第五节 函数展开成幂级数
前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的和函数. 现在我们要考虑相反的问题，即对给定的函数f (x ) ，要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数”，或者说，能否找到这样幂级数，它在某一区间内收敛，且其和恰好等于给定的函数f (x ) . 如果能找到这样的幂级数，我们就称函数f (x ) 在该区间内能展开成幂级数, 而这个幂级数在该区间内就表达了函数f (x ).
分布图示
★引言 ★泰勒级数的的概念
★麦克劳林级数
★函数展开成幂级数—直接法 ★例1
★例2 ★例3 ★例4 ★例5
★常用麦克劳林展开式
★函数展开成幂级数—间接法 ★例6
★例7 ★例8 ★例9 ★例10
★例11 ★例12 ★例13
★函数的幂级数展开式的应用
★内容小结 ★课堂练习
★习题7-5
内容要点：
一、 泰勒级数的概念：函数的泰勒展开式；函数的麦克劳林展开式；如果函数f (x ) 能在某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数. 即，没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的. 可证明，如果f (x ) 能展开成x 的幂级数，则这种展开式是唯一的，它一定等于f (x ) 的麦克劳林级数.
二、 函数展开成幂级数的方法：直接法：直接将函数展成泰勒级数；
间接法：利用已知的函数展开式（七个基本函数的麦克劳林展开式），通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式. 这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.
三、级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算. 在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，可以把函数近似表为x 的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算，非常简便.
sin x 1等，其原函数不能用初等函数表示，但, x ln x
若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分.
五、 求常数项级数的和：在本章的前三节中，我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法，包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法. 这里，我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的四、 计算定积分：许多函数, 如e x , 2
和的方法，即所谓的阿贝尔方法，其基本步骤如下：
（1）对所给数项级数∑a n , 构造幂级数∑a n x n ;
n =0n =0
∞∞∞
（2）利用幂级数的运算性质，求出∑a n x n 的和函数s (x ) ;
n =0
∞
（3） 所求数项级数
s (x ). ∑a n =x lim →1n =0-
例题选讲：
利用直接法将函数展开成幂级数:
例1（E01）将函数f (x ) =e x 展开成x 幂级数.
解 由f (n ) (x ) =e x , 得f (n ) (0) =1(n =0, 1, 2, ), 于是f (x ) 的麦克劳林级数为
121x + +x n + 2! n !
该级数的收敛半径为R =+∞. 对于任何有限的数x 、ξ(ξ介于0与x 之间) ，有 1+x +
|R (n ) n +1e ξ|x ||x |n +1
∞n +1|x |n +1|x |n +1|x ||x |→0(n →∞), 因e 有限, 而是级数的一般项，所以e ⋅(n +1)! (n +1)! (n +1)! n =0x ∑
即有lim R n (x ) =0, 于是 e x =1+x +n →∞121x + +x n + , x ∈(-∞, +∞). 2! n !
例2（E02）将函数f (x ) =sin x 展成x 的幂级数.
n π⎫⎛n x +解 f (n ) (x ) =s i ⎪(n =0, 1, 2, ) 2⎝⎭
f (n ) (0) 顺序循环地取0, 1, 0, -1, (n =0, 1, 2, ), 于是f (x ) 的麦克劳林级数为
2n +11315n x x -x +x - +(-1) + 3! 5(2n +1)!
该级数的收敛半径为R =+∞. 对于任何有限的数x 、ξ(ξ介于0与x 之间) ，有
(n +1) π⎤⎡sin ⎢ξ+n +1⎥x 2⎣⎦x n +1
n +1
有 R n (x )
(n +1)! →0(n →∞),
2n +113n x + , x ∈(-∞, +∞). 于是 sin x =x -x + +(-1) 3! (2n +1)!
例3（E03）将函数f (x ) =cos x 展成x 的幂级数.
解 利用幂级数的运算性质, 由sin x 的展开式
2n +1x 3x 5n x sin x =x -+- +(-1) + , x ∈(-∞, +∞) 3! 5! (2n +1)!
逐项求导得
2n x 2x 4n x +- +(-1) + , x ∈(-∞, +∞) cos x =1-2! 4! (2n )!
