1.1有理数
一、正数和负数
1. 负数的由来
为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数
正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正
22数前面加上“+”（正）号。例如+1，+0.5，3，„„就是1,0，3，„„。在正数前面加
+
上负号“—”的数叫做负数，例如
2
—1, —0.5, 3, „„。一个数前面的“+”“—”号叫做它的符号，其中“+”号有时可以省略，
-
而“—”号是绝对不能省略的。 例1：
对于“0”的说法正确的有（ ） 10是正数与负数的分界点；○20度是一个确定的温度；○30为正数；○40是自然数；5不存○○在既不是正数也不是负数的数 例2：
七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均成绩记为正，将五名同学的成绩分别记作-15分，-4分，0分，4分，15分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？
例3：观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第15个数，第101个数，第2010个数是什么吗？
-2，+3，-4，-5，+6，-7，-8，(1)-1，
———，———，„„
11112-1, , -3, , -5, , -7, , ()
2468———，———，„„
二、有理数
1. 整数、分数、有理数
例4：
下列四个结论中，错误的是（ ）
A 存在最小的自然数 B 存在最小的正有理数 C 不存在最大的正有理数 D 不存在最大的负有理数 例5：
. . 171
-，6，-6。5,0，-,3，-7, 210,0.031，
-43, -5%进行分组 3123把
正数集： 正整数集：
非负数集： 负分数集：
2. 数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 例6：
A 为数轴上表示-1的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到达B 点，则B 点所表示的数为（ ）
例7：
某人从A 地出发向东走10米，然后折回向西走3米，又折回向东走6米，问：此人此时在A 地哪个方向，距离A 地多远？
3. 相反数
（1）相反数的几何定义：在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。
（2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。 （3）相反数的表示方法以及多重符号的化简
数a 的相反数是-a ，这里的数a 是任意有理数，即a 可以是正数、负数或0。
多重符号的化简方法：若一个正数前面有偶数个“-”号，则可以把“-”号一起去掉；若一个正数前面有奇数个“-”号，则化简符号后只剩一个“-”号，0前面不论有多少个“-”号，化简后仍是0。 例8：
化简下列各数的符号：
(1)-⎛ -
1⎫
⎪; (2)-(+3.5); (3)+(-1)2⎝⎭
(4)-⎡⎣+(-7)⎤⎦; (5)-{-⎡⎣-(+5)⎤⎦}
4. 绝对值
绝对值的几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作
a
，读作“a 的绝对值”。数的绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能为负数。
绝对值的代数定义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；
（3）0的绝对值是0。 例9：求下列各数的绝对值
(1)+; (2)-0.5; (3)0; (4)-2
38
14
例10：
一个数的绝对值是8，求这个数。 例11：
1111111-+-+-+……+-=2324310099计算
5. 有理数的大小比较
利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
根据正数、负数、0在数轴上位置的不同比较两个数的大小 （1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小。
54-和-
5的大小 例12：比较6
11
-2，+1,0，-2,3
24按从小到大的顺序排列。 例13：将有理数
例14：比较下列每组数的大小：
43-与--
-(-5)与--5-(+3)与0-π与--3.144；（1）；（2）；（3）5（4）
一、判断题
1. 一个数，如果不是正数，必定就是负数。 （ ）
2. 正整数和负整数统称整数。 （ ）
3. 绝对值最小的有理数是0 （ ）
4. －a 是负数。 （ ）
5. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等． 6. 若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等．
（ ） （ ）
7. 一个数的相反数是本身，则这个数一定是0。 （ ）
8. 一个数必小于它的绝对值。 （ ）
二、填空
1、 如果盈利350元记作＋350元，那么－80元表示____________________。 2、 如果+7℃表示零上7℃，则零下5℃表示为 ；
3、 有理数中，最大的负整数是________，小于3的非负整数有____________________。
132
4、 把下列各数填在相应的集合内，－23，0.5，－, 28, 0, 4, , －5.2.
35
整数集合{ „„} 正数集合{ „„} 负分数集合{ „„}
5、在下列数中，有理数有 个；负整数有 个。
21
7， ， －6， 0， 3.1415， －5， －0.62， －11.
