数学添加辅助线口诀

平面几何添加辅助线口诀

口决一 遇中点，配中点，连点添边中位线 口决二 遇到一边有中线，只需将其一倍延， 口决三 遇到垂线、角分线，绕轴翻转来变换 口决四 遇到图中有等边，绕点旋转来变换

口决一 遇中点，配中点，连点添边中位线

理论依据：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 。 使用方法：如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行且等于BC/2

法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。 ∵CF∥AD ∴∠A=∠ACF

∵AE=CE、∠AED=∠CEF ∴△ADE≌△CFE ∴AD=CF ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CF

∴BCFD是平行四边形 ∴DF∥BC且DF=BC ∴DE=BC/2

∴三角形的中位线定理成立. 例题：

经典例题1：

在△ABC中，AB=2AC，AF= 四分之一AB，D、E分别为AB、BC的中点，EF与CA的延长线交于点G，求证：AF=AG．

证明：取AC的中点M，连接EM， ∵E，M，分别是BC，AC的中点， ∴EM是△ABC的中位线， 又∵EM=二分之一AB， AF=四分之一AB， ∴AF=二分之一EM 又∵EM∥AB， ∴GA：GM=AF：EM=1:2 即AG=AM=二分之一AC ∵AC=二分之一AB ∴AG=四分之一AB ∵AF=四分之一AB ∴AG=AF．

经典例题2：已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分

别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，BD=2BO． 由已知BD=2AD， ∴BO=BC． 又E是OC中点， ∴BE⊥AC．

（2）由（1）BE⊥AC，又G是AB中点， ∴EG是Rt△ABE斜边上的中线． ∴EG=二分之一AB

又∵EF是△OCD的中位线， ∴EF=二分之一CD 又AB=CD，

∴EG=EF． 练习：

1：已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．

求：AE：AC的值

2：

如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．

求证：GE：CE，GD：AD，的值是多少

3：如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F． （1）求证：BF=FD；

（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；

（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG=四分之一DA ,并说明理

由

口决二 遇到一边有中线，只需将其一倍延

理论依据：全等三角形判定与性质或者平行四边形判定与性质

使用方法：有中线时，一般作加倍中线构造全等三角形或者平行四边形，使分散的条

件集中；

例题：

1.如图1,已知ΔABC中,D是BC的中点,DE⊥DF.求证:BE+CF>EF. 方法一:如图2，延长ED到M,使DM=DE,连结MC和MF,

易证ΔMCD≌ΔEBD, ∴BE=CM.

∵DE⊥DF, DM=DE, ∴EF=MF.

在ΔFCM中，∵CF+CM>MF.

图1

C

M

∴BE+CF>EF.

说明：延长FD到N,使DN=DF,连结BN和NE也可以.

方法二:如图3，连结BF，取BF的中点M, 取EF的中点H，连结DM、DH、MH，

∴DM，MH为中位线. ∴DM=

12

CF，MH=

12

BE.

在Rt△EDF中，H为EF的中点， ∴DH=

12

EF.

D

C

图3

在ΔDMH中，MH+MD>DH, ∴BE+CF>EF.

说明:连结CE，取CE的中点M, 取EF的中点H，连结DM、MH、DH

也可以.

2. 如图1，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC上的中线AD=2。求BC的长.

如图1，延长AD到E，使DE=AD，连结BE，∴AE=2AD=2×2=4. 在ΔACD和ΔEBD中，

∵ AD=ED，∠ADC=∠EDB， CD=BD， ∴ ΔACD≌ΔEBD.

E

C

图1

∴ AC=BE， ∴BE=AC=3.

在ΔABE中，∵AE2+BE2=42+32=25=AB2，

∴∠E=90°.

∴ BD=

∴ BC=2BD=2

3.如图1,已知:ΔABC中, ∠A= 90,D是BC的中点,DE⊥ DF.求

==.

证:BECFEF.

