二次函数
一、考纲要求
1、 掌握二次函数的概念、图像特征
2、 掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上
的最值
3、 掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧
密关系，提高解综合问题的能力。
二、高考趋势
由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。
三、知识回顾
1、 二次函数的解析式
（1） 一般式：
（2） 顶点式：
（3） 双根式：
求二次函数解析式的方法：1已知 时，○宜用一般式 2已知 时，○常使用顶点式
3已知 时，○用双根式更方便
2、 二次函数的图像和性质
二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0) 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。
（1）当a >0时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当x =-
为
（2）当a
。
（3）二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)
当 时，恒有 f (x ). >0 ，
当 时，恒有 f (x ).
（4）二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0) ，当∆=b 2-4ac >0时，图像与 x 轴有两个交点，M 1(x 1, 0), M 2(x 2, 0), M 1M 2=x 1-x 2=∆. a b 时，函数有最为 2a b 时，函数有最值2a
四、基础训练
1、已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0) 的对称轴方程为x=2,则在f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)中，相等的两个值为，最大值为 2函数f (x )=2x 2-mx +3，当x ∈(-∝, -1]时，是减函数，则实数m 的取值范围是 。
3函数f (x )=x 2-2ax -a 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是
（-），则b +c = 4已知不等式x 2+bx +c
23
5若函数f(x)=(x+a)(bx+2a) (常数a 、b ∈R ) 是偶函数，且他的值域为（-∞，4]，则f(x)=
6 设二次函数y=f(x)的最大值为13，且f(3)= f(-1)=5，则 7已知二次函数f (x ) =x 2-4ax +2a +6(x ∈R ) 的值域为[0, ∞) , 则实数a 五、例题精讲
例1 求下列二次函数的解析式
(1) 图像顶点的坐标为(2,-1),与y 轴交点坐标为（0，11）；
(2) 已知函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x；
(3) f (2)=0,f(-1)=0且过点（0，4）求f(x).
例2 已知函数f (x ) =ax 2+(b -8) x -a -ab ，当x ∈(-3, 2) 时，f (x ) >0, 当x ∈(-∞, -3) ⋃(2, +∞) 时，f (x )
（2）若ax 2+bx +c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围。
例3 已知函数f (x ) =ax 2+bx (a ≠0) 满足条件f (-x +5) =f (x -3) 且方程f (x ) =x 有等根，（1）求f (x ) 的解析式；（2）是否存在实数m , n (m
例4已知关于x 的方程mx 2+(m-3)x+1=0 ①若存在正根，求实数m 的取值范围 ②2个正根m 的取值范围 ③一正一负根m 的取值范围 ④2个负根的m 的取值范围
六、巩固练习
1. 若关于x 的不等式x 2-4x ≥m 对任意 x ∈（0，1]恒成立，则 m
的取值范围为
2. 不等式ax 2+bx+c ＞0 的解集为（x 1,x 2）(x1 x 2
cx 2-bx +a
解，则y =f (x ) 的解析式为
5. 已知a , b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24，则5a -b =6. 函数f (x ) =4x 2-mx +5在区间[-2, +∞) 上是增函数，则f (1) 的取值范围是
7. 函数f(x)=2x2-mx+3, 当x ∈[-2,+∞) 时是增函数，当x ∈(-∞，-2]时是减函数，f(1)=
8. 若二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 满足f (x 1) =f (x 2)(x 1≠x 2) 则f (x 1+x 2) =9. 若关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根，则a 的值为
10. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，
2）内，求m 的范围。（2）若方程两根均在（0，1）内，求m 的范围。
11. 若函数f(x)=x2+(m-2)x+5的两个相异零点都大于0，则m 的取值范围是
12. 设f(x)=lg(ax2-2x+a)
(1)若f(x)的定义域为R, 求实数a 的取值范围；
（2）若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围。
二次函数
一、考纲要求
1、 掌握二次函数的概念、图像特征
2、 掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上
的最值
3、 掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧
密关系，提高解综合问题的能力。
二、高考趋势
由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。
三、知识回顾
1、 二次函数的解析式
（1） 一般式：
（2） 顶点式：
（3） 双根式：
求二次函数解析式的方法：1已知 时，○宜用一般式 2已知 时，○常使用顶点式
3已知 时，○用双根式更方便
2、 二次函数的图像和性质
二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0) 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。
（1）当a >0时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当x =-
为
（2）当a
。
（3）二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)
当 时，恒有 f (x ). >0 ，
当 时，恒有 f (x ).
（4）二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0) ，当∆=b 2-4ac >0时，图像与 x 轴有两个交点，M 1(x 1, 0), M 2(x 2, 0), M 1M 2=x 1-x 2=∆. a b 时，函数有最为 2a b 时，函数有最值2a
四、基础训练
1、已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0) 的对称轴方程为x=2,则在f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)中，相等的两个值为，最大值为 2函数f (x )=2x 2-mx +3，当x ∈(-∝, -1]时，是减函数，则实数m 的取值范围是 。
3函数f (x )=x 2-2ax -a 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是
（-），则b +c = 4已知不等式x 2+bx +c
23
5若函数f(x)=(x+a)(bx+2a) (常数a 、b ∈R ) 是偶函数，且他的值域为（-∞，4]，则f(x)=
6 设二次函数y=f(x)的最大值为13，且f(3)= f(-1)=5，则 7已知二次函数f (x ) =x 2-4ax +2a +6(x ∈R ) 的值域为[0, ∞) , 则实数a 五、例题精讲
例1 求下列二次函数的解析式
(1) 图像顶点的坐标为(2,-1),与y 轴交点坐标为（0，11）；
(2) 已知函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x；
(3) f (2)=0,f(-1)=0且过点（0，4）求f(x).
例2 已知函数f (x ) =ax 2+(b -8) x -a -ab ，当x ∈(-3, 2) 时，f (x ) >0, 当x ∈(-∞, -3) ⋃(2, +∞) 时，f (x )
（2）若ax 2+bx +c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围。
例3 已知函数f (x ) =ax 2+bx (a ≠0) 满足条件f (-x +5) =f (x -3) 且方程f (x ) =x 有等根，（1）求f (x ) 的解析式；（2）是否存在实数m , n (m
例4已知关于x 的方程mx 2+(m-3)x+1=0 ①若存在正根，求实数m 的取值范围 ②2个正根m 的取值范围 ③一正一负根m 的取值范围 ④2个负根的m 的取值范围
六、巩固练习
1. 若关于x 的不等式x 2-4x ≥m 对任意 x ∈（0，1]恒成立，则 m
的取值范围为
2. 不等式ax 2+bx+c ＞0 的解集为（x 1,x 2）(x1 x 2
cx 2-bx +a
解，则y =f (x ) 的解析式为
5. 已知a , b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24，则5a -b =6. 函数f (x ) =4x 2-mx +5在区间[-2, +∞) 上是增函数，则f (1) 的取值范围是
7. 函数f(x)=2x2-mx+3, 当x ∈[-2,+∞) 时是增函数，当x ∈(-∞，-2]时是减函数，f(1)=
8. 若二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 满足f (x 1) =f (x 2)(x 1≠x 2) 则f (x 1+x 2) =9. 若关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根，则a 的值为
10. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，
2）内，求m 的范围。（2）若方程两根均在（0，1）内，求m 的范围。
11. 若函数f(x)=x2+(m-2)x+5的两个相异零点都大于0，则m 的取值范围是
12. 设f(x)=lg(ax2-2x+a)
(1)若f(x)的定义域为R, 求实数a 的取值范围；
（2）若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围。