32
6、数轴上离表示-2的点的距离等于3个单位长度的点表示数是 。 7、大于－2而小于3的整数分别是_________________、
1
8、用“
59、－7的绝对值的相反数是________。－0.5的绝对值的相反数是________。 10、－（－2）的相反数是________。
11、－a 的相反数是________．－a 的相反数是－5，则a= 。
11
12、在数轴上A 点表示－，B 点表示，则离原点较近的点是__ _点．
32
13、在数轴上距离原点为2.5的点所对应的数为___ __，它们互为__ ___．
1
14、若|－x|=，则x 的值是_______．如果|x－3|=0，那么x=________．
5
三、比较大小、化简
1、比较大小（填写“＞”或“＜”号）
（1）－2.1_____1 （2）－3.2_____－4.3
111
（3）－_____－ （4）－_____0
234661
2、 －|－|=_______， －（－）=_______， －|+|=_______，
773111
－（+）=_______， +|－（）| =_______， +（－）=_______．
322
四、选择题
1. 下列说法错误的是（ ）
A. 0既不是正数也不是负数； B. 一个有理数不是整数就是分数；
C.0和正整数是自然数 ； D.有理数又可分为正有理数和负有理数。 2、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）
A.1个 B.2个 C. 3个 D.无穷多个 3、 下列各式中，正确的是（ ）
45
A. --16>0 B.0. 2>-0. 2 C.－>－ D.-
774、如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）
（A ）+a和－（－a ）互为相反数 （B ）+a和－a 一定不相等
（C ）－a 一定是负数 （D ）－（+a）和+（－a ）一定相等
5、如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
6、如图所示，点M 表示的数是（ ）
A. 2.5
B. -3. 5
C. -2. 5
D. 2.5
7、下列说法错误的是( )
A. 0是非负数； B. 0是最小的正整数； C. 0的绝对值等于它的相反数； D. 0的绝对值等于本身。 8、关于相反数的叙述错误的是（ ） A ．两数之和为0，则这两个数互为相反数
B ．在数轴上的原点两边，如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数
C ．符号相反的两个数，一定互为相反数 D ．零的相反数为零
9、已知有理数a ，b 所对应的点在数轴上的如图所示，
则有（ ）
A ．－a ＜0＜b
B ．－b ＜a ＜0 C ．a ＜0＜－b
D ．0＜b ＜－a
11
10、|a|=－a ，则a 一定是（ ）
22
A ．负数 五、
B ．正数 C ．零或负数 D ．非负数
1、在数轴上表示下列各数，并把它们用“＜”号连接起来．
1
－2，4.5，0，3，－3.5，|－1|，－（－1）
2
2、7筐苹果，以每筐25千克为准，超过的千克记作正数，不足的千克记作负数，称
重的记录如下：+2，－1，－2，+1，+3，－4，－3这七筐苹果实际各重多少千克？这7筐苹果的实际总重量比标准质量多还是少？多（或少）多少千克？
3、已知a 是最小的正整数，b 的相反数还是它本身，c 比最大的负整数大3，计算（2a+3c）×b 的值．
六、附加题
1. 观察下面的一列数：
1111，－，，－„„ 261220
请你找出其中排列的规律，并按此规律填空．
（1）第9个数是________，第14个数是________．
（2）若n 是大于1的整数，按上面的排列规律，写出第n 个数．
2. 若已知a ＞0，b ＜0，|b|＞|a|，试讨论a ，－a ，b ，－b 四个数的大小关系，并用“＞”把它们连接起来．
1.1有理数
一、正数和负数
1. 负数的由来
为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数
正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正
22数前面加上“+”（正）号。例如+1，+0.5，3，„„就是1,0，3，„„。在正数前面加
+
上负号“—”的数叫做负数，例如
2
—1, —0.5, 3, „„。一个数前面的“+”“—”号叫做它的符号，其中“+”号有时可以省略，
-
而“—”号是绝对不能省略的。 例1：
对于“0”的说法正确的有（ ） 10是正数与负数的分界点；○20度是一个确定的温度；○30为正数；○40是自然数；5不存○○在既不是正数也不是负数的数 例2：
七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均成绩记为正，将五名同学的成绩分别记作-15分，-4分，0分，4分，15分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？
例3：观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第15个数，第101个数，第2010个数是什么吗？
-2，+3，-4，-5，+6，-7，-8，(1)-1，
———，———，„„
11112-1, , -3, , -5, , -7, , ()
2468———，———，„„
二、有理数
1. 整数、分数、有理数
例4：
下列四个结论中，错误的是（ ）
A 存在最小的自然数 B 存在最小的正有理数 C 不存在最大的正有理数 D 不存在最大的负有理数 例5：
. . 171
-，6，-6。5,0，-,3，-7, 210,0.031，
-43, -5%进行分组 3123把
正数集： 正整数集：
非负数集： 负分数集：
2. 数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 例6：
A 为数轴上表示-1的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到达B 点，则B 点所表示的数为（ ）
例7：
某人从A 地出发向东走10米，然后折回向西走3米，又折回向东走6米，问：此人此时在A 地哪个方向，距离A 地多远？
3. 相反数
（1）相反数的几何定义：在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。
（2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。 （3）相反数的表示方法以及多重符号的化简
数a 的相反数是-a ，这里的数a 是任意有理数，即a 可以是正数、负数或0。
多重符号的化简方法：若一个正数前面有偶数个“-”号，则可以把“-”号一起去掉；若一个正数前面有奇数个“-”号，则化简符号后只剩一个“-”号，0前面不论有多少个“-”号，化简后仍是0。 例8：
化简下列各数的符号：
(1)-⎛ -
1⎫
⎪; (2)-(+3.5); (3)+(-1)2⎝⎭
(4)-⎡⎣+(-7)⎤⎦; (5)-{-⎡⎣-(+5)⎤⎦}
4. 绝对值
绝对值的几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作
a
，读作“a 的绝对值”。数的绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能为负数。
绝对值的代数定义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；
（3）0的绝对值是0。 例9：求下列各数的绝对值
(1)+; (2)-0.5; (3)0; (4)-2
38
14
例10：
一个数的绝对值是8，求这个数。 例11：
1111111-+-+-+……+-=2324310099计算
5. 有理数的大小比较
利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
根据正数、负数、0在数轴上位置的不同比较两个数的大小 （1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小。
54-和-
5的大小 例12：比较6
11
-2，+1,0，-2,3
24按从小到大的顺序排列。 例13：将有理数
例14：比较下列每组数的大小：
43-与--
-(-5)与--5-(+3)与0-π与--3.144；（1）；（2）；（3）5（4）
一、判断题
1. 一个数，如果不是正数，必定就是负数。 （ ）
2. 正整数和负整数统称整数。 （ ）
3. 绝对值最小的有理数是0 （ ）
4. －a 是负数。 （ ）
5. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等． 6. 若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等．
（ ） （ ）
7. 一个数的相反数是本身，则这个数一定是0。 （ ）
8. 一个数必小于它的绝对值。 （ ）
二、填空
1、 如果盈利350元记作＋350元，那么－80元表示____________________。 2、 如果+7℃表示零上7℃，则零下5℃表示为 ；
3、 有理数中，最大的负整数是________，小于3的非负整数有____________________。
132
4、 把下列各数填在相应的集合内，－23，0.5，－, 28, 0, 4, , －5.2.
