复习题
一、
单项选择题：
1、f (x ) =
1
的定义域是（ D ）
lg x -5
A 、(-∞, 5) (5, +∞) B 、(-∞, 6) (6, +∞)
C 、(-∞, 4) (4, +∞) D 、(-∞, 4) (4, 5) (5, 6) (6, +∞)
2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x2) 的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、[-2, 2] D 、[-2, -1] [1, 2] 3、函数y =lg(x 2+1+x ) +lg(x 2+1-x ) ( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x2+1-x2)=lg1=0 4、函数f (x ) =--x 2(0≤x ≤1) 的反函数f A 、-x 2 B 、--x 2
C 、-x 2(-1≤x ≤0) D 、--x 2(-1≤x ≤0) 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、f (n ) =(-1)
n +1
-1
(x ) =（ C ）
⎧1
⎪n +1, n 为奇数n
B 、f (n ) =⎨
1n +1⎪-1, n 为偶数⎩n
⎧1+2n ⎧1
, n 为奇数⎪⎪n , n 为奇数⎪2n
C 、f (n ) =⎨ D 、f (n ) =⎨ n
11-2⎪⎪, n 为偶数, n 为偶数
⎪⎩n +1⎩2n
解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设y n =0. 11 1，则当n →∞ 时，该数列（ C ）
n 个1
1
D 、发散 9
11111+2+ +n =(1-n ) 解：y n =0. 11 1=
101091010
A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于
7、“f(x)在点x=x0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ）
A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件
8、下列极限存在的是（ A ） A 、
lim x (x +1) 1
B 、 lim x 2
x →∞x x →∞2-1
1
x
C 、lim e D 、lim
x →0
x →+∞
x 2+1
x
解：A 中原式=lim (1+
x →∞
1
) =1 x
x 2+2x -sin x
9、lim =（ A ） 2x →∞2x +sin x
A 、
1
B 、2 C 、0 D 、不存在 2
解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得
sin(x 2-1)
=（ B ） 10、lim
x →1x -1
A 、1 B 、2 C 、
1
D 、0 2
sin(x 2-1)
=2 解：原式=lim (x +1) ⋅
x →1x 2-1
11、下列极限中结果等于e 的是（ B ）
sin x sin x sin x sin x
) A 、lim (1+) B 、lim (1+
x →∞x →0x x sin x
) C 、lim (1-
x →∞x
-sin x
x
x x
sin x
D 、lim (1+)
x →0x
sin x
x
解：A 和D 的极限为2， C 的极限为1 12、函数y =
1
的间断点有（ C ）个 ln |x |
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 解：间数点为无定义的点，为-1、0、1
13、下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（ B ） A 、f (x ) =1+
1x
11
B 、f (x ) =sin x x x
⎧1
⎪x
C 、f 9x ) =e D 、f (x ) =⎨e , x
x ⎪⎩e , x ≥0
解：A 中极限为无穷大，所以为第二类间断点
B 中极限为1，所以为可去间断点
C 中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点 D 中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点 14、下列结论错误的是（ A ）
A 、如果函数f(x)在点x=x0处连续，则f(x)在点x=x0处可导 B 、如果函数f(x)在点x=x0处不连续，则f(x)在点x=x0处不可导 C 、如果函数f(x)在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处连续
D 、如果函数f(x)在点x=x0处不可导，则f(x)在点x=x0处也可能连续 15、设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f ‟(0)=( A ) A 、6 B 、3 C 、2 D 、0
f (a ) -f (a -∆x )
=（ B ）
∆x →0∆x
A 、sin a B 、-sin a C 、cos a D 、-cos a
f (a ) -f (a -∆x )
=f '(a ) 解：因为原式=lim
∆x →0-∆x
16、设f(x)=cosx，则lim
17、y =cos 22x ，则dy =（ D ）
A 、(cos22x ) '(2x ) 'dx B 、(cos22x ) 'd cos 2x
C 、-2cos 2x sin 2xdx D 、2cos 2xd cos 2x
18、f(x)在点x=x0处可微，是f(x)在点x=x0处连续的（ C ） A 、充分且必要条件 B 、必要非充分条件
C 、充分非必要条件 D 、既非充分也非必要条件 19、设y =x +e
n n
-2x
，则y
(n )
(0) =（ A ）
n -1
