二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
2ax +bx +c =0根的分布情况 1、一元二次方程
设方程ax +bx +c =0(a ≠0)的不等两根为x 1, x 2且x 1
2
方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
需满足的条件是
根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间(m , n )外,即在区间两侧x 1n ,(图形分别如下)
(1)a >0时,⎨
⎧⎧⎪f (m )0
; (2)a
⎪⎪⎩f (n )0
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在(m , n )内有以下特殊情况:
1︒ 若f (m )=0或f (n )=0,则此时f (m ) f (n )
可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间(m , n )内,从而可以求出参数的值。如方程mx -(m +2)x +2=0
2
在区间(1,3)上有一根,因为f (1)=0,所以mx 2-(m +2)x +2=(x -1)(mx -2),另一根为得
22
,由1
m m
2
2︒ 方程有且只有一根,且这个根在区间(m , n )内,即∆=0,此时由∆=0可以求出参数的值,然后再将参数
的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程
x 2-4mx +2m +6=0有且一根在区间(-3, 0)内,求m 的取值范围。分析:①由f (-3) f (0)
(14m +15)(m +3)
m =-1时,根x =-2∈(-3,0),即m =-1满足题意;当m =
综上分析,得出-3
153
33
时,根x =3∉(-3,0),故m =不满足题意;22
15
或m =-1 14
根的分布练习题
例1、已知二次方程(2m +1)x -2mx +(m -1)=0有一正根和一负根,求实数m 的取值范围。
2
解:由 (2m +1) f (0)
1
例2、已知方程2x -(m +1)x +m =0有两个不等正实根,求实数m 的取值范围。
2
解:由
∆>0⎧2
⎧m +1-8m >0()⎪
⎧⎪⎪-(m +1)⎪m 3+->0 ⇒
m >-1⇒⇒
⎨⎨⎨
2 2m >0⎪⎩⎪⎪m >0f (0)>0⎩⎪⎩
0
m >3+
例3、已知二次函数y =(m +2)x 2-(2m +4)x +(3m +3)与x 轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数m 的取值范围。
解:由 (m +2) f (1)
例4、已知二次方程mx +(2m -3)x +4=0只有一个正根且这个根小于1,求实数m 的取值范围。
2
1
即为所求的范围。 2
解:由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根,则f (0) f (1)
1
即为所3
(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在(0,1)内,由∆=0计算检验,均不复合题意,计算量稍大)
1.二次函数及图象
22
设有一元二次函数y=ax+bx+c(a≠0) ,判别式Δ=b-4ac ,当Δ>0时y=f(x)与x 轴有二交点;当Δ=0时,y=f(x)与x 轴仅有一交点;当Δ<0时,y=f(x)与x 轴无交点.
当Δ>0时,设y=f(x)图象与x 轴两交点为x 1<x 2.一元二次函数y=f(x)与x 轴交点x 1,x 2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根.
观察图象不难知道.
图像为
观察图象不难知道△=0,a >0 , △=0,a <
当△<0时,y=f(x)图象与x 轴无公共点,其图象为
观察图象不难知道.
a >0时, 绝对不等式f(x)>0解为x ∈R .a <0时,
绝对不等式f(x)<0解为x ∈R .
2.讨论一元二次方程的根的分布情况时,往往归结为不等式(组)的求解问题,其方法有3种: (1)应用求根公式; (2)应用根与系数关系;
(3)应用二次函数图象.在进行转化时,应保证这种转化的等价性.
就这三种方法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法.
22
设f (x )=ax+bx +c (a >0),方程ax +bx +x=0的个根为α,β(α≤β),m ,n 为常数,且n <m ,方程根的分布无外乎两种情况:
②α,β同居一区间时,不但要考虑端点函数值的符号,还要考虑
三、好题解给你
(1) (1) 预习题
2
1. 设有一元二次函数y =2x -8x+1.试问,
当x ∈[3,4]时,随x 变大,y 的值变大还是变小?
由此y =f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么?
2
解:经配方有y =2(x-2)-7
∵对称轴x =2,区间[3,4]在对称轴右边,
∴y =f(x)在[3,4]上随x 变大,y 的值也变大,因此 y max =f(4)=1. y min =f(3)=-5.
