椭圆与双曲线
一、知识网络
二、高考考点
1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；
2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；
3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；
4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；
5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；
6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。
三、知识要点 (一)椭圆 Ⅰ 定义与推论 1、定义1的的认知 设M
为椭圆上任意一点，
分别为椭圆两焦点，
分别为椭圆长轴端点，则
有
（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）
（2）隐蔽的不等关系： ，
（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）
2、定义2的推论
根据椭圆第二定义，设
为椭圆
上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有：
（d1为点M到左准线l1的距离）
（d2为点M到右准线l2的距离）
由此导出椭圆的焦点半径公式：
Ⅱ 标准方程与几何性质 1、椭圆的标准方程
中心在原点，焦点在x
轴上的椭圆标准方程 ①
中心在原点，焦点在y
轴上的椭圆标准方程
②
（1）标准方程①、②中的a、b、c
具有相同的意义与相同的联系：
（2
）标准方程①、②统一形式：
2
、椭圆 的几何性质
（1
）范围： （有界曲线）
（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）
（3
）顶点与轴长：顶点予a、b名称与几何意义）
，长轴2a，短轴2b（由此赋
（4
）离心率：
（5）
刻画椭圆的扁平程度
准线：左焦点
对应的左准线
右焦点
对应的右准线
椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为
；
中心到准线的距离为
Ⅲ 挖掘与引申
；焦点到相应准线的距离为 .
1、具特殊联系的椭圆的方程
（1
）共焦距的椭圆的方程
且
（2
）同离心率的椭圆的方程
且
2、弦长公式：
设斜率为k的直线l
与椭圆交于不同两点
则
；
，
或
（二）双曲线 Ⅰ、定义与推论 1．定义1的认知
。
设M
为双曲线上任意一点，点，则有：
（1）明朗的等量关系：
（2）隐蔽的不等关系：
2．定义2的推论
分别为双曲线两焦点， 分别为双曲线实轴端
（解决双焦点半径问题的首选公式）
，
（寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）
设右焦点，则有
为双曲线
上任意上点， 分别为双曲线左、
，其中， 为焦点
到相应准线li
的距离
推论：焦点半径公式 当点M
在双曲线右支上时， 当点M
在双曲线左支上时，
Ⅱ、标准方程与几何性质 3．双曲线的标准方程
；
。
中心在原点，焦点在x
轴上的双曲线标准方程为
①
中心在原点，焦点在y
轴上的双曲线标准方程为
（1）标准方程①、②中的a、b、c
具有相同的意义与相同的联系：
（2
）标准方程①、②的统一形式：
②
或：
（3
）椭圆与双曲线标准方程的统一形式：
4
．双曲线 （1
）范围：
的几何性质
（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）
（3）顶点与轴长：顶点
（由此赋予a,b名称与几何意义）
（4
）离心率：
（5）
准线：左焦点
对应的左准线
；右焦点
对应的右准线
双曲线共性：准线垂直于实轴；
两准线间距离为 ；
中心到准线的距离为
；
焦点到相应准线的距离为
（6
）渐近线：双曲线 的渐近线方程：
Ⅲ、挖掘与延伸
1．具有特殊联系的双曲线的方程
或：
（3
）椭圆与双曲线标准方程的统一形式：
4
．双曲线 （1
）范围：
的几何性质
（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）
（3）顶点与轴长：顶点
（由此赋予a,b名称与几何意义）
（4
）离心率：
（5）
准线：左焦点
对应的左准线
；右焦点
对应的右准线
双曲线共性：准线垂直于实轴；
两准线间距离为 ；
中心到准线的距离为
；
焦点到相应准线的距离为
（6
）渐近线：双曲线 的渐近线方程：
Ⅲ、挖掘与延伸
1．具有特殊联系的双曲线的方程
对于双曲线 （※）
（1）当λ+μ为定值时，（※）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=λ+μ;