证法一：如图1：延长ED到G,使DG=ED,连结GF,GC, 易证：ΔBDE≌ΔCDG, 得BE=CG, 由于DG=ED, DE⊥DF， 得EF=FG，易证∠FCG=90,在ΔGCF中，CFCGGF,



222

D

C

图

1

222

C

于是BECFEF.

(证法二：如图2，取BF的中点I,取EF的中点H,连结DH.HI,DI. 利用中位线性质和直角三角形斜边中线的性质证明.)

图2

练习：

4、如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE 第四题

5.如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，

求证：△DEF为等腰直角三角形。

6.已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=CD，过点E作EF∥AB交AD于点F，EF=AC。 求证：AD平分∠BAC

D

222

C

E

9.（提高题）在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点求证：AM=AD

B

E

F

C

A

口决三 遇到垂线、角分线，绕轴翻转来变换

理论依据：翻折旋转的性质

使用方法：运用旋转翻折构造全等、相似形

练习：

一。

1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC

周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.

2、如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

A

BDE

C

二．

1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

2：D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1） 当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AC=2，求四边形DECF的面积。

A

DF

B

E

C

A

3.如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为 ；

B

C

中考应用



（07佳木斯）已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，



∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于

E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

BE

E M

BD E

M

BCFD

CN

FD

N

N

M

（图1） （图2） （图3）

（西城09年一模）已知

的两侧.

以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

（09崇文一模）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．





图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

QL



（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还

成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．

三。

1. 直角三角形ABC中着点P逆时针旋转到

；P为BC的中点，

，求重叠部分PQKR的面积。

绕

2.如图1，P为正方形ABCD内一点，PA＝1，PD＝2，PC＝3，将D点按逆时针旋转到的位置。

（1）求PQ:PD的值； （2）求

绕着

的度数。

3. 如图，P为正三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求数。

的度

例1：如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且EAF45，AHEF，H为垂足，求证：AH=AB.

例2：在ABC中，ACD90，AC=BC，P是ABC内的一点，且AP=3，CP=2，BP=1.

求BPC度数。

例3:已知在ABC中，AB=AC，P为形内一点，且APBAPC，求证：PB

总结：有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候，可以用旋转：

（1）边相等时常见图形如正方形、等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形等等；

（2）角度能拼成的特殊角指的是180度、90度等等。

翻折：

例4：已知：ABC中，12，AB=2AC，AD=BD 求证：DCAC

例5：ABC为等腰直角三角形，ABC90，AB=AE，BAE30，求证：BE=CE

例6：在ABC中，E、F为BC边上的点，已知CAEBAF,CE=BF, 求证：AC=AB

口决四 遇到图中有等边，绕点旋转来变换

理论依据：借助有公共端点的相等线段把图形的一部分旋转一定角度，可把分散的条件集中在一个图形中，从而为解题创造有利条件。

使用方法：在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置。

例题：

例一 如图1，已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求：∠APB的度数

解：如图，顺时针旋转△ABP60°得到△BCQ，连接PQ，

∵∠PBQ=60°，BP=BQ，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PQ=PB=4，

而PC=5，PQ=4，

在△PQC中，PQ2+QC2=PC2，

∴△PQC是直角三角形，

∴∠BQC=60°+90°=150°，

∴∠APB=150°．

例二 如图2，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点，求证：AM≤BM+CM.

证明：如图2，将△BMC绕B点逆时针方向旋转60°，使C点与A点重合，得△BM′A，

∵∠MBM′=60°，BM=BM′，AM′=MC．

∴△BMM′为正三角形．

∴MM′=BM．则有：

①若M′在AM上，

则AM=AM′+MM′=BM+MC，

②若M′不在AM上，连接AM′、MM′， M ’ 在△AMM′中，根据三角形三边关系可知：

AM＜AM′+MM′，

∴AM＜BM+MC

综上所述，AM≤BM+CM.