22
2. 设有一元二次函数y =2x -4ax+2a+3.试问,此函数对称轴是什么? 当x ∈[3,4]时,随x 变大,y 的值是变大还是变小?与a 取值有何关系? 由此,求y =f(x)在[3,4]上的最大值与最小值.
2
解:经配方有y =2(x-a)+3. 对称轴为x=a.
当a ≤3时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当x ∈[3,4]时,随x 变大,y 的值也变大.
当3<a <4时,对称轴x=a在区间[3,4]内,此时,若3≤x ≤a ,随x 变大,y 的值变小,但若a ≤x ≤4,随x 变大,y 的值变大.
当4≤a 时,因为区间[3,4]在对称轴的左边,因此,当x ∈[3,4]时,随x 变大,y 的值反而变小.
根据上述分析,可知.
22
当a ≤3时,y max =f(4)=2a-16a+35.y min =f(3)=2a -12a+21. 当3<a <4时,y min =f(a)=3.
2
其中,a ≤3.5时,y max =f(4)=2a -16a+35.
2
a ≥3.5时,y max =f(3)=2a -12a+21.
22
当a ≥4时,y max =f(3)=2a -12a+21.y min =f(4)=2a -16a+35. (2) (2) 基础题
2
例1.设有一元二次方程x +2(m-1)x+(m+2)=0.试问: (1)m为何值时,有一正根、一负根.
(2)m为何值时,有一根大于1、另一根小于1. (3)m为何值时,有两正根. (4)m为何值时,有两负根.
(5)m为何值时,仅有一根在[1,4]内?
解:(1)设方程一正根x 2,一负根x 1,显然x 1、x 2<0,依违达定理有m+2<0. ∴ m<-2.
反思回顾:x 1、x 2<0条件下,ac <0,因此能保证△>0.
(2)设x 1<1,x 2>1,则x 1-1<0,x 2-1>0只要求(x1-1)(x2-1) <0,即x 1x 2-(x1+x2)+1<0.
依韦达定理有
(m+2)+2(m-1)+1<0.
(3)若x 1>0,x 2>0,则x 1+x2>0且x 1,x 2>0, 故应满足条件
依韦达定理有
(5)由图象不难知道,方程f(x)=0在[3,4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)<0,即
[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]<0. ∴(7m+1)(9m+10)<0.
例2. 当m 为何值时,方程
解:负数根首先是实数根,∴
,
有两个负数根?
由根与系数关系:要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正. 由以上分析,有
即
∴当
时,原方程有两个负数根.
(3) (3) 应用题
2
例1. m取何实数值时,关于x 的方程x +(m-2)x +5-m=0的两个实根都大于2?
2
解:设f (x )=x+(m-2)x+5-m,如图原方程两个实根都大于
2
所以当-5<m ≤-4时,方程的两个实根大于2.
2
例2.已知关于x 方程:x -2ax +a =0有两个实根α,β,且满足0<α<1,β>2,求实根a 的取值范围.
2
解:设f (x )=x-2ax +a ,则方程f (x )=0的两个根α,β就是抛物线y=f(x )与x 轴的两个交点的横坐标,如图0<α<1,β>2的条件是:
<1,β>2.
2
例3.m 为何实数时,关于x 的方程x +(m-2)x +5-m=0的一个实根大于2,另一个实根小于2.
2
解:设f (x )=x+(m-2)x +5-m ,如图,原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要条件是f (2)<0,即4+2(m-2)+5-m <0.解得m <-5.所以当m <-5时,方程的一个实根大于2,另一个实根小于2.
(4) (4) 提高题 例1.已知函数
的图象都在x 轴上方,求实数k 的取值范围.
解:(1)当
,则所给函数为二次函数,图象满足:
,即
解得:
(2)当 若
若
,则
时,
的图象不可能都在x 轴上方,∴
,则y =3的图象都在x 轴上方
由(1)(2)得:
反思回顾:此题没有说明所给函数是二次函数,所以要分情况讨论.
22
例2.已知关于x 的方程(m-1)x -2mx +m +m-6=0有两个实根α,β,且满足0<α<1<β,求实数m 的取值范围.
22
解:设f(x)=x-2mx+m+m-6,则方程f (x )=0的两个根α,β,就是抛物线y=f(x )与x 轴的两个交点的横坐标.