1+x ) 展成x 的幂级数. 例4（E04）将函数f (x ) =ln(
解 因为f ' (x ) =1, 而 1+x
1=1-x +x 2-x 3+ +(-1) n x n + , x ∈(-1, 1) 1+x
在上式两端从 0 到x 逐项积分, 得
n +1x 2x 3n x +- +(-1) + , x ∈(-1, 1] ln(1+x ) =x -2! 3! n +1
1+x ) 在 上式对x =1也成立. 因为上式右端的幂级数当x =1时收敛，而上式左端的函数ln(
x =1处有定义且连续.
例5（E05）将函数f (x ) =(1+x ) (α∈R ) 展开成x 的幂级数. 解 f '(x ) =a (1+x ) a -1,
f ''(x ) =a (a -1)(1+x ) a -2, „ α
f (n ) (x ) =a (a -1)(a -2) (a -n +1)(1+x ) a -n , „
所以f (0) =1, f ' (0) =a , f ' ' (0) =a (a -1), „f (n ) (0) =a (a -1) (a -n +1), „
于是f (x ) 的麦克劳林级数为
1+ax +a (a -1) 2a (a -1) (a -n +1) n x + +x + (1) 2! n !
a -n a n +1→1(n →∞), =n +1a n 该级数相邻两项的系数之比的绝对值
因此，该级数的收敛半径R =1, 收域区间为(-1, 1).
设级数(1)的和函数为s (x ), 则可求得 s (x ) =(1+x ) n , x ∈(-1, 1)
a (a -1) (a -n +1) n x + x ∈(-1, 1) (2) n !
在区间的端点x =±1处，展开式(2)是否成立要看a 的取值而定. 可证明:当a ≤-1时，收敛域为(-1, 1); 当-10时，收敛 域为[-1, 1].公式(2)称为二项展开式. 即 (1+x ) a =1+ax + +
特别地, 当a 为正整数时，级数成为x 的a 次多项式，它就是初等代数中的二项式定理. 例如，对应a =11、a =-的二项展开式分别为 22
+x =1+1121⋅33x -x +x + , x ∈[-1, 1]; 22⋅42⋅4⋅6
111⋅321⋅3⋅53=1-x +x -x + , x ∈(-1, 1]. 22⋅42⋅4⋅6+x
例6 将函数sin x 展开成(x -π/4)的幂级数.
解 sin x =sin[π/4+(x -π/4)]
=sin(π4) cos (x -π4) +cos(π4) sin(x -π/4)
=1
2[cos(x -π
4) +sin(x -π
4)]
=1(x -π/4) 3(x -π/4) 5(x -π/4) 2(x -π/4) 4
+- [1-+- +(x -π/4) -3! 5! 2! 4! =1(x -π/4) 2(x -π/4) 3
[1+(x -π/4) --+ ](-∞
利用间接法将函数展开成幂级数:
例7（E06）将函数f (x ) =arctan x 展开成x 的幂级数.
解 a r c t a x n =
=⎰x 0dx 1+x 2x 2+x 4- +(-1) n x 2n + ]dx ⎰x 0[1-
2n +11315n x =x -x +x - +(-1) + , x ∈(-1, 1). 352n +1
∞(-1) n (-1) n +1
当x =1时，级数收敛; 当x =-1时，级数收敛. 且当x =±1时，函数arctan x 2n +12n +1n =0n =0∑∞∑
连续，所以
2n +11315n x arctan x =x -x +x - +(-1) + , x ∈[-1, 1]. 352n +1
11+x 1例8 将函数f (x ) =ln +arctan x -x 展开成x 的幂级数. 41-x 2
11111解 由于f ' (x ) =(+) +⋅-1 41+x 1-x 21+x 2
∞1-1=x 4n -1=41-x n =0∑
x 0∑x n =1x 0(∞4n , 且f (0) =0, 所以 f (x ) =⎰f '(x ) dx =⎰∑x 4n +1
x ) dx =, x ∈(-1, 1). 4n +1n =1n =14n ∞∑∞
例9（E07）将函数3
x +1
解 321=32x 2⋅3x +12展开成x 的幂级数. =23⎡ln 3⎤231ln 31ln 3⎛⎫⎛⎫⎢1+x + ⎪x + ⎪x + ⎥, ⎝⎭⎝⎭⎣⎦=x ln 323e
x ∈(-∞, +∞).
例10 将函数 ln 4-3x -x 2展开成x 的幂级数.
