动能的变化和机械功
（一）功
1、公式：W=Fscosα；
2、文字表述：力F 对物体所做的功等于力的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦这三者的乘积。
S 是受力物体的位移；α是力的方向和位移方向的夹角。
注意：做功两个必不可缺少的因素：力和在力的方向上的位移。功是过程量，求功时一定要明确求的是哪一个力的功。
3、对“功”的理解
（1）功是过程量：功是表示力对空间的积累作用的物理量，说到功，必须明确是哪个力对哪个物体、在哪一个过程中做的功。
（2）功是标量：功的正、负含义不表示方向，也不表示大小。功的正、负表示动力对物体做功还是阻力对物体做功，或者说功的正、负表示是力对物体做了功还是物体克服这个力做了功。
（3）功是相对量：由于位移大小s 与参考系选择有关，因而功的大小也与参考系选择有关，通常选地面为参考系，S 是相对于地面的位移。
（4）功的大小只取决于力和力的方向上的位移，与其他因素无关。
（5）做功意义的理解问题：做功意味着能量的转移与转化，做多少功，相应就有多少能量发生转移或转化。
4、功的计算方法
（1）一个恒力F 对物体做功，有两种处理方法：
①W 等于力F 乘以物体在力F 方向上的分位移Scos α，W=F(Scosα) ；
②W 等于力F 在位移S 方向上的分力Fcos α乘以物体的位移S ，W=(Fcosα) S 。
（2）多个力做的总功
一是先用平行四边形定则求出合外力，再根据W ＝F 合Scos α计算功。α是合外力与位移S 间的夹角。 二是先分别求各个外力的功：W 1＝F 1Scos α1，W 2=F2cos α2, ……再求各个外力的功的代数和。
（3）变力做的功
①W ＝FScos α只适合计算恒力的功。求变力的功可以通过将变力转化为恒力，再用W ＝FScos α计算。 ②求变力功
W=FScosα仅适应于恒力做功情况，而对于变力做功来说，力F 的大小随时间不断变化，力和位移的夹角也不断变化，就不能用上式计算功。在这种情况下，我们往往采取微分思想，把整个运动分成很多小段，每小段都足够小，可认为是直线；物体通过每小段的时间足够短，在这样短的时间内，力的变化很小，可以认为是恒定的。这样，对每小段来说，就可以用公式W=FScosα计算功，把物体通过每一小段所做的功加在一起，就等于变力在整个过程中所做的功，其功等于力和路程(不是位移) 的积。
③根据功能关系求变力的功。
④根据功率恒定求变力的功，即W ＝Pt 。
5、正功、负功
(1)当0°≤α＜90°时，cosα为正值， W 为正值，称为力对物体做正功，或称为力对物体做功。
当α=90°时，cosα=0，W=0，力对物体做零功，即力对物体不做功。
当90°＜α≤180°时，cosα为负值， W 为负值，称为力对物体做负功，或说物体克服这个力做功。
（2）功是描述力在空间位移上累积作用的物理量。功是能量转化的量度，功是标量。
（3）正功的意义是：力对物体做功向物体提供能量，即受力物体获得了能量。
负功的意义是：物体克服外力做功，向外输出能量(以消耗自身的能量为代价) ，即负功表示物体失去了能量。
6、功率
（1）做功快慢的描述问题：做功快慢程度引入功率来描述，其定义式为：W=P/t
（2）瞬时功率P=Fv 平均功率W=P/t
（二）动能和动能定理
1、动能概念的理解：物体由于运动而具有的能叫动能，其表达式为：
动能是用以描述机械运动的状态量。是从机械运动与其它运动的关系出发量化机械运动的状态，动能确定的物体决定着它克服一定的阻力还能运动多远。
2、动能定理
（1）动能定理：外力所做的总功等物体动能的变化量。动能定理实际上是在牛顿第二定律的基础上对空间累积而得：在牛顿第二定律 F=
两端同乘以合外力方向上的位移，即可得
和动量定理相似，动能定理也建立起过程量（功）与状态量（动能）变化间的关系，利用这一关系，也可以通过比较状态达到了解过程之目的。
（2）动能定理的表述
合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。表达式为W=ΔEK 动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。
动能定理建立起过程量(功) 和状态量（动能）间的联系。这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了可供选择的途径。注意功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。
（3）应用动能定理解题的步骤
①确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。
②对研究对象进行受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。
③写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。
④写出物体的初、末动能。
⑤按照动能定理列式求解。
（三）变力做功的求解方法
对于变力做功一般不能依定义式W=FScosθ直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解.
