第 27 次课 2 学时
第27讲 格林公式
一、 复习旧知
（一）对坐标曲线积分定义; ⎰f (x , y ) dy =lim ∑f (ξi , ηi ) ∆y i .
L
n
λ→0
i =1
（二）对坐标的曲线积分的计算;
定理1: 设P (x , y ) 、Q (x , y ) 是定义在光滑有向曲线L : x =ϕ(t ) , y =ψ(t ) , 上的连续函数, 当参数t 单调地由α变到β时, 点M (x , y ) 从L 的起点A 沿L 运动到终点B , 则
β
⎰L ⎰L
P (x , y ) dx =⎰P [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) dt ,
α
Q (x , y ) dy =⎰Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t ) dt .
α
β
定理2: 若P (x , y ) 是定义在光滑有向曲线
L : x =ϕ(t ) , y =ψ(t )(α≤t ≤β)
上的连续函数, L 的方向与t 的增加方向一致, 则
⎰L P (x , y ) dx =⎰αP [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) dt .
应注意的问题: 下限a 对应于L 的起点, 上限β 对应于L 的终点, α不一定小于β .
β
二、内容精讲 （一） 格林公式
1．基本概念
定义1: 设D 为平面区域, 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D , 则称D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
定义2:对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正向如下: 当观察者沿L 的这个方向行走时, D 内在他近处的那一部分总在他的左边.
2．格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在D 上具有一阶连续偏导数，则有
⎰⎰(
D
∂Q ∂P
-) dxdy =Pdx +Qdy ,
L ∂x ∂y
其中L 是D 的取正向的边界曲线.
证明：略（根据班级情况可不证明） 应注意的问题:
（1）对复连通区域D ，格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D 来说都是正向.
（2）设区域D 的边界曲线为L ，取P =-y , Q =x , 则由格林公式得
2⎰⎰dxdy =xdy -ydx ，或A =⎰⎰dxdy =1xdy -ydx .
L 2L
D
D
例题精讲：
例1. 椭圆x =a cosθ , y =b sinθ 所围成图形的面积A . 分析: 只要
∂Q ∂P ∂Q
-=1, 就有⎰⎰(-∂P ) dxdy =⎰⎰dxdy =A . ∂x ∂y ∂x ∂y
D
D
解: 设D 是由椭圆x =a cos θ , y =b sin θ 所围成的区域.
∂Q ∂P 11
-=+=1. 令P =-1y , Q =1x , 则∂x ∂y 2222于是由格林公式,
A =⎰⎰dxdy =-1ydx +1xdy =1-ydx +xdy L 222L
D
2π2π2 =1⎰(ab s i n θ+ab c o 2s θ) d θ=1ab ⎰d θ=πab .
2020
例2. 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明
L 2xydx +x 2dy =0.
∂Q ∂P
-=2x -2x =0. ∂x ∂y
证: 令P =2xy , Q =x 2, 则
因此, 由格林公式有2xydx +x 2dy =±⎰⎰0dxdy =0. (为什么二重积分前有“±”
L
D
号？ )
例3. 计算⎰⎰e -y dxdy , 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形闭
D
2
区域. 分析: 要使
∂Q ∂P -y 22
-=e , 只需P =0, Q =xe -y . ∂x ∂y
2
解: 令P =0, Q =xe -y , 则
∂Q ∂P -y 2
-=e . 因此, 由格林公式有 ∂x ∂y
2
⎰⎰e -y dxdy =
D
2
1
⎰xe -y dy =⎰xe -y dy =⎰0xe -x dx =2(1-e -1) . OA +AB +BO
2
1
2
OA
例4. （选讲） 计算xdy -ydx
, 其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过
L x 2+y 2
原点的连续闭曲线, L 的方向为 逆时针方向.
-y ∂Q y 2-x 2∂P x 22
解: 令P =22，Q =22. 则当x +y ≠0时, 有. ==
∂x (x 2+y 2) 2∂y x +y x +y
记L 所围成的闭区域为D . 当(0, 0)∉D 时, 由格林公式得xdy -ydx
=0;
L x +y 当(0, 0) ∈D 时, 在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0). 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得
xdy -ydx xdy -ydx
L x 2+y 2-l x 2+y 2=0,
其中l 的方向取逆时针方向. 于是2πr 2cos 2θ+r 2sin 2θxdy -ydx xdy -ydx =d θ=2π. = l x 2+y 2⎰0L x 2+y 2r 2
解 记L 所围成的闭区域为D . 当(0, 0)∉D 时, 由格林公式得
x d -y y d x ∂Q ∂P
=L x +y ⎰⎰∂x -∂y ) d x d =y 0. D
当(0, 0)∈D 时, 在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0) . 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得
xdy -ydx ∂Q ∂P
=(L +l x +y ⎰⎰∂x -∂y dxdy =0, D
1
即xdy -ydx xdy -ydx
+22=0,
L x 2+y 2l x +y
其中l 的方向取顺时针方向.
