运筹学线性规划模型及目标规划模型

问题一：建立一个资源利用的规划模型，需加入时间资源、资金资源。

1、问题的提出

1.1基本情况

某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示：

表1-1

项目 配件种类 资源限制

B1 B2 B3

资金（百元） 4 1 2 200 劳动力/工时 6 4 3 360 设备台时（小3 2 3 210 时）

产品利润(元/7 5 4 件)

1.2提出问题

1、假设每种配件的市场都是供不应求，不用考虑市场及原材料的供应问题那么在现有的条件下应该如何分配者三种配件的生产才能获得最大利润。

2、模型的建立

2.1确定决策变量

因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能获得的最大利润。因此可以设x1,x2,x3来表示B1，B2，B3的产量。

2.2确定目标函数

该问题归结为求效益最大化的问题。这里所追求的利润S应是最大（简写为max）

maxS7x15x24x3

2.3确定约束条件

考虑到资金限制和劳动力总工时以及设备台时的要求，会有一定的约束条件用不等式表示参考表1-1数值有

4x1x22x3200

6x14x23x3360 3x12x23x3210

2.4建立模型

综合前述各步及变量非负的条件建立起线性规划模型如下。求变量

xi(i1,2,3)使得目标函数：

maxS7x15x24x3

取得最大值，并满足如下的约束条件的要求：

4x1x22x32006x4x3x360123

s.t.

3x12x23x3210

x1,x2,x30

3、模型的求解分析

上述线性规划模型是非标准的线性规划模型，用常规方法将其变为标准型的

线性规划模型，然后利用单纯形法进行求解。 3.1模型转化

给约束条件加入松弛变量x4,x5,x6将模型变为标准型的线性规划模型如下：

maxS7x15x24x3

4x1x22x3x42006x4x3xx360235s.t.1 3x12x23x3x6210x1,x2,x3,x4,x5,x60

对应于下边模型 maxZCX

AXbXB

s.t.A(B,N),X,C(CB,CN) 

X0XN3.2初始单纯形表的构建

问题二：将上问题的线性规划模型改为目标规划模型

1、问题提出

1.1基本情况

某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示：

表1-1

项目 配件种类 资源限制

B1 B2 B3

资金（百元） 4 1 2 200 劳动力/工时 6 4 3 360 设备台时（小3 2 3 210 时）

产品利润(元/7 5 4 件)

1.2提出问题

对于上述问题在不考虑其他外界因素的情况下，用单纯形法计算可以得出最优解等于（34,24,20），最优值是438（百元）。现在公司提出了新的目标： 1、希望利润达到460（百元）；

2、可以利用的资源总量仍然不变，即资金投入不超过200（百元），劳动力工时不超过360小时，设备台时不超过210小时。 为了达到以上两个目标该如何重新合理安排生产。

2、模型的建立

2.1确定目标的优先级

由于不同目标的优先级是不可比较的，即较高目标的损失，任何较低目标上的收获是没有办法弥补的。因此需要首先确定目标的优先级： 引进优先级别系数：

P1：利润达到460（百元)； P2：资金投入不超过200（百元），劳动力工时不超过360小时，设备工时不超过210小时；其权数之比为3:1:1 2.2确定变量

因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能获得的最大利润。因此可以设x1,x2,x3来表示B1，B2，B3的产量。为了达到新

的目标要引入偏差变量di,di(i1~4)

2.3确定目标函数

该问题为目标规划问题，可以讲问题转化为偏差的最小化问题。这里所用到的偏差目标用z表示



minzP1d1P2(3d2d3d4)

2.4确定约束条件

根据目标的要求此处我们考虑如下的一些约束： 1、要求利润达到460（百元），添加偏差变量后约束可以表示为

7x15x24x3d1d1460

2、资金投入不超过200（百元），添加偏差变量后约束可以表示为



4x1x22x3d2d2200

3、劳动力时间不超过360小时，添加偏差变量后约束可以表示为

6x14x23x3d3d3360

4、劳动力时间不超过360小时，添加偏差变量后约束可以表示为

3x12x23x3d4d4210

2.5建立模型

综合前述各步建立如下的目标规划模型



minzP1d1P2(3d2d3d4)

7x15x24x3d1d1200

4x1x22x3d2d2200s.t. 

6x4x3xdd36023331

3x12x23x3d4d4210

x1,x2,x3,di0(i1~4)

3、模型的求解分析

多目标规划问题与现行规划问题相似，可以利用单纯形法进行求解。

3.1模型转化

将目标函数化成标准型：



maxSP1d1P2(3d2d3d4)

7x15x24x3d1d1200

4x1x22x3d2d2200s.t. 