如图,0<α<1<β的条件是
解得
2
例3.已知关于x 的方程3x -5x +a=0的有两个实根α,β,满足条件α∈(-2,0),β∈(1,3),求实数a 的取值范围.
2
解:设f (x )=3x-5x +a ,由图象特征可知方程f (x )=0的两根α,β,并且α∈(-2,0),β∈(1,3)的
解得-12<a <0. 四、课后演武场
2
1. 已知方程(m -1)x +3x -1=0的两根都是正数,则m 的取值范围是( B )
A .
B .
C .
D .
2. 方程 x +(m -1) x +(m -2)=0的一个根比1大,另一个根比-1小,则m 的取值范围是( C ) A .0<m <2 B .-3<m <1 C .-2<m <0 D .-1<m <1 3. 已知方程
有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( C )
22
A .
B .
C .
2
D .
4.已知关于x 的方程3x +(m-5)x +7=0的一个根大于4,而另一个根小于4,求实数m 的取值范围.
可知方程f (x )=0的一根大于4,另一根小于4的充要条件是:f (4)<0)
2
5.已知关于x 的方程x +2mx +2m +3=0的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数m 的取值范围.
征可知方程f (x )=0的两根都在(0,2)内的充要条件是
2、二次函数在闭区间[m , n ]上的最大、最小值问题探讨
设f (x )=ax +bx +c =0(a >0),则二次函数在闭区间[m , n ]上的最大、最小值有如下的分布情况:
2
对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若-
b ⎧⎫⎧⎫⎛b ⎫⎛b ⎫
∈[m , n ],则f (x )max =max ⎨f (m ), f -⎪, f (n )⎬,f (x )min =min ⎨f (m ), f -⎪, f (n )⎬; 2a ⎝2a ⎭⎝2a ⎭⎩⎭⎩⎭
(2)若-
b
∉[m , n ],则f (x )max =max {f (m ), f (n )},f (x )min =min {f (m ), f (n )} 2a
另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴轴越远,则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间,以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数f (x )=ax -2ax +2+b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2,求a , b 的值。
2
解:对称轴x 0=1∉[2,3],故函数f (x )在区间[2,3]上单调。 (1)当a >0时,函数f (x )在区间[2,3]上是增函数,故⎨
⎧⎧3a +b +2=5⎧a =1⎪f (x )max =f (3) ⇒ ⎨ ⇒ ⎨; f x =f 2()⎪⎩2+b =2⎩b =0⎩()min
⎧⎧b +2=5⎪f (x )max =f (2)(2)当a
例2、求函数f (x )=x -2ax +1, x ∈[1,3]的最小值。
2
⎧a =-1
⎨b =3⎩
解:对称轴x 0=a
(1)当a
2
(3)当a >3时,y min =f (3)=10-6a
改:1.本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?
解:(1)当a
2.本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行?
解:(1)当a
(2)当1≤a
2
(3)当2≤a
2
(4)当a ≥3时, f (x )max =f (1)=2-2a ,f (x )min =f (3)=10-6a 。
例3、求函数y =x 2-4x +3在区间[t , t +1]上的最小值。 解:对称轴x 0=2
(1)当22时,y min =f (t )=t 2-4t +3; (2)当t ≤2≤t +1即1≤t ≤2时,y min =f (2)=-1; (3)当2>t +1即t
例4、讨论函数f (x )=x 2+x -a +1的最小值。
⎧x 2+x -a +1, x ≥a
解:f (x )=x +x -a +1=⎨2,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为
x
2
直线x =-
111111
,x =,当a
222222
因此,(1)当a
1⎛1⎫3
时,f (x )min =f -⎪=-a ; 2⎝2⎭4
(2)当-
11
≤a
时,f (x )min =f ⎪=+a 2⎝2⎭4
(3)当a ≥
二次函数根的分布
二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉
及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质,分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。 一.一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程
有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个实根为x 1,x 2,且x 1≤x 2。
⎧
⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪
b
【定理1】x 1>0, x 2>0,则⎪x +x =->0 ⎨12
a ⎪
c ⎪x x =>012⎪a ⎩2
例1若一元二次方程(m -1) x +2(m +1) x -m =0有两个正根,求m 的取值范围。 ⎧
⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪
b
【定理2】x 1
a ⎪
c ⎪x x =>012⎪a ⎩
【定理3】x 1
a
例3 k 在何范围内取值,一元二次方程kx 2+3kx +k -3=0有一个正根和一个负根?
b
【定理4】 1) x 1=0,x 2>0⇔c =0且
a b
2) x 10。
a
2
例4若一元二次方程kx +(2k -1) x +k -3=0有一根为零,则另一根是正根还是负根?