222x d -y y d x x d -y y d x 2πr 2c o s θ+r s i n θd θ=2π. 于是 22=-22=⎰0L x +y l r 2x +y
-y ∂Q y 2-x 2∂P x 22
分析: 这里P =22, Q =22, 当x +y ≠0时, 有. ==
∂x ∂y x +y x +y (x +y )
（二） 平面上曲线积分与路径无关的条件
1. 定义: 设G 是一个开区域, P (x , y ) 、Q (x , y ) 在区域G 内具有一阶连续偏导数. 如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以及G 内从点A 到点B 的任意两条曲线L 1、L 2, 等式
x Q d =y ⎰P d +x Q d y ⎰L P d +L
1
2
恒成立, 就说曲线积分⎰Pdx +Qdy 在G 内与路径无关, 否则说与路径有关.
L
设曲线积分⎰Pdx +Qdy 在G 内与路径无关, L 1和L 2是G 内任意两条从点A
L
到点B 的曲线, 则有
⎰L Pdx +Qdy =⎰L Pdx +Qdy ,
1
2
因为
⇔⎰Pdx +Qdy -⎰Pdx +Qdy =0 x Q d =y ⎰P d +x Q d y ⎰L P d +L L L
1
2
1
2
⇔⎰Pdx +Qdy +⎰-Pdx +Qdy =0⇔L 1
L 2
L 1+(L 2-)
Pdx +Qdy =0,
所以有以下
2. 等价定义: 曲线积分⎰Pdx +Qdy 在G 内与路径无关相当于沿G 内任意
L
闭曲线C 的曲线积分Pdx +Qdy 等于零.
L
3. 判定方法
定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分⎰Pdx +Qdy 在G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线
L
的曲线积分为零）的充分必要条件是等式 证明 :略（教师根据实际情况可选证） 应注意的问题:
∂P =∂Q
在G 内恒成立.
∂y ∂x
(1)定理要求, 区域G 是单连通区域, 且函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. (2)破坏函数P 、Q 及
∂Q ∂P 、连续性的点称为奇点. ∂y ∂x
例5 .计算⎰2xydx +x 2dy , 其中L 为抛物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段
L
弧. 解: 因为
∂P =∂Q =2x
在整个xOy 面内都成立,
∂y ∂x
所以在整个xOy 面内, 积分⎰2xydx +x 2dy 与路径无关.
L
⎰L 2xydx +x 2dy =⎰OA 2xydx +x 2dy +⎰AB 2xydx +x 2dy
10
=⎰12dy =1.
讨论: 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向, 问提示: 这里P =
-y x 在点(0, 0)不连续. Q =和
x +y x +y xdy -ydx
=0是否一定成立？
L x 2+y 2
∂Q y 2-x 2∂P
因为当x +y ≠0时, , 所以如果(0, 0) 不在L 所围成的区域内, ==
∂x (x +y ) ∂y
2
2
则结论成立, 而当(0, 0)在L 所围成的区域内时, 结论未必成立.
三、二元函数的全微分求积
曲线积分在G 内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x 0, y 0) 与终点(x , y ) 有关.
如果⎰Pdx +Qdy 与路径无关, 则把它记为⎰
L
(x , y )
(x 0, y 0)
Pdx +Qdy
即
⎰L Pdx +Qdy =⎰
(x , y )
(x 0, y 0)
Pdx +Qdy .
若起点(x 0, y 0) 为G 内的一定点, 终点(x , y ) 为G 内的动点, 则u (x , y )
=⎰
(x , y )
(x 0, y 0)
Pdx +Qdy
为G 内的的函数.
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数, 则P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 在G 内为某一函数u (x , y ) 的全微分的充分必要条
∂Q
件是等式 ∂P = 在G 内恒成立.
