彩票中的数学规律
肖文 张娟娟 吴瑞兰
彩票中的数学规律
摘 要：本文主要运用主成分分析模型对彩票设计方案的合理性进行了综合分析，得到了影响彩票吸引力的主要指标，并给出了一种“更好“的彩票设计方案及其算法。
首先，我们对给出的29种常见方案进行了数据处理。由于不同的方案，奖项设置各不相同，为了方便计算，我们对原始数据做了适当的补充和修改，使29种方案均有七个奖项且各方案原来未设奖项的中奖率和奖金额均记为零，并求出了所有方案各种奖项的中奖率，引入了奖金分配率的概念。根据问题所给出的29种方案的特点，我们将这两大重要因素细分为一至七等奖的中奖率、一至三等奖（高项奖）的奖金分配率、低项奖的奖金分配额及总中奖率等12项指标，从而将方案的合理性评价化为一个多指标综合评价问题。运用主成分分析模型对29种方案进行了综合分析，得出各种方案的综合评价值并按该值进行了排名，通过对排名表及相关对应指标的观察分析，得出第6、7、10、23、8和5号方案的设置较为合理。并归纳出以下特点：
（1） 总中奖率、低项奖奖金分配率及一等奖奖金分配率较高的方案排名靠前； （2） 奖项种类设置较多的方案排名靠前；
（3） 备选号码较少的方案排名靠前（备选号码不超30的方案全都进入前7名）； （4） 总中奖率低、备选号码较多且奖项设置少的方案排名较后；
结合这些特点和主成分分析模型中特征值的累积贡献率，我们得出了决定彩票吸引力5大指标依次为总中奖率、低项奖奖金分配率、一等奖奖金分配率、备选号码数量和奖项的个数 。
其次，通过分析同一种方案的各种奖项中奖率的规律，得出了几个反映彩票中奖率规律的重要结果，
如乐透“k /n ”型方案相邻奖项中奖率满足
P 2m k −m +1P 2m +1
，=n −k −m ， =
P 2m −1m P 2m P 2m n −k −m P 2m +1k −m +1
==， ， P 2m −1m P 2m m
乐透“k +1/n ”型方案相邻奖项中奖率满足
这些规律都能在奖金分配方案的制定过程中发挥了重要应用。
第三，根据彩票中奖率的规律和主成分分析模型中方案评价的相关结论，结合彩票销售
地区的实际特点，给出了一种较好的彩票方案的设计原则和相应的算法：
（1） 根据总中奖率较高的原则，确定销售规则，使中奖率超过3%； （2） 根据销售规则制订奖项的等级；
（3） 依据彩票销售地区的环境（人口、收入水平）确定方案的定位，从而确定高项奖
和低项奖的奖金分配率； （4） 根据各奖项中奖率的关系（见定理2及其推论），确定低项奖各奖项的固定奖金
额和高项奖的奖金比率。 然后这个原则，我们设计了一个具有7个奖项的乐透28选7型带特别号的方案，从一等奖至七等奖的奖金设置原则依次为70%，10%，20%，500元，25元，10元和5元，该方案加入主成分分析模型中，得到的综合评价值为1.52，在所有“k /n ”型彩票中排名第一，说明了该方案确实比已有方案更好。
最后，我们根据综合各种分析的结果，给彩票管理部门提出了6条有意义的建议，并给报纸投了一篇关于彩票中有关数学规律的文章，供彩民参考。 关键词：彩票、主成分分析法、综合评价值、设计方案
一、问题的提出
近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。
表一：传统型“10选6+1”彩票奖项设置 中 奖 等 级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖
10 选 6+1（6+1/10）
基 本 号 码 特别号码 abcdef g abcdef
abcdeX Xbcdef abcdXX XbcdeX XXcdef
abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef
说 明 选7中（6+1） 选7中（6） 选7中（5） 选7中（4） 选7中（3） 选7中（2）
“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。
表二、乐透型“33选7”彩票奖项设置 中 奖 等 级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖
33 选 7（7/33） 选 6+1（6+1/36）
基 本 号 码 特别号码 ●●●●●●● ●●●●●●○ ★ ●●●●●●○ ●●●●●○○ ★ ●●●●●○○ ●●●●○○○ ★ ●●●●○○○
说 明 选7中（7） 选7中（6） 选7中（5） 选7中（4）
基 本 号 码 特别号码 ●●●●●● ★ ●●●●●○ ★ ●●●●○○ ★ ●●●○○○ ★
说 明 选7中（6+1）选7中（6） 选7中（5+1）选7中（5） 选7中（4+1）选7中（4） 选7中（3+1）
选7中（6+1）●●●●●● 选7中（5+1）●●●●●○ 选7中（4+1）●●●●○○
注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。
目前流行的彩票销售规则繁多，相应的奖金设置方案也各不相同，如附录一中给出了29
种常见的彩票方案，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖奖金数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：
[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖奖金总额 ]×单项奖比例
面对众多的方案，我们的问题是：
（1）对常见的29种彩票销售规则和相应的奖金设置方案就彩票中奖率、奖项和奖金额
的设置及对彩民的吸引力等因素，通过建立评价模型，对这些方案进行综合评价，并且给出排序结果，以供彩票管理部门作决策参考。根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、各种奖项的奖金在总奖金中的比率，不同彩票的总中奖率，并建立数学模型评价各方案奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素的合理性。
（2）在根据问题（1）的评价结果，分析各方案存在的优缺点，综合考虑彩票销售公司和彩民的利益，设法设计一种“更好”的方案，并给出设计模型或设计算法，以此给现有彩票管理部门提出建议。
（3）根据前面得到的信息，以客观的态度给报纸写一篇介绍性的短文，告诉彩民关于彩票销售中的数学奥秘，如各种彩票的中奖率、总中奖面、各种彩票奖项的奖金额占总奖金额的比例等问题，以供彩民在购买彩票作参考。
二、问题的分析
彩票发行的目的是筹集资金，兴办各种福利事业，因此对发行部门来说，单期彩票的销售量越大越好。当销售量增大时，作为对彩民回报的奖金额（本文为销售额的50%）也会增加，彩票吸引力得以加强，问题的核心是如何判断不同方案的吸引大小。影响彩票吸引力的因素很多（人口密度，人均收入，文化层次等等），但站在彩民角度上考虑，我们认为各等级奖项的中奖率、奖金总额的分配原则是其中最重要的两类因素。
1．如果高项奖的奖金额比率过大，巨奖的诱惑往往会吸引具有冒险精神的彩民，但是低项奖奖金额的减少带来的是中奖面的缩小，稳重彩民的热情必然降低，从而可能减少销售额；同样，如果低项奖的分配比率过高，不利于基金的积累，但是低项奖的金额会增加，带来的是中奖面的扩大，彩民的热情会增加。因此高、低项奖的奖金设置直接影响到彩票的销售额。 2．如果高项奖的中奖率过高，根据奖金的基本分配原则，必然要减少低项奖奖项的数量，增加彩票赌博的色彩，同样降低稳重彩民的热情，仍有可能减少销售额；同样，如果低项奖的中奖率过高，同样会降低彩票的吸引力。因此高、低项奖的奖项设置也直接影响到彩票的销售额。
因此，彩票奖项等级的设置和奖金的设置是直接影响彩票销售的两大重要因素，我们可以根据问题所给出的29个方案的特点，将这两大因素分一至七等奖的中奖率、一至三等奖（高项奖）的奖金分配率、低项奖的奖金分配额和总中奖率共12项指标来进行分析，从而将其化为多指标综合评价问题。
多指标综合评价的方法很多，根据权重确定方法的不同，这些方法大致可分为两类：一类是主观赋权法，如层次分析法、德尔菲法等，多是采用综合咨询评分的定性方法，这类方法因受到人为因素的影响，往往会夸大或降低了某些指标的作用，致使排序的结果不能完全真实地反映事物间的现实关系。另一类是客观赋权法，即根据各指标间的相关关系或各项指标值的变异程度来确定权数，避免了人为因素带来的偏差。如主成分分析法、因子分析法等。主成分分析法在将原始变量转变为主成分的过程中，同时形成了反映主成分和指标包含信息量的权数，以计算综合评价值，这样在指标权重选择上克服了主观因素的影响，有助于保证客观地反映样本间的现实关系。主成分分析法是通过恰当的数学变换，使新变量——主成分成为原变量的线形组合，并选取少数几个在变差总信息量中比例较大的成分来分析事物的一种方法。
根据对本问题的分析，采用主成分分析法比较合理。主成分分析法原理如下：
1）给定样本数据 如果一批申报中有N 个产品，每项产品有m 项指标，其标准化后的样本数据矩阵为：
⎛X 11⎜⎜X X =⎜21
⎜M ⎜X ⎝n 1X 12L X 1m ⎞
⎟
X 22L X 2m ⎟T
⎟，写成向量形式为X =(x 1, x 2, L , x m ) ；
M M ⎟X n 2K X nm ⎟⎠
⎛r 11r 12L r 1m ⎞
⎜⎟⎜r 21r 22L r 2m ⎟
2) 计算相关系数矩阵R =⎜⎟；
M ⎟⎜M M
⎜r r L r ⎟
mm ⎠⎝m 1m 2
3) 计算R 的特征方程R −λI =0的m 个非负的特征值λ1>λ2>L >λm ≥0。 4) 计算对应于特征值λi 的相应的特征向量 C i ，m 个特征向量形成特征向量矩阵
C =(C 1, C 2, L , C m )；
5）计算特征值λi 的贡献率f i =λi /
∑λ
i =1
n
i
，
计算特征值λ1至λk 的累积贡献率αk =
∑f
i =1
k
i
；
如果αk 超过0.85，则说明前k 个主成分基本包含了全部指标具有的信息，因此可以只选前五个主成分来进行分析；
6) 由前k 个特征向量可以确定k 个新因子Z =(z 1, z 2, L , z m ) , 有Z =XC ，从而得到k 个主成分的值z 1, z 2, L , z k ；
7）计算样本评价值Y =
T
∑f z
i =1
m
i i
, 式中，Y =(y 1, y 2, L , y n ) ；
T
8）根据样本评价值就可以对产品进行评价，还可对一批样本进行排序。
三、模型假设
1． 每个号码被抽中的概率是相同的；
2． 每种方案的销售规则及相应的奖金设置方案在一定的时期内是固定不变的； 3． 一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖； 4． 低项奖奖金数额固定，高项奖奖金按比例分配；
5． 奖项不能兼得，即单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖；
6． 低等奖的中奖概率相对较高，中奖的彩票注数受随机因素影响较小，即认为低项奖的
中奖注数与销售总注数的比值与相应的低项奖的中奖概率近似相等，每期彩票低项奖
的奖金分配比例不变；
7． 各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖奖金总额]×单项奖
比例。该计算方法在一定时期内是固定不变的； 8． 每种方案对彩民的吸引力是不同的；
9． 同种方案对彩民的吸引力在一定时期内是固定不变的； 10．彩票每期的中奖号码都随机产生不受外界任何因素的影响； 11．低等奖的中奖次数受随机因素影响较小，即按概率分布。
四、部分符号说明
本文中使用主要符号及其意义如下：
p ij ：第i 种方案j 等奖的中奖概率；
P =(p ij )29×7：中奖概率矩阵；
m ij ：第i 种方案j 等奖单注彩票所得的奖励，其中j =4, 5, 6, 7时为低项奖的单注固定奖金
数，j =1, 2, 3时为高项奖奖金在高项奖奖金总额中的比例；
M =(m ij )29×7：中奖奖励矩阵；
v ij ：第i 种方案j 等奖的累积奖金在总奖金中的比率，成为奖金分配率，i =1, 2, L , 29，j =1, 2, L , 7；
X ：样本数据的标准化矩阵； R ：X 的相关系数矩阵；
λj ：R 的特征值；
C j ：R 的关于特征值λj 的特征向量； f j ：特征值λj 的贡献率；
αk ：特征值λ1, λ2, L , λk 的累积贡献率；
y i ：方案i 的综合评价值。 五、模型建立
（一）数据处理
根据附录一，可知多数方案有7项奖项，部分方案没有7个奖项，为了方便，不妨假设有该项奖，但奖金为零，如第1方案只有一至四等奖，因此它的五、六、七等奖的单注奖金为
m 15=m 16=m 17=0
另外，第23方案的高项奖只有一等奖，其二、三等奖为固定奖金的低项奖，为统一，将其二、三、四、五等奖的奖励值分别视为四、五、六、七等奖的奖励值，并设其二、三等奖的奖金比例视为零，即
m 23, 1=1, m 23, 2=m 23, 3=0, m 23, 4=2000, m 23, 5=20, m 23, 6=4, m 23, 7=2