A 、n ! +(-2) B 、n! C 、n ! +(-2)
D 、n!-2
20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ） A 、y=x2-5x+6 [2，3] B 、y =
1(x -1)
2
[0，2]
⎧x +1, x
C 、y =xe [0，1] D 、y =⎨ [0，5]
1, x ≥5⎩
-x
21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（ B ）
A 、lim
tan 5x sin x sin x
B 、lim C 、lim D 、lim πx →∞x →0x →0x x sin x x →sin 3x 2
x
x
x 2sin
1
22、设f (x ) =2+3-2，则当x 趋于0时（ B ）
A 、f(x)与x 是等价无穷小量 B 、f(x)与x 是同阶非等价无穷小量 C 、f(x)是比x 较高阶的无穷小是 D 、f(x)是比x 较低阶的无穷小量
解：利用洛必达法则
lim f (x ) 2x +3x -2x 2ln 2+3x x →0x =lim ln 3x →0x 0lim x →01
=ln 2+ln 3≠1 23、函数f (x ) =e x +e -x 在区间（-1，1）内（ D ） A 、单调增加 B 、单调减少 C 、不增不减 D 、有增有减 24、函数y =
x
1-x 2
在（-1，1）内（ A ） A 、单调增加 B 、单调减少 C 、有极大值 D 、有极小值 25、函数y=f(x)在x=x0处取得极大值，则必有（ D ） A 、f ‟(x0)=0 B 、f ”(x0)
C 、f „(x0)=0且f “(x0)
26、f „(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（ B ） A 、必要充分条件 B 、充分非必要条件
C 、必要非充分条件 D 、既非必要也非充分条件 27、函数y=x3+12x+1在定义域内（ A ）
A 、单调增加 B 、单调减少 C 、图形上凹 D 、图形下凹
28、设函数f(x)在开区间（a ，b ）内有f „(x)
A 、有4个极值点 B 、有3个拐点 C 、有2个极值点 D 、有1个拐点 30、若
⎰f (x ) dx =x
2
e 2x +C ，则f(x)=（ D ）
A 、2x e 2z
B 、4xe 2z
C 、2x 2
e 2x
D 、2xe 2x
(1+x )
31、已知y '=2x ，且x=1时y=2，则y=( C ) A 、x 2 B 、x 2+C C 、x 2+1 D 、x 2+2 32、⎰
d arcsin
x =（ B ）
A 、arcsin x B 、arcsin x +C C 、x D 、x +C 33、设f '(x ) 存在，则
[⎰df (x ) ]'
=（ B ）
A 、f(x) B 、f '(x ) C 、f(x)+C D 、f '(x ) +C 34、若
⎰f (x ) dx =x
2
+C ，则⎰xf (1-x 2) dx =（ D ）
A 、2(1-x 2) 2
+C B 、-2(1-x 2) 2
+C C 、
1(1-x 2) 2+C D 、-1
(1-x 2) 222
+C ）
解：xf (1-x ) dx =-35、设
⎰
2
1122
f (1-x ) d (1-x ) =-(1-x 2) 2+C ⎰22
⎰f (x ) dx =sin x +C ，则⎰
f (arcsinx ) -x
2
dx =（ D ）
A 、arcsinx+C B 、sin -x 2+C C 、解：原式=
1
(arcsinx ) 2+C D 、x+C 2
x ) +c =x +C
⎰f (arcsinx ) d arcsin x =sin(arcsin
f '(lnx )
⎰x =（ C ）
11
A 、-+C B 、-ln x +C C 、+C D 、lnx+C
x x
1-ln x
+C =+C 解：原式=⎰f '(lnx ) d ln x =f (lnx ) +C =e
x
36、设f (x ) =e -x ，则
37、设xf (x ) dx =arcsin x +C ，则
⎰⎰
1
dx =（ B ） f (x )
31(1-x 2) 3+C B 、-(1-x 2) 3+C 43322222
C 、(1-x ) +C D 、(1-x ) +C
43
A 、-
解：对xf (x ) dx =arcsin x +C 两端关于x 求导得
⎰
xf (x ) =
1-x
2
，即f (x ) =
1x -x
2
，
所以
⎰
111
dx =⎰x -x 2dx =-⎰-x 2d (1-x 2) =-(1-x 2) 2+C f (x ) 23
38、若sinx 是f(x)的一个原函数，则x f '(x ) dx =（ A ） A 、xcosx-sinx+C B 、xsinx+cosx+C
C 、xcosx+sinx+C D 、xsinx-cosx+C
解：由sinx 为f(x)的一个原函数知f(x)=cosx，则使用分部积分公式得
x
39、设f '(e ) =1+x ，则f(x)=（ B ）
⎰
x 2
+C D 、xlnx-x+C A 、1+lnx+C B 、xlnx+C C 、x +2
40、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（ A ） A 、
5
⎰
141xdx x 3dx xdx
B 、⎰ D 、1 dx C 、⎰30-12x ln x x 2+1e -x (x 2-5) 2
解：选项A 中被积函数在[0，5]上连续，选项B 、C 、D 中被积函数均不能保证在闭区间上连续 41、
⎰
π2
-π2
|sin x |dx ≠（ A ）
A 、0 B 、242、使积分
⎰
π
2
|sin x |dx C 、2⎰π(-sin x ) dx D 、2⎰2sin xdx
-2
π
⎰
2
kx (1+x 2) -2dx =32的常数k=（ C ）
A 、40 B 、-40 C 、80 D 、-80 解：原式=
22k 2k 12-22
