抽象函数解析式的运用（高一数学辅导1）
1. 已知
f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 且
f(x)+g(x)=x 2+x -2, 求f(x),g(x)的表达式.
⎧f (x ) +g (x ) =x 2+x -2, ⎧f (x ) =x 2-2,
解析:由已知, 得⎨解得⎨2
⎩f (x ) -g (x ) =x -x -2, ⎩g (x ) =x ,
∴f (x )=x 2-2,g (x )=x.
2. 已知f(x)和g(x)都是定义在R 上的奇函数, 若F(x)=af(x)+bg(x)+2且F(-2)=5,则F(2)=_________. 解析:F(-2)=af(-2)+bg(-2)+2=-af(2)-
bg(2)+2=5,∴af(2)+bg(2)=-3. ∴F(2)=af(2)+bg(2)+2=-3+2=-1.
3、设函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，若f (x ) 满足f (x +3) =
且f (1) 1, f (2) =2m -3，则m 的取值范围是（ ）
m +1
f (x ) ，
A. M
2
B. m 2, 且m ≠-1 33
C. -1 m 2 D. m 2, 或m -1
33
解析:令x =-1, 则f (-1+3)=f (-1), 即f (2)=-f (1),
f (1)=-f (2)=-
2m -32m -3
. f (1)>1⇒->1⇒m +1m +1
2m -33m -22
+10⇒(m +1) (3m-2) >0⇒m . m +1m +13
1⎤4、若函数f (x ) 的值域是⎡⎢,4⎥，则函数的值域F(x) =
⎣4⎦
f (x ) +
1
是 f (x )
1
解析:令t =f (x ), 则t ∈[, 4],于是, 函数F (x )转化为
4
1
g (t )=t +. 又g (t )在(0,1]上递减, 在[1, 4]上递增, 故最
t
17⎛1⎫17
小值为g (1)=2, 最大值为g (4)=g ⎪=, 值域为[2, ].
44⎝4⎭
5、(2008·重庆) 若定义在R 上的函数f(x)满足:对任意x 1, x 2
∈R 有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)+1,则下列说法一定正确的是( )
A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C. f(x)+1为奇函数 D. f(x)+1为偶函数 解析:令x1=x2=0,得f(0)=2f(0)+1,所以f(0)=-1.所以f(0)=f(x 1)+f(-x 1)+1,即f(-x 1)+1=-f(x 1)-1. 所以f(x)+1为奇函数. 本题的关键是学会用赋值法解题.
22.(12分) 若f (x )是定义在(0,+∞) 上的增函数, 且对一切x, y >0, 6
⎛x ⎫
满足f ⎪=f (x ) -f (y ). ⎝y ⎭
(1)求f (1)的值;
⎛1⎫
⎪
⎛x ⎫
解析:(1)在f ⎪=f (x )-f (y )中, 令x =y =1,
y ⎭⎝
则有f (1)=f (1)-f (1),
∴f (1)=0. (2) f (6)=1,
⎝3⎭
∴f x +3-f ⎛1⎫
() ⎪
7、已知f(x)是定义在(-∞,+∞) 上的不恒为零的函数, 且对
定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性, 并说明理由. 解析:(1)∵f(x)对任意x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf(y),
令x=y=1,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0,令x=y=-1,有
f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1), ∴f(-1)=0.
(2)∵f(x)对任意x,y 都有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入, 得f(-x)=-f(x). ∴函数f(x)是(-∞,+∞) 上的奇函数.
8、函数f(x)对任意x ､y ∈R, 总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,
(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞) 上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
解析:(1)令x=y=0,f(0)=0, 令x=-y,可得f(-x)=-f(x), 设x1､x2∈(-∞,+∞) 且x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) ∵x1>x2,∴x1-x2>0. 又∵x>0时,f(x)
由定义可知f(x)在区间(-∞,+∞) 上为单调递减函数. (2)∵f(x)在区间(-∞,+∞) 上是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上也是减函数. ∴f(-3)最大,f(3)最小.
f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在[-3,3]上最大值为2, 最小值为-2. 9、
12. 已知函数f (x )的定义域为R, 对任意实数m ､n,
11
满足f (2) =2, 且f (m +n )=f (m )+f (n )-1, 当x >-2时, f (x )>0.
1求f ⎛-1⎫的值; () ⎪
2⎭⎝
(2)求证:f (x )在定义域R 上是单调递增函数.