同样，在求各种方案的每种奖项的中奖率时也做类似处理，只要用到排列组合的知识，就可以得到中奖概率矩阵
P =(p ij )29×7
其中p ij 随方案i 的类型不同而有不同的求法，以乐透型33选7为例，说明p ij 的求法，根据古典概率的知识，33选7的各个奖项的概率分别为
76161511C 7C 7C 1C 7C 25C 7C 1C 25
p i 1=7， p i 2=， p =， p =， i 3i 4777
C 33C 33C 33C 3352123C 7C 25C 74C 1C 25C 74C 25
p i 5=， p i 6=， p i 7= 777
C 33C 33C 33
中奖概率矩阵P 的具体元素见表三，表中“--------”表示对应的方案没有设置相应的奖项，
在矩阵P 中的值设为零。
记p j =p 1j , p 2j , L , p 29, j
()
T
(j =1, 2, L , 7) 为j 等奖的中奖率向量，则
P =(p 1, p 2, L , p 7)
为中奖率矩阵，记
Pt =
∑p
j =1
7
j
为总中奖率向量（数据见表三）。
对于低项奖，中奖概率p ij 乘以j 等奖的单注固定奖金数m ij ， v ij =p ij m ij i =1, 2, L , 29, j =4, 5, 6, 7
由于彩票的发行量一般较大，根据假设5，低项奖的中奖注数与发行量的比率可以近似地用低项奖的中奖概率表示，因此v ij 可以表示i 方案j (i =4, 5, 6, 7) 等奖的奖金数占总奖金的比率（奖金分配率），从而
v ik =(1−∑v ij ) m ik
j =4
7
, k =1, 2, 3
表示i 方案各高项奖的奖金分配率，记v j =v 1j , v 2j , L , v 29, j
()
T
(j =1, 2, 3) 分别为各方案一、
二、三等奖的奖金分配率向量；为减少影响方案评价的因素，将每种方案的四~七等奖的奖金
77⎛7⎞
⎜分配率相加，构成低项奖的奖金分配率，记v L =∑v 1j , ∑v 2j , L , ∑v 29, j ⎟为低项奖奖金⎜⎟
j =4j =4⎝j =4⎠
T
分配率向量，记V =(v 1, v 2, v 3, v L )为奖金分配率矩阵，其元素见表四。
到此，我们已经构造并求出了中奖率矩阵和向量P =(p 1, p 2, L , p 7)，总中奖率向量Pt 以及奖金分配率矩阵和向量V =(v 1, v 2, v 3, v L )。
表三、各彩票方案各等级奖项中奖概率和总中奖率表 序
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
方案 6+1/10 6+1/10 6+1/10 6+1/10 7/29 6+1/29 7/30 7/30 7/30 7/31 7/31 7/32 7/32 7/32 7/33 7/33 7/34 7/34 7/35 7/35 7/35 7/35 7/35 6+1/36 6+1/36 7/36 7/37 6/40 5/60
一等奖 二等奖 三等奖
（万分之一）
四等奖 五等奖 六等奖 七等奖
总中 奖率
0.0020 0.0080 0.18000.0020 0.0080 0.18000.0020 0.0080 0.18000.0020 0.0080 0.18000.0064 0.0448 0.94180.0064 0.1410 0.84570.0049 0.0344 0.75650.0049 0.0344 0.75650.0049 0.0344 0.75650.0038 0.0266 0.61230.0038 0.0266 0.61230.0030 0.0208 0.49910.0030 0.0208 0.49910.0030 0.0208 0.49910.0023 0.0164 0.40960.0023 0.0164 0.40960.0019 0.0130 0.33830.0019 0.0130 0.33830.0015 0.0104 0.28110.0015 0.0104 0.28110.0015 0.0104 0.28110.0015 0.0104 0.28110.0012 0.0347 0.20840.0012 0.0347 0.20840.0012 0.0084 0.23480.0010 0.0068 0.19720.0026 0.0156 0.51580.0018 0.0092 0.4944
0.0003 -------- -------- ------ 0.00030.0003 0.0034 0.0420 ------ 0.04570.0003 0.0034 0.0420 ------ 0.04570.0003 0.0034 0.0420 ------ 0.04570.0003 0.0028 0.0047 ------ 0.00790.0009 0.0022 0.0148 ------ 0.01800.0002 0.0024 0.0040 0.0265 0.03310.0002 0.0024 0.0040 0.0265 0.03310.0002 0.0024 0.0040 0.0265 0.03310.0002 0.0020 0.0034 0.0236 0.02920.0002 0.0020 0.0034 ------ 0.00560.0001 0.0017 0.0029 ------ 0.00480.0001 0.0017 0.0029 ------ 0.00480.0001 0.0017 0.0029 ------ 0.00480.0001 0.0015 0.0025 ------ 0.00410.0001 0.0015 0.0025 0.0188 0.02290.0001 0.0013 0.0021 ------ 0.00350.0001 0.0013 0.0021 0.0169 0.02040.0001 0.0011 0.0018 ------ 0.00300.0001 0.0011 0.0018 0.0152 0.01830.0001 0.0011 0.0018 0.0152 0.01830.0001 0.0011 0.0018 0.0152 0.01830.0003 0.0007 0.0066 0.0088 0.01640.0003 0.0007 0.0066 ------ 0.00760.0001 0.0010 0.0016 0.0137 0.01640.0001 0.0008 0.0014 ------ 0.00230.0001 0.0021 0.0028 ------ 0.00500.0001 0.0026 -------- ------ 0.0028
0.0015 0.2915 120.1248
表四、各彩票方案各等级奖项的奖金分配率
方案标号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
方案设置 6+1/10 6+1/10 6+1/10 6+1/10 7/29 6+1/29 7/30 7/30 7/30 7/31 7/31 7/32 7/32 7/32 7/33 7/33 7/34 7/34 7/35 7/35 7/35 7/35 7/35 6+1/36 6+1/36 7/36 7/37 6/40 5/60
一等奖 二等奖 三等奖 低项奖 0.4935 0.1974 0.2961 0.0131 0.3859 0.1286 0.1286 0.3569 0.4180 0.0965 0.1286 0.3569 0.4502 0.0965 0.0965 0.3569 0.4842 0.1614 0.1614 0.1931 0.4224 0.1760 0.1056 0.2960 0.3740 0.0863 0.1151 0.4246 0.4644 0.0663 0.1327 0.3366 0.5333 0.0711 0.1067 0.2890 0.3024 0.0756 0.1260 0.4959 0.6478 0.0864 0.1296 0.1362 0.5267 0.1215 0.1621 0.1897 0.5672 0.0810 0.1621 0.1897 0.6077 0.0810 0.1215 0.1897 0.5761 0.0823 0.1646 0.1770 0.5595 0.0746 0.1119 0.2540 0.5840 0.1348 0.1797 0.1015 0.5650 0.0997 0.1662 0.1692 0.6375 0.1366 0.1366 0.0892 0.5021 0.0717 0.1435 0.2827 0.4790 0.0639 0.0958 0.3614 0.6525 0.0816 0.0816 0.1843 0.6368 0 0 0.3632 0.5038 0.0672 0.1008 0.3283 0.5724 0.0715 0.0715 0.2845 0.5829 0.0833 0.1665 0.1673 0.5316 0.1139 0.1139 0.2406 0.7797 0.0951 0.0761 0.0492 0.5350 0.1783 0.1783 0.1083
（二）、主成分分析评价模型
彩票方案的评价是一个综合性的评价问题，涉及多种因素，如中奖率、中奖面、奖金的多少、奖金的比例等等，这些指标之间具有一定的相关性，我们的问题归结为对这些指标进行综合评价。本文选取所给29种方案的一至七等奖中奖率(p 1, p 2, L , p 7) 、总中奖率Pt 、高项奖的奖金分配率(v 1, v 2, v 3) 以及低项奖的奖金分配率v L 共12种成分采用主成分分析法进行分析。
将各项指标综合构成样本数据矩阵
A =(p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7, v 1, v 2, v 3, v L , Pt ) =ˆ(a 1, a 2, L , a 12)
A 为一个29×12阶的矩阵，对其列向量进行标准化，得到标准化样本数据矩阵
X =(x 1, x 2, L , x 12)
其中 x j =
a j −j var(a j )
j =1, 2, L , 12
j 为a j 的样本均值，var(a j ) 的样本方差，然后计算X 的相关系数矩阵
R =r ij
()
12
R 为12阶方阵，其中 r ij =
cov(x i , x j ) var(x i ) var(x j )
i , j =1, 2, L 12
相关系数矩阵R 存在12个非负的特征值λ1>λ2>L >λ12≥0，对应的特征向量为
C 1, C 2, L , C 12，构成特征向量矩阵
C =(C 1, C 2, L , C 12)，
记 f j =
λj
∑λ
i =1
12
j
为特征值λj 的贡献率，f =(f 1, f 2, L , f 12)为贡献率向量，定义
T
∑λ
k
j
αk =
j =1
∑λ
i =1
12
=∑f j
j =1j
k
为第1个特征值至第k 个特征值的累积贡献率，根据附录一所给的数据，计算出12个特征值 及贡献率和累积贡献率结果如表五。累积贡献率表明，前5个特征值的累积贡献率以高达0.9252，说明前5个主成分基本包含了全部指标具有的信息，因此我们取前5个特征值
λ1, λ2, λ3, λ4, λ5，及其对应的特征向量C 1, C 2, C 3, C 4, C 5，见表六。
表五、特征值、贡献率和累积贡献率 主成分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
特征值 3.8506 3.6195 1.7387 0.9549 0.9380 0.6614 0.1775 0.0468 0.0118 0.0007 0.0000 0.0000
贡献率 0.3209 0.3016 0.1449
累积 贡献率 0.3209 0.6225 0.7674
0.8470 0.0782 0.9252 0.0551 0.9802 0.0148 0.0039 0.0010 0.0001 0 0
0.9950 0.9989 0.9999 1 1 1
表六、主要前五个主成分及对应的特征值和特征向量 指标
λ1=3.8506
特征向量C 1
λ2=3.6195
特征向量C 2
λ3=1.7387
特征向量C 3
λ4=0.9549
特征向量C 4
λ5=0.9380
特征向量C 5
A
p 1p 2p 3p 4p 5p 6 p 7v 1v 2v 3v L Pt
主成分
-0.4179
-0.4085 -0.3984 -0.4102 -0.2371 -0.0325 0.2450 0.2441 -0.3108 -0.1566 -0.0284 0.1808
F 1=XC 1
0.1311 0.0978 0.0091 0.1356 0.2668 0.3227 0.3179 -0.2470 -0.2790 -0.3589 0.4618 0.4443
F 2=XC 2
-0.2923 -0.2611 -0.3668 0.0154 0.2760 0.5317 -0.3249 -0.3066 0.2892 0.2597 0.0446 0.0017 F 3=XC 3