(1+x ) d (1+x ) =(-) =k =32 2⎰00221+x 5
⎧2x +1, -1≤x
43、设f (x ) =⎨，则
-x , 0≤x ≤1⎩
A 、解
⎰
1
-1
f (x ) dx =（ B ）
11151115
+ B 、+ C 、- D 、- 2ln 232ln 232ln 232ln 23
：
1
31021x 15
-x dx =(2+x ) -(1-x ) =+
-1302ln 23ln 2
⎰
1
-1
f (x ) dx =⎰(2+1) dx +⎰
-1
x 2
44、y =
⎰
x
(t -1) 2(t +2) dt ，则
dy
=（ B ） dx x =0
A 、-2 B 、2 C 、-1 D 、1 解：dy/dx=(x+1)2(x+2)
45、下列广义积分收敛的是（ B ） A 、
1dx 1dx 1dx dx
B 、 C 、 D 、⎰0x ⎰0x 3 ⎰0x ⎰0x x 1
解：四个选项均属于二、填空题 1、e
⎰
1
dx
，该广义积分当p
⎰
x +e x
dx =（ ）
解：原式=e ⋅e dx =e de =e +C 2、已知一函数的导数为f (x ) =
⎰
x
e x
⎰
e x
x
e x
1-x 2
，且当x=1时，函数值为
3
π， 2
则此函数F(x)=( arcsin x +π )
F '(x ) =f (x ) ∴F (x ) =⎰
1解：
-x
2
=arcsin x +C
F (1) =arcsin 1+C =3
2
π, ∴C =π
3、曲线y =e -x 2
的上凸区间是（ （-
22
2,
2
） ） 解：y '=-2xe
-x 2
, y ''=2(2x 2-1) e -x 2
, ∴x =±
22
π
4、
⎰
(x 2+sin 2x ) cos 3xdx =（π
-π 8
） π
x 3cos 2
为奇函数，∴⎰2-
πx 3cos 2xdx =0
解：
2
ππ
1π
⎰2
2121-cos 4-πsin 2x cos 2xdx =22sin 2xdx =x 2⎰02dx =π2⎰048
5、若f(x)的一个原函数是sinx ，则
⎰f ''(x ) dx =（ -sinx+C ）
解： f (x ) =(sinx ) '=cos x , f '(x ) =-sin x , f ''(x ) =-cos x 6、设f (x ) =x ln(x +
x 2+a 2) -x 2+a 2，其中a ≠0，则f ''(0) =（
1
a
f '(x ) =ln(x +x 2+a 2) +
x x +x 2+a 2
(1+
12⋅2x 12x x 2+a 2) -2⋅x 2+a 2=ln(x +x 2+a 2)
解：f ''(x ) =11x +x 2+a 2(1+12⋅2x
x 2+a 2) =
x 2+a 2
f ''(0) =
1
a 2
27、曲线
⎰
x =cos t +cos t y =1+sin t
上对应于t =
π
4
的点外的法线斜率为（ 1+2 8、设y =f (2x 2
) ，而f '(x ) =tan x ，则dy x =
=（ 2 ）
8
解：
dy
=f '(2x 2) ⋅(2x 2dx
) '=4x tan(2x 2) 9、lim 12n n →∞(n 2
+1+n +2 +n +n
=（ 1
2+2) 2 ） ）
）
10、设f (x ) =lim
(n -1) x
，则f(x)的间断点为x=（ 0 ）
n →∞nx 2+1
解：x 不等于0时，f (x ) =lim
n →∞
x n 21x +n -1n -1
=
1
x
X=0时，f(x)=f(0)=0,显然x 不等于0时，f(x)=1/x 连续，又lim f (x ) =∞≠f (0)
x →0
三、计算题
x 2
+1-+x 2
1、求极限lim 2 2x →0x sin x
参考答案：
x 21114
+1-[1+x 2-x 4+o (x 4)]x -o (x 4)
1=lim =原式=lim 44x →0x →08x x
2、求极限
lim
x →0
+x 2-1-x (e x -1)
x
(3-1) ln(1+x )
参考答案：
利用等价无穷小：e x -1~x , a x -1~x ln a , ln(1+x ) ~x , (1+x ) α-1~αx 原式=
12⎛⎫
x ⎪2x 2x ⎛⎫+x -1-x (e -1) 1 +x -1x (e -1) ⎪1 x ⨯x 3-lim ⎪=-2lim =lim -lim =lim 22x →0x →0x →0x →0x 2⎪⎪ln 3 x →0x 2ln 3 3ln 3(ln3) ⋅x 2x x ⎝⎭ ⎪⎝⎭
⎧x =a (t -sin t ) d 2y
3、设⎨，求 2
y =a (1-cos t ) dx ⎩
参考答案：
dy y t 'a sin t
==
'dx x t a (1-cos t )
dy
)
d 2y dx =d ⎛dy ⎫⋅dt = ⎪
dx dt ⎝dx ⎭dx dx 2
cos t (1-cos t ) -sin t ⋅sin t 1cos t -1-1=⋅==
a (1-cos t ) a (1-cos t ) 3a (1-cos t ) 2(1-cos t ) 2
d (
d 2y
4、求由方程y =1+xe 所确定隐函数的二阶导数 2
dx
y
参考答案：
把原方程两边对自变量x 求导，得
dy dy =e y +xe y ⋅ dx dx
dy e y e y
解得 ==
dx 1-xe y 2-y
d 2y d e y
=() =则2
dx 2-y dx
e y
dy dy
⋅(2-y ) -e y (-) 2y dx dx =(3-y ) ⋅e
(2-y ) 2(2-y ) 3
-2
5、近似计算数e 的值，使误差不超过10 参考答案：
e x ≈1+x +
121x + +x n 2! n !
11e θ
令x=1⇒e =1+1++ ++
2! n ! (n +1)!
要使误差R n
-3
3
(n +1)!
e ≈1+1+
11
+ +=2. 5+0. 1667+0. 0417+0. 0083=2. 7167≈2. 72 2! 5!
