞x 2+4x +5e
---------8分 五
.(8
分
)
解
:
3ξ2+7ξ+1
f '(z ) = ξ 2⎰(ξ-z ) C
-------3分
由于1+i在|z |=3所围的圆域内, 故
3ξ2+7ξ+1
f '(1+i ) =d ξ=2πi (3ξ2+7ξ+1) '|ξ=1+i =2π(-6+13i ) -------82
(ξ-(1+i )) C
分
六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射, 可以得到
π
f (z ) =e i θ
e
a
z
-λ
e a -z
(映射不唯一, 写出任何一个都算对)
七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:
s 2`Y (s ) -sy (0) -y '(0) +(sY (s ) -y (0)) -3Y (s ) =
3 s +1
3+1
代入初始条件, 得Y (s ) =2 --------4分
s +2s -3
513
-
31
=+=++ (s +1)(s +3)(s -1) (s +3)(s -1) s +1s -1s +3
351
故, y (t ) =-e -t +e t +e -3t ---------8
488
分(用
留数做也可以)
复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一. 填空(各3分)1. e -2k π+i ln 3 ；2. 三级极点 ；3. 3z 2； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. sin 1-cos 1 ；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。 二. 判断1. 错；2. 错；3. 正确 ；4. 错 ；5. 正确 ；6. 错 ；7. 错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。
三.(8分) 解:因为v =e px sin y 是调和函数, 则有
∂2v ∂2v
+2=02∂x ∂y
1
e
, 即
分
p 2e px sin y -e px sin y =(p 2-1) e px sin y =0
故
p =±1---------2
1) 当 p =1时, v =e x sin y , 由C-R 方程,
∂u ∂v ==e x cos y , 则u (x , y ) =e x cos y +g (y ) , 又由 ∂x ∂y ∂u ∂v
=-e x sin y +g '(y ) =-=-e x sin y ，故 g '(y ) =0, 所以g (y ) =c 。 ∂y ∂x
则 ----------3分
2) 当 p =-1时, v =e -x sin y , 由C-R 方程,
f (z ) =e z +c
∂u ∂v ==-e -x cos y , 则u (x , y ) =-e -x cos y +g (y ) , 又由 ∂x ∂y ∂u ∂v
=e -x sin y +g '(y ) =-=e x sin y ，故 g '(y ) =0, 所以g (y ) =c 。 ∂y ∂x
则 f (z ) =-e -z +c 四(8分) 解: 1)在1
∞
111∞z n 1∞1n z n +11
f (z ) =z (-) =z (-∑() -∑() ) =-∑(n +1+n ) -----4分
z -2z -12n =02z n =0z z n =02
2) 在1
f (z ) =
1111(1+) =(1+)
z -2z -2+1z -2(z -2)(1+) z -2
∞
11=+∑(-1) n
z -2n =0(z -2) n +2
-------4分
五.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次, 且在实轴上无奇点, 在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
e ix e iz
⎰-∞x 2+4x +5=2πi Re s [z 2+4z +5, -2+i ]
+∞
--------3分
e iz π
lim (z -(-2+i )) 2=(cos2-i sin 2) =2πi z →-2+i z +4z +5e
--------6分 故六
.(8
分
)
+∞
+∞2cos x e ix 2π
dx =2Re =cos 2 ⎰-∞x 2+4x +5⎰-∞x 2+4x +5e
---------8分
解
:
3ξ2+7ξ+1
f '(z ) = ξ 2⎰(ξ-z ) C
-------3分
由于1+i在|z |=3所围的圆域内, 故
3ξ2+7ξ+1
f '(1+i ) =d ξ=2πi (3ξ2+7ξ+1) '|ξ=1+i
2
(ξ-(1+i )) C
=2π(-6+13i ) -------8
分
七. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射, 可以得到
π
f (z ) =e i θ
e
a
z
-λ
π
e a -z
(映射不唯一, 写出任何一个都算对)