二.一元二次方程的非零分布——k 分布
设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两实根为x 1,x 2,且x 1≤x 2。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布(即x 1,x 2相对于k 的位置)有以下若干定理。
⎧
⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪
【定理1】k 0
⎪
b ⎪->k
⎧
⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪
【定理2】x 1≤x 20
⎪b ⎪-
【定理3】
x 1
(k )
【定理4】有且仅有k 1
1(或x 2)
⎧a >0⎧a 0⎪f (k )
11⎪⎪⎪⎪k 0 ⎪f (p ) 0
11
⎪⎪⎪⎩f (p 2) >0⎪⎩f (p 2)
此定理可直接由定理4推出,请自证。
⎧⎧2⎪∆=b -4ac ≥0⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪⎪a >0⎪⎪a
⎪【定理6】k 10⎨1⎨f (k 1)
⎪f (k ) >0⎪f (k )
22
⎪⎪
b b ⎪⎪k
1. 方程x 2+2px+1=0有一个根大于1,一个根小于1,求p 的取值范围
2. 若关于x 的方程x 2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k 的取值范围
3. 方程mx 2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根,求m 的取值范围
4. 若关于x 的方程kx 2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根,求k 的取值范围 5. 已知集合A={x|x2+(2-a)x+1=0},若A ⊆R +,求a 的取值范围 6. 已知A={x| x2+2x+2-p=0},且A ∩R +=φ,求p 的取值范围 7. 已知x 2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且都在[1,3]外,求m 范围 8. 若方程2ax 2 -x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根,求a 的范围 9. 方程ax 2 -2(a+1)x+a-1=0,是否存在实数a 使它的两根都大于1
10. 若二次函数y=-x 2+mx-1的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB 有两个不同的交点,求m 的范围
11. 已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧,求m 的取值范围
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
2ax +bx +c =0根的分布情况 1、一元二次方程
设方程ax +bx +c =0(a ≠0)的不等两根为x 1, x 2且x 1
2
方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
需满足的条件是
根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间(m , n )外,即在区间两侧x 1n ,(图形分别如下)
(1)a >0时,⎨
⎧⎧⎪f (m )0
; (2)a
⎪⎪⎩f (n )0
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在(m , n )内有以下特殊情况:
1︒ 若f (m )=0或f (n )=0,则此时f (m ) f (n )
可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间(m , n )内,从而可以求出参数的值。如方程mx -(m +2)x +2=0
2
在区间(1,3)上有一根,因为f (1)=0,所以mx 2-(m +2)x +2=(x -1)(mx -2),另一根为得
22
,由1
m m
2
2︒ 方程有且只有一根,且这个根在区间(m , n )内,即∆=0,此时由∆=0可以求出参数的值,然后再将参数
的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程
x 2-4mx +2m +6=0有且一根在区间(-3, 0)内,求m 的取值范围。分析:①由f (-3) f (0)
(14m +15)(m +3)
m =-1时,根x =-2∈(-3,0),即m =-1满足题意;当m =
综上分析,得出-3
153
33
时,根x =3∉(-3,0),故m =不满足题意;22
15
或m =-1 14
根的分布练习题
例1、已知二次方程(2m +1)x -2mx +(m -1)=0有一正根和一负根,求实数m 的取值范围。
2
解:由 (2m +1) f (0)
1
例2、已知方程2x -(m +1)x +m =0有两个不等正实根,求实数m 的取值范围。
2
解:由
∆>0⎧2
⎧m +1-8m >0()⎪
⎧⎪⎪-(m +1)⎪m 3+->0 ⇒
m >-1⇒⇒
⎨⎨⎨
2 2m >0⎪⎩⎪⎪m >0f (0)>0⎩⎪⎩
0
m >3+
例3、已知二次函数y =(m +2)x 2-(2m +4)x +(3m +3)与x 轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数m 的取值范围。
解:由 (m +2) f (1)
例4、已知二次方程mx +(2m -3)x +4=0只有一个正根且这个根小于1,求实数m 的取值范围。
2
1
即为所求的范围。 2
解:由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根,则f (0) f (1)
1
即为所3
(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在(0,1)内,由∆=0计算检验,均不复合题意,计算量稍大)
1.二次函数及图象
22
设有一元二次函数y=ax+bx+c(a≠0) ,判别式Δ=b-4ac ,当Δ>0时y=f(x)与x 轴有二交点;当Δ=0时,y=f(x)与x 轴仅有一交点;当Δ<0时,y=f(x)与x 轴无交点.