0.2729 -0.4477 0.3946 -0.5257 0.4637 -0.1112 0.0432 -0.0935 -0.0864 0.2174 0.0165 -0.0060
F 4=XC 4
0.0460 0.0264 0.0498 0.0518 0.4292 0.3164 -0.1679 0.6273 0.0169 -0.3830 -0.3715 0.0326 F 5=XC 5
从而可以得到各种方案前五个主成分值的矩阵
F =(F 1, F 2, F 3, F 4, F 5) =(XC 1, XC 2, XC 3, XC 4, XC 5) ，
然后根据主要的5个特征值的贡献率f j ，得到样本评价值向量
Y =∑F j ⋅f j =(y 1, y 2, L , y 29) T
j =1
5
y i (j =1, 2, L , 29) 为方案i 的综合评价值，综合评价值越大，说明方案越优，所有29个方案
评价值的排序结果如表七。
表七、各方案综合评价值排序及其相关指标表 评价排序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
方案标号 6 7 10 23* 8 9 5 24 3 21 4 2 16 13 11 25 14 20 12 15 18 22 26 27 17 28 29 19 1
方案设置 6+1/29 7/30 7/31 7/35 7/30 7/30 7/29 6+1/36 6+1/10 7/35 6+1/10 6+1/10 7/33 7/32 7/31 6+1/36 7/32 7/35 7/32 7/33 7/34 7/35 7/36 7/37 7/34 6/40 5/60 7/35 6+1/10
综合 评价值1.8931 1.1963 1.1609 0.2158 1.0124 0.8071 0.6526 0.1571 0.1063 0.0687 0.0520 0.0121 -0.0203-0.0401-0.0511-0.0678-0.1085-0.1173-0.1587-0.2509-0.4035-0.5551-0.5552-0.6143-0.7454-0.7581-0.8194-0.9649-1.1037
一等奖奖金 分配率0.4224 0.3740 0.3024 0.6368 0.4644 0.5333 0.4842 0.5038 0.4180 0.4790 0.4502 0.3859 0.5595 0.5672 0.6478 0.5724 0.6077 0.5021 0.5267 0.5761 0.5650 0.6525 0.5829 0.5316 0.5840 0.7797 0.5350 0.6375 0.4935
二等奖奖金 分配率0.1760 0.0863 0.0756 0 0.0663 0.0711 0.1614 0.06720.0965 0.0639 0.0965 0.1286 0.0746 0.0810 0.0864 0.0715 0.0810 0.0717 0.1215 0.0823 0.0997 0.0816 0.0833 0.1139 0.1348 0.0951 0.1783 0.1366 0.1974
三等奖奖金 分配率 0.1056 0.1151 0.1260 0 0.1327 0.1067 0.1614 0.1008 0.1286 0.0958 0.0965 0.1286 0.1119 0.1621 0.1296 0.0715 0.1215 0.1435 0.1621 0.1646 0.1662 0.0816 0.1665 0.1139 0.1797 0.0761 0.1783 0.1366 0.2961
低项奖奖金 分配率 0.2960 0.4246 0.4959 0.3632 0.3366 0.2890 0.1931 0.3283 0.3569 0.3614 0.3569 0.3569 0.2540 0.1897 0.1362 0.2845 0.1897 0.2827 0.1897 0.1770 0.1692 0.1843 0.1673 0.2406 0.1015 0.0492 0.1083 0.0892 0.0131
综合 中奖率0.0180 0.0331 0.0292 0.1248 0.0331 0.0331 0.0079 0.0164 0.0457 0.0183 0.0457 0.0457 0.0229 0.0048 0.0056 0.0076 0.0048 0.0183 0.0048 0.0041 0.0204 0.0183 0.0164 0.0023 0.0035 0.0050 0.0028 0.0030 0.0003
注：第23项方案因其二、三、四、五等奖为固定奖金，为处理方便，将其定为低等奖（四、五、六、七等奖），变动后二、三等奖奖金分配率定为零。
根据主成分分析综合评价及排序结果（表六和表七），我们发现如下规律：
（1）排名较前的方案总中奖率、一等奖奖金分配率、低等奖奖金分配率较高，奖项种类较多，如排名前三的方案6、方案7和方案10；
（2）对于总中奖率特别高的方案，尽管它的奖项设置少，也排名较前。如排名第四的方案23，其总中奖率是所有方案中最高的，比其他方案高出5~10倍。目前正在彩票行业中走俏的“20选5”方案（其奖项设置类似于方案23，只有一个高项奖，其余的为低项奖）；
（3）备选号码较少的方案排名也较前，备选号码在不超30的方案全都进入前7名； （4）总中奖率低、低项奖奖项少的方案，是对彩民的吸引力最小，从而彩票销售公司盈利也最小的方案，一般排名较后。如排后6名的方案1、19、29、28、17和27，它们的总中奖率均不超过0.5%，在全部29个方案中总中奖率也居后6名；
（5）奖项设置特别少的方案，其总中奖率最低，而且低等奖奖项少，导致低等奖奖金总额占总奖金额的比例减少，这类方案是对彩民最没有吸引力的方案，同时也是彩票销售公司盈利性最差的方案，它的排名无疑在最后，如排名倒数第一的方案23，其奖项设置是所有方案中最不合理的，只有一个低等奖，且其总中奖率是所有方案中最低的，只有万分之三的中奖率。
（6）总中奖率一般，一等奖奖金分配率和低项奖奖金分配率不对称，只有6个奖项的方案，对彩民的吸引力一般，所以这些方案一般排名在中间。如方案11~15和方案25； （7）选号方式相同，但奖金分配方式不同的方案且其一等奖奖金分配率也相差不大，那么低等奖金率大的方案排名在低等奖率小的方案之前。
从以上分析中我们得出：合理的、对彩民具有较高吸引力的方案设计应该遵循如下原则： （1） 综合中奖率要高，一般应超过3%； （2） 低项奖的奖金分配率应在35%以上；
（3） 一等奖的奖金分配率应不超过50%，但不宜过低； （4） 乐透型彩票的号码数量不应超过31； （5） 应该设置较多的奖项。
总的来说，彩票销售中，总中奖率高、低等奖奖金分配率高能提高彩民参与购买彩票的积极性，而一等奖奖金占总奖金额的比例高，是“诱惑”彩民购买彩票的“诱饵”。
（三）彩票方案设计模型
为了设计“更好”的方案，先给出几个重要的结论：
定理1．当k 固定时，乐透型“k /n ”彩票方案的总中奖率随备选号码数n 的增加而递减。
证明：“k /n ”方案为从n 个备选号码中选k 个号码，中奖号码由k 个基本号码和一个特别号码组成，奖项的设置分为k 个奖项，一等奖为k 个基本号码全中，二等奖为k −1个基本号码中，且特等号码也中，以此类推可得各种奖项的可能组合数量
当m 为奇数（设为m =2i −1）时，m 等奖的可能组合数可表示为C k
以总的可能组合数C n ，即可得到m 等奖的中奖概率为
i −1
C k k −i +1C n −k −1
P m =k
C n
k
k −i +1
i −1C n −k −1，然后除
(m ≤k ，m 为奇数) ------------（1）
当m 为偶数（设为m =2×i ）时，各种奖项的可能组合数可表示为C k C 1C n −k −1，然后除以总的可能组合数C n ，即可得到中奖概率为
1i −1
C k k −i C 1C n −k −1
P m =k
C n
k k
k −i 1i −1
(m ≤k ，m 为偶数) -------------（2）
所以，总中奖率P =
∑P
m =1
m
, （k 固定）。由于
i −1
C n k ! (n −k −1)(n −k −2) (n −k −i +2) −k −1
(i
(i −1)! n (n −1)(n −2) L (n −k +1) C n
分子共有i −1项（包括k ! 这一项），而分母共有k +1项（包括(i −1)! 这一项）, 分母的项数大于分子的项数，因而当n 逐渐增大时，分母的变化速度总是大于分子的变化速度，所以
i −1
C n −k −1
是逐渐减小的，因而由（1）、（2）式可知，获得m 等奖的概率P m 为n 的减函数，所以，k
C n
当k 固定，n 变动时，不管m 为奇数还是偶数，总中奖率P 都是减小的。定理得证。 由（1）式和（2）式，不难得到
定理2．乐透 “k /n ” 型彩票方案i 等奖的中奖率记为P (i ) ，则
P 2m k −1k k −m +1
或 m =1, 2, L , =
P 2m −1m 22P 2m +1k −1k
=n −k −m m =1, 2, L , 或 P 2m 22
定理2告诉我们，P 2m −1与P 2m 相差较小，比率在7倍以内，而P 2m 与P 2m +1相差较大，比率在n −k −m 以上，以“7/n”为例，相邻等级奖项中奖率的关系如下
P P P P 2P 5P
=7，3=n −8，4=3，5=n −9，6=，7=n −10 P 1P 2P 3P 4P 53P 6
这里可以看出明显的中奖率规律，同样对乐透“k +1/n ”型也有类似的结果： 推论：乐透 “k +1/n ” 型彩票方案i 等奖的中奖率记为P (i ) ，则
P 2m k −1k n −k −m
或 m =1, 2, L , =
P 2m −1m 22P 2m +1k −m +1k −1k
或 m =1, 2, L , =
P 2m m 22
表八、乐透型彩票两种常见方案相邻奖项中奖率的倍数关系
定理2和推论揭示了乐透型彩票的各种奖项中奖率之间的简单明了的数学关系。结合主
成分分析模型中方案评价的相关结论、定理2和推论，给出彩票方案的设计方法：
（1） 根据总中奖率较高的原则，确定销售规则，使中奖率超过3%； （2） 根据销售规则制订奖项的等级；
（3） 根据彩票销售的环境（人口、收入水平）确定方案的定位，从而高项奖和低项奖
的奖金分配率； （4） 根据各奖项中奖率的关系（见定理2及其推论），确定低项奖各奖项的固定奖金
额和高项奖的奖金比率； 下面是依据我校所在省份的条件，并借助计算机设计出的一种省级彩票方案： 彩票类型 奖项 中奖率 奖金设置 奖金分配率
乐透型28选7，带特别号，设置七个奖项一等奖
0. 84×10−6
总中奖率六等奖
七等奖
二等奖5. 9×10
−6
三等奖0.00012
四等奖0.0003517.74%
五等奖
5元 5元
元元元 7343元
733.57元
500元元元
单注奖金（100359600万元奖金总额） 元 该方案的特点：
（1）中奖率较高，达4.32%，比较适应该省人口较少、人均收入较低的实际情况； （2）一等奖和低项奖的奖金分配率分别为35.96%和48.63%，对冒险型彩民和稳重型彩民同样具有较强的吸引力；
（3）单注奖金设计兼顾了中奖率之间的关系，四等奖单注奖金定为500能大大增加对彩民的吸引力。
（4）加入主成分分析模型中，得到的综合评价值为1.52，仅次于“6+1/29”型，其原因是两种类型的彩票各等级奖项的中奖率关系不一致所引起（见定理2和推论），但在所有“k /n ”型彩票中排名第一。
（四）给彩票管理部门的建议
彩票管理部门能否盈利与彩票的设计方案关系密切，那么如何设计一种“好”的彩票便成为彩票管理部门的首要任务，根据我们的分析结果，提出几点建议，仅供参考：
（1）定彩票的销售规则时，首先应保证彩票的总中奖率较高。较为恰当的是使它大于3%。例如，对n 选k 的方案，k 不变n 越大总的中奖率越小, 据此，设计彩票时不应让n 过大。 （2）高额巨奖是彩民购买彩票的动力，因此，最高奖金的数额一定要对该地区的彩民有足够的吸引力。这就需要彩票管理部门根据自己的情况选则发行彩票的地区，再调查该地区的人口分布密度和居民平均收入情况，制订合理的最高奖金数额。
（3）为了增大吸引力，还可以考虑实行最高奖累加制。
（4）根据摇奖方案分奖项等级，奖项等级要适中，不宜太多也不宜太少。太多会损害彩票公司的利益，而太少又会打击彩民的购买积极性。
（5）算出各等奖项的中奖率，根据各奖项中奖率的关系，确定低项奖各奖项的固定奖金额和高项奖的奖金比例。
（6）对设计出来的彩票可以先用计算机模拟彩票的发行过程，分析出现的问题，改进原有的彩票设计方案。
六．模型的评价和改进