（2）
当
为定值时，（※）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程： ；
（3
）以直线 为渐近线的双曲线（系）方程为：
特别：
与双曲线
（左边相同，区别仅在于右边的常数）
2．弦长公式
设斜率为k的直线l
与双曲线交于不同两点
共渐近线的双曲线的方程为：
则
经典例题 1、
（1）若椭
圆 。
的一个焦点是（-2，0），则a等于
（2
）已知椭圆
的焦点为F1、F2，点P
是其上的动点，当
为钝角时，
点P的横坐标的取值范围为 。
分析：
（1）从此椭圆的标准方程切入。
由题设知已知得：
这里
由此解得
（2）这里a=3, b=2, c=
①
∴以线段F1F2
为直径的圆的方程为
设
又由 ∴
，则由点P
在椭圆上得：
为钝角得： ②
∴
由①、②联立，解得：
∴ 所求点P
横坐标的取值范围为
点评：注意到点P对
的大小的影响可用点P
与圆
推出
相对位置关系来反
的范围，请同学们尝试和比
映，故选择这一解法。当然，本题亦可由较。
2、
已知
为椭圆的两个焦点，过
的直线交椭圆于P、Q
两点，
且
，求椭圆的离心率。
分析：不防设椭圆方程为 ， 为等腰直角三角形，注意
到这一三角形含有点P、Q处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。
解：设椭圆方程为
设
，则由
为等腰
得：
又由椭圆第一定义得
∴
∴
即
注意到 ∴
∴
即
的周长为4a
① 为
，
② ②′
因此，①代入②′得
由此解得 ∴
点评：这里对条件 运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出①，第二项用于导
出②；两次运用用
为
条件：第一次利用
为等腰
表示出
，第二次利
导出②′。充分利用题设条件，也是解题成功的保障之一。
3、
已知双曲线
，
成等比数列且
的左、右两个焦点为
，求双曲线方程。
，P
为双曲线上的点，又
分析：这里要求b
的值。注意到的方程或不等式。由题设得
，为了求b，首先需要从题设条件入手寻找关于b，为便于将其设为关于b的方程，考虑推导并利
用双曲线的焦点半径公式。因此，解题便以判定点P位置拉开序幕。
解：这里
∵
，即
（4的特殊性） ，
∴ 点P在双曲线右支上
设点
，则由双曲线第二定义以及点P在双曲线右支上得
又由题设得 ∴
①代入②得
再注意到由 ∴
∴
即
于是③、④得 而
①
②
③
得，
④
⑤
，所以由⑤得b=1
因此，所求双曲线方程为：
点评：这里对已知条件
的两次运用：第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定点P
（将4作为一般正数）导出点P横坐标存在的
在双曲线右支上；第二次“细”
用，利用
范围：
。粗细结合，将已知条件运用得酣畅淋漓。
4、
设椭圆
的焦点为 ，P为椭圆上一点， 的最大
值为 。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线l与椭圆交于M、N两点，且直线l与圆心在原点，半径等于b的圆相切，已知线段MN长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l的方程。
分析： 中
的最大值为
的最小值为
，循着特殊
的最小值切
与一般相互依存的辩证关系，想到从在入。
解： （1
）设
则在
= ， 中由余弦定理得
，
中运用余弦定理推导
，
即 ①
∴
的最小值为
又由题设知
的最大值，即
的最小值为
∴
∴
即 a=2b
∴
（2）由已知椭圆方程为
②
由题设知直线l不垂直于x轴 设直线l
的方程为
设
则由直线l
与圆
将③代入②得：
∴
④代入⑤得
相切得：
⑤
④
③
∴ 直线l与椭圆相交于不同两点
又由韦达定理得： ∴
，
⑥
∴
（ 当且仅当
的最大值为2b
（当
时取得） （此时
，即 时等号成立）
∴ 由题设得
） ⑦
∴ a=2b=4 ⑧
进而由④得
，即
⑨
因此，由⑦、⑧、⑨得所求椭圆方程为 直线l的方程为
或
，
点评：这里导出的①式为此类问题的共同基础：设P为椭圆 上任
意一点，
，则 最小值为
据此
若
的最大值为
，则 （即 ）；
若
的最大值为
，则
（即 ）；
若
的最大值为
，则
（即 ）。
5、已知斜率为1的直线l
与离心率为两点，又直线l与y轴交于点R
，且
的双曲线
，
交于P、Q
，求直线和双曲线方程。
分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认知已知条件，进而根据问题的具体情况进行推理或转化。
解：由
得
，
①
，直线l
的方程为
②
∴ 双曲线方程为
设
将②代入①得
对于方程③，
③ 恒成立
由韦达定理得
∵
∴
即
④ ⑤
由此得
又由题设得