图2

练习：

1.如图3，正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F。求证：BE=CF+AE，

证明：延长DC至N，使CN=AE，连结BN，则△ABE≌△CBN，

∴∠ABE=∠CBN，BE=BN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD∥AB，所以∠NFB=∠ABF

∵∠ABF=∠ABE+∠EBF，∠NBF=∠NBC+∠CBF，∠EBF=∠FBC， ∴∠NBF=∠BFN，

∴BN=NF=CN+CF， 图3 ∴BE=AE+CF。

2.如图4，已知：P为等边三角形ABC内一点，PA=5，PB=4，PC=3，求∠BPC的度数。 解：把△ABP绕点B顺时针旋转90°，得△CBD，则△ABP≌△CBD ∴BP=BD,AP=CD=5,∠ABP=∠CBD

∴∠BAP+∠PBC=∠CBD+∠PBC=60°

∴△BPD为等边三角形 ∴∠PBD=60°,PD=PB=4

∴CD=PD+PC D

已知，P为等边ABC内一点，PA=5，

又∠DPC=90°

∴∠BPC=∠BPD+∠DPC=60°+90°=150°

3.如图5，已知：E是正方形ABCD内一点，且∠ECD=∠EDC=15°，求证：△ABE是等边三角形

证明：如图3，∵∠ECD=∠EDC=15°，将△ECD进行旋转与翻折，使△ECD≌△FAD，

∴∠FDA=15°，DE=DF，

∴∠FDE=90°-∠FDA-∠EDC=60°，

∴△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）； ∴DF=EF=DE，∠DFE=∠DEF=60°，

∵DE=EC，DF=AF，

∴AF=EF，

∵∠ECD=∠EDC=15°，

∴∠DEC=150°，

∴∠DFA=150°，

∴∠AFE=360°-150°-60°=150°，

∴ DE=FE ∠DEC=∠AFE AF=EC ，

∴△ECD≌△FAE（SAS）；

∵△ECD≌△FAE，△ECD≌△FAD，

∴DC=AE，∠FAE=∠EDC=∠DAF=15°，

∴∠DAE=30°，

∴∠EAB=60°，

∴△ABE是等边三角形．

图5

平面几何添加辅助线口诀

口决：三点定型法，

理论依据：

使用方法：

例题：例1：已知:∠ACB=90 ,CD⊥AB. 求证:AC=AD AB

分析:要证 AC2=AD AB,可先证,这时看等号的左边A,D,C三点可确定一个三角形,而等号右边 A, C, B 三点也可确定一个三角形,即证△ACD∽△ABC.都看上面的分子为 A,B,C 及都看下面的分母为 A,C,D 也可确定去证△ACD∽△ABC.

例2, 已知;AD 平分∠BAC,EF 垂直平分 AD 与 BC 的延长线交于F.求证:DF2=BFCF分析: 由已知可得 DF=AF, 直接证 DF2 =BFCF 找不出相似三角形, 可改证 AF2 =BFCF, AF CF = BF AF再三点定型上下分别定出△ABF∽△CAF

练习：

1已知:等边三角形 ABC 中,P 为 BC 上任一点,AP 的垂直平分线交 AB,AC 于 M, N 两点. 求证:BPPC=BMCN

2梯形 ABCD 中,AD//BC,AC 与 BD 相交于 O 点,作 BE//CD,交 CA 的延 长线于点 E. 求证:OC=OA.OE

例

1 例2 练习1 22

练习2

平面几何添加辅助线口诀

口决一 相似三角形：三点一线法添加辅助线

理论依据：证明等积式问题常常化为比例式，在通过相似三角形对应边成比例证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比例来得到，为构造相似三角形，需添加平行线。 使用方法：遇到等积式，先化为比例式，再在分子和分母之间找公共点，然后在不破坏已知条件的情况下添加平行线。

例题：如图，D,F分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AD：DB＝2:3，连DF交BC边延长线于点E，那么EF：FD＝

分析：由结论EF：FD得三点一线EFD，在点F处做DB的平行线或在点D处做FC的平行线均可。再由三角形相似求得EF与FD的比。

练习：如图所示，D是△ABC中BC边上的一点，CD＝1／3BC，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AF：AC＝