当Δ>0时,设y=f(x)图象与x 轴两交点为x 1<x 2.一元二次函数y=f(x)与x 轴交点x 1,x 2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根.
观察图象不难知道.
图像为
观察图象不难知道△=0,a >0 , △=0,a <
当△<0时,y=f(x)图象与x 轴无公共点,其图象为
观察图象不难知道.
a >0时, 绝对不等式f(x)>0解为x ∈R .a <0时,
绝对不等式f(x)<0解为x ∈R .
2.讨论一元二次方程的根的分布情况时,往往归结为不等式(组)的求解问题,其方法有3种: (1)应用求根公式; (2)应用根与系数关系;
(3)应用二次函数图象.在进行转化时,应保证这种转化的等价性.
就这三种方法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法.
22
设f (x )=ax+bx +c (a >0),方程ax +bx +x=0的个根为α,β(α≤β),m ,n 为常数,且n <m ,方程根的分布无外乎两种情况:
②α,β同居一区间时,不但要考虑端点函数值的符号,还要考虑
三、好题解给你
(1) (1) 预习题
2
1. 设有一元二次函数y =2x -8x+1.试问,
当x ∈[3,4]时,随x 变大,y 的值变大还是变小?
由此y =f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么?
2
解:经配方有y =2(x-2)-7
∵对称轴x =2,区间[3,4]在对称轴右边,
∴y =f(x)在[3,4]上随x 变大,y 的值也变大,因此 y max =f(4)=1. y min =f(3)=-5.
22
2. 设有一元二次函数y =2x -4ax+2a+3.试问,此函数对称轴是什么? 当x ∈[3,4]时,随x 变大,y 的值是变大还是变小?与a 取值有何关系? 由此,求y =f(x)在[3,4]上的最大值与最小值.
2
解:经配方有y =2(x-a)+3. 对称轴为x=a.
当a ≤3时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当x ∈[3,4]时,随x 变大,y 的值也变大.
当3<a <4时,对称轴x=a在区间[3,4]内,此时,若3≤x ≤a ,随x 变大,y 的值变小,但若a ≤x ≤4,随x 变大,y 的值变大.
当4≤a 时,因为区间[3,4]在对称轴的左边,因此,当x ∈[3,4]时,随x 变大,y 的值反而变小.
根据上述分析,可知.
22
当a ≤3时,y max =f(4)=2a-16a+35.y min =f(3)=2a -12a+21. 当3<a <4时,y min =f(a)=3.
2
其中,a ≤3.5时,y max =f(4)=2a -16a+35.
2
a ≥3.5时,y max =f(3)=2a -12a+21.
22
当a ≥4时,y max =f(3)=2a -12a+21.y min =f(4)=2a -16a+35. (2) (2) 基础题
2
例1.设有一元二次方程x +2(m-1)x+(m+2)=0.试问: (1)m为何值时,有一正根、一负根.
(2)m为何值时,有一根大于1、另一根小于1. (3)m为何值时,有两正根. (4)m为何值时,有两负根.
(5)m为何值时,仅有一根在[1,4]内?
解:(1)设方程一正根x 2,一负根x 1,显然x 1、x 2<0,依违达定理有m+2<0. ∴ m<-2.
反思回顾:x 1、x 2<0条件下,ac <0,因此能保证△>0.
(2)设x 1<1,x 2>1,则x 1-1<0,x 2-1>0只要求(x1-1)(x2-1) <0,即x 1x 2-(x1+x2)+1<0.
依韦达定理有
(m+2)+2(m-1)+1<0.
(3)若x 1>0,x 2>0,则x 1+x2>0且x 1,x 2>0, 故应满足条件
依韦达定理有
(5)由图象不难知道,方程f(x)=0在[3,4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)<0,即
[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]<0. ∴(7m+1)(9m+10)<0.