，故得
⑥
∴
由④、⑥联立解得
将⑦代入⑤得
再注意到
∴
将⑦、⑧代入⑨得
解得 ∴
，
⑦
⑧ 得
⑨
⑩
因此，由①，②得所求双曲线方程为
所求直线方程为
点评：
，
（Ⅰ）关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。于是，围绕着对交点坐标的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。在这里，我们对交点P、Q的坐标运用的是“既设又解”，
请同学们注意品悟这里“解”的分寸的把握。
（Ⅱ）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：
已知式（
已知式（
6、
已知
，
）→转化→代入→结论⑧；
）→转化→代入→结论⑩。
同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。
（1）求点P（x，y）的轨迹C的轨迹方程； （2）
若直线试求m的取值范围。
分析：
对于（1），从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理；
对于（2），此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。
解：
（1
）由已知得 ∴
由
得
，
与曲线C交于A、B两点，D（0，-1），
且有
，
， 得
∴ 所求点P的轨迹C
的方程为：
（2
）设
则将l的方程代入①得
，弦AB的中点
①
，
②
由题意得 ③
且
④
∴
即中点M
的坐标为
注意到
点D在弦AB的垂直平分线上
∴
∴
于是将⑤代入③得 （ ， 且
， 且
） ） ⑤ 或 ⑥
此时再注意到由⑤得
（关于k的二次函数隐含范围的发掘） ⑦
于是由⑥、⑦所求m的取值范围
点评：
（1
）认知已知条件 ，这时将其向基本的弦长或弦中点问题转化，这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的基本策略之一；
（2）注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的值域的发掘与运用：在这里， 为k
的二次函数，又由这里 ，故 。因此
可解关于k的二次函数m的取值范围：
知这一些，便会导出 。这是本题导出正确结果的最后的屏障，不认
的错误结果。
椭圆与双曲线
一、知识网络
二、高考考点
1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；
2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；
3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；
4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；
5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；
6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。
三、知识要点 (一)椭圆 Ⅰ 定义与推论 1、定义1的的认知 设M
为椭圆上任意一点，
分别为椭圆两焦点，
分别为椭圆长轴端点，则
有
（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）
（2）隐蔽的不等关系： ，
（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）
2、定义2的推论
根据椭圆第二定义，设
为椭圆
上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有：
（d1为点M到左准线l1的距离）
（d2为点M到右准线l2的距离）
由此导出椭圆的焦点半径公式：
Ⅱ 标准方程与几何性质 1、椭圆的标准方程
中心在原点，焦点在x
轴上的椭圆标准方程 ①
中心在原点，焦点在y
轴上的椭圆标准方程
②
（1）标准方程①、②中的a、b、c
具有相同的意义与相同的联系：
（2
）标准方程①、②统一形式：
2
、椭圆 的几何性质
（1
）范围： （有界曲线）
（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）
（3
）顶点与轴长：顶点予a、b名称与几何意义）
，长轴2a，短轴2b（由此赋
（4
）离心率：
（5）
刻画椭圆的扁平程度
准线：左焦点
对应的左准线
右焦点
对应的右准线
椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为
；
中心到准线的距离为
Ⅲ 挖掘与引申
；焦点到相应准线的距离为 .