1、平均力法：
如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力等效代入
公式W=S cosθ求解.
2、图象法：
如果参与做功的变力，方向与位移方向始终一致而大小随时变化，我们可作出该力随位
移变化的图象. 如图所示，那么图线下方所围成的面积，即为变力做的功.
3、动能定理法：
在某些问题中，由于力F 大小或方向的变化，导致无法直接由W=FScosθ求变力F 做功的值. 此时，我们可由其做功的结果——动能的变化来求变力F 的功：W=ΔEk.
4、功能关系法：
能是物体做功的本领，功是能量转化的量度. 由此，对于大小、方向都随时变化的变力F 所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解.
例1、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比. 在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm. 问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
解法一：（平均力法）
铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=－f=kx,可用平均阻力来代替
.
如图所示，第一次击入深度为x 1, 平均阻力=kx 1, 做功为W 1=x 1=kx 12.
第二次击入深度为x 1到x 2, 平均阻力=k （x 2＋x 1）, 位移为x 2－x 1,
做功为W 2=（x 2－x 1）
= k （x 22－x 12）.
x 1=1.41cm, 两次做功相等：W 1=W2. 解后有：x 2=
Δx=x2－x 1=0.41cm.
解法二：（图象法）
因为阻力F=kx,以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出F －x 图象（如
图所示）. 曲线上面积的值等于F 对铁钉做的功.
由于两次做功相等，故有：
S 1=S2（面积），即：kx 12=k （x 2＋x 1）（x 2－x 1） 所以Δx=x2－x 1=0.41 cm
注意：（1）不能据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代. （2）不能类比迁移，采用类似据匀变速直线速度－时间图象求位移的方式，根据F －x 图象求功.
（四）功率
1、功率是做功的快慢；或单位时间内完成的功的多少。
2、定义：用物体所做的功W 与完成这些功所用的时间t 的比值叫功率。即：P=W/t
3、单位：瓦特（W ），千瓦（kW ）1W ＝1J/s 1kW = 1000W 1马力＝735W （1马力即空调的1匹）
4、功率是标量。
功率的大小等于单位时间内力所做的功；功率是描述做功过程中能量转化快慢的物理量。
（五）额定功率与实际功率
1、额定功率：机械允许长时间正常工作时的最大功率：
2、实际功率：机械实际工作时的功率
3、实际功率可以大于、等于、小于额定功率。
（六）平均功率与瞬时率
1、P=W/t，P 代表该力在时间t 内做功的平均功率。
2、瞬时功率
①式中Ｆ为对物体做功的力，若为发动机，则Ｆ指牵引力；②式中v 为物体的运动速度；③式中为Ｆ与v 的夹角；④若式中的v 为平均速度，则Ｐ为平均功率；若式中的v 为瞬时速度，则Ｐ为瞬时功率
（七）对功率的认识
1、功率是描述做功快慢的物理量
由P=W/t可知，功率的大小只与其“比值’有直接联系，与做功多少和时间长短无直接联系．比较功率的大小，要比较功与完成这些功所用时间之“比值”，“比值”大，功率就大，做功就快，“比值”小，功率就小，做功就慢．
物体做功功率是描述物体做功的一个状态；做功的多少是一个过程，所以也不能说功率大，做功就多．物体做功多少是做功物体在做功过程中的一个积累，随着做功过程的积累时间越长，这个物体做功就越多，W=Pt，t 就是一个积累的意思．即P 在时间t 上的积累就是物体做功的多少．
2、对力的功率的认识
由P=W／t 、W=Fs cosα可得，P=Fvcosα，此式中α为力F 与速度v 之间的夹角．把vcosα作整体来看是物体在力的方向上的分速度，即：作用在物体上的力与物体在力的方向上的分速度的乘积叫做力的功率．
对一个动力机械，当功率P 一定时，由P=Fvcosα可知：降低运动速度可以增大牵引力；反过来，若阻力很小，可以加快运动速度．这一点在各种机械设备中有着广泛的应用．
任何机械都有一个标牌，标牌上所注功率为这部机械的额定功率．它是提供人们对机械进行选择、配置的一个重要参数，它反映了机械的做功能力或机械所能承担的“任务”．机械运行过程中的功率是实际功率．机械的实际功率可以小于其额定功率(称机械没吃饱) ，可以等于其额定功率(称满负荷运行) ，还可以在短时间内略大于其额定功率(称超负荷运行) ．机械不能长时间处于超负荷运行，那样会损坏机械设备，缩短其使用寿命．
（八）汽车的两种加速问题
当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的