例2. 当m 为何值时,方程
解:负数根首先是实数根,∴
,
有两个负数根?
由根与系数关系:要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正. 由以上分析,有
即
∴当
时,原方程有两个负数根.
(3) (3) 应用题
2
例1. m取何实数值时,关于x 的方程x +(m-2)x +5-m=0的两个实根都大于2?
2
解:设f (x )=x+(m-2)x+5-m,如图原方程两个实根都大于
2
所以当-5<m ≤-4时,方程的两个实根大于2.
2
例2.已知关于x 方程:x -2ax +a =0有两个实根α,β,且满足0<α<1,β>2,求实根a 的取值范围.
2
解:设f (x )=x-2ax +a ,则方程f (x )=0的两个根α,β就是抛物线y=f(x )与x 轴的两个交点的横坐标,如图0<α<1,β>2的条件是:
<1,β>2.
2
例3.m 为何实数时,关于x 的方程x +(m-2)x +5-m=0的一个实根大于2,另一个实根小于2.
2
解:设f (x )=x+(m-2)x +5-m ,如图,原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要条件是f (2)<0,即4+2(m-2)+5-m <0.解得m <-5.所以当m <-5时,方程的一个实根大于2,另一个实根小于2.
(4) (4) 提高题 例1.已知函数
的图象都在x 轴上方,求实数k 的取值范围.
解:(1)当
,则所给函数为二次函数,图象满足:
,即
解得:
(2)当 若
若
,则
时,
的图象不可能都在x 轴上方,∴
,则y =3的图象都在x 轴上方
由(1)(2)得:
反思回顾:此题没有说明所给函数是二次函数,所以要分情况讨论.
22
例2.已知关于x 的方程(m-1)x -2mx +m +m-6=0有两个实根α,β,且满足0<α<1<β,求实数m 的取值范围.
22
解:设f(x)=x-2mx+m+m-6,则方程f (x )=0的两个根α,β,就是抛物线y=f(x )与x 轴的两个交点的横坐标.
如图,0<α<1<β的条件是
解得
2
例3.已知关于x 的方程3x -5x +a=0的有两个实根α,β,满足条件α∈(-2,0),β∈(1,3),求实数a 的取值范围.
2
解:设f (x )=3x-5x +a ,由图象特征可知方程f (x )=0的两根α,β,并且α∈(-2,0),β∈(1,3)的
解得-12<a <0. 四、课后演武场
2
1. 已知方程(m -1)x +3x -1=0的两根都是正数,则m 的取值范围是( B )
A .
B .
C .
D .
2. 方程 x +(m -1) x +(m -2)=0的一个根比1大,另一个根比-1小,则m 的取值范围是( C ) A .0<m <2 B .-3<m <1 C .-2<m <0 D .-1<m <1 3. 已知方程
有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( C )
22
A .
B .
C .
2
D .
4.已知关于x 的方程3x +(m-5)x +7=0的一个根大于4,而另一个根小于4,求实数m 的取值范围.
可知方程f (x )=0的一根大于4,另一根小于4的充要条件是:f (4)<0)
2
5.已知关于x 的方程x +2mx +2m +3=0的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数m 的取值范围.
征可知方程f (x )=0的两根都在(0,2)内的充要条件是
2、二次函数在闭区间[m , n ]上的最大、最小值问题探讨
设f (x )=ax +bx +c =0(a >0),则二次函数在闭区间[m , n ]上的最大、最小值有如下的分布情况:
2
对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若-
b ⎧⎫⎧⎫⎛b ⎫⎛b ⎫
∈[m , n ],则f (x )max =max ⎨f (m ), f -⎪, f (n )⎬,f (x )min =min ⎨f (m ), f -⎪, f (n )⎬; 2a ⎝2a ⎭⎝2a ⎭⎩⎭⎩⎭
(2)若-
b
∉[m , n ],则f (x )max =max {f (m ), f (n )},f (x )min =min {f (m ), f (n )} 2a
另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴轴越远,则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间,以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数f (x )=ax -2ax +2+b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2,求a , b 的值。
2
解:对称轴x 0=1∉[2,3],故函数f (x )在区间[2,3]上单调。 (1)当a >0时,函数f (x )在区间[2,3]上是增函数,故⎨
⎧⎧3a +b +2=5⎧a =1⎪f (x )max =f (3) ⇒ ⎨ ⇒ ⎨; f x =f 2()⎪⎩2+b =2⎩b =0⎩()min
⎧⎧b +2=5⎪f (x )max =f (2)(2)当a
例2、求函数f (x )=x -2ax +1, x ∈[1,3]的最小值。
2
⎧a =-1
⎨b =3⎩
解:对称轴x 0=a
(1)当a
2
(3)当a >3时,y min =f (3)=10-6a
改:1.本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?