1．在模型的求解过程中我们运用了主成分分析法来确定权数，这样做有以下优点：A. 可消除评价指标之间的相关影响。因为主成分分析法在对原指标变量进行变换后形成了彼此相互独立的主成分，而且实践证明指标间相关程度越高，主成分分析效果越好。B. 可减少指标选择的工作量，对于其它评价方法，由于难以消除评价指标间的相关影响，所以选择指标时要花费不少精力，而主成分分析由于可以消除这种相关影响，所以在指标选择上相对容易些。C. 主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列顺序的，在分析问题时，可以舍弃一部分主成分，只取前后方差较大的几个主成分来代表原变量，从而减少了计算工作量。 2．利用上面的方法求得的“更好”的方案可以帮助彩票管理部门获得更高的累积基金（高项奖的中奖率不高，奖金高），同时又不会降低彩票对彩民的吸引力（低项奖的奖金低，比例较大），从而达到了一个彩票管理部门和彩民都双赢的局面。
3．当然，模型中也存在不足。在考虑“更好”的方案时，我们只考虑了彩票奖项等级的设置和奖金的设置两个直接影响彩票销售的因素，而没有考虑其它的因素，这就不能保证模型是最好的，因而存在一定的误差。
尽管如此，这个模型还是可以给彩票管理部提供一些启示和指导：在确定彩票方案的过
程中，若为n 选k 的方案，则各奖项之间必须满足上述模型中给出的一定的比例关系；同理，若为n 选k +1的方案，则各奖项之间也必须满足模型中给出的一定的比例关系。
七、给报社的一篇短文
致彩民
彩票是一种风险大，回报大小随机性强的刺激性活动。带有诱惑性的高额奖金，吸引了越来越多的人加入到彩票大军的队伍中。但绝大多数人买彩都是跟着感觉走，没有任何科学性的指导。针对此情况，我们应用严密的数学方法就市面上常见的29种摇奖方案进行分析并对其合理性进行综合评价。在分析过程中，我们得到了一些对彩民买彩具有很强指导性的结论。在下文中，我们将会一一向彩民介绍。 1． 机会均等，几率相同。摇奖方案中各奖项的中奖率由摇奖方法决定，不会受到其它因素（如
奖金分配比例、发行时间等）的影响。只要抽奖方法固定，那么各奖项的中奖率就不会改变。投500万元那一期和投100万元那一期，中奖机会都是均等，中大奖的几率是一样的，并非500万元大奖那一期中奖几率就会高一些。对彩民来说，运气好也许一注就中头奖。同样，在该彩票发行的全过程中，各（奖项的）单注号码的中奖率是相同的，那种“越后买中奖的几率越大”或“越前买中奖的几率越大”都是毫无根据的凭空想象。 2． 社会上广泛流传着的各种“彩票秘籍”、“葵花宝典”等教人投彩的书，确实，从统计概率
学的角度看，虽然彩票的每一次摇奖是随机的，没有规律可言，但随着摇奖次数的增多，各个数字中奖的次数就趋于平均。但是，做此类分析需要有很强的专业知识，非专业人员很难完成。因此，那些书大都缺乏可信度，无须在上面浪费时间和精力，当然，为了休闲娱乐者除外。
3． 不同目的，不同选择。彩票的玩法因人而异，随个人的喜好和对奖金的追求而定。有些彩
民以买彩为生，买彩票是直冲大奖而去。那么，他们在买彩票时只需考虑各种彩票的大奖中奖率。对现在市场上常见的抽奖方法比较分析后，可得：单注号码的位数固定时，中大奖的机率随备选号码数的增加而减小。因而，这类彩民应该选择备选号码数最小的彩票来购买。而大多数彩民购买彩票仅为了感受刺激、体验惊喜，并不关心所中奖项大小。这类彩民就应该选择购买总中奖率最大的彩票。这种方法能保证彩民保本愿望的实现几率最大。
４．在选择彩票的过程中，奖项设置的多少也是个重要因素。同一种摇奖方案，奖项越多，
意味着中奖的可能性越大。那么即使不能中大奖，保本的愿望也会更易实现。对那些以娱乐为目的彩民来说，更是个不错的选择。
５．某些看起来很类似的方案，如“36选7”和“36选6+1”，它们备选号码和单注号码数目
都相同，只是摇奖方案不同，经过计算，这种情况两种方案的总中奖率是相同的。因此，在选择这两种彩票时，不妨挑选各单项奖奖金额较高的彩票。对于“36选7”，三、五、七等奖的中奖率比“36选6+1”的高，若其对应的奖金额也较高，那选择这种就更合理。而“36选6+1”的二、四、六等奖的中奖率较“36选7”的更高，若它们对应的奖金值也较高时，选择该种就比较合理。
６．即使选中的彩票中奖率很高，一等奖的金额很大，也未必是好事。奖池基金很高时，大
家都拼命投，中大奖也未必会得更高的奖金。因为投注多了，奖池奖金升高了，而中奖注数也会随之增多，如果多人同中，几百万元平分，所得奖金也不很高，还不如细水长流，中一些稍低但中奖注数少的奖。
以上所提建议，虽然拥有较为坚实的理论基础、也具有相当高的可信度和参考价值。但由于彩号的出现随机性强、本身具有不可预测性，所以提出的建议并不能保证万无一失，仅是供彩民作参考。买彩票，归根结底，靠的还是运气，所谓“中，我幸；不中，我命”仅此而已。因而，从彩民的利益出发，我们建议彩民不要以买彩为业，把搏一搏中大奖作为主要经济来源，盲目地透支赊帐买彩；而应该摆正心态，把买彩仅仅作为一种消遣、一种娱乐、一种奉献，把握尺度，谨慎理智地合理购彩。如果没中就当为公益事业的发展出了一份力；万一中了，那就是意外之喜。让我们以一颗平常心对待彩票，在感受惊喜与刺激的同时，充分享受彩票带来的欢乐。
参考文献：
[1] 于秀林等．多元统计分析．中国统计出版社．北京．1999 [2] 于恒兰．综合评价的多元分析方法．统计研究．1993（6）
[3] 丘东．多指标综合评价方法的系统分析．统计出版社．北京．1991 [4] 谢式千等．概率论与数理统计（第二版）．高等教育出版社．北京．2001 [5] 姜启源．数学模型（第二版）．高等教育出版社．北京．1992 [6] D ．伯格斯(英) ．数学建模．世界图书出版公司．北京．1997 [7] 钱颂迪等．运筹学．清华大学出版社．北京．2000
附录一：常见的29种彩票销售规则及相应的奖金设置方案
附录二、相关程序 function zhongjianglv() pp=zhongjianglv5;
p(1,:)=pp;p(2,:)=pp;p(3,:)=pp;p(4,:)=pp;
n=[10 10 10 10 29 29 30 30 30 31 31 32 32 32 33 33 34 34 35 35 35 35 35 36 36 36 37 40 60]; for i=5:length(n)
p(i,:)=zhongjianglv1(n(i)); end
p(6,:)=zhongjianglv4(29); p(23,:)=zhongjianglv3(35); p(24,:)=zhongjianglv4(36); p(25,:)=zhongjianglv4(36); p(28,:)=zhongjianglv2(40,6); p(29,:)=zhongjianglv2(60,5);
p(1,5:7)=0; p(2:6,7)=0; p(11:15,7)=0; p(17,7)=0; p(19,7)=0; p(25,7)=0; p(27:29,7)=0; p(29,6)=0; ppp=sum(p')';
r1=[50 0 0 0; 300 20 5 0; 300 20 5 0; 300 20 5 0; 300 30 5 0; 200 20 5 0;... 500 50 15 5; 200 50 10 5; 200 30 10 5;500 50 20 10; 320 30 5 0;... 500 50 10 0; 500 50 10 0; 500 50 10 0; 600 60 6 0; 500 50 10 5;... 500 30 6 0; 500 50 10 2;300 50 5 0; 500 100 30 5; 1000 100 50 5;... 200 50 20 5; 2000 20 4 2 ; 500 100 10 5; 500 100 10 0; 500 50 10 5;... 1500 100 50 0; 200 10 1 0; 300 30 0 0]; rr=zeros(29,3); r1=[rr,r1]; w1=sum((p.*r1)')'; r2=[0.5 0.2 0.3; 0.6 0.2 0.2; 0.65 0.15 0.2; 0.7 0.15 0.15; 0.6 0.2 0.2; 0.6 0.25 0.15; 0.65 0.15 0.2; 0.7 0.1 0.2; 0.75 0.1 0.15; 0.6 0.15 0.25; 0.75 0.1 0.15; 0.65 0.15 0.2; 0.7 0.1 0.2; 0.75 0.1 0.15; 0.7 0.1 0.2;
0.75 0.1 0.15; 0.65 0.15 0.2; 0.68 0.12 0.2; 0.7 0.15 0.15; 0.7 0.1 0.2; 0.75 0.1 0.15; 0.8 0.1 0.1; 1 0 0; 0.75 0.1 0.15; 0.8 0.1 0.1; 0.7 0.1 0.2; 0.7 0.15 0.15; 0.82 0.1 0.08; 0.6 0.2 0.2];
w2=r2.*[(1-w1),(1-w1),(1-w1)];
disp( '各等奖金金额在总奖金中的分配比率') disp('----一等奖----二等奖----三等奖----低等奖') w=[w2 w1]; %奖金比例矩阵
disp('中奖率-奖金矩阵：7个奖级中奖率，一等奖奖金比率，低等奖奖金比率，总中奖率') pw=[p,w(:,1:4),ppp]; spw=sum(pw)/29; Epw=ones(29,1)*spw; Dpw=ones(29,1)*std(pw);
X=(pw-Epw)./Dpw; %中奖率-奖金矩阵的标准化矩阵 disp('pw的相关系数矩阵')
R=corrcoef(pw) ; %X的相关系数矩阵% det(R);
disp('V为特征向量，d 的对角线为特征值') [C,d]=eig(R); %V为特征向量，d 的对角线为特征值 dd=diag(d)
d=diag(d)/sum(diag(d)); Z=X*C(:,8:12); Y=Z*d(8:12);
Y=-sortrows(-1*[(1:29)',Y,w(:,[1,4]),ppp],2);
disp('--排序---方案标号---综合评价值-一等奖奖金比率-二等奖奖金比率-三等奖奖金比率-低等奖奖金比率') Y=[(1:29)',Y]
function p=zhongjianglv1(n)
%n选7 带特别号
s=zuhe(n,7);
p(1)=zuhe(7,7)/s;
p(2)=zuhe(7,6)*zuhe(1,1)/s;
p(3)=zuhe(7,6)*zuhe(n-7-1,1)/s;
p(4)=zuhe(7,5)*zuhe(1,1)*zuhe(n-7-1,1)/s;
p(5)=zuhe(7,5)*zuhe(n-7-1,2)/s;
p(6)=zuhe(7,4)*zuhe(1,1)*zuhe(n-7-1,2)/s;
p(7)=zuhe(7,4)*zuhe(n-7-1,3)/s;
function p=zhongjianglv2(n,k)
%n选k, 带特别号
s=zuhe(n,k);
p(1)=zuhe(k,k)/s;
p(2)=zuhe(k,k-1)*zuhe(1,1)/s;
p(3)=zuhe(k,k-1)*zuhe(n-k-1,1)/s;
p(4)=zuhe(k,k-2)*zuhe(1,1)*zuhe(n-k-1,1)/s;
p(5)=zuhe(k,k-2)*zuhe(n-k-1,2)/s;
p(6)=zuhe(k,k-3)*zuhe(1,1)*zuhe(n-k-1,2)/s;
p(7)=zuhe(k,k-3)*zuhe(n-k-1,3)/s;
function p=zhongjianglv3(n)
%n选7 不带特别号
s=zuhe(n,7);
p(1)=zuhe(7,7)/s;
p(2)=0;
p(3)=0;
p(4)=zuhe(7,6)*zuhe(n-7,1)/s;
p(5)=zuhe(7,5)*zuhe(n-7,2)/s;
p(6)=zuhe(7,4)*zuhe(n-7,3)/s;
p(7)=zuhe(7,3)*zuhe(n-7,4)/s;
function p=zhongjianglv4(n)
%n选6+1 带特别号
s=zuhe(n,7);
p(1)=zuhe(6,6)*zuhe(1,1)/s;
p(2)=zuhe(6,6)*zuhe(n-7,1)/s;
p(3)=zuhe(6,5)*zuhe(1,1)*zuhe(n-7,1)/s;
p(4)=zuhe(6,5)*zuhe(n-7,2)/s;
p(5)=zuhe(6,4)*zuhe(1,1)*zuhe(n-7,2)/s;
p(6)=zuhe(6,4)*zuhe(n-7,3)/s;
p(7)=zuhe(6,3)*zuhe(1,1)*zuhe(n-7,3)/s;
function p=zhongjianglv5()
s=5000000;
p(1)=1/s;
p(2)=4/s;
p(3)=90/s;
p(4)=(90+81+90)*5/s;
p(5)=(900+810+810+900)*5/s;
p(6)=(10^6-9^6-6*9^5-10*9^4-8*9^3-9*9^2-6*9-1)*5/s; p=[p,0];
function s=zuhe(n,k)
if n>=k
s=1;s1=1;s2=1;
for i=1:n
s=s*i;
end
for j=1:k
s1=s1*j;
end
for i=1:n-k
s2=s2*i;
end
s=s/(s1*s2);
else 'error'
end