平面几何添加辅助线口诀

平面几何添加辅助线口诀

口决一 遇中点，配中点，连点添边中位线 口决二 遇到一边有中线，只需将其一倍延， 口决三 遇到垂线、角分线，绕轴翻转来变换 口决四 遇到图中有等边，绕点旋转来变换

口决一 遇中点，配中点，连点添边中位线

理论依据：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 。 使用方法：如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行且等于BC/2

法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。 ∵CF∥AD ∴∠A=∠ACF

∵AE=CE、∠AED=∠CEF ∴△ADE≌△CFE ∴AD=CF ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CF

∴BCFD是平行四边形 ∴DF∥BC且DF=BC ∴DE=BC/2

∴三角形的中位线定理成立. 例题：

经典例题1：

在△ABC中，AB=2AC，AF= 四分之一AB，D、E分别为AB、BC的中点，EF与CA的延长线交于点G，求证：AF=AG．

证明：取AC的中点M，连接EM， ∵E，M，分别是BC，AC的中点， ∴EM是△ABC的中位线， 又∵EM=二分之一AB， AF=四分之一AB， ∴AF=二分之一EM 又∵EM∥AB， ∴GA：GM=AF：EM=1:2 即AG=AM=二分之一AC ∵AC=二分之一AB ∴AG=四分之一AB ∵AF=四分之一AB ∴AG=AF．

经典例题2：已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分

别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，BD=2BO． 由已知BD=2AD， ∴BO=BC． 又E是OC中点， ∴BE⊥AC．

（2）由（1）BE⊥AC，又G是AB中点， ∴EG是Rt△ABE斜边上的中线． ∴EG=二分之一AB

又∵EF是△OCD的中位线， ∴EF=二分之一CD 又AB=CD，

∴EG=EF． 练习：

1：已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．

求：AE：AC的值

2：

如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．

求证：GE：CE，GD：AD，的值是多少

3：如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F． （1）求证：BF=FD；

（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；

（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG=四分之一DA ,并说明理

由

口决二 遇到一边有中线，只需将其一倍延

理论依据：全等三角形判定与性质或者平行四边形判定与性质

使用方法：有中线时，一般作加倍中线构造全等三角形或者平行四边形，使分散的条

件集中；

例题：

1.如图1,已知ΔABC中,D是BC的中点,DE⊥DF.求证:BE+CF>EF. 方法一:如图2，延长ED到M,使DM=DE,连结MC和MF,

易证ΔMCD≌ΔEBD, ∴BE=CM.

∵DE⊥DF, DM=DE, ∴EF=MF.

在ΔFCM中，∵CF+CM>MF.

图1

C

M

∴BE+CF>EF.

说明：延长FD到N,使DN=DF,连结BN和NE也可以.

方法二:如图3，连结BF，取BF的中点M, 取EF的中点H，连结DM、DH、MH，

∴DM，MH为中位线. ∴DM=

12

CF，MH=

12

BE.

在Rt△EDF中，H为EF的中点， ∴DH=

12

EF.

D

C

图3

在ΔDMH中，MH+MD>DH, ∴BE+CF>EF.

说明:连结CE，取CE的中点M, 取EF的中点H，连结DM、MH、DH

也可以.

2. 如图1，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC上的中线AD=2。求BC的长.

如图1，延长AD到E，使DE=AD，连结BE，∴AE=2AD=2×2=4. 在ΔACD和ΔEBD中，

∵ AD=ED，∠ADC=∠EDB， CD=BD， ∴ ΔACD≌ΔEBD.

E

C

图1

∴ AC=BE， ∴BE=AC=3.

在ΔABE中，∵AE2+BE2=42+32=25=AB2，

∴∠E=90°.

∴ BD=

∴ BC=2BD=2

3.如图1,已知:ΔABC中, ∠A= 90,D是BC的中点,DE⊥ DF.求

==.

证:BECFEF.