3
6、讨论函数f (x ) =x (1-x ) 的凸性与相应曲线拐点 参考答案：
函数的定义为R
f '(x ) =3x 2-4x 3
f ''(x ) =6x -12x 2=6x (1-2x )
由f ''(x ) =0可得x=0,1/2 列表如下：
所以凹区间为(-∞, 0) ⋃(, +∞) 凸区间为(0, )
1212
11
) 21622
7、 求函数y =x +的单调区间、极值点
x
拐点为（0，0）和(, 参考答案：
定义域为(-∞,0) ⋃(0,+∞) ．
2x 3-1
由y '=2x -2=22，令y '=0得驻点x =1，列表给出单调区间及极值点：
x x
所以，函数的单调递减区间为(-∞,0) ，(0,1]，单调递增区间为[1,+∞) ，极小值点为(1,3) 8、 求由y =参考答案：
y =x , x =2所围图形的面积
A =
x )d x +0
121
(x -x ) =
7-3⎧1+x 2
9、设f (x ) =⎨-x
⎩e
x ≤0x >0
，求
⎰
3
1
f (x -2)d x ．
参考答案：
方法一：先作变量代换
⎰
3
1
f (x -2)d x =
13
3
0-1
x -2=t
⎰
10
1
-1
f (t )d t =⎰(1+t )d t +⎰e -t d t
-1
2
1
=[t +t ]
-e -t
=
4-17
-e +1=-e -1． 33
⎧1+(x -2) 2
方法二：先给出f (x -2) =⎨-(x -2)
⎩e
x ≤2x >2
，于是
⎰
3
1
f (x -2)d x =⎰[1+(x -2) ]dx +⎰e -(x -2) d x =
1
2
2
2
3
7-1-e 3
10、求曲线y =(x +1) -x 在A （-1，0），B （2，3），C （3，0）各点处的切线方程 参考答案：
-11x +1 y '=-x +(x +1) ⋅(3-x ) 3⋅(-1) =3-x - 33(3-x ) 22
在A （-1，0）点处，k =y '(-1) =4
所以在A 点处的切线方程为y =4(x +1)
而在B （2，3）点处，k =y '(2) =0
所以在B 点处的切线方程为y-3=0
又在C （3，0）点处，k =y '(3) 不存在，即切线与x 轴垂直
所以C 点处的切线方程为x=3
11、在区间⎢0, π⎡π⎤x =, y =0所围成的图形分别绕x 轴和y 轴y =sin x 上，曲线与直线⎥2⎣2⎦
所产生的放置体的体积。
参考答案：
绕x 轴所产生的体积为
21-cos 2x πV x =π⎰2(sinx ) dx =π⎰2dx = 00242ππ
绕y 轴所产生的体积为：
V y =π⎰() 2dy -π⎰(arcsiny ) 2dy 020
1⎡⎤11π212=π⋅y -π⎢(arcsiny ) ⋅y -⎰y ⋅2arcsin y ⋅dy ⎥00240⎢⎥-y ⎣⎦
⎡π2⎤π3π31arcsin y 1π3
2=-π⎢-⎰d -y ⎥=--2π⎰arcsin yd -y 2 0024444⎢⎥-y ⎣⎦
1121=-2π⋅arcsin y ⋅-y 0+2π⎰-y 2⋅dy 02-y
=2π
四、证明题（每小题5分，共10分）
1、设a 0, a 1, a 2, a n 是满足a 0+1π1a a 1a 2++ +n =0的实数。 23n +1
2n 证明多项式f (x ) =a 0+a 1x +a 2x + a n x 在（0，1）内至少有一个零点
参考答案：
令F (x ) =a 0x +a a 12x + +n x n +1 2n +1
显然F （x ）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，
且F （0）=0，F (1) =a 0+a a 1a 2++ +n =0 23n +1
由罗尔定理得，在（0，1）内至少存在一点ξ，使F '(ξ) =0，
即a 0+a 1ξ+ +a n ξn =0
从而f (x ) =a 0+a 1x +a 2x 2+ a n x n 在（0，1）内至少有一个零点
2、证明方程x=asinx+b，且a>0,b>0至少有一个正根，且不超过a+b
参考答案：（写出辅助函数1分，证明过程4分）
令f(x)=x-asinx-b
显然f(x)是一个初等函数，所以在[0，a+b]上连续
又f(x)在端点处的函数值有f(0)=-b
且f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b
=a-asin(a+b)
=a[1-sin(a+b)]>=0
若f(a+b)=0,则a+b为方程的根
若f(a+b)>0，由零点存在定理可知，在（0，a+b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0 此即说明方程x=asinx+b至少有一个不超过a+b的正根
3、 证明方程x +x -1=0有且仅有一个小于1的正实根.
参考答案：
（一） 先证存在性 5
设f (x ) =x 5+x -1，则f (x ) 在[0,1]连续,
且f (0)=-1, f (1)=1，由零点定理
∃x 0∈(0,1),使f (x 0) =0，即为方程的小于1的正实根
（二） 再证唯一性
假设另有x 1∈(0,1),x 1≠x 0, 使f (x 1) =0.
因为f (x ) 在x 0, x 1之间满足罗尔定理的条件,
所以至少存在一个ξ(在x 0, x 1之间) ，使得f '(ξ) =0.
但f '(x ) =5x 4+1>0, (x ∈(0,1))，这与f '(ξ) =0矛盾，假设不成立
综上，方程x 5-5x +1=0有且仅有一个小于1的正实根.
