应用随机过程7-布朗运动

第7章 布朗运动

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 基本概念与性质 Gauss过程 布朗运动的鞅性质 布朗运动的Markov性 布朗运动的最大值变量及反正弦律 布朗运动的几种变化

2010-7-30

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7.1

定义7.1.1

(1). X (0)  0

基本概念与性质

随机过程 { X (t ), t  0} 如果满足

(2). { X (t ) , t  0 }有独立的平稳增量

2 (3). 对每个 t  0 ， X (t ) 服从正态分布 N (0,  t )

则称{ X (t ) , t  0 }为布朗运动， 也称维纳过程。 常记为 B (t ) , t  0 或 W (t ) , t  0 。

注：

如果   1 ， 称之为标准布朗运动， 如果   1 ， { X (t ) /  , t  0} 则 为标准布朗运动。不失一般性，只考虑标准布朗运动的情形。

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性质7.1.1 布朗运动 {B (t ), t  0} 具有如下性质：

(1). 增量具有正态性。即 B (t )  B ( s ) ~ N (0, t  s ) ， s  t

(2). 增量是独立的。 B (t )  B ( s ) 与 B (u ) 独立， 即 这里 u  s  t

(3). 路径的连续性。 B (t ), t  0 是 t 的连续函数。

注：

如果没有假定 B (0)  0 ， B (0)  x ， 即 称之为始于 x 的布朗运动， 记为 B (t ) ，显然 B (t )  x  B (t ) 。

x x 0

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定义7.1.2 设 { X (t ), t  0} 是随机过程， 如果它的有限维分布时 空间平移不变的，即

P{ X (t1 )  x1 , X (t 2 )  x2 , , X (t n )  xn | X (0)  0}  P{ X (t1 )  x1  x, X (t 2 )  x2  x, , X (t n )  xn  x | X (0)  x}

则称此过程为空间齐次的。 注： 布朗运动过程具有空间齐次性。 例7.1.1 设 B (t ), t  0 是 标 准 布 朗 运 动 ， 计 算 P{B ( 2)  0} ，

P{B (t )  0, t  0,1,2} 。

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7.2

高斯过程

定义7.2.1 有限维分布均为多元正态分布的随机过程称为高斯过程。

2 2 引理7.2.1 设 X ~ N ( 1 ,  1 ) ， Y ~ N (  2 ,  2 ) 相 互 独 立 ， 则

  12  12   X  Y ~ N (  , ) 。其中   ( 1 , 1   2 ) ，    2   2   2  1 2   1 定理7.2.1 布 朗 运 动 过 程 是 均 值 为 m(t )  0 ， 协 方 差 函 数 为  ( s, t )  min(t , s ) 的高斯过程。

例7.2.1 B (t ) 是布朗运动，求：(1) B (1)  B ( 2)  B (3)  B ( 4) 的

分 布 ； (2)

1

1 1 3 B ( )  B ( )  B ( )  B (1) 的 分 布 ； (3) 4 2 4

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2 P{ B (t ) dt  }。 0 3 2010-7-30

7.3

布朗运动的鞅性质

定理7.3.1 设 B (t ) 是布朗运动，则 (1) B (t ) 是鞅；

； (2) ( B (t )) 2  t 是鞅；

u2 (3) 对任何实数 u， exp{uB (t )  t} 是鞅。 2

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7.4

定义7.4.1

布朗运动的马尔科夫性

设 X (t ), t  0 是一个连续随机过程，如果对任何 t , s  0 ，有

P{ X (t  s )  y | Ft }  P{ X (t  s )  y | X (t )}, a.s.