基本公式都是P=Fv和F －f = ma
①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F －f=ma知，由于P 恒定，随着v 的
增大，F 必将减小，a 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到
F=f，a=0，这时v 达到最大值。可见恒定功率的加速一定不是匀
加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因
为F 为变力）。
②恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F －f=ma知，由于F 恒定，所以a
恒定，汽车做匀加速运动，而随着v 的增大，P 也将不断增大，直到P 达到额
定功率Pm
，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为
，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动
了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只
能用W=F·s 计算，不能用W=P·t 计算（因为P 为变功率）。
要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。
例2、质量4t 的机车，发动机的最大输出功率为100kW ，运动阻力恒为2000N ，试求；
（1）当机车由静止开始以0.5m/s2的加速度沿水平轨道做匀加速直线运动的过程中，能达到的最大速度和达到该最大速度所需的时间。（2）若机车保持额定功率不变行驶，能达到的最大速度以及速度为10m/s时机车的加速度。 解析：注意机车匀加速运动所能达到的最大速度V m 和机车在运动形式不加制约时所能达到的最大速度μm 一般是不同的。
（1）机车做匀加速直线运动时，有 F-f=ma P=FVm V m =at
由此可解得 V m =25m/s t=50s
（2）机车行驶时运动形式不加限制而机车输出功率保持额定功不变时则可在大小等于阻力牵引力作用下做匀速直线运动，此时又有F min -f=0 P=Fmin μ
由此又可解得
m P=F' v F-f=ma ' '
动能的变化和机械功
（一）功
1、公式：W=Fscosα；
2、文字表述：力F 对物体所做的功等于力的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦这三者的乘积。
S 是受力物体的位移；α是力的方向和位移方向的夹角。
注意：做功两个必不可缺少的因素：力和在力的方向上的位移。功是过程量，求功时一定要明确求的是哪一个力的功。
3、对“功”的理解
（1）功是过程量：功是表示力对空间的积累作用的物理量，说到功，必须明确是哪个力对哪个物体、在哪一个过程中做的功。
（2）功是标量：功的正、负含义不表示方向，也不表示大小。功的正、负表示动力对物体做功还是阻力对物体做功，或者说功的正、负表示是力对物体做了功还是物体克服这个力做了功。
（3）功是相对量：由于位移大小s 与参考系选择有关，因而功的大小也与参考系选择有关，通常选地面为参考系，S 是相对于地面的位移。
（4）功的大小只取决于力和力的方向上的位移，与其他因素无关。
（5）做功意义的理解问题：做功意味着能量的转移与转化，做多少功，相应就有多少能量发生转移或转化。
4、功的计算方法
（1）一个恒力F 对物体做功，有两种处理方法：
①W 等于力F 乘以物体在力F 方向上的分位移Scos α，W=F(Scosα) ；
②W 等于力F 在位移S 方向上的分力Fcos α乘以物体的位移S ，W=(Fcosα) S 。
（2）多个力做的总功
一是先用平行四边形定则求出合外力，再根据W ＝F 合Scos α计算功。α是合外力与位移S 间的夹角。 二是先分别求各个外力的功：W 1＝F 1Scos α1，W 2=F2cos α2, ……再求各个外力的功的代数和。
（3）变力做的功
①W ＝FScos α只适合计算恒力的功。求变力的功可以通过将变力转化为恒力，再用W ＝FScos α计算。 ②求变力功
W=FScosα仅适应于恒力做功情况，而对于变力做功来说，力F 的大小随时间不断变化，力和位移的夹角也不断变化，就不能用上式计算功。在这种情况下，我们往往采取微分思想，把整个运动分成很多小段，每小段都足够小，可认为是直线；物体通过每小段的时间足够短，在这样短的时间内，力的变化很小，可以认为是恒定的。这样，对每小段来说，就可以用公式W=FScosα计算功，把物体通过每一小段所做的功加在一起，就等于变力在整个过程中所做的功，其功等于力和路程(不是位移) 的积。
③根据功能关系求变力的功。
④根据功率恒定求变力的功，即W ＝Pt 。
5、正功、负功
(1)当0°≤α＜90°时，cosα为正值， W 为正值，称为力对物体做正功，或称为力对物体做功。
当α=90°时，cosα=0，W=0，力对物体做零功，即力对物体不做功。