4、 证明当0
参考答案：（写出辅助函数并说明满足拉格朗日定理条件2分，余下步骤3分）
令f (x ) =arctan x x ∈[a , b ]
显然, f (x ) 满足条件：(1)在闭区间[a , b ]上连续; (2)在开区间(a , b ) 内可导,
1''且f (x ) =(arctanx ) =1+x 2
于是由拉格朗日中值定理，可得 arctan b -arctan a =1⋅(b -a ) (a
因为 b -a b -a b -a b -a b -a
复习题
一、
单项选择题：
1、f (x ) =
1
的定义域是（ D ）
lg x -5
A 、(-∞, 5) (5, +∞) B 、(-∞, 6) (6, +∞)
C 、(-∞, 4) (4, +∞) D 、(-∞, 4) (4, 5) (5, 6) (6, +∞)
2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x2) 的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、[-2, 2] D 、[-2, -1] [1, 2] 3、函数y =lg(x 2+1+x ) +lg(x 2+1-x ) ( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x2+1-x2)=lg1=0 4、函数f (x ) =--x 2(0≤x ≤1) 的反函数f A 、-x 2 B 、--x 2
C 、-x 2(-1≤x ≤0) D 、--x 2(-1≤x ≤0) 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、f (n ) =(-1)
n +1
-1
(x ) =（ C ）
⎧1
⎪n +1, n 为奇数n
B 、f (n ) =⎨
1n +1⎪-1, n 为偶数⎩n
⎧1+2n ⎧1
, n 为奇数⎪⎪n , n 为奇数⎪2n
C 、f (n ) =⎨ D 、f (n ) =⎨ n
11-2⎪⎪, n 为偶数, n 为偶数
⎪⎩n +1⎩2n
解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设y n =0. 11 1，则当n →∞ 时，该数列（ C ）
n 个1
1
D 、发散 9
11111+2+ +n =(1-n ) 解：y n =0. 11 1=
101091010
A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于
7、“f(x)在点x=x0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ）
A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件
8、下列极限存在的是（ A ） A 、
lim x (x +1) 1
B 、 lim x 2
x →∞x x →∞2-1
1
x
C 、lim e D 、lim
x →0
x →+∞
x 2+1
x
解：A 中原式=lim (1+
x →∞
1
) =1 x
x 2+2x -sin x
9、lim =（ A ） 2x →∞2x +sin x
A 、
1
B 、2 C 、0 D 、不存在 2
解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得
sin(x 2-1)
=（ B ） 10、lim
x →1x -1
A 、1 B 、2 C 、
1
D 、0 2
sin(x 2-1)
=2 解：原式=lim (x +1) ⋅
x →1x 2-1
11、下列极限中结果等于e 的是（ B ）
sin x sin x sin x sin x
) A 、lim (1+) B 、lim (1+
x →∞x →0x x sin x
) C 、lim (1-
x →∞x
-sin x
x
x x
sin x
D 、lim (1+)
x →0x
sin x
x
解：A 和D 的极限为2， C 的极限为1 12、函数y =
1
的间断点有（ C ）个 ln |x |
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 解：间数点为无定义的点，为-1、0、1
13、下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（ B ） A 、f (x ) =1+
1x
11
B 、f (x ) =sin x x x
⎧1
⎪x
C 、f 9x ) =e D 、f (x ) =⎨e , x
x ⎪⎩e , x ≥0
解：A 中极限为无穷大，所以为第二类间断点
B 中极限为1，所以为可去间断点
C 中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点 D 中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点 14、下列结论错误的是（ A ）
A 、如果函数f(x)在点x=x0处连续，则f(x)在点x=x0处可导 B 、如果函数f(x)在点x=x0处不连续，则f(x)在点x=x0处不可导 C 、如果函数f(x)在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处连续
D 、如果函数f(x)在点x=x0处不可导，则f(x)在点x=x0处也可能连续 15、设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f ‟(0)=( A ) A 、6 B 、3 C 、2 D 、0
f (a ) -f (a -∆x )
=（ B ）
∆x →0∆x
A 、sin a B 、-sin a C 、cos a D 、-cos a
f (a ) -f (a -∆x )
=f '(a ) 解：因为原式=lim
∆x →0-∆x
16、设f(x)=cosx，则lim
17、y =cos 22x ，则dy =（ D ）
A 、(cos22x ) '(2x ) 'dx B 、(cos22x ) 'd cos 2x
C 、-2cos 2x sin 2xdx D 、2cos 2xd cos 2x