解:(1)当a
2.本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行?
解:(1)当a
(2)当1≤a
2
(3)当2≤a
2
(4)当a ≥3时, f (x )max =f (1)=2-2a ,f (x )min =f (3)=10-6a 。
例3、求函数y =x 2-4x +3在区间[t , t +1]上的最小值。 解:对称轴x 0=2
(1)当22时,y min =f (t )=t 2-4t +3; (2)当t ≤2≤t +1即1≤t ≤2时,y min =f (2)=-1; (3)当2>t +1即t
例4、讨论函数f (x )=x 2+x -a +1的最小值。
⎧x 2+x -a +1, x ≥a
解:f (x )=x +x -a +1=⎨2,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为
x
2
直线x =-
111111
,x =,当a
222222
因此,(1)当a
1⎛1⎫3
时,f (x )min =f -⎪=-a ; 2⎝2⎭4
(2)当-
11
≤a
时,f (x )min =f ⎪=+a 2⎝2⎭4
(3)当a ≥
二次函数根的分布
二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉
及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质,分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。 一.一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程
有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个实根为x 1,x 2,且x 1≤x 2。
⎧
⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪
b
【定理1】x 1>0, x 2>0,则⎪x +x =->0 ⎨12
a ⎪
c ⎪x x =>012⎪a ⎩2
例1若一元二次方程(m -1) x +2(m +1) x -m =0有两个正根,求m 的取值范围。 ⎧
⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪
b
【定理2】x 1
a ⎪
c ⎪x x =>012⎪a ⎩
【定理3】x 1
a
例3 k 在何范围内取值,一元二次方程kx 2+3kx +k -3=0有一个正根和一个负根?
b
【定理4】 1) x 1=0,x 2>0⇔c =0且
a b
2) x 10。
a
2
例4若一元二次方程kx +(2k -1) x +k -3=0有一根为零,则另一根是正根还是负根?
二.一元二次方程的非零分布——k 分布
设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两实根为x 1,x 2,且x 1≤x 2。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布(即x 1,x 2相对于k 的位置)有以下若干定理。
⎧
⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪
【定理1】k 0
⎪
b ⎪->k
⎧
⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪
【定理2】x 1≤x 20
⎪b ⎪-
【定理3】
x 1
(k )
【定理4】有且仅有k 1
1(或x 2)
⎧a >0⎧a 0⎪f (k )
11⎪⎪⎪⎪k 0 ⎪f (p ) 0
11
⎪⎪⎪⎩f (p 2) >0⎪⎩f (p 2)
此定理可直接由定理4推出,请自证。
⎧⎧2⎪∆=b -4ac ≥0⎪∆=b 2-4ac ≥0⎪⎪a >0⎪⎪a
⎪【定理6】k 10⎨1⎨f (k 1)
⎪f (k ) >0⎪f (k )
22
⎪⎪
b b ⎪⎪k
1. 方程x 2+2px+1=0有一个根大于1,一个根小于1,求p 的取值范围
2. 若关于x 的方程x 2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k 的取值范围
3. 方程mx 2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根,求m 的取值范围
4. 若关于x 的方程kx 2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根,求k 的取值范围 5. 已知集合A={x|x2+(2-a)x+1=0},若A ⊆R +,求a 的取值范围 6. 已知A={x| x2+2x+2-p=0},且A ∩R +=φ,求p 的取值范围 7. 已知x 2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且都在[1,3]外,求m 范围 8. 若方程2ax 2 -x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根,求a 的范围 9. 方程ax 2 -2(a+1)x+a-1=0,是否存在实数a 使它的两根都大于1
10. 若二次函数y=-x 2+mx-1的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB 有两个不同的交点,求m 的范围
11. 已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧,求m 的取值范围