排队论例题
1、某重要设施是由三道防线组成的防空系统。第一道防线上配备两座武器；第二道防线上配备三座武器；第三道防线上配备一座武器。所有的武器类型一样。武器对来犯敌人的射击时间服从μ=1（架/分钟）的指数分布，敌机来犯服从λ=2（架/分钟）的泊松流。试估计该防空系统的有效率。
解： 武器联合发挥作用
该防空系统有效率 = 1- (三道防线后的损失率) 三道防线均可看成M/M/1/1系统
第一道防线：λ=2架/分钟, μ=2架/分钟（两座武器）
ρ=λ/μ=1
P1=ρP0=P0,P0=
第二道防线 :
11
,P1=,P(1)=λ1损=λP1=1. 22
λ11
λ=λ1损=1.μ=3(三座武器)ρ==,P1=ρP0=P0,
μ33
311P0=,P1=,P(2)=λ2损=λP1=.
444
第三道防线:
1λ11
λ=λ2损=.μ=1,ρ==,P1=ρP0=P0,P0+P1=1,
4μ44411
∴P0=,P1=,P(3)=λ3损=λP1==0.05.
5520
λ3损0.05
总损失率===0.025,
λ2
该防空系统的有效率=1-总损失率=0.975
2、某汽车加油站只有一个加油灌，汽车到达为泊松流，加油时间服从指数分布。平均到达率和平均服务率分别为λ和μ。已知汽车排队等待（不含服务时间）1小时的损失费为C元，加油站空闲1小时损失费为2C元。试求使总的损失费（包括顾客排队等待的损失费和服务机构空闲时的损失费）最小的最优服务强度ρ（ρ=λ/μ）。
解：该排队系统为M/M/1系统
ρλ= ρ= Wq=
μ（μ-λ）1-ρμ
P0 = 1-ρ=（空闲概率） 每小时空闲时间为1×P0= P0
λ
μ
2
ρ2
总损失费为： y=2Cp0+Cwq=2C(1-ρ)+C
1-ρ
2ρ(1-ρ)+ρ22ρ-ρ2
=-2C+C 对 ρ 求导 y'=-2C+C22
(1-ρ)(1-ρ)
∴ρ=2±2 又∵ρ＜1 ∴ρ=2-2
(2-2ρ)(1-ρ2)+2(1-ρ)(2ρ-ρ2)
由于2阶导数 y''=>0 4
(1-ρ)
∴在ρ=2-2时为0＜ρ＜1上取最小值
3. 某航空公司售票出开展电话订票业务。据统计分析，电话到达过程服从泊松分布，平均到达率为每小时20个，平均每个业务员每小时可以处理10个电话订票业务。请问该公司应该安装多少电话，才能使因电话占线而损失的概率小于10﹪.
解：该排队系统为M/M/S/S系统。
k⎤
-1
λ=20个/h ,μ=10个/h . δ=λ/
μ
=2
⎡sδP0=⎢∑
⎥k=0k！⎣⎦
Pn= P0 (n=0,1,2,…,s)
n!
S
n
因电话占线而损失的概率为电话服务台全被占用的概率。Ps= P0
n!
当s=1时，P0=
(1+2)
-1
= ， P1=⨯=>10﹪
2⎫
-1
13211323
⎛2当s=2时，P0= 1+2+⎪ ⎪2！⎝⎭
2
112
=， P2=⨯=>10﹪ 52！55
2
⎛
当s=3时，P0= 1+2+2+2⎪ ⎪2！3！⎝⎭
2
3
3⎫
-1
334
= P3=⨯=>10﹪ 193！1919
3
⎛222当s=4时，P0= 1+2+++⎪ ⎪2！3！4！⎝⎭
4⎫
-1
112
= P4=⨯=
4
所以公司应安装4台电话才能使因电话占线而损失的概率小于10﹪。
排队论例题
1、某重要设施是由三道防线组成的防空系统。第一道防线上配备两座武器；第二道防线上配备三座武器；第三道防线上配备一座武器。所有的武器类型一样。武器对来犯敌人的射击时间服从μ=1（架/分钟）的指数分布，敌机来犯服从λ=2（架/分钟）的泊松流。试估计该防空系统的有效率。
解： 武器联合发挥作用
该防空系统有效率 = 1- (三道防线后的损失率) 三道防线均可看成M/M/1/1系统
第一道防线：λ=2架/分钟, μ=2架/分钟（两座武器）
ρ=λ/μ=1
P1=ρP0=P0,P0=
第二道防线 :
11
,P1=,P(1)=λ1损=λP1=1. 22
λ11
λ=λ1损=1.μ=3(三座武器)ρ==,P1=ρP0=P0,
μ33
311P0=,P1=,P(2)=λ2损=λP1=.
444
第三道防线:
1λ11
λ=λ2损=.μ=1,ρ==,P1=ρP0=P0,P0+P1=1,
4μ44411
∴P0=,P1=,P(3)=λ3损=λP1==0.05.
5520
λ3损0.05
总损失率===0.025,
λ2
该防空系统的有效率=1-总损失率=0.975
2、某汽车加油站只有一个加油灌，汽车到达为泊松流，加油时间服从指数分布。平均到达率和平均服务率分别为λ和μ。已知汽车排队等待（不含服务时间）1小时的损失费为C元，加油站空闲1小时损失费为2C元。试求使总的损失费（包括顾客排队等待的损失费和服务机构空闲时的损失费）最小的最优服务强度ρ（ρ=λ/μ）。
解：该排队系统为M/M/1系统
ρλ= ρ= Wq=
μ（μ-λ）1-ρμ
P0 = 1-ρ=（空闲概率） 每小时空闲时间为1×P0= P0
λ
μ
2
ρ2
总损失费为： y=2Cp0+Cwq=2C(1-ρ)+C
1-ρ
2ρ(1-ρ)+ρ22ρ-ρ2
=-2C+C 对 ρ 求导 y'=-2C+C22
(1-ρ)(1-ρ)
∴ρ=2±2 又∵ρ＜1 ∴ρ=2-2
(2-2ρ)(1-ρ2)+2(1-ρ)(2ρ-ρ2)
由于2阶导数 y''=>0 4
(1-ρ)
∴在ρ=2-2时为0＜ρ＜1上取最小值
3. 某航空公司售票出开展电话订票业务。据统计分析，电话到达过程服从泊松分布，平均到达率为每小时20个，平均每个业务员每小时可以处理10个电话订票业务。请问该公司应该安装多少电话，才能使因电话占线而损失的概率小于10﹪.
解：该排队系统为M/M/S/S系统。
k⎤
-1
λ=20个/h ,μ=10个/h . δ=λ/
μ
=2
⎡sδP0=⎢∑
⎥k=0k！⎣⎦
Pn= P0 (n=0,1,2,…,s)
n!
S
n
因电话占线而损失的概率为电话服务台全被占用的概率。Ps= P0
n!
当s=1时，P0=
(1+2)
-1
= ， P1=⨯=>10﹪
2⎫
-1
13211323
⎛2当s=2时，P0= 1+2+⎪ ⎪2！⎝⎭
2
112
=， P2=⨯=>10﹪ 52！55
2
⎛
当s=3时，P0= 1+2+2+2⎪ ⎪2！3！⎝⎭
2
3
3⎫
-1
334
= P3=⨯=>10﹪ 193！1919
3
⎛222当s=4时，P0= 1+2+++⎪ ⎪2！3！4！⎝⎭
4⎫
-1
112
= P4=⨯=
4
所以公司应安装4台电话才能使因电话占线而损失的概率小于10﹪。