18、f(x)在点x=x0处可微，是f(x)在点x=x0处连续的（ C ） A 、充分且必要条件 B 、必要非充分条件
C 、充分非必要条件 D 、既非充分也非必要条件 19、设y =x +e
n n
-2x
，则y
(n )
(0) =（ A ）
n -1
A 、n ! +(-2) B 、n! C 、n ! +(-2)
D 、n!-2
20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ） A 、y=x2-5x+6 [2，3] B 、y =
1(x -1)
2
[0，2]
⎧x +1, x
C 、y =xe [0，1] D 、y =⎨ [0，5]
1, x ≥5⎩
-x
21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（ B ）
A 、lim
tan 5x sin x sin x
B 、lim C 、lim D 、lim πx →∞x →0x →0x x sin x x →sin 3x 2
x
x
x 2sin
1
22、设f (x ) =2+3-2，则当x 趋于0时（ B ）
A 、f(x)与x 是等价无穷小量 B 、f(x)与x 是同阶非等价无穷小量 C 、f(x)是比x 较高阶的无穷小是 D 、f(x)是比x 较低阶的无穷小量
解：利用洛必达法则
lim f (x ) 2x +3x -2x 2ln 2+3x x →0x =lim ln 3x →0x 0lim x →01
=ln 2+ln 3≠1 23、函数f (x ) =e x +e -x 在区间（-1，1）内（ D ） A 、单调增加 B 、单调减少 C 、不增不减 D 、有增有减 24、函数y =
x
1-x 2
在（-1，1）内（ A ） A 、单调增加 B 、单调减少 C 、有极大值 D 、有极小值 25、函数y=f(x)在x=x0处取得极大值，则必有（ D ） A 、f ‟(x0)=0 B 、f ”(x0)
C 、f „(x0)=0且f “(x0)
26、f „(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（ B ） A 、必要充分条件 B 、充分非必要条件
C 、必要非充分条件 D 、既非必要也非充分条件 27、函数y=x3+12x+1在定义域内（ A ）
A 、单调增加 B 、单调减少 C 、图形上凹 D 、图形下凹
28、设函数f(x)在开区间（a ，b ）内有f „(x)
A 、有4个极值点 B 、有3个拐点 C 、有2个极值点 D 、有1个拐点 30、若
⎰f (x ) dx =x
2
e 2x +C ，则f(x)=（ D ）
A 、2x e 2z
B 、4xe 2z
C 、2x 2
e 2x
D 、2xe 2x
(1+x )
31、已知y '=2x ，且x=1时y=2，则y=( C ) A 、x 2 B 、x 2+C C 、x 2+1 D 、x 2+2 32、⎰
d arcsin
x =（ B ）
A 、arcsin x B 、arcsin x +C C 、x D 、x +C 33、设f '(x ) 存在，则
[⎰df (x ) ]'
=（ B ）
A 、f(x) B 、f '(x ) C 、f(x)+C D 、f '(x ) +C 34、若
⎰f (x ) dx =x
2
+C ，则⎰xf (1-x 2) dx =（ D ）
A 、2(1-x 2) 2
+C B 、-2(1-x 2) 2
+C C 、
1(1-x 2) 2+C D 、-1
(1-x 2) 222
+C ）
解：xf (1-x ) dx =-35、设
⎰
2
1122
f (1-x ) d (1-x ) =-(1-x 2) 2+C ⎰22
⎰f (x ) dx =sin x +C ，则⎰
f (arcsinx ) -x
2
dx =（ D ）
A 、arcsinx+C B 、sin -x 2+C C 、解：原式=
1
(arcsinx ) 2+C D 、x+C 2
x ) +c =x +C
⎰f (arcsinx ) d arcsin x =sin(arcsin
f '(lnx )
⎰x =（ C ）
11
A 、-+C B 、-ln x +C C 、+C D 、lnx+C
x x
1-ln x
+C =+C 解：原式=⎰f '(lnx ) d ln x =f (lnx ) +C =e
x
36、设f (x ) =e -x ，则
37、设xf (x ) dx =arcsin x +C ，则
⎰⎰
1
dx =（ B ） f (x )
31(1-x 2) 3+C B 、-(1-x 2) 3+C 43322222
C 、(1-x ) +C D 、(1-x ) +C
43
A 、-
解：对xf (x ) dx =arcsin x +C 两端关于x 求导得
⎰
xf (x ) =
1-x
2
，即f (x ) =
1x -x
2
，
所以
⎰
111
dx =⎰x -x 2dx =-⎰-x 2d (1-x 2) =-(1-x 2) 2+C f (x ) 23
38、若sinx 是f(x)的一个原函数，则x f '(x ) dx =（ A ） A 、xcosx-sinx+C B 、xsinx+cosx+C
C 、xcosx+sinx+C D 、xsinx-cosx+C
解：由sinx 为f(x)的一个原函数知f(x)=cosx，则使用分部积分公式得
x
39、设f '(e ) =1+x ，则f(x)=（ B ）
⎰
x 2
+C D 、xlnx-x+C A 、1+lnx+C B 、xlnx+C C 、x +2
40、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（ A ） A 、
5
⎰
141xdx x 3dx xdx
B 、⎰ D 、1 dx C 、⎰30-12x ln x x 2+1e -x (x 2-5) 2
解：选项A 中被积函数在[0，5]上连续，选项B 、C 、D 中被积函数均不能保证在闭区间上连续 41、
⎰
π2
-π2
|sin x |dx ≠（ A ）
A 、0 B 、242、使积分
⎰
π
2
|sin x |dx C 、2⎰π(-sin x ) dx D 、2⎰2sin xdx
-2
π
⎰
2
