12.5 因式分解
教学目标
1.理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系。
2.理解多项式各项的公因式的概念，会运用提取公因式法分解形如ma+mb+mc的多项式。
3.通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.
教学重点及难点
重点：①理解提取公因式法的依据
②掌握运用提取公因式法把多项式因式分解．
难点：①确定多项式中各项的公因式和理解因式分解的意义
②在确定公因式时符号的变换．
教学过程：
一、新课引入：
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数．
例如：15=3×5 42=2×3×7．
那么，形如ma+mb+mc的多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．
二、学习新课：
1、观察思考：
m(a+b)=ma+mb
(a+b)(a－b)=a2－b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
老师再给出三个等式，观察比较，这两组等式有什么特点？
ma+mb = m(a+b)
a2-b2=(a+b)(a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
结论：（1）前三个等式是整式的乘法运算，而后三个等式的过程与前三个整式的乘法运算相反。
（2）前三个等式是整式的积化和差，而后三个等式是和差化积。
因此，我们把和差化积的形式称为因式分解。
- 1 -
即多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．
2．探索新知
（1）定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．
练一练：
下列等式中，哪些从左到右的变形是乘法运算，哪些是因式分解，请填表：
①1＋2x+3x2=1+x(2+3x) ②3x(x+y)=3x2+3xy
③6ab+3ab－ab=ab(6a+3b－1) ④3xy－4xy+5xy=xy(3－4x+5xy) 结论：因式分解和整式乘法的过程正好相反，它们是互逆的关系。
（2） 公因式：
∵m(a+b)=ma+mb可知m是ma＋mb各项都含有的相同的因式
∴m就是ma＋mb的公因式。
定义：一个多项式中每一项都含有的因式是这个多项式的公因式。
3.应用举例
例1.指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)ax+ay+a (a)
(2)3mx-6mx (3mx)
(3)4a+10ah (2a)
(4)xy+xy2 (xy)
(5)12xyz-9xy (3xy)
学生在自己的学案上完成。
请同学们总结一下如何找公因式？小组讨论，合作交流（组内讨论解决，也可与其他组讨论解决）。 最后归纳得出：
结论：提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的方法：公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
例题2：分解因式
解： 10abc+15abc
- 2 - [1**********]222
(分析：公因式5abc)
原式＝5abc·2ac+5abc·3b =5abc(2ac+3b)
如何检验分解因式的正确性呢？ 利用乘法运算一下。
例题3：分解因式
（1）6a－8a (2)15ab+3ab
(3)－4xy+6xy－2xy (4)－3ax+6ab－12ay
解： （1）原式=2a·3－2a·4a=2a(3－4a)
(2)原式＝3ab·5a+3ab·1=3ab(5a+1) 注：提取3ab后，括号里第二项1不能漏掉。
(3)原式＝－（4xy－6xy＋2xy） ＝－（2xy·2x－2xy·3y+2xy·1）
=－2xy(2x－3y+1)
第一项带负号，应先提取负号。
（4）由学生口述完成。
4.交流与提高 对于多项式a(m+n)+b(m+n)，如果设c=m+n，那么这个式子就变为ac+bc，我们就可以提取公式法因式分解了．
例1 2a(b+c)-3(b+c)分解因式．
分析：这个多项式中的b+c是二项式，如果设b+c=m，则原式可变为
2a(b+c)-3(b+c)=2am-3m．
这样，就把问题归结为公因式是单项式的因式，可以用提取公因式法进行因式分解了．
解 设b+c=m，则
2a(b+c)-3(b+c)=2a·m-3·m=m(2a-3)=(b+c)(2a-3)
指出：在把形如例1的多项式因式分解时，只需把(b+c)看作一个整体，作为公因式提出即可，可以不写出辅助元．
(口答)说出下列各多项式中各项的公因式：
(1)2m(a-b)-3n(a-b)；
(2)(3m-2)x+3(3m-2)y；
(3)(y+5)(y-2)-(y+5)；
(4)4n(a+b)(a-b)-5(a+b)； 答：(1)a-b；(2)3m-2；(3)y+5；(4)a+b．
[设计意图]
- 3 - 2222222223 22222
在此环节中，学生先独立完成学案，遇到问题组内讨论解决，解决不了的可到其他组讨论解决。 精讲点拨：
对于找公因式学生在展示出现问题时，教师要及时地引导、点拨，进行拓展与变化，要在课堂中引起讨论，激发学生的思维，让学生从本质上解决问题。精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲，是一个归纳、发展与提升的过程。
例2 把6(x-2)+x(2-x)分解因式．
分析：(x-2)与(2-x)只差一个符号，如果把2-x变号，即2-x=-(x-2)，原多项式就有公因式(x-2)了． 解 6(x-2)+x(2-x)=6·(x-2)-x·(x-2)=(x-2)(6-x)．