∂y ∂x 例6. 验证:⎰(1,1)(x +y ) dx +(x -y ) dy 在 xOy 面内与路径无关，并计算积分值. 解：略
(2,3)
第 27 次课 2 学时
第27讲 格林公式
一、 复习旧知
（一）对坐标曲线积分定义; ⎰f (x , y ) dy =lim ∑f (ξi , ηi ) ∆y i .
L
n
λ→0
i =1
（二）对坐标的曲线积分的计算;
定理1: 设P (x , y ) 、Q (x , y ) 是定义在光滑有向曲线L : x =ϕ(t ) , y =ψ(t ) , 上的连续函数, 当参数t 单调地由α变到β时, 点M (x , y ) 从L 的起点A 沿L 运动到终点B , 则
β
⎰L ⎰L
P (x , y ) dx =⎰P [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) dt ,
α
Q (x , y ) dy =⎰Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t ) dt .
α
β
定理2: 若P (x , y ) 是定义在光滑有向曲线
L : x =ϕ(t ) , y =ψ(t )(α≤t ≤β)
上的连续函数, L 的方向与t 的增加方向一致, 则
⎰L P (x , y ) dx =⎰αP [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) dt .
应注意的问题: 下限a 对应于L 的起点, 上限β 对应于L 的终点, α不一定小于β .
β
二、内容精讲 （一） 格林公式
1．基本概念
定义1: 设D 为平面区域, 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D , 则称D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
定义2:对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正向如下: 当观察者沿L 的这个方向行走时, D 内在他近处的那一部分总在他的左边.
2．格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在D 上具有一阶连续偏导数，则有
⎰⎰(
D
∂Q ∂P
-) dxdy =Pdx +Qdy ,
L ∂x ∂y
其中L 是D 的取正向的边界曲线.
证明：略（根据班级情况可不证明） 应注意的问题:
（1）对复连通区域D ，格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D 来说都是正向.
（2）设区域D 的边界曲线为L ，取P =-y , Q =x , 则由格林公式得
2⎰⎰dxdy =xdy -ydx ，或A =⎰⎰dxdy =1xdy -ydx .
L 2L
D
D
例题精讲：
例1. 椭圆x =a cosθ , y =b sinθ 所围成图形的面积A . 分析: 只要
∂Q ∂P ∂Q
-=1, 就有⎰⎰(-∂P ) dxdy =⎰⎰dxdy =A . ∂x ∂y ∂x ∂y
D
D
解: 设D 是由椭圆x =a cos θ , y =b sin θ 所围成的区域.
∂Q ∂P 11
-=+=1. 令P =-1y , Q =1x , 则∂x ∂y 2222于是由格林公式,
A =⎰⎰dxdy =-1ydx +1xdy =1-ydx +xdy L 222L
D
2π2π2 =1⎰(ab s i n θ+ab c o 2s θ) d θ=1ab ⎰d θ=πab .
2020
例2. 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明
L 2xydx +x 2dy =0.
∂Q ∂P
-=2x -2x =0. ∂x ∂y
证: 令P =2xy , Q =x 2, 则
因此, 由格林公式有2xydx +x 2dy =±⎰⎰0dxdy =0. (为什么二重积分前有“±”
L
D
号？ )
例3. 计算⎰⎰e -y dxdy , 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形闭
D
2
区域. 分析: 要使
∂Q ∂P -y 22
-=e , 只需P =0, Q =xe -y . ∂x ∂y
2
解: 令P =0, Q =xe -y , 则
∂Q ∂P -y 2
-=e . 因此, 由格林公式有 ∂x ∂y
2
⎰⎰e -y dxdy =
D
2
1
⎰xe -y dy =⎰xe -y dy =⎰0xe -x dx =2(1-e -1) . OA +AB +BO
2
1
2
OA
例4. （选讲） 计算xdy -ydx
, 其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过
L x 2+y 2
原点的连续闭曲线, L 的方向为 逆时针方向.
-y ∂Q y 2-x 2∂P x 22
解: 令P =22，Q =22. 则当x +y ≠0时, 有. ==
∂x (x 2+y 2) 2∂y x +y x +y
记L 所围成的闭区域为D . 当(0, 0)∉D 时, 由格林公式得xdy -ydx
=0;
L x +y 当(0, 0) ∈D 时, 在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0). 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得
xdy -ydx xdy -ydx
L x 2+y 2-l x 2+y 2=0,
其中l 的方向取逆时针方向. 于是2πr 2cos 2θ+r 2sin 2θxdy -ydx xdy -ydx =d θ=2π. = l x 2+y 2⎰0L x 2+y 2r 2
解 记L 所围成的闭区域为D . 当(0, 0)∉D 时, 由格林公式得
x d -y y d x ∂Q ∂P
=L x +y ⎰⎰∂x -∂y ) d x d =y 0. D
当(0, 0)∈D 时, 在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0) . 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得
xdy -ydx ∂Q ∂P
=(L +l x +y ⎰⎰∂x -∂y dxdy =0, D
1
即xdy -ydx xdy -ydx
+22=0,
L x 2+y 2l x +y
其中l 的方向取顺时针方向.