彩票中的数学规律
肖文 张娟娟 吴瑞兰
彩票中的数学规律
摘 要：本文主要运用主成分分析模型对彩票设计方案的合理性进行了综合分析，得到了影响彩票吸引力的主要指标，并给出了一种“更好“的彩票设计方案及其算法。
首先，我们对给出的29种常见方案进行了数据处理。由于不同的方案，奖项设置各不相同，为了方便计算，我们对原始数据做了适当的补充和修改，使29种方案均有七个奖项且各方案原来未设奖项的中奖率和奖金额均记为零，并求出了所有方案各种奖项的中奖率，引入了奖金分配率的概念。根据问题所给出的29种方案的特点，我们将这两大重要因素细分为一至七等奖的中奖率、一至三等奖（高项奖）的奖金分配率、低项奖的奖金分配额及总中奖率等12项指标，从而将方案的合理性评价化为一个多指标综合评价问题。运用主成分分析模型对29种方案进行了综合分析，得出各种方案的综合评价值并按该值进行了排名，通过对排名表及相关对应指标的观察分析，得出第6、7、10、23、8和5号方案的设置较为合理。并归纳出以下特点：
（1） 总中奖率、低项奖奖金分配率及一等奖奖金分配率较高的方案排名靠前； （2） 奖项种类设置较多的方案排名靠前；
（3） 备选号码较少的方案排名靠前（备选号码不超30的方案全都进入前7名）； （4） 总中奖率低、备选号码较多且奖项设置少的方案排名较后；
结合这些特点和主成分分析模型中特征值的累积贡献率，我们得出了决定彩票吸引力5大指标依次为总中奖率、低项奖奖金分配率、一等奖奖金分配率、备选号码数量和奖项的个数 。
其次，通过分析同一种方案的各种奖项中奖率的规律，得出了几个反映彩票中奖率规律的重要结果，
如乐透“k /n ”型方案相邻奖项中奖率满足
P 2m k −m +1P 2m +1
，=n −k −m ， =
P 2m −1m P 2m P 2m n −k −m P 2m +1k −m +1
==， ， P 2m −1m P 2m m
乐透“k +1/n ”型方案相邻奖项中奖率满足
这些规律都能在奖金分配方案的制定过程中发挥了重要应用。
第三，根据彩票中奖率的规律和主成分分析模型中方案评价的相关结论，结合彩票销售
地区的实际特点，给出了一种较好的彩票方案的设计原则和相应的算法：
（1） 根据总中奖率较高的原则，确定销售规则，使中奖率超过3%； （2） 根据销售规则制订奖项的等级；
（3） 依据彩票销售地区的环境（人口、收入水平）确定方案的定位，从而确定高项奖
和低项奖的奖金分配率； （4） 根据各奖项中奖率的关系（见定理2及其推论），确定低项奖各奖项的固定奖金
额和高项奖的奖金比率。 然后这个原则，我们设计了一个具有7个奖项的乐透28选7型带特别号的方案，从一等奖至七等奖的奖金设置原则依次为70%，10%，20%，500元，25元，10元和5元，该方案加入主成分分析模型中，得到的综合评价值为1.52，在所有“k /n ”型彩票中排名第一，说明了该方案确实比已有方案更好。
最后，我们根据综合各种分析的结果，给彩票管理部门提出了6条有意义的建议，并给报纸投了一篇关于彩票中有关数学规律的文章，供彩民参考。 关键词：彩票、主成分分析法、综合评价值、设计方案
一、问题的提出
近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。
表一：传统型“10选6+1”彩票奖项设置 中 奖 等 级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖
10 选 6+1（6+1/10）
基 本 号 码 特别号码 abcdef g abcdef
abcdeX Xbcdef abcdXX XbcdeX XXcdef
abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef
说 明 选7中（6+1） 选7中（6） 选7中（5） 选7中（4） 选7中（3） 选7中（2）
“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。
表二、乐透型“33选7”彩票奖项设置 中 奖 等 级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖
33 选 7（7/33） 选 6+1（6+1/36）
基 本 号 码 特别号码 ●●●●●●● ●●●●●●○ ★ ●●●●●●○ ●●●●●○○ ★ ●●●●●○○ ●●●●○○○ ★ ●●●●○○○
说 明 选7中（7） 选7中（6） 选7中（5） 选7中（4）
基 本 号 码 特别号码 ●●●●●● ★ ●●●●●○ ★ ●●●●○○ ★ ●●●○○○ ★
说 明 选7中（6+1）选7中（6） 选7中（5+1）选7中（5） 选7中（4+1）选7中（4） 选7中（3+1）
选7中（6+1）●●●●●● 选7中（5+1）●●●●●○ 选7中（4+1）●●●●○○
注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。
目前流行的彩票销售规则繁多，相应的奖金设置方案也各不相同，如附录一中给出了29
种常见的彩票方案，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖奖金数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：
[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖奖金总额 ]×单项奖比例
面对众多的方案，我们的问题是：
（1）对常见的29种彩票销售规则和相应的奖金设置方案就彩票中奖率、奖项和奖金额
的设置及对彩民的吸引力等因素，通过建立评价模型，对这些方案进行综合评价，并且给出排序结果，以供彩票管理部门作决策参考。根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、各种奖项的奖金在总奖金中的比率，不同彩票的总中奖率，并建立数学模型评价各方案奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素的合理性。
（2）在根据问题（1）的评价结果，分析各方案存在的优缺点，综合考虑彩票销售公司和彩民的利益，设法设计一种“更好”的方案，并给出设计模型或设计算法，以此给现有彩票管理部门提出建议。
（3）根据前面得到的信息，以客观的态度给报纸写一篇介绍性的短文，告诉彩民关于彩票销售中的数学奥秘，如各种彩票的中奖率、总中奖面、各种彩票奖项的奖金额占总奖金额的比例等问题，以供彩民在购买彩票作参考。
二、问题的分析
彩票发行的目的是筹集资金，兴办各种福利事业，因此对发行部门来说，单期彩票的销售量越大越好。当销售量增大时，作为对彩民回报的奖金额（本文为销售额的50%）也会增加，彩票吸引力得以加强，问题的核心是如何判断不同方案的吸引大小。影响彩票吸引力的因素很多（人口密度，人均收入，文化层次等等），但站在彩民角度上考虑，我们认为各等级奖项的中奖率、奖金总额的分配原则是其中最重要的两类因素。
1．如果高项奖的奖金额比率过大，巨奖的诱惑往往会吸引具有冒险精神的彩民，但是低项奖奖金额的减少带来的是中奖面的缩小，稳重彩民的热情必然降低，从而可能减少销售额；同样，如果低项奖的分配比率过高，不利于基金的积累，但是低项奖的金额会增加，带来的是中奖面的扩大，彩民的热情会增加。因此高、低项奖的奖金设置直接影响到彩票的销售额。 2．如果高项奖的中奖率过高，根据奖金的基本分配原则，必然要减少低项奖奖项的数量，增加彩票赌博的色彩，同样降低稳重彩民的热情，仍有可能减少销售额；同样，如果低项奖的中奖率过高，同样会降低彩票的吸引力。因此高、低项奖的奖项设置也直接影响到彩票的销售额。
因此，彩票奖项等级的设置和奖金的设置是直接影响彩票销售的两大重要因素，我们可以根据问题所给出的29个方案的特点，将这两大因素分一至七等奖的中奖率、一至三等奖（高项奖）的奖金分配率、低项奖的奖金分配额和总中奖率共12项指标来进行分析，从而将其化为多指标综合评价问题。
多指标综合评价的方法很多，根据权重确定方法的不同，这些方法大致可分为两类：一类是主观赋权法，如层次分析法、德尔菲法等，多是采用综合咨询评分的定性方法，这类方法因受到人为因素的影响，往往会夸大或降低了某些指标的作用，致使排序的结果不能完全真实地反映事物间的现实关系。另一类是客观赋权法，即根据各指标间的相关关系或各项指标值的变异程度来确定权数，避免了人为因素带来的偏差。如主成分分析法、因子分析法等。主成分分析法在将原始变量转变为主成分的过程中，同时形成了反映主成分和指标包含信息量的权数，以计算综合评价值，这样在指标权重选择上克服了主观因素的影响，有助于保证客观地反映样本间的现实关系。主成分分析法是通过恰当的数学变换，使新变量——主成分成为原变量的线形组合，并选取少数几个在变差总信息量中比例较大的成分来分析事物的一种方法。
根据对本问题的分析，采用主成分分析法比较合理。主成分分析法原理如下：
1）给定样本数据 如果一批申报中有N 个产品，每项产品有m 项指标，其标准化后的样本数据矩阵为：
⎛X 11⎜⎜X X =⎜21
⎜M ⎜X ⎝n 1X 12L X 1m ⎞
⎟
X 22L X 2m ⎟T
⎟，写成向量形式为X =(x 1, x 2, L , x m ) ；
M M ⎟X n 2K X nm ⎟⎠
⎛r 11r 12L r 1m ⎞
⎜⎟⎜r 21r 22L r 2m ⎟
2) 计算相关系数矩阵R =⎜⎟；
M ⎟⎜M M
⎜r r L r ⎟
mm ⎠⎝m 1m 2
3) 计算R 的特征方程R −λI =0的m 个非负的特征值λ1>λ2>L >λm ≥0。 4) 计算对应于特征值λi 的相应的特征向量 C i ，m 个特征向量形成特征向量矩阵
C =(C 1, C 2, L , C m )；
5）计算特征值λi 的贡献率f i =λi /
∑λ
i =1
n
i
，
计算特征值λ1至λk 的累积贡献率αk =
∑f
i =1
k
i
；
如果αk 超过0.85，则说明前k 个主成分基本包含了全部指标具有的信息，因此可以只选前五个主成分来进行分析；
6) 由前k 个特征向量可以确定k 个新因子Z =(z 1, z 2, L , z m ) , 有Z =XC ，从而得到k 个主成分的值z 1, z 2, L , z k ；
7）计算样本评价值Y =
T
∑f z
i =1
m
i i
, 式中，Y =(y 1, y 2, L , y n ) ；
T
8）根据样本评价值就可以对产品进行评价，还可对一批样本进行排序。
三、模型假设
1． 每个号码被抽中的概率是相同的；
2． 每种方案的销售规则及相应的奖金设置方案在一定的时期内是固定不变的； 3． 一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖； 4． 低项奖奖金数额固定，高项奖奖金按比例分配；
5． 奖项不能兼得，即单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖；
6． 低等奖的中奖概率相对较高，中奖的彩票注数受随机因素影响较小，即认为低项奖的
中奖注数与销售总注数的比值与相应的低项奖的中奖概率近似相等，每期彩票低项奖
的奖金分配比例不变；
7． 各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖奖金总额]×单项奖
比例。该计算方法在一定时期内是固定不变的； 8． 每种方案对彩民的吸引力是不同的；
9． 同种方案对彩民的吸引力在一定时期内是固定不变的； 10．彩票每期的中奖号码都随机产生不受外界任何因素的影响； 11．低等奖的中奖次数受随机因素影响较小，即按概率分布。
四、部分符号说明
本文中使用主要符号及其意义如下：
p ij ：第i 种方案j 等奖的中奖概率；
P =(p ij )29×7：中奖概率矩阵；
m ij ：第i 种方案j 等奖单注彩票所得的奖励，其中j =4, 5, 6, 7时为低项奖的单注固定奖金
数，j =1, 2, 3时为高项奖奖金在高项奖奖金总额中的比例；
M =(m ij )29×7：中奖奖励矩阵；
v ij ：第i 种方案j 等奖的累积奖金在总奖金中的比率，成为奖金分配率，i =1, 2, L , 29，j =1, 2, L , 7；
X ：样本数据的标准化矩阵； R ：X 的相关系数矩阵；
λj ：R 的特征值；
C j ：R 的关于特征值λj 的特征向量； f j ：特征值λj 的贡献率；
αk ：特征值λ1, λ2, L , λk 的累积贡献率；
y i ：方案i 的综合评价值。 五、模型建立
（一）数据处理
根据附录一，可知多数方案有7项奖项，部分方案没有7个奖项，为了方便，不妨假设有该项奖，但奖金为零，如第1方案只有一至四等奖，因此它的五、六、七等奖的单注奖金为
m 15=m 16=m 17=0
另外，第23方案的高项奖只有一等奖，其二、三等奖为固定奖金的低项奖，为统一，将其二、三、四、五等奖的奖励值分别视为四、五、六、七等奖的奖励值，并设其二、三等奖的奖金比例视为零，即
m 23, 1=1, m 23, 2=m 23, 3=0, m 23, 4=2000, m 23, 5=20, m 23, 6=4, m 23, 7=2