kx (1+x 2) -2dx =32的常数k=（ C ）
A 、40 B 、-40 C 、80 D 、-80 解：原式=
22k 2k 12-22
(1+x ) d (1+x ) =(-) =k =32 2⎰00221+x 5
⎧2x +1, -1≤x
43、设f (x ) =⎨，则
-x , 0≤x ≤1⎩
A 、解
⎰
1
-1
f (x ) dx =（ B ）
11151115
+ B 、+ C 、- D 、- 2ln 232ln 232ln 232ln 23
：
1
31021x 15
-x dx =(2+x ) -(1-x ) =+
-1302ln 23ln 2
⎰
1
-1
f (x ) dx =⎰(2+1) dx +⎰
-1
x 2
44、y =
⎰
x
(t -1) 2(t +2) dt ，则
dy
=（ B ） dx x =0
A 、-2 B 、2 C 、-1 D 、1 解：dy/dx=(x+1)2(x+2)
45、下列广义积分收敛的是（ B ） A 、
1dx 1dx 1dx dx
B 、 C 、 D 、⎰0x ⎰0x 3 ⎰0x ⎰0x x 1
解：四个选项均属于二、填空题 1、e
⎰
1
dx
，该广义积分当p
⎰
x +e x
dx =（ ）
解：原式=e ⋅e dx =e de =e +C 2、已知一函数的导数为f (x ) =
⎰
x
e x
⎰
e x
x
e x
1-x 2
，且当x=1时，函数值为
3
π， 2
则此函数F(x)=( arcsin x +π )
F '(x ) =f (x ) ∴F (x ) =⎰
1解：
-x
2
=arcsin x +C
F (1) =arcsin 1+C =3
2
π, ∴C =π
3、曲线y =e -x 2
的上凸区间是（ （-
22
2,
2
） ） 解：y '=-2xe
-x 2
, y ''=2(2x 2-1) e -x 2
, ∴x =±
22
π
4、
⎰
(x 2+sin 2x ) cos 3xdx =（π
-π 8
） π
x 3cos 2
为奇函数，∴⎰2-
πx 3cos 2xdx =0
解：
2
ππ
1π
⎰2
2121-cos 4-πsin 2x cos 2xdx =22sin 2xdx =x 2⎰02dx =π2⎰048
5、若f(x)的一个原函数是sinx ，则
⎰f ''(x ) dx =（ -sinx+C ）
解： f (x ) =(sinx ) '=cos x , f '(x ) =-sin x , f ''(x ) =-cos x 6、设f (x ) =x ln(x +
x 2+a 2) -x 2+a 2，其中a ≠0，则f ''(0) =（
1
a
f '(x ) =ln(x +x 2+a 2) +
x x +x 2+a 2
(1+
12⋅2x 12x x 2+a 2) -2⋅x 2+a 2=ln(x +x 2+a 2)
解：f ''(x ) =11x +x 2+a 2(1+12⋅2x
x 2+a 2) =
x 2+a 2
f ''(0) =
1
a 2
27、曲线
⎰
x =cos t +cos t y =1+sin t
上对应于t =
π
4
的点外的法线斜率为（ 1+2 8、设y =f (2x 2
) ，而f '(x ) =tan x ，则dy x =
=（ 2 ）
8
解：
dy
=f '(2x 2) ⋅(2x 2dx
) '=4x tan(2x 2) 9、lim 12n n →∞(n 2
+1+n +2 +n +n
=（ 1
2+2) 2 ） ）
）
10、设f (x ) =lim
(n -1) x
，则f(x)的间断点为x=（ 0 ）
n →∞nx 2+1
解：x 不等于0时，f (x ) =lim
n →∞
x n 21x +n -1n -1
=
1
x
X=0时，f(x)=f(0)=0,显然x 不等于0时，f(x)=1/x 连续，又lim f (x ) =∞≠f (0)
x →0
三、计算题
x 2
+1-+x 2
1、求极限lim 2 2x →0x sin x
参考答案：
x 21114
+1-[1+x 2-x 4+o (x 4)]x -o (x 4)
1=lim =原式=lim 44x →0x →08x x
2、求极限
lim
x →0
+x 2-1-x (e x -1)
x
(3-1) ln(1+x )
参考答案：
利用等价无穷小：e x -1~x , a x -1~x ln a , ln(1+x ) ~x , (1+x ) α-1~αx 原式=
12⎛⎫
x ⎪2x 2x ⎛⎫+x -1-x (e -1) 1 +x -1x (e -1) ⎪1 x ⨯x 3-lim ⎪=-2lim =lim -lim =lim 22x →0x →0x →0x →0x 2⎪⎪ln 3 x →0x 2ln 3 3ln 3(ln3) ⋅x 2x x ⎝⎭ ⎪⎝⎭
⎧x =a (t -sin t ) d 2y
3、设⎨，求 2
y =a (1-cos t ) dx ⎩
参考答案：
dy y t 'a sin t
==
'dx x t a (1-cos t )
dy
)
d 2y dx =d ⎛dy ⎫⋅dt = ⎪
dx dt ⎝dx ⎭dx dx 2
cos t (1-cos t ) -sin t ⋅sin t 1cos t -1-1=⋅==
a (1-cos t ) a (1-cos t ) 3a (1-cos t ) 2(1-cos t ) 2
d (
d 2y
4、求由方程y =1+xe 所确定隐函数的二阶导数 2
dx
y
参考答案：
把原方程两边对自变量x 求导，得
dy dy =e y +xe y ⋅ dx dx
dy e y e y
解得 ==
dx 1-xe y 2-y
d 2y d e y
=() =则2
dx 2-y dx
e y
dy dy
⋅(2-y ) -e y (-) 2y dx dx =(3-y ) ⋅e
(2-y ) 2(2-y ) 3
-2
5、近似计算数e 的值，使误差不超过10 参考答案：
e x ≈1+x +
121x + +x n 2! n !
11e θ
令x=1⇒e =1+1++ ++
2! n ! (n +1)!
要使误差R n
-3
3
(n +1)!
e ≈1+1+
11
+ +=2. 5+0. 1667+0. 0417+0. 0083=2. 7167≈2. 72 2! 5!