222x d -y y d x x d -y y d x 2πr 2c o s θ+r s i n θd θ=2π. 于是 22=-22=⎰0L x +y l r 2x +y
-y ∂Q y 2-x 2∂P x 22
分析: 这里P =22, Q =22, 当x +y ≠0时, 有. ==
∂x ∂y x +y x +y (x +y )
（二） 平面上曲线积分与路径无关的条件
1. 定义: 设G 是一个开区域, P (x , y ) 、Q (x , y ) 在区域G 内具有一阶连续偏导数. 如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以及G 内从点A 到点B 的任意两条曲线L 1、L 2, 等式
x Q d =y ⎰P d +x Q d y ⎰L P d +L
1
2
恒成立, 就说曲线积分⎰Pdx +Qdy 在G 内与路径无关, 否则说与路径有关.
L
设曲线积分⎰Pdx +Qdy 在G 内与路径无关, L 1和L 2是G 内任意两条从点A
L
到点B 的曲线, 则有
⎰L Pdx +Qdy =⎰L Pdx +Qdy ,
1
2
因为
⇔⎰Pdx +Qdy -⎰Pdx +Qdy =0 x Q d =y ⎰P d +x Q d y ⎰L P d +L L L
1
2
1
2
⇔⎰Pdx +Qdy +⎰-Pdx +Qdy =0⇔L 1
L 2
L 1+(L 2-)
Pdx +Qdy =0,
所以有以下
2. 等价定义: 曲线积分⎰Pdx +Qdy 在G 内与路径无关相当于沿G 内任意
L
闭曲线C 的曲线积分Pdx +Qdy 等于零.
L
3. 判定方法
定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分⎰Pdx +Qdy 在G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线
L
的曲线积分为零）的充分必要条件是等式 证明 :略（教师根据实际情况可选证） 应注意的问题:
∂P =∂Q
在G 内恒成立.
∂y ∂x
(1)定理要求, 区域G 是单连通区域, 且函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. (2)破坏函数P 、Q 及
∂Q ∂P 、连续性的点称为奇点. ∂y ∂x
例5 .计算⎰2xydx +x 2dy , 其中L 为抛物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段
L
弧. 解: 因为
∂P =∂Q =2x
在整个xOy 面内都成立,
∂y ∂x
所以在整个xOy 面内, 积分⎰2xydx +x 2dy 与路径无关.
L
⎰L 2xydx +x 2dy =⎰OA 2xydx +x 2dy +⎰AB 2xydx +x 2dy
10
=⎰12dy =1.
讨论: 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向, 问提示: 这里P =
-y x 在点(0, 0)不连续. Q =和
x +y x +y xdy -ydx
=0是否一定成立？
L x 2+y 2
∂Q y 2-x 2∂P
因为当x +y ≠0时, , 所以如果(0, 0) 不在L 所围成的区域内, ==
∂x (x +y ) ∂y
2
2
则结论成立, 而当(0, 0)在L 所围成的区域内时, 结论未必成立.
三、二元函数的全微分求积
曲线积分在G 内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x 0, y 0) 与终点(x , y ) 有关.
如果⎰Pdx +Qdy 与路径无关, 则把它记为⎰
L
(x , y )
(x 0, y 0)
Pdx +Qdy
即
⎰L Pdx +Qdy =⎰
(x , y )
(x 0, y 0)
Pdx +Qdy .
若起点(x 0, y 0) 为G 内的一定点, 终点(x , y ) 为G 内的动点, 则u (x , y )
=⎰
(x , y )
(x 0, y 0)
Pdx +Qdy
为G 内的的函数.
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数, 则P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 在G 内为某一函数u (x , y ) 的全微分的充分必要条
∂Q
件是等式 ∂P = 在G 内恒成立.
∂y ∂x 例6. 验证:⎰(1,1)(x +y ) dx +(x -y ) dy 在 xOy 面内与路径无关，并计算积分值. 解：略
(2,3)