同样，在求各种方案的每种奖项的中奖率时也做类似处理，只要用到排列组合的知识，就可以得到中奖概率矩阵
P =(p ij )29×7
其中p ij 随方案i 的类型不同而有不同的求法，以乐透型33选7为例，说明p ij 的求法，根据古典概率的知识，33选7的各个奖项的概率分别为
76161511C 7C 7C 1C 7C 25C 7C 1C 25
p i 1=7， p i 2=， p =， p =， i 3i 4777
C 33C 33C 33C 3352123C 7C 25C 74C 1C 25C 74C 25
p i 5=， p i 6=， p i 7= 777
C 33C 33C 33
中奖概率矩阵P 的具体元素见表三，表中“--------”表示对应的方案没有设置相应的奖项，
在矩阵P 中的值设为零。
记p j =p 1j , p 2j , L , p 29, j
()
T
(j =1, 2, L , 7) 为j 等奖的中奖率向量，则
P =(p 1, p 2, L , p 7)
为中奖率矩阵，记
Pt =
∑p
j =1
7
j
为总中奖率向量（数据见表三）。
对于低项奖，中奖概率p ij 乘以j 等奖的单注固定奖金数m ij ， v ij =p ij m ij i =1, 2, L , 29, j =4, 5, 6, 7
由于彩票的发行量一般较大，根据假设5，低项奖的中奖注数与发行量的比率可以近似地用低项奖的中奖概率表示，因此v ij 可以表示i 方案j (i =4, 5, 6, 7) 等奖的奖金数占总奖金的比率（奖金分配率），从而
v ik =(1−∑v ij ) m ik
j =4
7
, k =1, 2, 3
表示i 方案各高项奖的奖金分配率，记v j =v 1j , v 2j , L , v 29, j
()
T
(j =1, 2, 3) 分别为各方案一、
二、三等奖的奖金分配率向量；为减少影响方案评价的因素，将每种方案的四~七等奖的奖金
77⎛7⎞
⎜分配率相加，构成低项奖的奖金分配率，记v L =∑v 1j , ∑v 2j , L , ∑v 29, j ⎟为低项奖奖金⎜⎟
j =4j =4⎝j =4⎠
T
分配率向量，记V =(v 1, v 2, v 3, v L )为奖金分配率矩阵，其元素见表四。
到此，我们已经构造并求出了中奖率矩阵和向量P =(p 1, p 2, L , p 7)，总中奖率向量Pt 以及奖金分配率矩阵和向量V =(v 1, v 2, v 3, v L )。
表三、各彩票方案各等级奖项中奖概率和总中奖率表 序
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
方案 6+1/10 6+1/10 6+1/10 6+1/10 7/29 6+1/29 7/30 7/30 7/30 7/31 7/31 7/32 7/32 7/32 7/33 7/33 7/34 7/34 7/35 7/35 7/35 7/35 7/35 6+1/36 6+1/36 7/36 7/37 6/40 5/60
一等奖 二等奖 三等奖
（万分之一）
四等奖 五等奖 六等奖 七等奖
总中 奖率
0.0020 0.0080 0.18000.0020 0.0080 0.18000.0020 0.0080 0.18000.0020 0.0080 0.18000.0064 0.0448 0.94180.0064 0.1410 0.84570.0049 0.0344 0.75650.0049 0.0344 0.75650.0049 0.0344 0.75650.0038 0.0266 0.61230.0038 0.0266 0.61230.0030 0.0208 0.49910.0030 0.0208 0.49910.0030 0.0208 0.49910.0023 0.0164 0.40960.0023 0.0164 0.40960.0019 0.0130 0.33830.0019 0.0130 0.33830.0015 0.0104 0.28110.0015 0.0104 0.28110.0015 0.0104 0.28110.0015 0.0104 0.28110.0012 0.0347 0.20840.0012 0.0347 0.20840.0012 0.0084 0.23480.0010 0.0068 0.19720.0026 0.0156 0.51580.0018 0.0092 0.4944
0.0003 -------- -------- ------ 0.00030.0003 0.0034 0.0420 ------ 0.04570.0003 0.0034 0.0420 ------ 0.04570.0003 0.0034 0.0420 ------ 0.04570.0003 0.0028 0.0047 ------ 0.00790.0009 0.0022 0.0148 ------ 0.01800.0002 0.0024 0.0040 0.0265 0.03310.0002 0.0024 0.0040 0.0265 0.03310.0002 0.0024 0.0040 0.0265 0.03310.0002 0.0020 0.0034 0.0236 0.02920.0002 0.0020 0.0034 ------ 0.00560.0001 0.0017 0.0029 ------ 0.00480.0001 0.0017 0.0029 ------ 0.00480.0001 0.0017 0.0029 ------ 0.00480.0001 0.0015 0.0025 ------ 0.00410.0001 0.0015 0.0025 0.0188 0.02290.0001 0.0013 0.0021 ------ 0.00350.0001 0.0013 0.0021 0.0169 0.02040.0001 0.0011 0.0018 ------ 0.00300.0001 0.0011 0.0018 0.0152 0.01830.0001 0.0011 0.0018 0.0152 0.01830.0001 0.0011 0.0018 0.0152 0.01830.0003 0.0007 0.0066 0.0088 0.01640.0003 0.0007 0.0066 ------ 0.00760.0001 0.0010 0.0016 0.0137 0.01640.0001 0.0008 0.0014 ------ 0.00230.0001 0.0021 0.0028 ------ 0.00500.0001 0.0026 -------- ------ 0.0028
0.0015 0.2915 120.1248
表四、各彩票方案各等级奖项的奖金分配率
方案标号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
方案设置 6+1/10 6+1/10 6+1/10 6+1/10 7/29 6+1/29 7/30 7/30 7/30 7/31 7/31 7/32 7/32 7/32 7/33 7/33 7/34 7/34 7/35 7/35 7/35 7/35 7/35 6+1/36 6+1/36 7/36 7/37 6/40 5/60
一等奖 二等奖 三等奖 低项奖 0.4935 0.1974 0.2961 0.0131 0.3859 0.1286 0.1286 0.3569 0.4180 0.0965 0.1286 0.3569 0.4502 0.0965 0.0965 0.3569 0.4842 0.1614 0.1614 0.1931 0.4224 0.1760 0.1056 0.2960 0.3740 0.0863 0.1151 0.4246 0.4644 0.0663 0.1327 0.3366 0.5333 0.0711 0.1067 0.2890 0.3024 0.0756 0.1260 0.4959 0.6478 0.0864 0.1296 0.1362 0.5267 0.1215 0.1621 0.1897 0.5672 0.0810 0.1621 0.1897 0.6077 0.0810 0.1215 0.1897 0.5761 0.0823 0.1646 0.1770 0.5595 0.0746 0.1119 0.2540 0.5840 0.1348 0.1797 0.1015 0.5650 0.0997 0.1662 0.1692 0.6375 0.1366 0.1366 0.0892 0.5021 0.0717 0.1435 0.2827 0.4790 0.0639 0.0958 0.3614 0.6525 0.0816 0.0816 0.1843 0.6368 0 0 0.3632 0.5038 0.0672 0.1008 0.3283 0.5724 0.0715 0.0715 0.2845 0.5829 0.0833 0.1665 0.1673 0.5316 0.1139 0.1139 0.2406 0.7797 0.0951 0.0761 0.0492 0.5350 0.1783 0.1783 0.1083
（二）、主成分分析评价模型
彩票方案的评价是一个综合性的评价问题，涉及多种因素，如中奖率、中奖面、奖金的多少、奖金的比例等等，这些指标之间具有一定的相关性，我们的问题归结为对这些指标进行综合评价。本文选取所给29种方案的一至七等奖中奖率(p 1, p 2, L , p 7) 、总中奖率Pt 、高项奖的奖金分配率(v 1, v 2, v 3) 以及低项奖的奖金分配率v L 共12种成分采用主成分分析法进行分析。
将各项指标综合构成样本数据矩阵
A =(p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7, v 1, v 2, v 3, v L , Pt ) =ˆ(a 1, a 2, L , a 12)
A 为一个29×12阶的矩阵，对其列向量进行标准化，得到标准化样本数据矩阵
X =(x 1, x 2, L , x 12)
其中 x j =
a j −j var(a j )
j =1, 2, L , 12
j 为a j 的样本均值，var(a j ) 的样本方差，然后计算X 的相关系数矩阵
R =r ij
()
12
R 为12阶方阵，其中 r ij =
cov(x i , x j ) var(x i ) var(x j )
i , j =1, 2, L 12
相关系数矩阵R 存在12个非负的特征值λ1>λ2>L >λ12≥0，对应的特征向量为
C 1, C 2, L , C 12，构成特征向量矩阵
C =(C 1, C 2, L , C 12)，
记 f j =
λj
∑λ
i =1
12
j
为特征值λj 的贡献率，f =(f 1, f 2, L , f 12)为贡献率向量，定义
T
∑λ
k
j
αk =
j =1
∑λ
i =1
12
=∑f j
j =1j
k
为第1个特征值至第k 个特征值的累积贡献率，根据附录一所给的数据，计算出12个特征值 及贡献率和累积贡献率结果如表五。累积贡献率表明，前5个特征值的累积贡献率以高达0.9252，说明前5个主成分基本包含了全部指标具有的信息，因此我们取前5个特征值
λ1, λ2, λ3, λ4, λ5，及其对应的特征向量C 1, C 2, C 3, C 4, C 5，见表六。
表五、特征值、贡献率和累积贡献率 主成分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
特征值 3.8506 3.6195 1.7387 0.9549 0.9380 0.6614 0.1775 0.0468 0.0118 0.0007 0.0000 0.0000
贡献率 0.3209 0.3016 0.1449
累积 贡献率 0.3209 0.6225 0.7674
0.8470 0.0782 0.9252 0.0551 0.9802 0.0148 0.0039 0.0010 0.0001 0 0
0.9950 0.9989 0.9999 1 1 1
表六、主要前五个主成分及对应的特征值和特征向量 指标
λ1=3.8506
特征向量C 1
λ2=3.6195
特征向量C 2
λ3=1.7387
特征向量C 3
λ4=0.9549
特征向量C 4
λ5=0.9380
特征向量C 5
A
p 1p 2p 3p 4p 5p 6 p 7v 1v 2v 3v L Pt
主成分
-0.4179
-0.4085 -0.3984 -0.4102 -0.2371 -0.0325 0.2450 0.2441 -0.3108 -0.1566 -0.0284 0.1808
F 1=XC 1
0.1311 0.0978 0.0091 0.1356 0.2668 0.3227 0.3179 -0.2470 -0.2790 -0.3589 0.4618 0.4443
F 2=XC 2
-0.2923 -0.2611 -0.3668 0.0154 0.2760 0.5317 -0.3249 -0.3066 0.2892 0.2597 0.0446 0.0017 F 3=XC 3