35
整数集合{ „„} 正数集合{ „„} 负分数集合{ „„}
5、在下列数中，有理数有 个；负整数有 个。
21
7， ， －6， 0， 3.1415， －5， －0.62， －11.
32
6、数轴上离表示-2的点的距离等于3个单位长度的点表示数是 。 7、大于－2而小于3的整数分别是_________________、
1
8、用“
59、－7的绝对值的相反数是________。－0.5的绝对值的相反数是________。 10、－（－2）的相反数是________。
11、－a 的相反数是________．－a 的相反数是－5，则a= 。
11
12、在数轴上A 点表示－，B 点表示，则离原点较近的点是__ _点．
32
13、在数轴上距离原点为2.5的点所对应的数为___ __，它们互为__ ___．
1
14、若|－x|=，则x 的值是_______．如果|x－3|=0，那么x=________．
5
三、比较大小、化简
1、比较大小（填写“＞”或“＜”号）
（1）－2.1_____1 （2）－3.2_____－4.3
111
（3）－_____－ （4）－_____0
234661
2、 －|－|=_______， －（－）=_______， －|+|=_______，
773111
－（+）=_______， +|－（）| =_______， +（－）=_______．
322
四、选择题
1. 下列说法错误的是（ ）
A. 0既不是正数也不是负数； B. 一个有理数不是整数就是分数；
C.0和正整数是自然数 ； D.有理数又可分为正有理数和负有理数。 2、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）
A.1个 B.2个 C. 3个 D.无穷多个 3、 下列各式中，正确的是（ ）
45
A. --16>0 B.0. 2>-0. 2 C.－>－ D.-
774、如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）
（A ）+a和－（－a ）互为相反数 （B ）+a和－a 一定不相等
（C ）－a 一定是负数 （D ）－（+a）和+（－a ）一定相等
5、如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
6、如图所示，点M 表示的数是（ ）
A. 2.5
B. -3. 5
C. -2. 5
D. 2.5
7、下列说法错误的是( )
A. 0是非负数； B. 0是最小的正整数； C. 0的绝对值等于它的相反数； D. 0的绝对值等于本身。 8、关于相反数的叙述错误的是（ ） A ．两数之和为0，则这两个数互为相反数
B ．在数轴上的原点两边，如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数
C ．符号相反的两个数，一定互为相反数 D ．零的相反数为零
9、已知有理数a ，b 所对应的点在数轴上的如图所示，
则有（ ）
A ．－a ＜0＜b
B ．－b ＜a ＜0 C ．a ＜0＜－b
D ．0＜b ＜－a
11
10、|a|=－a ，则a 一定是（ ）
22
A ．负数 五、
B ．正数 C ．零或负数 D ．非负数
1、在数轴上表示下列各数，并把它们用“＜”号连接起来．
1
－2，4.5，0，3，－3.5，|－1|，－（－1）
2
2、7筐苹果，以每筐25千克为准，超过的千克记作正数，不足的千克记作负数，称
重的记录如下：+2，－1，－2，+1，+3，－4，－3这七筐苹果实际各重多少千克？这7筐苹果的实际总重量比标准质量多还是少？多（或少）多少千克？
3、已知a 是最小的正整数，b 的相反数还是它本身，c 比最大的负整数大3，计算（2a+3c）×b 的值．
六、附加题
1. 观察下面的一列数：
1111，－，，－„„ 261220
请你找出其中排列的规律，并按此规律填空．
（1）第9个数是________，第14个数是________．
（2）若n 是大于1的整数，按上面的排列规律，写出第n 个数．
2. 若已知a ＞0，b ＜0，|b|＞|a|，试讨论a ，－a ，b ，－b 四个数的大小关系，并用“＞”把它们连接起来．