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令人敬畏的数学：整系数多项式的根在复平面上的图像
Brain Storm | 2009-12-09 17:46| 39 Comments | 本文内容遵从CC 版权协议 转载请注明出自
matrix67.com
发现，把所有次数不超过5的、系数在-4到4范围内的整系数多项式的所有根描绘在同一个复平面上，你会看到一个异常壮观的画面。图中的每个灰色点代表某个二次多项式的一个根，蓝色点代表三次多项式的根，红色代表四次多项式的根，黑色代表五次多项式的根。水平线代表实轴，0和±1的地方有很明显的空洞；竖直方向是虚轴，每个单位根处也都有明显可辨的空洞。
受到上述实验的启发，Sam Derbyshire决定画一张更一般的、分辨率更高的多项式复根图。考虑每个系数要么为1要么为-1的全体24次多项式，它们总共将产生24*2^24——约等于4亿——个根。他让Mathematica 运行了四天四夜才算出所有这些根的位置，得到了大约5个G 的数据。最后，他用一个Java 程序画出了这些根在复平面上的分布图，奇迹出现了：
下面是一张局部放大图：
这是位于1附近的局部放大图：
这是位于4/5附近的局部放大图：
这是位于(4/5)i 附近的局部放大图：
最美的地方还是(1/2)*Exp(i/5)附近的局部放大图：
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l 趣题：构造函数使得平面上任意小的圆内均包含函数上的点 Runge 现象：多项式插值不见得次数越高越准确 趣题：用奇数个相同的多联骨牌组成轴对称图形 绝对牛！由多联骨牌拼出的钟表盘面 空间想象能力挑战：立方体相邻面两对角线的最近距离？ 这个图形有什么牛的地方？
39 条回复
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楼层: 沙发 | 2009-12-09 17:51 | Dai 说：
= =难道是传说中的沙发？
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楼层: 板凳 | 2009-12-09 18:06 | pal_tongtong 说：
数学的美丽！奇妙！
l
楼层: 地毯 | 2009-12-09 19:48 | Aule 说：
太漂亮啦！
可不可以实现在空间里呢？
l
楼层: 地板 | 2009-12-09 20:22 | Tweets that mention Matrix67: My Blog » Blog Archive » 令人敬畏的数学：整系数多项式的根在复平面上的图像 -- Topsy.com 说：
[...] This post was mentioned on Twitter by PigheadX and YCF.name, netson. netson said: 令人敬畏的数学：整系数多项式的根在复平面上的图像 [...]
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楼层: 地下室 | 2009-12-09 20:24 | hss 说：
不错!
我绘制的一个开3次方根的图, 颜色由跌入根的速度等决定: http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/housisong/280093/o_kb00.PNG
一张五次的: http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/housisong/280093/o_kb01.PNG
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楼层: 地基 | 2009-12-09 20:40 | crazylamb 说：
最后一张好漂亮
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楼层: 地壳 | 2009-12-09 21:02 | P.K. 说：
超神了
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楼层: 地幔 | 2009-12-09 21:21 | 天意 说：
有点像fracture?
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楼层: 地核 | 2009-12-09 21:21 | vole 说：
神！
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楼层: 10楼 | 2009-12-09 21:27 | 令人敬畏的数学：整系数多项式的根在复平面上的图像 at 男单 618 说：
[...] 令人敬畏的数学：整系数多'... via Matrix67: My Blog by Matrix67 on 12/9/09 [...] l
楼层: 11楼 | 2009-12-09 21:44 | CpyPrefersYou 说：
惊叹.
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楼层: 12楼 | 2009-12-09 22:07 | Магсн 说：
比mandelbrot 还强
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楼层: 12a楼 | 2009-12-09 22:23 | dutor 说：
这难道是真的吗？
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楼层: 14楼 | 2009-12-09 22:50 | 3WATER 说：
不会解方程，飘走
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楼层: 15楼 | 2009-12-09 22:52 | Righthand 说： 整系数多项式确实有很多性质，黄金分割数(golden number)就是二次多项式的一个特殊的根。而其他的整系数二次多项式系数的根组成了所谓的metal number l
楼层: 16楼 | 2009-12-09 22:54 | cgy4ever 说： 也许六次多项式会更美~
可惜我们没有机会看到了...
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楼层: 17楼 | 2009-12-09 23:22 | biohu 说： 赞叹………………
地下室的也很好。
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楼层: 18楼 | 2009-12-10 0:44 | 3.1415926 说： 不错, 震惊. 地下室的比较漂亮~~~ l
楼层: 19楼 | 2009-12-10 7:19 | multiple1902 说： 太美了！
l
楼层: 20楼 | 2009-12-10 8:50 | www.28.com 说： ps 都弄不出的效果
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楼层: 21楼 | 2009-12-10 9:56 | ykzls 说： 能提供源程序吗? 我也运行几天试试
.