证法一：如图1：延长ED到G,使DG=ED,连结GF,GC, 易证：ΔBDE≌ΔCDG, 得BE=CG, 由于DG=ED, DE⊥DF， 得EF=FG，易证∠FCG=90,在ΔGCF中，CFCGGF,



222

D

C

图

1

222

C

于是BECFEF.

(证法二：如图2，取BF的中点I,取EF的中点H,连结DH.HI,DI. 利用中位线性质和直角三角形斜边中线的性质证明.)

图2

练习：

4、如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE 第四题

5.如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，

求证：△DEF为等腰直角三角形。

6.已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=CD，过点E作EF∥AB交AD于点F，EF=AC。 求证：AD平分∠BAC

D

222

C

E

9.（提高题）在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点求证：AM=AD

B

E

F

C

A

口决三 遇到垂线、角分线，绕轴翻转来变换

理论依据：翻折旋转的性质

使用方法：运用旋转翻折构造全等、相似形

练习：

一。

1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC

周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.

2、如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

A

BDE

C

二．

1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

2：D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1） 当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AC=2，求四边形DECF的面积。

A

DF

B

E

C

A

3.如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为 ；

B

C

中考应用



（07佳木斯）已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，



∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于

E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

BE

E M

BD E

M

BCFD

CN

FD

N

N

M

（图1） （图2） （图3）

（西城09年一模）已知

的两侧.

以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

（09崇文一模）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．





图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

QL



（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还

成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．

三。

1. 直角三角形ABC中着点P逆时针旋转到

；P为BC的中点，

，求重叠部分PQKR的面积。

绕

2.如图1，P为正方形ABCD内一点，PA＝1，PD＝2，PC＝3，将D点按逆时针旋转到的位置。

（1）求PQ:PD的值； （2）求

绕着

的度数。

3. 如图，P为正三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求数。

的度

例1：如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且EAF45，AHEF，H为垂足，求证：AH=AB.

例2：在ABC中，ACD90，AC=BC，P是ABC内的一点，且AP=3，CP=2，BP=1.

求BPC度数。

例3:已知在ABC中，AB=AC，P为形内一点，且APBAPC，求证：PB

总结：有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候，可以用旋转：

（1）边相等时常见图形如正方形、等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形等等；

（2）角度能拼成的特殊角指的是180度、90度等等。

翻折：

例4：已知：ABC中，12，AB=2AC，AD=BD 求证：DCAC

例5：ABC为等腰直角三角形，ABC90，AB=AE，BAE30，求证：BE=CE

例6：在ABC中，E、F为BC边上的点，已知CAEBAF,CE=BF, 求证：AC=AB

口决四 遇到图中有等边，绕点旋转来变换

理论依据：借助有公共端点的相等线段把图形的一部分旋转一定角度，可把分散的条件集中在一个图形中，从而为解题创造有利条件。

使用方法：在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置。

例题：

例一 如图1，已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求：∠APB的度数

解：如图，顺时针旋转△ABP60°得到△BCQ，连接PQ，

∵∠PBQ=60°，BP=BQ，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PQ=PB=4，

而PC=5，PQ=4，

在△PQC中，PQ2+QC2=PC2，

∴△PQC是直角三角形，

∴∠BQC=60°+90°=150°，

∴∠APB=150°．

例二 如图2，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点，求证：AM≤BM+CM.

证明：如图2，将△BMC绕B点逆时针方向旋转60°，使C点与A点重合，得△BM′A，

∵∠MBM′=60°，BM=BM′，AM′=MC．

∴△BMM′为正三角形．

∴MM′=BM．则有：

①若M′在AM上，

则AM=AM′+MM′=BM+MC，

②若M′不在AM上，连接AM′、MM′， M ’ 在△AMM′中，根据三角形三边关系可知：

AM＜AM′+MM′，

∴AM＜BM+MC

综上所述，AM≤BM+CM.