则

称为 Markov 过程。这里 Ft   { X (u ),0  u  t}

定理7.4.1 布朗运动过程是马尔科夫过程。

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7.5

可以计算出

布朗运动的最大值变量及反正弦律

记 Tx 为布朗运动首次击中 x 的时刻，即 Tx  inf{t  0 : B (t )  x} ，我们

x  0 时 P{Tx  t}  2 P{B (t )  x} 

从而 P{Tx  }  lim P{Tx  t}  1 ，但是

t 

2 2



 t

x

e

 y2 2

dy

2  x t  y2 2 ETx   P{Tx  t}dt  0 0 e dydt 0 2 x2 y2 2   y2 2 2x2  1  y2 2  0 e dy 0 dt  2 0 y 2 e dy 2 2 x 2 e 1 2 1 1  0 y 2 dy   2

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

则 Tx 为几乎必然有限的，但是有无穷的期望。直观地看，布朗运 动以概率 1 击中 x，但它的平均时间是无穷的。

同样 x  0 时 P{Tx  t} 

2 2



2

 t

x

e

 y2 2

dy

故有

 | x | 3  x  u 2 e 2u , u  0 fTx (u )   2 0, u0 

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记 M (t ) 为布朗运动在[0,t]中达到的最大值，即 M (t )  max B ( s ) ，我

0 st

们可以计算出当 x  0 ，有

2 P{M (t )  x}  P{Tx  t}  2

可以计算出当 x  0 ，有



 t

x

e

 y2 2

dy

0  s t

记 m(t ) 为布朗运动在[0,t]中达到的最小值，即 m(t )  min B ( s ) ，我们

P{m(t )   x}  P{T x  t} 

2 2



x

t



e

 y2 2

dy

如果时间  使得 B ( )  0 ，则称  为布朗运动的零点。

定理7.5.1 设 {B x (t )} 为始于 x 的布朗运动，则 {B x (t )} 在 (0, t )

| x| 中至少有一个零点的概率为 2

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u

0

t

x2 3   2u 2

e

du 。

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定理7.5.2

B y (t ) 在区间 ( a, b) 中至少有一个零点的概率为

a 。 arccos  b 2

定理7.5.3

y

设 {B (t ), t  0} 是布朗运动，则

y

a 。 P{B (t )在( a, b)中没有零点}  arcsin  b

2

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7.6

一、布朗桥

布朗运动的几种变化

定义7.6.1 设 B (t ), t  0 是一个布朗运动，令

B * (t )  B (t )  tB (1) ， 0  t  1 * * 则称随机过程 B  {B (t ),0  t  1} 为布朗桥(Brown Bridge)

注：

布朗桥是高斯过程。且对任何 0  s  t  1 ，有

EB * (t )  0 EB * ( s ) B * (t )  s (1  t )

由定义可知， B * (0)  B * (1)  0

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二、有吸收值的布朗运动

设 {B (t ), t  0} 是一个布朗运动， Tx 为 B (t ) 首次击中 x 的时刻，令

 X (t ), t  Tx Z (t )   t  Tx  x,

则 {Z (t ), t  0} 是击中 x 后，永远停留在那里的布朗运动，即带有 吸收值 x 的布朗运动。

注：

Z (t ), t  0 的分布：离散部分和连续部分分别是

2 P{Z (t )  x}  2t

P{Z (t )  y}  2 2t





x

e

e



y2 2t

dy

du



u2 y  2

t y 2 x

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三、在原点反射的布朗运动

设 {B (t ), t  0} 是一个布朗运动，令 Y (t ) | B (t ) |, t  0 则称

{Y (t ), t  0} 是在原点反射的布朗运动。

注：

Y (t ), t  0 的分布

2 P{Y (t )  y}  2t



y



e



u2 2t

du  1， y  0

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四、几何布朗运动

设 {B (t ), t  0} 是一个布朗运动，令 X (t )  e

B (t )

, t  0 则称

{ X (t ), t  0} 为几何布朗运动。

注：

X (t ), t  0 的均值函数和方差函数分别为

EX (t )  e t 2 Var ( X (t ))  e 2t  e t

例7.6.1 （股票期权的价值）

设某人拥有某种股票的交割时刻为 T，交割价格为 K 的欧式看涨期 权，即他具有在时刻 T 固定的价格 K 购买一股这种股票的权利。假 定这种股票目前的价格为 y，并按几何布朗运动变化，计算拥有这 个期权的平均价值。

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五、有漂移的布朗运动

设 {B (t ), t  0} 是一个标准布朗运动， X (t )  B (t )  t ， 我 们称 { X (t ), t  0} 为有漂移的布朗运动。常数  称为漂移系数。