3
6、讨论函数f (x ) =x (1-x ) 的凸性与相应曲线拐点 参考答案：
函数的定义为R
f '(x ) =3x 2-4x 3
f ''(x ) =6x -12x 2=6x (1-2x )
由f ''(x ) =0可得x=0,1/2 列表如下：
所以凹区间为(-∞, 0) ⋃(, +∞) 凸区间为(0, )
1212
11
) 21622
7、 求函数y =x +的单调区间、极值点
x
拐点为（0，0）和(, 参考答案：
定义域为(-∞,0) ⋃(0,+∞) ．
2x 3-1
由y '=2x -2=22，令y '=0得驻点x =1，列表给出单调区间及极值点：
x x
所以，函数的单调递减区间为(-∞,0) ，(0,1]，单调递增区间为[1,+∞) ，极小值点为(1,3) 8、 求由y =参考答案：
y =x , x =2所围图形的面积
A =
x )d x +0
121
(x -x ) =
7-3⎧1+x 2
9、设f (x ) =⎨-x
⎩e
x ≤0x >0
，求
⎰
3
1
f (x -2)d x ．
参考答案：
方法一：先作变量代换
⎰
3
1
f (x -2)d x =
13
3
0-1
x -2=t
⎰
10
1
-1
f (t )d t =⎰(1+t )d t +⎰e -t d t
-1
2
1
=[t +t ]
-e -t
=
4-17
-e +1=-e -1． 33
⎧1+(x -2) 2
方法二：先给出f (x -2) =⎨-(x -2)
⎩e
x ≤2x >2
，于是
⎰
3
1
f (x -2)d x =⎰[1+(x -2) ]dx +⎰e -(x -2) d x =
1
2
2
2
3
7-1-e 3
10、求曲线y =(x +1) -x 在A （-1，0），B （2，3），C （3，0）各点处的切线方程 参考答案：
-11x +1 y '=-x +(x +1) ⋅(3-x ) 3⋅(-1) =3-x - 33(3-x ) 22
在A （-1，0）点处，k =y '(-1) =4
所以在A 点处的切线方程为y =4(x +1)
而在B （2，3）点处，k =y '(2) =0
所以在B 点处的切线方程为y-3=0
又在C （3，0）点处，k =y '(3) 不存在，即切线与x 轴垂直
所以C 点处的切线方程为x=3
11、在区间⎢0, π⎡π⎤x =, y =0所围成的图形分别绕x 轴和y 轴y =sin x 上，曲线与直线⎥2⎣2⎦
所产生的放置体的体积。
参考答案：
绕x 轴所产生的体积为
21-cos 2x πV x =π⎰2(sinx ) dx =π⎰2dx = 00242ππ
绕y 轴所产生的体积为：
V y =π⎰() 2dy -π⎰(arcsiny ) 2dy 020
1⎡⎤11π212=π⋅y -π⎢(arcsiny ) ⋅y -⎰y ⋅2arcsin y ⋅dy ⎥00240⎢⎥-y ⎣⎦
⎡π2⎤π3π31arcsin y 1π3
2=-π⎢-⎰d -y ⎥=--2π⎰arcsin yd -y 2 0024444⎢⎥-y ⎣⎦
1121=-2π⋅arcsin y ⋅-y 0+2π⎰-y 2⋅dy 02-y
=2π
四、证明题（每小题5分，共10分）
1、设a 0, a 1, a 2, a n 是满足a 0+1π1a a 1a 2++ +n =0的实数。 23n +1
2n 证明多项式f (x ) =a 0+a 1x +a 2x + a n x 在（0，1）内至少有一个零点
参考答案：
令F (x ) =a 0x +a a 12x + +n x n +1 2n +1
显然F （x ）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，
且F （0）=0，F (1) =a 0+a a 1a 2++ +n =0 23n +1
由罗尔定理得，在（0，1）内至少存在一点ξ，使F '(ξ) =0，
即a 0+a 1ξ+ +a n ξn =0
从而f (x ) =a 0+a 1x +a 2x 2+ a n x n 在（0，1）内至少有一个零点
2、证明方程x=asinx+b，且a>0,b>0至少有一个正根，且不超过a+b
参考答案：（写出辅助函数1分，证明过程4分）
令f(x)=x-asinx-b
显然f(x)是一个初等函数，所以在[0，a+b]上连续
又f(x)在端点处的函数值有f(0)=-b
且f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b
=a-asin(a+b)
=a[1-sin(a+b)]>=0
若f(a+b)=0,则a+b为方程的根
若f(a+b)>0，由零点存在定理可知，在（0，a+b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0 此即说明方程x=asinx+b至少有一个不超过a+b的正根
3、 证明方程x +x -1=0有且仅有一个小于1的正实根.
参考答案：
（一） 先证存在性 5
设f (x ) =x 5+x -1，则f (x ) 在[0,1]连续,
且f (0)=-1, f (1)=1，由零点定理
∃x 0∈(0,1),使f (x 0) =0，即为方程的小于1的正实根
（二） 再证唯一性
假设另有x 1∈(0,1),x 1≠x 0, 使f (x 1) =0.
因为f (x ) 在x 0, x 1之间满足罗尔定理的条件,
所以至少存在一个ξ(在x 0, x 1之间) ，使得f '(ξ) =0.
但f '(x ) =5x 4+1>0, (x ∈(0,1))，这与f '(ξ) =0矛盾，假设不成立
综上，方程x 5-5x +1=0有且仅有一个小于1的正实根.
4、 证明当0
参考答案：（写出辅助函数并说明满足拉格朗日定理条件2分，余下步骤3分）
令f (x ) =arctan x x ∈[a , b ]
显然, f (x ) 满足条件：(1)在闭区间[a , b ]上连续; (2)在开区间(a , b ) 内可导,
1''且f (x ) =(arctanx ) =1+x 2
于是由拉格朗日中值定理，可得 arctan b -arctan a =1⋅(b -a ) (a
因为 b -a b -a b -a b -a b -a