解析：（1）令m=n=0
11⎛1⎫
得f (0)=2f (0)-1, ∴f (0)=1, 又f ⎪=2, 令m =, n =-,
10、（期中） 已知定义在实数集上的函数y =f (x ) 满足条件：
对于任意的x 、y ∈R ，f (x +y ) =f (x ) +f (y ). （1）求证：f (0) =0；
（2）求证f (x ) 是奇函数，并举出一个这样的函数； （3）若当x 0时，f (x ) ＜0.
（ i ）试判断函数f (x ) 在R 上的单调性，并证明之； （ ii ）判断方程│f (x ) │=a 所有可能的解的个数，并
求出对应的a 的范围
11、（报纸—综合测试题）
设f (x ) 是定义在[-1, 1]上的奇函数，且对于任意的
a , b ∈[-1, 1]，当a +b ≠0 时，都有
f (a ) +f (b )
0 a +b
（1）若a b ，比较f (a ) 与f (b ) 的大小。 （2）若f (m -1)
2
1
f (3m -) ，求实数
4
m 的取值范围。
12、已知函数f (x ) =x 2+1，且g (x ) =f [f (x ) ]，
G (x ) =g (x ) -λf (x ) ，试问，是否存在实数，使得G (x ) 在(-∞, -1]
上为减函数，并且在(-1, 0)上为增函数. 解：
.
由题设 当
，
则
当，
则
故
.
时，
，
时，
，
13
14、
15、
16、
17、已知函数f (x ) 在(－1，1) 上有定义，f (1)=－1, 当且仅
2
当0
y
f (x )+f (y )=f (1x ++xy ), 试证明(1)f (x ) 为奇函数；(2)f (x ) 在(－1，1) 上单调递减思路分析：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定
x 2-x 1
1-x 1x 2
的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (
x +y
1+xy
) 可令x =y =0,得
f (0)=0,
令y =－x , 得f (x )+f (－x )=f (
x -x 1-x 2
)=f ∴f (x )=－
f (－x ) ∴f (x ) 为奇函数(2)先证f (x ) 在(0，1) 上单调递减令0
1-x 1x 2
∵00,1－x 1x 2>0，∴
x 2-x 11-x 2x 1
>0,
又(x 2－x 1) －(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)
x 2x 1,
∴0
x 2-x 11-x 2x 1
x 2-x 11-x 1x 2
)
∴f (x ) 在(0，1) 上为减函数，又f (x ) 为奇函数且f (0)=0
∴f (x ) 在(－1，1) 上为减函数
抽象函数解析式的运用（高一数学辅导1）
1. 已知
f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 且
f(x)+g(x)=x 2+x -2, 求f(x),g(x)的表达式.
⎧f (x ) +g (x ) =x 2+x -2, ⎧f (x ) =x 2-2,
解析:由已知, 得⎨解得⎨2
⎩f (x ) -g (x ) =x -x -2, ⎩g (x ) =x ,
∴f (x )=x 2-2,g (x )=x.
2. 已知f(x)和g(x)都是定义在R 上的奇函数, 若F(x)=af(x)+bg(x)+2且F(-2)=5,则F(2)=_________. 解析:F(-2)=af(-2)+bg(-2)+2=-af(2)-
bg(2)+2=5,∴af(2)+bg(2)=-3. ∴F(2)=af(2)+bg(2)+2=-3+2=-1.
3、设函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，若f (x ) 满足f (x +3) =
且f (1) 1, f (2) =2m -3，则m 的取值范围是（ ）
m +1
f (x ) ，
A. M
2
B. m 2, 且m ≠-1 33
C. -1 m 2 D. m 2, 或m -1
33
解析:令x =-1, 则f (-1+3)=f (-1), 即f (2)=-f (1),
f (1)=-f (2)=-
2m -32m -3
. f (1)>1⇒->1⇒m +1m +1
2m -33m -22
+10⇒(m +1) (3m-2) >0⇒m . m +1m +13
1⎤4、若函数f (x ) 的值域是⎡⎢,4⎥，则函数的值域F(x) =
⎣4⎦
f (x ) +
1
是 f (x )
1
解析:令t =f (x ), 则t ∈[, 4],于是, 函数F (x )转化为
4
1
g (t )=t +. 又g (t )在(0,1]上递减, 在[1, 4]上递增, 故最
t
17⎛1⎫17
小值为g (1)=2, 最大值为g (4)=g ⎪=, 值域为[2, ].
44⎝4⎭
5、(2008·重庆) 若定义在R 上的函数f(x)满足:对任意x 1, x 2
∈R 有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)+1,则下列说法一定正确的是( )
A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C. f(x)+1为奇函数 D. f(x)+1为偶函数 解析:令x1=x2=0,得f(0)=2f(0)+1,所以f(0)=-1.所以f(0)=f(x 1)+f(-x 1)+1,即f(-x 1)+1=-f(x 1)-1. 所以f(x)+1为奇函数. 本题的关键是学会用赋值法解题.