注： 利用有漂移的布朗运动 X (t ), t  0 可以算出

a P{布朗运动在下降 b之前上升a}  ab

作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结

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第7章 布朗运动

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 基本概念与性质 Gauss过程 布朗运动的鞅性质 布朗运动的Markov性 布朗运动的最大值变量及反正弦律 布朗运动的几种变化

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7.1

定义7.1.1

(1). X (0)  0

基本概念与性质

随机过程 { X (t ), t  0} 如果满足

(2). { X (t ) , t  0 }有独立的平稳增量

2 (3). 对每个 t  0 ， X (t ) 服从正态分布 N (0,  t )

则称{ X (t ) , t  0 }为布朗运动， 也称维纳过程。 常记为 B (t ) , t  0 或 W (t ) , t  0 。

注：

如果   1 ， 称之为标准布朗运动， 如果   1 ， { X (t ) /  , t  0} 则 为标准布朗运动。不失一般性，只考虑标准布朗运动的情形。

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性质7.1.1 布朗运动 {B (t ), t  0} 具有如下性质：

(1). 增量具有正态性。即 B (t )  B ( s ) ~ N (0, t  s ) ， s  t

(2). 增量是独立的。 B (t )  B ( s ) 与 B (u ) 独立， 即 这里 u  s  t

(3). 路径的连续性。 B (t ), t  0 是 t 的连续函数。

注：

如果没有假定 B (0)  0 ， B (0)  x ， 即 称之为始于 x 的布朗运动， 记为 B (t ) ，显然 B (t )  x  B (t ) 。

x x 0

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定义7.1.2 设 { X (t ), t  0} 是随机过程， 如果它的有限维分布时 空间平移不变的，即

P{ X (t1 )  x1 , X (t 2 )  x2 , , X (t n )  xn | X (0)  0}  P{ X (t1 )  x1  x, X (t 2 )  x2  x, , X (t n )  xn  x | X (0)  x}

则称此过程为空间齐次的。 注： 布朗运动过程具有空间齐次性。 例7.1.1 设 B (t ), t  0 是 标 准 布 朗 运 动 ， 计 算 P{B ( 2)  0} ，

P{B (t )  0, t  0,1,2} 。

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7.2

高斯过程

定义7.2.1 有限维分布均为多元正态分布的随机过程称为高斯过程。

2 2 引理7.2.1 设 X ~ N ( 1 ,  1 ) ， Y ~ N (  2 ,  2 ) 相 互 独 立 ， 则

  12  12   X  Y ~ N (  , ) 。其中   ( 1 , 1   2 ) ，    2   2   2  1 2   1 定理7.2.1 布 朗 运 动 过 程 是 均 值 为 m(t )  0 ， 协 方 差 函 数 为  ( s, t )  min(t , s ) 的高斯过程。

例7.2.1 B (t ) 是布朗运动，求：(1) B (1)  B ( 2)  B (3)  B ( 4) 的

分 布 ； (2)

1

1 1 3 B ( )  B ( )  B ( )  B (1) 的 分 布 ； (3) 4 2 4

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2 P{ B (t ) dt  }。 0 3 2010-7-30

7.3

布朗运动的鞅性质

定理7.3.1 设 B (t ) 是布朗运动，则 (1) B (t ) 是鞅；

； (2) ( B (t )) 2  t 是鞅；

u2 (3) 对任何实数 u， exp{uB (t )  t} 是鞅。 2

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7.4

定义7.4.1

布朗运动的马尔科夫性

设 X (t ), t  0 是一个连续随机过程，如果对任何 t , s  0 ，有

P{ X (t  s )  y | Ft }  P{ X (t  s )  y | X (t )}, a.s.

则

称为 Markov 过程。这里 Ft   { X (u ),0  u  t}

定理7.4.1 布朗运动过程是马尔科夫过程。

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7.5

可以计算出

布朗运动的最大值变量及反正弦律

记 Tx 为布朗运动首次击中 x 的时刻，即 Tx  inf{t  0 : B (t )  x} ，我们

x  0 时 P{Tx  t}  2 P{B (t )  x} 

从而 P{Tx  }  lim P{Tx  t}  1 ，但是

t 

2 2



 t

x

e

 y2 2

dy

2  x t  y2 2 ETx   P{Tx  t}dt  0 0 e dydt 0 2 x2 y2 2   y2 2 2x2  1  y2 2  0 e dy 0 dt  2 0 y 2 e dy 2 2 x 2 e 1 2 1 1  0 y 2 dy   2