0.2729 -0.4477 0.3946 -0.5257 0.4637 -0.1112 0.0432 -0.0935 -0.0864 0.2174 0.0165 -0.0060
F 4=XC 4
0.0460 0.0264 0.0498 0.0518 0.4292 0.3164 -0.1679 0.6273 0.0169 -0.3830 -0.3715 0.0326 F 5=XC 5
从而可以得到各种方案前五个主成分值的矩阵
F =(F 1, F 2, F 3, F 4, F 5) =(XC 1, XC 2, XC 3, XC 4, XC 5) ，
然后根据主要的5个特征值的贡献率f j ，得到样本评价值向量
Y =∑F j ⋅f j =(y 1, y 2, L , y 29) T
j =1
5
y i (j =1, 2, L , 29) 为方案i 的综合评价值，综合评价值越大，说明方案越优，所有29个方案
评价值的排序结果如表七。
表七、各方案综合评价值排序及其相关指标表 评价排序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
方案标号 6 7 10 23* 8 9 5 24 3 21 4 2 16 13 11 25 14 20 12 15 18 22 26 27 17 28 29 19 1
方案设置 6+1/29 7/30 7/31 7/35 7/30 7/30 7/29 6+1/36 6+1/10 7/35 6+1/10 6+1/10 7/33 7/32 7/31 6+1/36 7/32 7/35 7/32 7/33 7/34 7/35 7/36 7/37 7/34 6/40 5/60 7/35 6+1/10
综合 评价值1.8931 1.1963 1.1609 0.2158 1.0124 0.8071 0.6526 0.1571 0.1063 0.0687 0.0520 0.0121 -0.0203-0.0401-0.0511-0.0678-0.1085-0.1173-0.1587-0.2509-0.4035-0.5551-0.5552-0.6143-0.7454-0.7581-0.8194-0.9649-1.1037
一等奖奖金 分配率0.4224 0.3740 0.3024 0.6368 0.4644 0.5333 0.4842 0.5038 0.4180 0.4790 0.4502 0.3859 0.5595 0.5672 0.6478 0.5724 0.6077 0.5021 0.5267 0.5761 0.5650 0.6525 0.5829 0.5316 0.5840 0.7797 0.5350 0.6375 0.4935
二等奖奖金 分配率0.1760 0.0863 0.0756 0 0.0663 0.0711 0.1614 0.06720.0965 0.0639 0.0965 0.1286 0.0746 0.0810 0.0864 0.0715 0.0810 0.0717 0.1215 0.0823 0.0997 0.0816 0.0833 0.1139 0.1348 0.0951 0.1783 0.1366 0.1974
三等奖奖金 分配率 0.1056 0.1151 0.1260 0 0.1327 0.1067 0.1614 0.1008 0.1286 0.0958 0.0965 0.1286 0.1119 0.1621 0.1296 0.0715 0.1215 0.1435 0.1621 0.1646 0.1662 0.0816 0.1665 0.1139 0.1797 0.0761 0.1783 0.1366 0.2961
低项奖奖金 分配率 0.2960 0.4246 0.4959 0.3632 0.3366 0.2890 0.1931 0.3283 0.3569 0.3614 0.3569 0.3569 0.2540 0.1897 0.1362 0.2845 0.1897 0.2827 0.1897 0.1770 0.1692 0.1843 0.1673 0.2406 0.1015 0.0492 0.1083 0.0892 0.0131
综合 中奖率0.0180 0.0331 0.0292 0.1248 0.0331 0.0331 0.0079 0.0164 0.0457 0.0183 0.0457 0.0457 0.0229 0.0048 0.0056 0.0076 0.0048 0.0183 0.0048 0.0041 0.0204 0.0183 0.0164 0.0023 0.0035 0.0050 0.0028 0.0030 0.0003
注：第23项方案因其二、三、四、五等奖为固定奖金，为处理方便，将其定为低等奖（四、五、六、七等奖），变动后二、三等奖奖金分配率定为零。
根据主成分分析综合评价及排序结果（表六和表七），我们发现如下规律：
（1）排名较前的方案总中奖率、一等奖奖金分配率、低等奖奖金分配率较高，奖项种类较多，如排名前三的方案6、方案7和方案10；
（2）对于总中奖率特别高的方案，尽管它的奖项设置少，也排名较前。如排名第四的方案23，其总中奖率是所有方案中最高的，比其他方案高出5~10倍。目前正在彩票行业中走俏的“20选5”方案（其奖项设置类似于方案23，只有一个高项奖，其余的为低项奖）；
（3）备选号码较少的方案排名也较前，备选号码在不超30的方案全都进入前7名； （4）总中奖率低、低项奖奖项少的方案，是对彩民的吸引力最小，从而彩票销售公司盈利也最小的方案，一般排名较后。如排后6名的方案1、19、29、28、17和27，它们的总中奖率均不超过0.5%，在全部29个方案中总中奖率也居后6名；
（5）奖项设置特别少的方案，其总中奖率最低，而且低等奖奖项少，导致低等奖奖金总额占总奖金额的比例减少，这类方案是对彩民最没有吸引力的方案，同时也是彩票销售公司盈利性最差的方案，它的排名无疑在最后，如排名倒数第一的方案23，其奖项设置是所有方案中最不合理的，只有一个低等奖，且其总中奖率是所有方案中最低的，只有万分之三的中奖率。
（6）总中奖率一般，一等奖奖金分配率和低项奖奖金分配率不对称，只有6个奖项的方案，对彩民的吸引力一般，所以这些方案一般排名在中间。如方案11~15和方案25； （7）选号方式相同，但奖金分配方式不同的方案且其一等奖奖金分配率也相差不大，那么低等奖金率大的方案排名在低等奖率小的方案之前。
从以上分析中我们得出：合理的、对彩民具有较高吸引力的方案设计应该遵循如下原则： （1） 综合中奖率要高，一般应超过3%； （2） 低项奖的奖金分配率应在35%以上；
（3） 一等奖的奖金分配率应不超过50%，但不宜过低； （4） 乐透型彩票的号码数量不应超过31； （5） 应该设置较多的奖项。
总的来说，彩票销售中，总中奖率高、低等奖奖金分配率高能提高彩民参与购买彩票的积极性，而一等奖奖金占总奖金额的比例高，是“诱惑”彩民购买彩票的“诱饵”。
（三）彩票方案设计模型
为了设计“更好”的方案，先给出几个重要的结论：
定理1．当k 固定时，乐透型“k /n ”彩票方案的总中奖率随备选号码数n 的增加而递减。
证明：“k /n ”方案为从n 个备选号码中选k 个号码，中奖号码由k 个基本号码和一个特别号码组成，奖项的设置分为k 个奖项，一等奖为k 个基本号码全中，二等奖为k −1个基本号码中，且特等号码也中，以此类推可得各种奖项的可能组合数量
当m 为奇数（设为m =2i −1）时，m 等奖的可能组合数可表示为C k
以总的可能组合数C n ，即可得到m 等奖的中奖概率为
i −1
C k k −i +1C n −k −1
P m =k
C n
k
k −i +1
i −1C n −k −1，然后除
(m ≤k ，m 为奇数) ------------（1）
当m 为偶数（设为m =2×i ）时，各种奖项的可能组合数可表示为C k C 1C n −k −1，然后除以总的可能组合数C n ，即可得到中奖概率为
1i −1
C k k −i C 1C n −k −1
P m =k
C n
k k
k −i 1i −1
(m ≤k ，m 为偶数) -------------（2）
所以，总中奖率P =
∑P
m =1
m
, （k 固定）。由于
i −1
C n k ! (n −k −1)(n −k −2) (n −k −i +2) −k −1
(i
(i −1)! n (n −1)(n −2) L (n −k +1) C n
分子共有i −1项（包括k ! 这一项），而分母共有k +1项（包括(i −1)! 这一项）, 分母的项数大于分子的项数，因而当n 逐渐增大时，分母的变化速度总是大于分子的变化速度，所以
i −1
C n −k −1
是逐渐减小的，因而由（1）、（2）式可知，获得m 等奖的概率P m 为n 的减函数，所以，k
C n
当k 固定，n 变动时，不管m 为奇数还是偶数，总中奖率P 都是减小的。定理得证。 由（1）式和（2）式，不难得到
定理2．乐透 “k /n ” 型彩票方案i 等奖的中奖率记为P (i ) ，则
P 2m k −1k k −m +1
或 m =1, 2, L , =
P 2m −1m 22P 2m +1k −1k
=n −k −m m =1, 2, L , 或 P 2m 22
定理2告诉我们，P 2m −1与P 2m 相差较小，比率在7倍以内，而P 2m 与P 2m +1相差较大，比率在n −k −m 以上，以“7/n”为例，相邻等级奖项中奖率的关系如下
P P P P 2P 5P
=7，3=n −8，4=3，5=n −9，6=，7=n −10 P 1P 2P 3P 4P 53P 6
这里可以看出明显的中奖率规律，同样对乐透“k +1/n ”型也有类似的结果： 推论：乐透 “k +1/n ” 型彩票方案i 等奖的中奖率记为P (i ) ，则
P 2m k −1k n −k −m
或 m =1, 2, L , =
P 2m −1m 22P 2m +1k −m +1k −1k
或 m =1, 2, L , =
P 2m m 22
表八、乐透型彩票两种常见方案相邻奖项中奖率的倍数关系
定理2和推论揭示了乐透型彩票的各种奖项中奖率之间的简单明了的数学关系。结合主
成分分析模型中方案评价的相关结论、定理2和推论，给出彩票方案的设计方法：
（1） 根据总中奖率较高的原则，确定销售规则，使中奖率超过3%； （2） 根据销售规则制订奖项的等级；
（3） 根据彩票销售的环境（人口、收入水平）确定方案的定位，从而高项奖和低项奖
的奖金分配率； （4） 根据各奖项中奖率的关系（见定理2及其推论），确定低项奖各奖项的固定奖金
额和高项奖的奖金比率； 下面是依据我校所在省份的条件，并借助计算机设计出的一种省级彩票方案： 彩票类型 奖项 中奖率 奖金设置 奖金分配率
乐透型28选7，带特别号，设置七个奖项一等奖
0. 84×10−6
总中奖率六等奖
七等奖
二等奖5. 9×10
−6
三等奖0.00012
四等奖0.0003517.74%
五等奖
5元 5元
元元元 7343元
733.57元
500元元元
单注奖金（100359600万元奖金总额） 元 该方案的特点：
（1）中奖率较高，达4.32%，比较适应该省人口较少、人均收入较低的实际情况； （2）一等奖和低项奖的奖金分配率分别为35.96%和48.63%，对冒险型彩民和稳重型彩民同样具有较强的吸引力；
（3）单注奖金设计兼顾了中奖率之间的关系，四等奖单注奖金定为500能大大增加对彩民的吸引力。
（4）加入主成分分析模型中，得到的综合评价值为1.52，仅次于“6+1/29”型，其原因是两种类型的彩票各等级奖项的中奖率关系不一致所引起（见定理2和推论），但在所有“k /n ”型彩票中排名第一。
（四）给彩票管理部门的建议
彩票管理部门能否盈利与彩票的设计方案关系密切，那么如何设计一种“好”的彩票便成为彩票管理部门的首要任务，根据我们的分析结果，提出几点建议，仅供参考：
（1）定彩票的销售规则时，首先应保证彩票的总中奖率较高。较为恰当的是使它大于3%。例如，对n 选k 的方案，k 不变n 越大总的中奖率越小, 据此，设计彩票时不应让n 过大。 （2）高额巨奖是彩民购买彩票的动力，因此，最高奖金的数额一定要对该地区的彩民有足够的吸引力。这就需要彩票管理部门根据自己的情况选则发行彩票的地区，再调查该地区的人口分布密度和居民平均收入情况，制订合理的最高奖金数额。
（3）为了增大吸引力，还可以考虑实行最高奖累加制。
（4）根据摇奖方案分奖项等级，奖项等级要适中，不宜太多也不宜太少。太多会损害彩票公司的利益，而太少又会打击彩民的购买积极性。
（5）算出各等奖项的中奖率，根据各奖项中奖率的关系，确定低项奖各奖项的固定奖金额和高项奖的奖金比例。
（6）对设计出来的彩票可以先用计算机模拟彩票的发行过程，分析出现的问题，改进原有的彩票设计方案。
六．模型的评价和改进