22.(12分) 若f (x )是定义在(0,+∞) 上的增函数, 且对一切x, y >0, 6
⎛x ⎫
满足f ⎪=f (x ) -f (y ). ⎝y ⎭
(1)求f (1)的值;
⎛1⎫
⎪
⎛x ⎫
解析:(1)在f ⎪=f (x )-f (y )中, 令x =y =1,
y ⎭⎝
则有f (1)=f (1)-f (1),
∴f (1)=0. (2) f (6)=1,
⎝3⎭
∴f x +3-f ⎛1⎫
() ⎪
7、已知f(x)是定义在(-∞,+∞) 上的不恒为零的函数, 且对
定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性, 并说明理由. 解析:(1)∵f(x)对任意x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf(y),
令x=y=1,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0,令x=y=-1,有
f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1), ∴f(-1)=0.
(2)∵f(x)对任意x,y 都有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入, 得f(-x)=-f(x). ∴函数f(x)是(-∞,+∞) 上的奇函数.
8、函数f(x)对任意x ､y ∈R, 总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,
(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞) 上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
解析:(1)令x=y=0,f(0)=0, 令x=-y,可得f(-x)=-f(x), 设x1､x2∈(-∞,+∞) 且x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) ∵x1>x2,∴x1-x2>0. 又∵x>0时,f(x)
由定义可知f(x)在区间(-∞,+∞) 上为单调递减函数. (2)∵f(x)在区间(-∞,+∞) 上是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上也是减函数. ∴f(-3)最大,f(3)最小.
f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在[-3,3]上最大值为2, 最小值为-2. 9、
12. 已知函数f (x )的定义域为R, 对任意实数m ､n,
11
满足f (2) =2, 且f (m +n )=f (m )+f (n )-1, 当x >-2时, f (x )>0.
1求f ⎛-1⎫的值; () ⎪
2⎭⎝
(2)求证:f (x )在定义域R 上是单调递增函数.
解析：（1）令m=n=0
11⎛1⎫
得f (0)=2f (0)-1, ∴f (0)=1, 又f ⎪=2, 令m =, n =-,
10、（期中） 已知定义在实数集上的函数y =f (x ) 满足条件：
对于任意的x 、y ∈R ，f (x +y ) =f (x ) +f (y ). （1）求证：f (0) =0；
（2）求证f (x ) 是奇函数，并举出一个这样的函数； （3）若当x 0时，f (x ) ＜0.
（ i ）试判断函数f (x ) 在R 上的单调性，并证明之； （ ii ）判断方程│f (x ) │=a 所有可能的解的个数，并
求出对应的a 的范围
11、（报纸—综合测试题）
设f (x ) 是定义在[-1, 1]上的奇函数，且对于任意的
a , b ∈[-1, 1]，当a +b ≠0 时，都有
f (a ) +f (b )
0 a +b
（1）若a b ，比较f (a ) 与f (b ) 的大小。 （2）若f (m -1)
2
1
f (3m -) ，求实数
4
m 的取值范围。
12、已知函数f (x ) =x 2+1，且g (x ) =f [f (x ) ]，
G (x ) =g (x ) -λf (x ) ，试问，是否存在实数，使得G (x ) 在(-∞, -1]
上为减函数，并且在(-1, 0)上为增函数. 解：
.
由题设 当
，
则
当，
则
故
.
时，
，
时，
，
13
14、
15、
16、
17、已知函数f (x ) 在(－1，1) 上有定义，f (1)=－1, 当且仅
2
当0
y
f (x )+f (y )=f (1x ++xy ), 试证明(1)f (x ) 为奇函数；(2)f (x ) 在(－1，1) 上单调递减思路分析：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定
x 2-x 1
1-x 1x 2
的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (
x +y
1+xy
) 可令x =y =0,得
f (0)=0,
令y =－x , 得f (x )+f (－x )=f (
x -x 1-x 2
)=f ∴f (x )=－
f (－x ) ∴f (x ) 为奇函数(2)先证f (x ) 在(0，1) 上单调递减令0
1-x 1x 2
∵00,1－x 1x 2>0，∴
x 2-x 11-x 2x 1
>0,
又(x 2－x 1) －(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)
x 2x 1,
∴0
x 2-x 11-x 2x 1
x 2-x 11-x 1x 2
)
∴f (x ) 在(0，1) 上为减函数，又f (x ) 为奇函数且f (0)=0
∴f (x ) 在(－1，1) 上为减函数