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

则 Tx 为几乎必然有限的，但是有无穷的期望。直观地看，布朗运 动以概率 1 击中 x，但它的平均时间是无穷的。

同样 x  0 时 P{Tx  t} 

2 2



2

 t

x

e

 y2 2

dy

故有

 | x | 3  x  u 2 e 2u , u  0 fTx (u )   2 0, u0 

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记 M (t ) 为布朗运动在[0,t]中达到的最大值，即 M (t )  max B ( s ) ，我

0 st

们可以计算出当 x  0 ，有

2 P{M (t )  x}  P{Tx  t}  2

可以计算出当 x  0 ，有



 t

x

e

 y2 2

dy

0  s t

记 m(t ) 为布朗运动在[0,t]中达到的最小值，即 m(t )  min B ( s ) ，我们

P{m(t )   x}  P{T x  t} 

2 2



x

t



e

 y2 2

dy

如果时间  使得 B ( )  0 ，则称  为布朗运动的零点。

定理7.5.1 设 {B x (t )} 为始于 x 的布朗运动，则 {B x (t )} 在 (0, t )

| x| 中至少有一个零点的概率为 2

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u

0

t

x2 3   2u 2

e

du 。

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定理7.5.2

B y (t ) 在区间 ( a, b) 中至少有一个零点的概率为

a 。 arccos  b 2

定理7.5.3

y

设 {B (t ), t  0} 是布朗运动，则

y

a 。 P{B (t )在( a, b)中没有零点}  arcsin  b

2

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7.6

一、布朗桥

布朗运动的几种变化

定义7.6.1 设 B (t ), t  0 是一个布朗运动，令

B * (t )  B (t )  tB (1) ， 0  t  1 * * 则称随机过程 B  {B (t ),0  t  1} 为布朗桥(Brown Bridge)

注：

布朗桥是高斯过程。且对任何 0  s  t  1 ，有

EB * (t )  0 EB * ( s ) B * (t )  s (1  t )

由定义可知， B * (0)  B * (1)  0

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二、有吸收值的布朗运动

设 {B (t ), t  0} 是一个布朗运动， Tx 为 B (t ) 首次击中 x 的时刻，令

 X (t ), t  Tx Z (t )   t  Tx  x,

则 {Z (t ), t  0} 是击中 x 后，永远停留在那里的布朗运动，即带有 吸收值 x 的布朗运动。

注：

Z (t ), t  0 的分布：离散部分和连续部分分别是

2 P{Z (t )  x}  2t

P{Z (t )  y}  2 2t





x

e

e



y2 2t

dy

du



u2 y  2

t y 2 x

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三、在原点反射的布朗运动

设 {B (t ), t  0} 是一个布朗运动，令 Y (t ) | B (t ) |, t  0 则称

{Y (t ), t  0} 是在原点反射的布朗运动。

注：

Y (t ), t  0 的分布

2 P{Y (t )  y}  2t



y



e



u2 2t

du  1， y  0

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四、几何布朗运动

设 {B (t ), t  0} 是一个布朗运动，令 X (t )  e

B (t )

, t  0 则称

{ X (t ), t  0} 为几何布朗运动。

注：

X (t ), t  0 的均值函数和方差函数分别为

EX (t )  e t 2 Var ( X (t ))  e 2t  e t

例7.6.1 （股票期权的价值）

设某人拥有某种股票的交割时刻为 T，交割价格为 K 的欧式看涨期 权，即他具有在时刻 T 固定的价格 K 购买一股这种股票的权利。假 定这种股票目前的价格为 y，并按几何布朗运动变化，计算拥有这 个期权的平均价值。

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五、有漂移的布朗运动

设 {B (t ), t  0} 是一个标准布朗运动， X (t )  B (t )  t ， 我 们称 { X (t ), t  0} 为有漂移的布朗运动。常数  称为漂移系数。

注： 利用有漂移的布朗运动 X (t ), t  0 可以算出

a P{布朗运动在下降 b之前上升a}  ab

作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结

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