直线与平面位置关系
【复习要点】
1．理解直线与平面的位置关系；理解直线与平面所成角的概念并会计算；
2．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理；
3．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．
【知识整理】
1．直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交．直线与平面平行都叫作直线在平面外。
2．直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。
3．直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
4．直线和平面所成的角：
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。
（2）范围：[0,90]；求法：作出直线在平面上的射影；
（3）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
【方法归纳】
1．证明线面平行的基本方法：①定义法（反证法） ②判定定理 ③面面平行则线面平行
2．证明线面垂直的基本方法：①判定定理 ②两个平面垂直的性质
【例题选讲】
1（填序号）.
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2．对于平面和共面的直线m、n（填序号）.
①若m⊥，m⊥n，则n∥ ②若m∥，n∥，则m∥n
③若m，n∥，则m∥n ④若m、n与所成的角相等，则m∥n
3．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别
有两点E，F，且B1E=C1F.
求证：EF∥平面ABCD.
4．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN∥平面AA1C1.
5．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.
6．如图，四面体ABCD中，O，E分别BD，BC的中点,CA=CB=CD=BD=2，AB＝AD
求证：AO⊥平面BCD．
A
M
O
CBE
7．如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：（1）BC⊥平面PAB；（2）AE⊥平面PBC；（3）PC⊥平面AEF.
【考题精选】
1．已知直线l与平面α，β．若l∥α，l∥β，α∩β＝a，则l与a
23．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，要使一根长为2m的细杆的影子最长，则细杆与水平地面所成的角为
4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与底面ABCD所成的角的正切等于
5．用表示平面，l表示直线，则平面内至少有一直线与l相交，异面，垂直）
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P
∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小如何变化？
7．空间四边形的与各顶点等距离的截面共有
8．已知△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P
到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是
9．平面外的一侧有一个三角形，三个顶点到的距离分别是7，9，13。则这个三角形的重心到的距离为 .
10．已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD。若在BC上有且仅有一个点Q，满足
PQ⊥QD，则a的值为 .
11．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底
面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=
M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则
12．设P．Q是单位正方体AC1的面AA1D1D．面A1B1C1D1的中心。
（1）证明：PQ∥平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长。
a，过P，3
13．如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB．SC．SD于E．K．H，求证：E．H分别是点A在直线SB和SD上的射影。
14．如图，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求线段MN的长.
15．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥
平面ABCD，并证明你的结论.
直线与平面位置关系
【复习要点】
1．理解直线与平面的位置关系；理解直线与平面所成角的概念并会计算；
2．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理；
3．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．
【知识整理】
1．直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交．直线与平面平行都叫作直线在平面外。
2．直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。
3．直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
4．直线和平面所成的角：
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。
（2）范围：[0,90]；求法：作出直线在平面上的射影；
（3）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
【方法归纳】
1．证明线面平行的基本方法：①定义法（反证法） ②判定定理 ③面面平行则线面平行
2．证明线面垂直的基本方法：①判定定理 ②两个平面垂直的性质
【例题选讲】
1（填序号）.
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2．对于平面和共面的直线m、n（填序号）.
①若m⊥，m⊥n，则n∥ ②若m∥，n∥，则m∥n
③若m，n∥，则m∥n ④若m、n与所成的角相等，则m∥n
3．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别
有两点E，F，且B1E=C1F.
求证：EF∥平面ABCD.
4．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN∥平面AA1C1.
5．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.
6．如图，四面体ABCD中，O，E分别BD，BC的中点,CA=CB=CD=BD=2，AB＝AD
求证：AO⊥平面BCD．
A
M
O
CBE
7．如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：（1）BC⊥平面PAB；（2）AE⊥平面PBC；（3）PC⊥平面AEF.
【考题精选】
1．已知直线l与平面α，β．若l∥α，l∥β，α∩β＝a，则l与a
23．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，要使一根长为2m的细杆的影子最长，则细杆与水平地面所成的角为
4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与底面ABCD所成的角的正切等于
5．用表示平面，l表示直线，则平面内至少有一直线与l相交，异面，垂直）
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P
∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小如何变化？
7．空间四边形的与各顶点等距离的截面共有
8．已知△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P
到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是
9．平面外的一侧有一个三角形，三个顶点到的距离分别是7，9，13。则这个三角形的重心到的距离为 .
10．已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD。若在BC上有且仅有一个点Q，满足
PQ⊥QD，则a的值为 .
11．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底
面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=
M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则
12．设P．Q是单位正方体AC1的面AA1D1D．面A1B1C1D1的中心。
（1）证明：PQ∥平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长。
a，过P，3
13．如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB．SC．SD于E．K．H，求证：E．H分别是点A在直线SB和SD上的射影。
14．如图，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求线段MN的长.
15．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥
平面ABCD，并证明你的结论.