1、具特殊联系的椭圆的方程
（1
）共焦距的椭圆的方程
且
（2
）同离心率的椭圆的方程
且
2、弦长公式：
设斜率为k的直线l
与椭圆交于不同两点
则
；
，
或
（二）双曲线 Ⅰ、定义与推论 1．定义1的认知
。
设M
为双曲线上任意一点，点，则有：
（1）明朗的等量关系：
（2）隐蔽的不等关系：
2．定义2的推论
分别为双曲线两焦点， 分别为双曲线实轴端
（解决双焦点半径问题的首选公式）
，
（寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）
设右焦点，则有
为双曲线
上任意上点， 分别为双曲线左、
，其中， 为焦点
到相应准线li
的距离
推论：焦点半径公式 当点M
在双曲线右支上时， 当点M
在双曲线左支上时，
Ⅱ、标准方程与几何性质 3．双曲线的标准方程
；
。
中心在原点，焦点在x
轴上的双曲线标准方程为
①
中心在原点，焦点在y
轴上的双曲线标准方程为
（1）标准方程①、②中的a、b、c
具有相同的意义与相同的联系：
（2
）标准方程①、②的统一形式：
②
或：
（3
）椭圆与双曲线标准方程的统一形式：
4
．双曲线 （1
）范围：
的几何性质
（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）
（3）顶点与轴长：顶点
（由此赋予a,b名称与几何意义）
（4
）离心率：
（5）
准线：左焦点
对应的左准线
；右焦点
对应的右准线
双曲线共性：准线垂直于实轴；
两准线间距离为 ；
中心到准线的距离为
；
焦点到相应准线的距离为
（6
）渐近线：双曲线 的渐近线方程：
Ⅲ、挖掘与延伸
1．具有特殊联系的双曲线的方程
或：
（3
）椭圆与双曲线标准方程的统一形式：
4
．双曲线 （1
）范围：
的几何性质
（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）
（3）顶点与轴长：顶点
（由此赋予a,b名称与几何意义）
（4
）离心率：
（5）
准线：左焦点
对应的左准线
；右焦点
对应的右准线
双曲线共性：准线垂直于实轴；
两准线间距离为 ；
中心到准线的距离为
；
焦点到相应准线的距离为
（6
）渐近线：双曲线 的渐近线方程：
Ⅲ、挖掘与延伸
1．具有特殊联系的双曲线的方程
对于双曲线 （※）
（1）当λ+μ为定值时，（※）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=λ+μ;
（2）
当
为定值时，（※）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程： ；
（3
）以直线 为渐近线的双曲线（系）方程为：
特别：
与双曲线
（左边相同，区别仅在于右边的常数）
2．弦长公式
设斜率为k的直线l
与双曲线交于不同两点
共渐近线的双曲线的方程为：
则
经典例题 1、
（1）若椭
圆 。
的一个焦点是（-2，0），则a等于
（2
）已知椭圆
的焦点为F1、F2，点P
是其上的动点，当
为钝角时，
点P的横坐标的取值范围为 。
分析：
（1）从此椭圆的标准方程切入。
由题设知已知得：
这里
由此解得
（2）这里a=3, b=2, c=
①
∴以线段F1F2
为直径的圆的方程为
设
又由 ∴
，则由点P
在椭圆上得：
为钝角得： ②
∴
由①、②联立，解得：
∴ 所求点P
横坐标的取值范围为
点评：注意到点P对
的大小的影响可用点P
与圆
推出
相对位置关系来反
的范围，请同学们尝试和比
映，故选择这一解法。当然，本题亦可由较。
2、
已知
为椭圆的两个焦点，过
的直线交椭圆于P、Q
两点，
且
，求椭圆的离心率。
分析：不防设椭圆方程为 ， 为等腰直角三角形，注意
到这一三角形含有点P、Q处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。
解：设椭圆方程为
设
，则由
为等腰
得：
又由椭圆第一定义得
∴
∴
即
注意到 ∴
∴
即
的周长为4a
① 为
，
② ②′
因此，①代入②′得
由此解得 ∴
点评：这里对条件 运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出①，第二项用于导
出②；两次运用用
为
条件：第一次利用
为等腰
表示出
，第二次利
导出②′。充分利用题设条件，也是解题成功的保障之一。
3、
已知双曲线
，
成等比数列且
的左、右两个焦点为
，求双曲线方程。
，P
为双曲线上的点，又
分析：这里要求b
的值。注意到的方程或不等式。由题设得
，为了求b，首先需要从题设条件入手寻找关于b，为便于将其设为关于b的方程，考虑推导并利
用双曲线的焦点半径公式。因此，解题便以判定点P位置拉开序幕。
解：这里
∵
，即
（4的特殊性） ，
∴ 点P在双曲线右支上
设点
，则由双曲线第二定义以及点P在双曲线右支上得