6x14x23x3d3d3360

3x12x23x3d4d4210

x1,x2,x3,di0(i1~4)

列出单纯形表，检验数是Pj的函数。计算方法同单纯形法，在选择入基变量时，应该首先选择P1系数最大且大于零者，在P1满足的前提下，再考虑P2，再用最小比值法选择出基变量，进行迭代，直至求出最优解或判断无解。

问题一：建立一个资源利用的规划模型，需加入时间资源、资金资源。

1、问题的提出

1.1基本情况

某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示：

表1-1

项目 配件种类 资源限制

B1 B2 B3

资金（百元） 4 1 2 200 劳动力/工时 6 4 3 360 设备台时（小3 2 3 210 时）

产品利润(元/7 5 4 件)

1.2提出问题

1、假设每种配件的市场都是供不应求，不用考虑市场及原材料的供应问题那么在现有的条件下应该如何分配者三种配件的生产才能获得最大利润。

2、模型的建立

2.1确定决策变量

因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能获得的最大利润。因此可以设x1,x2,x3来表示B1，B2，B3的产量。

2.2确定目标函数

该问题归结为求效益最大化的问题。这里所追求的利润S应是最大（简写为max）

maxS7x15x24x3

2.3确定约束条件

考虑到资金限制和劳动力总工时以及设备台时的要求，会有一定的约束条件用不等式表示参考表1-1数值有

4x1x22x3200

6x14x23x3360 3x12x23x3210

2.4建立模型

综合前述各步及变量非负的条件建立起线性规划模型如下。求变量

xi(i1,2,3)使得目标函数：

maxS7x15x24x3

取得最大值，并满足如下的约束条件的要求：

4x1x22x32006x4x3x360123

s.t.

3x12x23x3210

x1,x2,x30

3、模型的求解分析

上述线性规划模型是非标准的线性规划模型，用常规方法将其变为标准型的

线性规划模型，然后利用单纯形法进行求解。 3.1模型转化

给约束条件加入松弛变量x4,x5,x6将模型变为标准型的线性规划模型如下：

maxS7x15x24x3

4x1x22x3x42006x4x3xx360235s.t.1 3x12x23x3x6210x1,x2,x3,x4,x5,x60

对应于下边模型 maxZCX

AXbXB

s.t.A(B,N),X,C(CB,CN) 

X0XN3.2初始单纯形表的构建

问题二：将上问题的线性规划模型改为目标规划模型

1、问题提出

1.1基本情况

某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示：

表1-1

项目 配件种类 资源限制

B1 B2 B3

资金（百元） 4 1 2 200 劳动力/工时 6 4 3 360 设备台时（小3 2 3 210 时）

产品利润(元/7 5 4 件)

1.2提出问题

对于上述问题在不考虑其他外界因素的情况下，用单纯形法计算可以得出最优解等于（34,24,20），最优值是438（百元）。现在公司提出了新的目标： 1、希望利润达到460（百元）；

2、可以利用的资源总量仍然不变，即资金投入不超过200（百元），劳动力工时不超过360小时，设备台时不超过210小时。 为了达到以上两个目标该如何重新合理安排生产。

2、模型的建立

2.1确定目标的优先级

由于不同目标的优先级是不可比较的，即较高目标的损失，任何较低目标上的收获是没有办法弥补的。因此需要首先确定目标的优先级： 引进优先级别系数：

P1：利润达到460（百元)； P2：资金投入不超过200（百元），劳动力工时不超过360小时，设备工时不超过210小时；其权数之比为3:1:1 2.2确定变量

因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能获得的最大利润。因此可以设x1,x2,x3来表示B1，B2，B3的产量。为了达到新

的目标要引入偏差变量di,di(i1~4)

2.3确定目标函数

该问题为目标规划问题，可以讲问题转化为偏差的最小化问题。这里所用到的偏差目标用z表示



minzP1d1P2(3d2d3d4)

2.4确定约束条件

根据目标的要求此处我们考虑如下的一些约束： 1、要求利润达到460（百元），添加偏差变量后约束可以表示为

7x15x24x3d1d1460

2、资金投入不超过200（百元），添加偏差变量后约束可以表示为



4x1x22x3d2d2200

3、劳动力时间不超过360小时，添加偏差变量后约束可以表示为

6x14x23x3d3d3360

4、劳动力时间不超过360小时，添加偏差变量后约束可以表示为

3x12x23x3d4d4210

2.5建立模型

综合前述各步建立如下的目标规划模型



minzP1d1P2(3d2d3d4)

7x15x24x3d1d1200

4x1x22x3d2d2200s.t. 

6x4x3xdd36023331

3x12x23x3d4d4210

x1,x2,x3,di0(i1~4)

3、模型的求解分析

多目标规划问题与现行规划问题相似，可以利用单纯形法进行求解。

3.1模型转化

将目标函数化成标准型：



maxSP1d1P2(3d2d3d4)

7x15x24x3d1d1200

4x1x22x3d2d2200s.t. 

6x14x23x3d3d3360

3x12x23x3d4d4210

x1,x2,x3,di0(i1~4)

列出单纯形表，检验数是Pj的函数。计算方法同单纯形法，在选择入基变量时，应该首先选择P1系数最大且大于零者，在P1满足的前提下，再考虑P2，再用最小比值法选择出基变量，进行迭代，直至求出最优解或判断无解。