解 ln(4-3x -x 2) =ln(1-x )(4+x ) =ln(1-x ) +ln(4+x )
(-x ) 2(-x ) 3
+- (-1≤x
x x x 1x 1x ln(4+x ) =ln 4(1+) =ln 4+ln(1+) =ln 4+-⋅() 2+⋅() 3- (-4
所以
⎛⎫x 2x 3x x 2x 3⎪ln(4-3x -x ) = -x -2-3- ⎪+ln 4+4-2⋅42+3⋅43-
⎝⎭2
317633=ln 4-x -x 2-x - (-1≤x
例11 将函数f (x )=1展开成(x -2)的幂级数. 2x
解 因为1111==⨯ x (x -2) +221+2
23⎤1∞(-1) n 1⎡x -2⎛x -2⎫⎛x -2⎫n =⎢1-(|x -2|
11逐项求导, 得 -2=2x
1所以 f (x ) =2=x ∞∑n =1∞(-1) n n (x -2) n -1, n 2∑(-1)
n =1n +12n -1(0
例12（E08）将函数f (x ) =
解 f (x ) =1展开成(x -1) 的幂级数. x 2+4x +3111111==-=-, 22(1+x ) 2(3+x ) (x +1)(x +3) x -1x -1⎛⎫⎛⎫x +4x +34 1+⎪8 1+⎪2⎭4⎭⎝⎝
11∞(-1) n
而 =(x -1) n (-1
2∑
11∞(-1) n
=(x -1) n (-3
∞111故 2=(-1) n (n +2-2n +3)(x -1) n (-1
例13将f (x ) =
解 x -1(n ) 展开成x -1的幂级数, 并求f (1). 4-x
11x -1x -12x -1n =[1++() + +() + ],|x -1|
3 11==4-x 3-(x -1)
1(x -1) 2(x -1) 3(x -1) n x -11++ ++ , x -1
f (n ) (1) 1n ! =n , 故f (n ) (1) =n . 于是n ! 33
课堂练习
1. 将函数ln(1+x -2x ) 展开成x 的幂级数.
2. 设函数f (x ) =e x , 求f 22(n ) (0) .
1113. 求常数项级数1-+-+ 的和. 357
第五节 函数展开成幂级数
前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的和函数. 现在我们要考虑相反的问题，即对给定的函数f (x ) ，要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数”，或者说，能否找到这样幂级数，它在某一区间内收敛，且其和恰好等于给定的函数f (x ) . 如果能找到这样的幂级数，我们就称函数f (x ) 在该区间内能展开成幂级数, 而这个幂级数在该区间内就表达了函数f (x ).
分布图示
★引言 ★泰勒级数的的概念
★麦克劳林级数
★函数展开成幂级数—直接法 ★例1
★例2 ★例3 ★例4 ★例5
★常用麦克劳林展开式
★函数展开成幂级数—间接法 ★例6
★例7 ★例8 ★例9 ★例10
★例11 ★例12 ★例13
★函数的幂级数展开式的应用
★内容小结 ★课堂练习
★习题7-5
内容要点：
一、 泰勒级数的概念：函数的泰勒展开式；函数的麦克劳林展开式；如果函数f (x ) 能在某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数. 即，没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的. 可证明，如果f (x ) 能展开成x 的幂级数，则这种展开式是唯一的，它一定等于f (x ) 的麦克劳林级数.
二、 函数展开成幂级数的方法：直接法：直接将函数展成泰勒级数；
间接法：利用已知的函数展开式（七个基本函数的麦克劳林展开式），通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式. 这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.
三、级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算. 在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，可以把函数近似表为x 的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算，非常简便.
sin x 1等，其原函数不能用初等函数表示，但, x ln x
若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分.
五、 求常数项级数的和：在本章的前三节中，我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法，包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法. 这里，我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的四、 计算定积分：许多函数, 如e x , 2
和的方法，即所谓的阿贝尔方法，其基本步骤如下：
（1）对所给数项级数∑a n , 构造幂级数∑a n x n ;
n =0n =0
∞∞∞
（2）利用幂级数的运算性质，求出∑a n x n 的和函数s (x ) ;
n =0
∞
（3） 所求数项级数
s (x ). ∑a n =x lim →1n =0-
例题选讲：
利用直接法将函数展开成幂级数:
例1（E01）将函数f (x ) =e x 展开成x 幂级数.