又由题设得 ∴
①代入②得
再注意到由 ∴
∴
即
于是③、④得 而
①
②
③
得，
④
⑤
，所以由⑤得b=1
因此，所求双曲线方程为：
点评：这里对已知条件
的两次运用：第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定点P
（将4作为一般正数）导出点P横坐标存在的
在双曲线右支上；第二次“细”
用，利用
范围：
。粗细结合，将已知条件运用得酣畅淋漓。
4、
设椭圆
的焦点为 ，P为椭圆上一点， 的最大
值为 。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线l与椭圆交于M、N两点，且直线l与圆心在原点，半径等于b的圆相切，已知线段MN长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l的方程。
分析： 中
的最大值为
的最小值为
，循着特殊
的最小值切
与一般相互依存的辩证关系，想到从在入。
解： （1
）设
则在
= ， 中由余弦定理得
，
中运用余弦定理推导
，
即 ①
∴
的最小值为
又由题设知
的最大值，即
的最小值为
∴
∴
即 a=2b
∴
（2）由已知椭圆方程为
②
由题设知直线l不垂直于x轴 设直线l
的方程为
设
则由直线l
与圆
将③代入②得：
∴
④代入⑤得
相切得：
⑤
④
③
∴ 直线l与椭圆相交于不同两点
又由韦达定理得： ∴
，
⑥
∴
（ 当且仅当
的最大值为2b
（当
时取得） （此时
，即 时等号成立）
∴ 由题设得
） ⑦
∴ a=2b=4 ⑧
进而由④得
，即
⑨
因此，由⑦、⑧、⑨得所求椭圆方程为 直线l的方程为
或
，
点评：这里导出的①式为此类问题的共同基础：设P为椭圆 上任
意一点，
，则 最小值为
据此
若
的最大值为
，则 （即 ）；
若
的最大值为
，则
（即 ）；
若
的最大值为
，则
（即 ）。
5、已知斜率为1的直线l
与离心率为两点，又直线l与y轴交于点R
，且
的双曲线
，
交于P、Q
，求直线和双曲线方程。
分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认知已知条件，进而根据问题的具体情况进行推理或转化。
解：由
得
，
①
，直线l
的方程为
②
∴ 双曲线方程为
设
将②代入①得
对于方程③，
③ 恒成立
由韦达定理得
∵
∴
即
④ ⑤
由此得
又由题设得
，故得
⑥
∴
由④、⑥联立解得
将⑦代入⑤得
再注意到
∴
将⑦、⑧代入⑨得
解得 ∴
，
⑦
⑧ 得
⑨
⑩
因此，由①，②得所求双曲线方程为
所求直线方程为
点评：
，
（Ⅰ）关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。于是，围绕着对交点坐标的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。在这里，我们对交点P、Q的坐标运用的是“既设又解”，
请同学们注意品悟这里“解”的分寸的把握。
（Ⅱ）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：
已知式（
已知式（
6、
已知
，
）→转化→代入→结论⑧；
）→转化→代入→结论⑩。
同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。
（1）求点P（x，y）的轨迹C的轨迹方程； （2）
若直线试求m的取值范围。
分析：
对于（1），从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理；
对于（2），此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。
解：
（1
）由已知得 ∴
由
得
，
与曲线C交于A、B两点，D（0，-1），
且有
，
， 得
∴ 所求点P的轨迹C
的方程为：
（2
）设
则将l的方程代入①得
，弦AB的中点
①
，
②
由题意得 ③
且
④
∴
即中点M
的坐标为
注意到
点D在弦AB的垂直平分线上
∴
∴
于是将⑤代入③得 （ ， 且
， 且
） ） ⑤ 或 ⑥
此时再注意到由⑤得
（关于k的二次函数隐含范围的发掘） ⑦
于是由⑥、⑦所求m的取值范围
点评：
（1
）认知已知条件 ，这时将其向基本的弦长或弦中点问题转化，这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的基本策略之一；
（2）注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的值域的发掘与运用：在这里， 为k
的二次函数，又由这里 ，故 。因此
可解关于k的二次函数m的取值范围：
知这一些，便会导出 。这是本题导出正确结果的最后的屏障，不认
的错误结果。