图2

练习：

1.如图3，正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F。求证：BE=CF+AE，

证明：延长DC至N，使CN=AE，连结BN，则△ABE≌△CBN，

∴∠ABE=∠CBN，BE=BN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD∥AB，所以∠NFB=∠ABF

∵∠ABF=∠ABE+∠EBF，∠NBF=∠NBC+∠CBF，∠EBF=∠FBC， ∴∠NBF=∠BFN，

∴BN=NF=CN+CF， 图3 ∴BE=AE+CF。

2.如图4，已知：P为等边三角形ABC内一点，PA=5，PB=4，PC=3，求∠BPC的度数。 解：把△ABP绕点B顺时针旋转90°，得△CBD，则△ABP≌△CBD ∴BP=BD,AP=CD=5,∠ABP=∠CBD

∴∠BAP+∠PBC=∠CBD+∠PBC=60°

∴△BPD为等边三角形 ∴∠PBD=60°,PD=PB=4

∴CD=PD+PC D

已知，P为等边ABC内一点，PA=5，

又∠DPC=90°

∴∠BPC=∠BPD+∠DPC=60°+90°=150°

3.如图5，已知：E是正方形ABCD内一点，且∠ECD=∠EDC=15°，求证：△ABE是等边三角形

证明：如图3，∵∠ECD=∠EDC=15°，将△ECD进行旋转与翻折，使△ECD≌△FAD，

∴∠FDA=15°，DE=DF，

∴∠FDE=90°-∠FDA-∠EDC=60°，

∴△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）； ∴DF=EF=DE，∠DFE=∠DEF=60°，

∵DE=EC，DF=AF，

∴AF=EF，

∵∠ECD=∠EDC=15°，

∴∠DEC=150°，

∴∠DFA=150°，

∴∠AFE=360°-150°-60°=150°，

∴ DE=FE ∠DEC=∠AFE AF=EC ，

∴△ECD≌△FAE（SAS）；

∵△ECD≌△FAE，△ECD≌△FAD，

∴DC=AE，∠FAE=∠EDC=∠DAF=15°，

∴∠DAE=30°，

∴∠EAB=60°，

∴△ABE是等边三角形．

图5

平面几何添加辅助线口诀

口决：三点定型法，

理论依据：

使用方法：

例题：例1：已知:∠ACB=90 ,CD⊥AB. 求证:AC=AD AB

分析:要证 AC2=AD AB,可先证,这时看等号的左边A,D,C三点可确定一个三角形,而等号右边 A, C, B 三点也可确定一个三角形,即证△ACD∽△ABC.都看上面的分子为 A,B,C 及都看下面的分母为 A,C,D 也可确定去证△ACD∽△ABC.

例2, 已知;AD 平分∠BAC,EF 垂直平分 AD 与 BC 的延长线交于F.求证:DF2=BFCF分析: 由已知可得 DF=AF, 直接证 DF2 =BFCF 找不出相似三角形, 可改证 AF2 =BFCF, AF CF = BF AF再三点定型上下分别定出△ABF∽△CAF

练习：

1已知:等边三角形 ABC 中,P 为 BC 上任一点,AP 的垂直平分线交 AB,AC 于 M, N 两点. 求证:BPPC=BMCN

2梯形 ABCD 中,AD//BC,AC 与 BD 相交于 O 点,作 BE//CD,交 CA 的延 长线于点 E. 求证:OC=OA.OE

例

1 例2 练习1 22

练习2

平面几何添加辅助线口诀

口决一 相似三角形：三点一线法添加辅助线

理论依据：证明等积式问题常常化为比例式，在通过相似三角形对应边成比例证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比例来得到，为构造相似三角形，需添加平行线。 使用方法：遇到等积式，先化为比例式，再在分子和分母之间找公共点，然后在不破坏已知条件的情况下添加平行线。

例题：如图，D,F分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AD：DB＝2:3，连DF交BC边延长线于点E，那么EF：FD＝

分析：由结论EF：FD得三点一线EFD，在点F处做DB的平行线或在点D处做FC的平行线均可。再由三角形相似求得EF与FD的比。

练习：如图所示，D是△ABC中BC边上的一点，CD＝1／3BC，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AF：AC＝

平面几何添加辅助线口诀