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楼层: 22楼 | 2009-12-10 10:10 | gnaggnoyil 说：
这个图像有什么特殊意义呢
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楼层: 23楼 | 2009-12-10 18:29 | 白左 说：
exp(iπ/4) 这个点周围的根的密度分布好像电子云，切面分布还像粒子在一维有限势阱的薛定谔方程的常态解。。。。这里面有什么深层次的联系么。。。。太美妙了。。。
话说M 大牛很敏感啊~比松鼠会快了近18小时~
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楼层: 24楼 | 2009-12-10 20:10 | NirViaje 说：
很明显这和某个复动力系统的分形轨有关.. .能找到这个动力系统会是很有意思的事
btw - Carl Sagan的Contact 里有这么段意思，也许改掉一点会更美妙:
在最后它透过外星人说了一个“事实”(对我们而言可以说是个预言吧) 。他说，每个超越数 (例如pi) 的数字，如果你算得够久，而且选对了基底 (3 进位、16 进位， ... 之类的) ，你将会得到一连串的0和1。而这些0和1就是某种密码。这是内建在宇宙之中的固有讯息。书中的女主角“发现”了如果用11进位去算pi ，算得够久之后，果然出现了0和1的讯号。把这些讯号用某种方式印在纸上(加上一些line feed)，那些1就形成一个圆，很动人的故事吧。
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楼层: 25楼 | 2009-12-10 22:30 | Eagle_Fantasy 说：
美妙..
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楼层: 26楼 | 2009-12-10 22:45 | Phil 说：
OMG...
l
楼层: 27楼 | 2009-12-11 0:50 | zzz 说：
好漂亮~~~数学果然充满着神奇
l
楼层: 28楼 | 2009-12-11 9:38 | zenyhi 说：
现在才明白数学是最美丽的这句话的意思，呵呵，还真的是美丽啊，呵呵
l
楼层: 29楼 | 2009-12-11 18:36 | SixSheep 说：
单位根上为什么会有空洞呢？
l
楼层: 30楼 | 2009-12-11 23:22 | inothacker 说：
太美了！只有赞叹！
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楼层: 31楼 | 2009-12-12 11:25 | charme 说：
你这个博客是个什么版本? 在哪里可以注册到？
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楼层: 32楼 | 2009-12-12 23:23 | xr 说：
beautiful!!
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楼层: 33楼 | 2009-12-13 15:26 | digiter 说：
从松鼠会转过来的? 呵呵
l
楼层: 34楼 | 2009-12-13 23:45 | morrowind 说：
复杂的只是表象，宇宙是最简单的。
l
楼层: 35楼 | 2009-12-14 22:52 | yh 说：
Matrix67: My Blog » Blog Archive » 令人敬畏的数学：整系数多项式的根在... 页码，13/16
5楼的图颜色调整一下貌似就可以当桌面了
l
楼层: 36楼 | 2010-01-06 17:31 | 海藻 说：
好神奇啊！
l
楼层: 37楼 | 2010-02-20 2:59 | gypsy 说：
好看
l
楼层: 38楼 | 2010-03-29 1:10 | 浪潮网摘 说：
太震撼了
l
楼层: 39楼 | 2010-08-02 11:16 | 晓而不羽 说：
楼层: 24楼 | 2009-12-10 20:10 | NirViaje 说：
很明显这和某个复动力系统的分形轨有关.. .能找到这个动力系统会是很有意思的事
btw - Carl Sagan的Contact 里有这么段意思，也许改掉一点会更美妙:
在最后它透过外星人说了一个“事实”(对我们而言可以说是个预言吧) 。他说，每个超越数 (例如pi) 的数字，如果你算得够久，而且选对了基底 (3 进位、16 进位， ... 之类的) ，你将会得到一连串的0和1。而这些0和1就是某种密码。这是内建在宇宙之中的固有讯息。书中的女主角“发现”了如果用11进位去算pi ，算得够久之后，果然出现了0和1的讯号。把这些讯号用某种方式印在纸上(加上一些line feed)，那些1就形成一个圆，很动人的故事吧。
=========================================================
假如pi 是“正态数”的话，就算任选基底，都能在适当的地方找到指定的01串。
您也随便说几句吧：
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令人敬畏的数学：整系数多项式的根在复平面上的图像
Brain Storm | 2009-12-09 17:46| 39 Comments | 本文内容遵从CC 版权协议 转载请注明出自
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这个图像有什么特殊意义呢
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很明显这和某个复动力系统的分形轨有关.. .能找到这个动力系统会是很有意思的事
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美妙..
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好漂亮~~~数学果然充满着神奇
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好神奇啊！
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