解 由f (n ) (x ) =e x , 得f (n ) (0) =1(n =0, 1, 2, ), 于是f (x ) 的麦克劳林级数为
121x + +x n + 2! n !
该级数的收敛半径为R =+∞. 对于任何有限的数x 、ξ(ξ介于0与x 之间) ，有 1+x +
|R (n ) n +1e ξ|x ||x |n +1
∞n +1|x |n +1|x |n +1|x ||x |→0(n →∞), 因e 有限, 而是级数的一般项，所以e ⋅(n +1)! (n +1)! (n +1)! n =0x ∑
即有lim R n (x ) =0, 于是 e x =1+x +n →∞121x + +x n + , x ∈(-∞, +∞). 2! n !
例2（E02）将函数f (x ) =sin x 展成x 的幂级数.
n π⎫⎛n x +解 f (n ) (x ) =s i ⎪(n =0, 1, 2, ) 2⎝⎭
f (n ) (0) 顺序循环地取0, 1, 0, -1, (n =0, 1, 2, ), 于是f (x ) 的麦克劳林级数为
2n +11315n x x -x +x - +(-1) + 3! 5(2n +1)!
该级数的收敛半径为R =+∞. 对于任何有限的数x 、ξ(ξ介于0与x 之间) ，有
(n +1) π⎤⎡sin ⎢ξ+n +1⎥x 2⎣⎦x n +1
n +1
有 R n (x )
(n +1)! →0(n →∞),
2n +113n x + , x ∈(-∞, +∞). 于是 sin x =x -x + +(-1) 3! (2n +1)!
例3（E03）将函数f (x ) =cos x 展成x 的幂级数.
解 利用幂级数的运算性质, 由sin x 的展开式
2n +1x 3x 5n x sin x =x -+- +(-1) + , x ∈(-∞, +∞) 3! 5! (2n +1)!
逐项求导得
2n x 2x 4n x +- +(-1) + , x ∈(-∞, +∞) cos x =1-2! 4! (2n )!
1+x ) 展成x 的幂级数. 例4（E04）将函数f (x ) =ln(
解 因为f ' (x ) =1, 而 1+x
1=1-x +x 2-x 3+ +(-1) n x n + , x ∈(-1, 1) 1+x
在上式两端从 0 到x 逐项积分, 得
n +1x 2x 3n x +- +(-1) + , x ∈(-1, 1] ln(1+x ) =x -2! 3! n +1
1+x ) 在 上式对x =1也成立. 因为上式右端的幂级数当x =1时收敛，而上式左端的函数ln(
x =1处有定义且连续.
例5（E05）将函数f (x ) =(1+x ) (α∈R ) 展开成x 的幂级数. 解 f '(x ) =a (1+x ) a -1,
f ''(x ) =a (a -1)(1+x ) a -2, „ α
f (n ) (x ) =a (a -1)(a -2) (a -n +1)(1+x ) a -n , „
所以f (0) =1, f ' (0) =a , f ' ' (0) =a (a -1), „f (n ) (0) =a (a -1) (a -n +1), „
于是f (x ) 的麦克劳林级数为
1+ax +a (a -1) 2a (a -1) (a -n +1) n x + +x + (1) 2! n !
a -n a n +1→1(n →∞), =n +1a n 该级数相邻两项的系数之比的绝对值
因此，该级数的收敛半径R =1, 收域区间为(-1, 1).
设级数(1)的和函数为s (x ), 则可求得 s (x ) =(1+x ) n , x ∈(-1, 1)
a (a -1) (a -n +1) n x + x ∈(-1, 1) (2) n !
在区间的端点x =±1处，展开式(2)是否成立要看a 的取值而定. 可证明:当a ≤-1时，收敛域为(-1, 1); 当-10时，收敛 域为[-1, 1].公式(2)称为二项展开式. 即 (1+x ) a =1+ax + +
特别地, 当a 为正整数时，级数成为x 的a 次多项式，它就是初等代数中的二项式定理. 例如，对应a =11、a =-的二项展开式分别为 22
+x =1+1121⋅33x -x +x + , x ∈[-1, 1]; 22⋅42⋅4⋅6
111⋅321⋅3⋅53=1-x +x -x + , x ∈(-1, 1]. 22⋅42⋅4⋅6+x
例6 将函数sin x 展开成(x -π/4)的幂级数.