当90°＜α≤180°时，cosα为负值， W 为负值，称为力对物体做负功，或说物体克服这个力做功。
（2）功是描述力在空间位移上累积作用的物理量。功是能量转化的量度，功是标量。
（3）正功的意义是：力对物体做功向物体提供能量，即受力物体获得了能量。
负功的意义是：物体克服外力做功，向外输出能量(以消耗自身的能量为代价) ，即负功表示物体失去了能量。
6、功率
（1）做功快慢的描述问题：做功快慢程度引入功率来描述，其定义式为：W=P/t
（2）瞬时功率P=Fv 平均功率W=P/t
（二）动能和动能定理
1、动能概念的理解：物体由于运动而具有的能叫动能，其表达式为：
动能是用以描述机械运动的状态量。是从机械运动与其它运动的关系出发量化机械运动的状态，动能确定的物体决定着它克服一定的阻力还能运动多远。
2、动能定理
（1）动能定理：外力所做的总功等物体动能的变化量。动能定理实际上是在牛顿第二定律的基础上对空间累积而得：在牛顿第二定律 F=
两端同乘以合外力方向上的位移，即可得
和动量定理相似，动能定理也建立起过程量（功）与状态量（动能）变化间的关系，利用这一关系，也可以通过比较状态达到了解过程之目的。
（2）动能定理的表述
合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。表达式为W=ΔEK 动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。
动能定理建立起过程量(功) 和状态量（动能）间的联系。这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了可供选择的途径。注意功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。
（3）应用动能定理解题的步骤
①确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。
②对研究对象进行受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。
③写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。
④写出物体的初、末动能。
⑤按照动能定理列式求解。
（三）变力做功的求解方法
对于变力做功一般不能依定义式W=FScosθ直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解.
1、平均力法：
如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力等效代入
公式W=S cosθ求解.
2、图象法：
如果参与做功的变力，方向与位移方向始终一致而大小随时变化，我们可作出该力随位
移变化的图象. 如图所示，那么图线下方所围成的面积，即为变力做的功.
3、动能定理法：
在某些问题中，由于力F 大小或方向的变化，导致无法直接由W=FScosθ求变力F 做功的值. 此时，我们可由其做功的结果——动能的变化来求变力F 的功：W=ΔEk.
4、功能关系法：
能是物体做功的本领，功是能量转化的量度. 由此，对于大小、方向都随时变化的变力F 所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解.
例1、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比. 在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm. 问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
解法一：（平均力法）
铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=－f=kx,可用平均阻力来代替
.
如图所示，第一次击入深度为x 1, 平均阻力=kx 1, 做功为W 1=x 1=kx 12.
第二次击入深度为x 1到x 2, 平均阻力=k （x 2＋x 1）, 位移为x 2－x 1,
做功为W 2=（x 2－x 1）
= k （x 22－x 12）.
x 1=1.41cm, 两次做功相等：W 1=W2. 解后有：x 2=
Δx=x2－x 1=0.41cm.
解法二：（图象法）
因为阻力F=kx,以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出F －x 图象（如
图所示）. 曲线上面积的值等于F 对铁钉做的功.
由于两次做功相等，故有：
S 1=S2（面积），即：kx 12=k （x 2＋x 1）（x 2－x 1） 所以Δx=x2－x 1=0.41 cm
注意：（1）不能据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代. （2）不能类比迁移，采用类似据匀变速直线速度－时间图象求位移的方式，根据F －x 图象求功.