1．在模型的求解过程中我们运用了主成分分析法来确定权数，这样做有以下优点：A. 可消除评价指标之间的相关影响。因为主成分分析法在对原指标变量进行变换后形成了彼此相互独立的主成分，而且实践证明指标间相关程度越高，主成分分析效果越好。B. 可减少指标选择的工作量，对于其它评价方法，由于难以消除评价指标间的相关影响，所以选择指标时要花费不少精力，而主成分分析由于可以消除这种相关影响，所以在指标选择上相对容易些。C. 主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列顺序的，在分析问题时，可以舍弃一部分主成分，只取前后方差较大的几个主成分来代表原变量，从而减少了计算工作量。 2．利用上面的方法求得的“更好”的方案可以帮助彩票管理部门获得更高的累积基金（高项奖的中奖率不高，奖金高），同时又不会降低彩票对彩民的吸引力（低项奖的奖金低，比例较大），从而达到了一个彩票管理部门和彩民都双赢的局面。
3．当然，模型中也存在不足。在考虑“更好”的方案时，我们只考虑了彩票奖项等级的设置和奖金的设置两个直接影响彩票销售的因素，而没有考虑其它的因素，这就不能保证模型是最好的，因而存在一定的误差。
尽管如此，这个模型还是可以给彩票管理部提供一些启示和指导：在确定彩票方案的过
程中，若为n 选k 的方案，则各奖项之间必须满足上述模型中给出的一定的比例关系；同理，若为n 选k +1的方案，则各奖项之间也必须满足模型中给出的一定的比例关系。
七、给报社的一篇短文
致彩民
彩票是一种风险大，回报大小随机性强的刺激性活动。带有诱惑性的高额奖金，吸引了越来越多的人加入到彩票大军的队伍中。但绝大多数人买彩都是跟着感觉走，没有任何科学性的指导。针对此情况，我们应用严密的数学方法就市面上常见的29种摇奖方案进行分析并对其合理性进行综合评价。在分析过程中，我们得到了一些对彩民买彩具有很强指导性的结论。在下文中，我们将会一一向彩民介绍。 1． 机会均等，几率相同。摇奖方案中各奖项的中奖率由摇奖方法决定，不会受到其它因素（如
奖金分配比例、发行时间等）的影响。只要抽奖方法固定，那么各奖项的中奖率就不会改变。投500万元那一期和投100万元那一期，中奖机会都是均等，中大奖的几率是一样的，并非500万元大奖那一期中奖几率就会高一些。对彩民来说，运气好也许一注就中头奖。同样，在该彩票发行的全过程中，各（奖项的）单注号码的中奖率是相同的，那种“越后买中奖的几率越大”或“越前买中奖的几率越大”都是毫无根据的凭空想象。 2． 社会上广泛流传着的各种“彩票秘籍”、“葵花宝典”等教人投彩的书，确实，从统计概率
学的角度看，虽然彩票的每一次摇奖是随机的，没有规律可言，但随着摇奖次数的增多，各个数字中奖的次数就趋于平均。但是，做此类分析需要有很强的专业知识，非专业人员很难完成。因此，那些书大都缺乏可信度，无须在上面浪费时间和精力，当然，为了休闲娱乐者除外。
3． 不同目的，不同选择。彩票的玩法因人而异，随个人的喜好和对奖金的追求而定。有些彩
民以买彩为生，买彩票是直冲大奖而去。那么，他们在买彩票时只需考虑各种彩票的大奖中奖率。对现在市场上常见的抽奖方法比较分析后，可得：单注号码的位数固定时，中大奖的机率随备选号码数的增加而减小。因而，这类彩民应该选择备选号码数最小的彩票来购买。而大多数彩民购买彩票仅为了感受刺激、体验惊喜，并不关心所中奖项大小。这类彩民就应该选择购买总中奖率最大的彩票。这种方法能保证彩民保本愿望的实现几率最大。
４．在选择彩票的过程中，奖项设置的多少也是个重要因素。同一种摇奖方案，奖项越多，
意味着中奖的可能性越大。那么即使不能中大奖，保本的愿望也会更易实现。对那些以娱乐为目的彩民来说，更是个不错的选择。
５．某些看起来很类似的方案，如“36选7”和“36选6+1”，它们备选号码和单注号码数目
都相同，只是摇奖方案不同，经过计算，这种情况两种方案的总中奖率是相同的。因此，在选择这两种彩票时，不妨挑选各单项奖奖金额较高的彩票。对于“36选7”，三、五、七等奖的中奖率比“36选6+1”的高，若其对应的奖金额也较高，那选择这种就更合理。而“36选6+1”的二、四、六等奖的中奖率较“36选7”的更高，若它们对应的奖金值也较高时，选择该种就比较合理。
６．即使选中的彩票中奖率很高，一等奖的金额很大，也未必是好事。奖池基金很高时，大
家都拼命投，中大奖也未必会得更高的奖金。因为投注多了，奖池奖金升高了，而中奖注数也会随之增多，如果多人同中，几百万元平分，所得奖金也不很高，还不如细水长流，中一些稍低但中奖注数少的奖。
以上所提建议，虽然拥有较为坚实的理论基础、也具有相当高的可信度和参考价值。但由于彩号的出现随机性强、本身具有不可预测性，所以提出的建议并不能保证万无一失，仅是供彩民作参考。买彩票，归根结底，靠的还是运气，所谓“中，我幸；不中，我命”仅此而已。因而，从彩民的利益出发，我们建议彩民不要以买彩为业，把搏一搏中大奖作为主要经济来源，盲目地透支赊帐买彩；而应该摆正心态，把买彩仅仅作为一种消遣、一种娱乐、一种奉献，把握尺度，谨慎理智地合理购彩。如果没中就当为公益事业的发展出了一份力；万一中了，那就是意外之喜。让我们以一颗平常心对待彩票，在感受惊喜与刺激的同时，充分享受彩票带来的欢乐。
参考文献：
[1] 于秀林等．多元统计分析．中国统计出版社．北京．1999 [2] 于恒兰．综合评价的多元分析方法．统计研究．1993（6）
[3] 丘东．多指标综合评价方法的系统分析．统计出版社．北京．1991 [4] 谢式千等．概率论与数理统计（第二版）．高等教育出版社．北京．2001 [5] 姜启源．数学模型（第二版）．高等教育出版社．北京．1992 [6] D ．伯格斯(英) ．数学建模．世界图书出版公司．北京．1997 [7] 钱颂迪等．运筹学．清华大学出版社．北京．2000
附录一：常见的29种彩票销售规则及相应的奖金设置方案
附录二、相关程序 function zhongjianglv() pp=zhongjianglv5;
p(1,:)=pp;p(2,:)=pp;p(3,:)=pp;p(4,:)=pp;
n=[10 10 10 10 29 29 30 30 30 31 31 32 32 32 33 33 34 34 35 35 35 35 35 36 36 36 37 40 60]; for i=5:length(n)
p(i,:)=zhongjianglv1(n(i)); end
p(6,:)=zhongjianglv4(29); p(23,:)=zhongjianglv3(35); p(24,:)=zhongjianglv4(36); p(25,:)=zhongjianglv4(36); p(28,:)=zhongjianglv2(40,6); p(29,:)=zhongjianglv2(60,5);
p(1,5:7)=0; p(2:6,7)=0; p(11:15,7)=0; p(17,7)=0; p(19,7)=0; p(25,7)=0; p(27:29,7)=0; p(29,6)=0; ppp=sum(p')';
r1=[50 0 0 0; 300 20 5 0; 300 20 5 0; 300 20 5 0; 300 30 5 0; 200 20 5 0;... 500 50 15 5; 200 50 10 5; 200 30 10 5;500 50 20 10; 320 30 5 0;... 500 50 10 0; 500 50 10 0; 500 50 10 0; 600 60 6 0; 500 50 10 5;... 500 30 6 0; 500 50 10 2;300 50 5 0; 500 100 30 5; 1000 100 50 5;... 200 50 20 5; 2000 20 4 2 ; 500 100 10 5; 500 100 10 0; 500 50 10 5;... 1500 100 50 0; 200 10 1 0; 300 30 0 0]; rr=zeros(29,3); r1=[rr,r1]; w1=sum((p.*r1)')'; r2=[0.5 0.2 0.3; 0.6 0.2 0.2; 0.65 0.15 0.2; 0.7 0.15 0.15; 0.6 0.2 0.2; 0.6 0.25 0.15; 0.65 0.15 0.2; 0.7 0.1 0.2; 0.75 0.1 0.15; 0.6 0.15 0.25; 0.75 0.1 0.15; 0.65 0.15 0.2; 0.7 0.1 0.2; 0.75 0.1 0.15; 0.7 0.1 0.2;
0.75 0.1 0.15; 0.65 0.15 0.2; 0.68 0.12 0.2; 0.7 0.15 0.15; 0.7 0.1 0.2; 0.75 0.1 0.15; 0.8 0.1 0.1; 1 0 0; 0.75 0.1 0.15; 0.8 0.1 0.1; 0.7 0.1 0.2; 0.7 0.15 0.15; 0.82 0.1 0.08; 0.6 0.2 0.2];
w2=r2.*[(1-w1),(1-w1),(1-w1)];
disp( '各等奖金金额在总奖金中的分配比率') disp('----一等奖----二等奖----三等奖----低等奖') w=[w2 w1]; %奖金比例矩阵
disp('中奖率-奖金矩阵：7个奖级中奖率，一等奖奖金比率，低等奖奖金比率，总中奖率') pw=[p,w(:,1:4),ppp]; spw=sum(pw)/29; Epw=ones(29,1)*spw; Dpw=ones(29,1)*std(pw);
X=(pw-Epw)./Dpw; %中奖率-奖金矩阵的标准化矩阵 disp('pw的相关系数矩阵')
R=corrcoef(pw) ; %X的相关系数矩阵% det(R);
disp('V为特征向量，d 的对角线为特征值') [C,d]=eig(R); %V为特征向量，d 的对角线为特征值 dd=diag(d)
d=diag(d)/sum(diag(d)); Z=X*C(:,8:12); Y=Z*d(8:12);
Y=-sortrows(-1*[(1:29)',Y,w(:,[1,4]),ppp],2);
disp('--排序---方案标号---综合评价值-一等奖奖金比率-二等奖奖金比率-三等奖奖金比率-低等奖奖金比率') Y=[(1:29)',Y]
function p=zhongjianglv1(n)
%n选7 带特别号
s=zuhe(n,7);
p(1)=zuhe(7,7)/s;
p(2)=zuhe(7,6)*zuhe(1,1)/s;
p(3)=zuhe(7,6)*zuhe(n-7-1,1)/s;
p(4)=zuhe(7,5)*zuhe(1,1)*zuhe(n-7-1,1)/s;
p(5)=zuhe(7,5)*zuhe(n-7-1,2)/s;
p(6)=zuhe(7,4)*zuhe(1,1)*zuhe(n-7-1,2)/s;
p(7)=zuhe(7,4)*zuhe(n-7-1,3)/s;
function p=zhongjianglv2(n,k)
%n选k, 带特别号
s=zuhe(n,k);
p(1)=zuhe(k,k)/s;
p(2)=zuhe(k,k-1)*zuhe(1,1)/s;
p(3)=zuhe(k,k-1)*zuhe(n-k-1,1)/s;
p(4)=zuhe(k,k-2)*zuhe(1,1)*zuhe(n-k-1,1)/s;
p(5)=zuhe(k,k-2)*zuhe(n-k-1,2)/s;
p(6)=zuhe(k,k-3)*zuhe(1,1)*zuhe(n-k-1,2)/s;
p(7)=zuhe(k,k-3)*zuhe(n-k-1,3)/s;
function p=zhongjianglv3(n)
%n选7 不带特别号
s=zuhe(n,7);
p(1)=zuhe(7,7)/s;
p(2)=0;
p(3)=0;
p(4)=zuhe(7,6)*zuhe(n-7,1)/s;
p(5)=zuhe(7,5)*zuhe(n-7,2)/s;
p(6)=zuhe(7,4)*zuhe(n-7,3)/s;
p(7)=zuhe(7,3)*zuhe(n-7,4)/s;
function p=zhongjianglv4(n)
%n选6+1 带特别号
s=zuhe(n,7);
p(1)=zuhe(6,6)*zuhe(1,1)/s;
p(2)=zuhe(6,6)*zuhe(n-7,1)/s;
p(3)=zuhe(6,5)*zuhe(1,1)*zuhe(n-7,1)/s;
p(4)=zuhe(6,5)*zuhe(n-7,2)/s;
p(5)=zuhe(6,4)*zuhe(1,1)*zuhe(n-7,2)/s;
p(6)=zuhe(6,4)*zuhe(n-7,3)/s;
p(7)=zuhe(6,3)*zuhe(1,1)*zuhe(n-7,3)/s;
function p=zhongjianglv5()
s=5000000;
p(1)=1/s;
p(2)=4/s;
p(3)=90/s;
p(4)=(90+81+90)*5/s;
p(5)=(900+810+810+900)*5/s;
p(6)=(10^6-9^6-6*9^5-10*9^4-8*9^3-9*9^2-6*9-1)*5/s; p=[p,0];
function s=zuhe(n,k)
if n>=k
s=1;s1=1;s2=1;
for i=1:n
s=s*i;
end
for j=1:k
s1=s1*j;
end
for i=1:n-k
s2=s2*i;
end
s=s/(s1*s2);
else 'error'
end