解 sin x =sin[π/4+(x -π/4)]
=sin(π4) cos (x -π4) +cos(π4) sin(x -π/4)
=1
2[cos(x -π
4) +sin(x -π
4)]
=1(x -π/4) 3(x -π/4) 5(x -π/4) 2(x -π/4) 4
+- [1-+- +(x -π/4) -3! 5! 2! 4! =1(x -π/4) 2(x -π/4) 3
[1+(x -π/4) --+ ](-∞
利用间接法将函数展开成幂级数:
例7（E06）将函数f (x ) =arctan x 展开成x 的幂级数.
解 a r c t a x n =
=⎰x 0dx 1+x 2x 2+x 4- +(-1) n x 2n + ]dx ⎰x 0[1-
2n +11315n x =x -x +x - +(-1) + , x ∈(-1, 1). 352n +1
∞(-1) n (-1) n +1
当x =1时，级数收敛; 当x =-1时，级数收敛. 且当x =±1时，函数arctan x 2n +12n +1n =0n =0∑∞∑
连续，所以
2n +11315n x arctan x =x -x +x - +(-1) + , x ∈[-1, 1]. 352n +1
11+x 1例8 将函数f (x ) =ln +arctan x -x 展开成x 的幂级数. 41-x 2
11111解 由于f ' (x ) =(+) +⋅-1 41+x 1-x 21+x 2
∞1-1=x 4n -1=41-x n =0∑
x 0∑x n =1x 0(∞4n , 且f (0) =0, 所以 f (x ) =⎰f '(x ) dx =⎰∑x 4n +1
x ) dx =, x ∈(-1, 1). 4n +1n =1n =14n ∞∑∞
例9（E07）将函数3
x +1
解 321=32x 2⋅3x +12展开成x 的幂级数. =23⎡ln 3⎤231ln 31ln 3⎛⎫⎛⎫⎢1+x + ⎪x + ⎪x + ⎥, ⎝⎭⎝⎭⎣⎦=x ln 323e
x ∈(-∞, +∞).
例10 将函数 ln 4-3x -x 2展开成x 的幂级数.
解 ln(4-3x -x 2) =ln(1-x )(4+x ) =ln(1-x ) +ln(4+x )
(-x ) 2(-x ) 3
+- (-1≤x
x x x 1x 1x ln(4+x ) =ln 4(1+) =ln 4+ln(1+) =ln 4+-⋅() 2+⋅() 3- (-4
所以
⎛⎫x 2x 3x x 2x 3⎪ln(4-3x -x ) = -x -2-3- ⎪+ln 4+4-2⋅42+3⋅43-
⎝⎭2
317633=ln 4-x -x 2-x - (-1≤x
例11 将函数f (x )=1展开成(x -2)的幂级数. 2x
解 因为1111==⨯ x (x -2) +221+2
23⎤1∞(-1) n 1⎡x -2⎛x -2⎫⎛x -2⎫n =⎢1-(|x -2|
11逐项求导, 得 -2=2x
1所以 f (x ) =2=x ∞∑n =1∞(-1) n n (x -2) n -1, n 2∑(-1)
n =1n +12n -1(0
例12（E08）将函数f (x ) =
解 f (x ) =1展开成(x -1) 的幂级数. x 2+4x +3111111==-=-, 22(1+x ) 2(3+x ) (x +1)(x +3) x -1x -1⎛⎫⎛⎫x +4x +34 1+⎪8 1+⎪2⎭4⎭⎝⎝
11∞(-1) n
而 =(x -1) n (-1
2∑
11∞(-1) n
=(x -1) n (-3
∞111故 2=(-1) n (n +2-2n +3)(x -1) n (-1
例13将f (x ) =
解 x -1(n ) 展开成x -1的幂级数, 并求f (1). 4-x
11x -1x -12x -1n =[1++() + +() + ],|x -1|
3 11==4-x 3-(x -1)
1(x -1) 2(x -1) 3(x -1) n x -11++ ++ , x -1
f (n ) (1) 1n ! =n , 故f (n ) (1) =n . 于是n ! 33
课堂练习
1. 将函数ln(1+x -2x ) 展开成x 的幂级数.
2. 设函数f (x ) =e x , 求f 22(n ) (0) .
1113. 求常数项级数1-+-+ 的和. 357