（四）功率
1、功率是做功的快慢；或单位时间内完成的功的多少。
2、定义：用物体所做的功W 与完成这些功所用的时间t 的比值叫功率。即：P=W/t
3、单位：瓦特（W ），千瓦（kW ）1W ＝1J/s 1kW = 1000W 1马力＝735W （1马力即空调的1匹）
4、功率是标量。
功率的大小等于单位时间内力所做的功；功率是描述做功过程中能量转化快慢的物理量。
（五）额定功率与实际功率
1、额定功率：机械允许长时间正常工作时的最大功率：
2、实际功率：机械实际工作时的功率
3、实际功率可以大于、等于、小于额定功率。
（六）平均功率与瞬时率
1、P=W/t，P 代表该力在时间t 内做功的平均功率。
2、瞬时功率
①式中Ｆ为对物体做功的力，若为发动机，则Ｆ指牵引力；②式中v 为物体的运动速度；③式中为Ｆ与v 的夹角；④若式中的v 为平均速度，则Ｐ为平均功率；若式中的v 为瞬时速度，则Ｐ为瞬时功率
（七）对功率的认识
1、功率是描述做功快慢的物理量
由P=W/t可知，功率的大小只与其“比值’有直接联系，与做功多少和时间长短无直接联系．比较功率的大小，要比较功与完成这些功所用时间之“比值”，“比值”大，功率就大，做功就快，“比值”小，功率就小，做功就慢．
物体做功功率是描述物体做功的一个状态；做功的多少是一个过程，所以也不能说功率大，做功就多．物体做功多少是做功物体在做功过程中的一个积累，随着做功过程的积累时间越长，这个物体做功就越多，W=Pt，t 就是一个积累的意思．即P 在时间t 上的积累就是物体做功的多少．
2、对力的功率的认识
由P=W／t 、W=Fs cosα可得，P=Fvcosα，此式中α为力F 与速度v 之间的夹角．把vcosα作整体来看是物体在力的方向上的分速度，即：作用在物体上的力与物体在力的方向上的分速度的乘积叫做力的功率．
对一个动力机械，当功率P 一定时，由P=Fvcosα可知：降低运动速度可以增大牵引力；反过来，若阻力很小，可以加快运动速度．这一点在各种机械设备中有着广泛的应用．
任何机械都有一个标牌，标牌上所注功率为这部机械的额定功率．它是提供人们对机械进行选择、配置的一个重要参数，它反映了机械的做功能力或机械所能承担的“任务”．机械运行过程中的功率是实际功率．机械的实际功率可以小于其额定功率(称机械没吃饱) ，可以等于其额定功率(称满负荷运行) ，还可以在短时间内略大于其额定功率(称超负荷运行) ．机械不能长时间处于超负荷运行，那样会损坏机械设备，缩短其使用寿命．
（八）汽车的两种加速问题
当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的
基本公式都是P=Fv和F －f = ma
①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F －f=ma知，由于P 恒定，随着v 的
增大，F 必将减小，a 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到
F=f，a=0，这时v 达到最大值。可见恒定功率的加速一定不是匀
加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因
为F 为变力）。
②恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F －f=ma知，由于F 恒定，所以a
恒定，汽车做匀加速运动，而随着v 的增大，P 也将不断增大，直到P 达到额
定功率Pm
，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为
，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动
了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只
能用W=F·s 计算，不能用W=P·t 计算（因为P 为变功率）。
要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。
例2、质量4t 的机车，发动机的最大输出功率为100kW ，运动阻力恒为2000N ，试求；
（1）当机车由静止开始以0.5m/s2的加速度沿水平轨道做匀加速直线运动的过程中，能达到的最大速度和达到该最大速度所需的时间。（2）若机车保持额定功率不变行驶，能达到的最大速度以及速度为10m/s时机车的加速度。 解析：注意机车匀加速运动所能达到的最大速度V m 和机车在运动形式不加制约时所能达到的最大速度μm 一般是不同的。
（1）机车做匀加速直线运动时，有 F-f=ma P=FVm V m =at
由此可解得 V m =25m/s t=50s
（2）机车行驶时运动形式不加限制而机车输出功率保持额定功不变时则可在大小等于阻力牵引力作用下做匀速直线运动，此时又有F min -f=0 P=Fmin μ
由此又可解得
m P=F' v F-f=ma ' '