问：下列各题中的每两个多项式之间有什么关系？
(1)a+b与-a-b； (2)(a-b)与(b-a)；
(3)(a-b)与(b-a)； (4)(a-b)n与(b-a)n．
学生讨论后总结：
(1)因为-a-b=-(a+b)，所以a+b与-a-b互为相反数；
(2)因为(b-a)=[-(a-b)]=(a-b，所以(a-b)=(b-a)；
(3)因为(b-a)=[-(a-b)]，所以(b-a)3=-(a-b)3；
(4)当n为偶数时，两式相等；当n为奇数时，两式互为相反数．
三、课堂练习
(口答)指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)3m(x-y)-9m(y-x)2；
(2)10(x-y)+6(y-x)；
(3)5m(x-y)-10m2(y-x)； 大部分同学都能通过分析找出公因式，但在具体的问题中，还是有些同学找不准，问题的关键在于没有抓住公因式的本质．在这个问题中，它们两个式子都有互为相反数的因式，那么应把某一个因式进行提取负号，准确找到公因式，学生对此比较难理解，应该多花一点时间进行练习．
课堂小结（学生总结）
1．因式分解的意义及其概念．
2．因式分解与整式乘法的联系与区别．
3．公因式及提公因式法．
- 4 - 222323322)2223322
4．提公因式法因式分解中应注意的问题．
五．教学反思
1．提取公因式法是把多项式因式分解的最基本的，也是最重要的方法．在讲授例题时，要引导学生观察多项式的结构特点，找出多项式各项的公因式．再运用乘法分配律分解因式。
2．通过向学生说明提公因式的依据，培养学生不仅要掌握顺向思维的方式，还应运用逆向思维去考虑问题．由于多项式的因式分解和整式乘法是目标不同，方向相反的恒等变形，借此机会训练学生逆向思维方式．
- 5 -
12.5 因式分解
教学目标
1.理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系。
2.理解多项式各项的公因式的概念，会运用提取公因式法分解形如ma+mb+mc的多项式。
3.通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.
教学重点及难点
重点：①理解提取公因式法的依据
②掌握运用提取公因式法把多项式因式分解．
难点：①确定多项式中各项的公因式和理解因式分解的意义
②在确定公因式时符号的变换．
教学过程：
一、新课引入：
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数．
例如：15=3×5 42=2×3×7．
那么，形如ma+mb+mc的多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．
二、学习新课：
1、观察思考：
m(a+b)=ma+mb
(a+b)(a－b)=a2－b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
老师再给出三个等式，观察比较，这两组等式有什么特点？
ma+mb = m(a+b)
a2-b2=(a+b)(a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
结论：（1）前三个等式是整式的乘法运算，而后三个等式的过程与前三个整式的乘法运算相反。
（2）前三个等式是整式的积化和差，而后三个等式是和差化积。
因此，我们把和差化积的形式称为因式分解。
- 1 -
即多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．
2．探索新知
（1）定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．
练一练：
下列等式中，哪些从左到右的变形是乘法运算，哪些是因式分解，请填表：
①1＋2x+3x2=1+x(2+3x) ②3x(x+y)=3x2+3xy
③6ab+3ab－ab=ab(6a+3b－1) ④3xy－4xy+5xy=xy(3－4x+5xy) 结论：因式分解和整式乘法的过程正好相反，它们是互逆的关系。
（2） 公因式：
∵m(a+b)=ma+mb可知m是ma＋mb各项都含有的相同的因式
∴m就是ma＋mb的公因式。
定义：一个多项式中每一项都含有的因式是这个多项式的公因式。
3.应用举例
例1.指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)ax+ay+a (a)
(2)3mx-6mx (3mx)
(3)4a+10ah (2a)
(4)xy+xy2 (xy)
(5)12xyz-9xy (3xy)
学生在自己的学案上完成。
请同学们总结一下如何找公因式？小组讨论，合作交流（组内讨论解决，也可与其他组讨论解决）。 最后归纳得出：
结论：提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的方法：公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
例题2：分解因式
解： 10abc+15abc
- 2 - [1**********]222
(分析：公因式5abc)
原式＝5abc·2ac+5abc·3b =5abc(2ac+3b)
如何检验分解因式的正确性呢？ 利用乘法运算一下。
例题3：分解因式
（1）6a－8a (2)15ab+3ab
(3)－4xy+6xy－2xy (4)－3ax+6ab－12ay
解： （1）原式=2a·3－2a·4a=2a(3－4a)
(2)原式＝3ab·5a+3ab·1=3ab(5a+1) 注：提取3ab后，括号里第二项1不能漏掉。
(3)原式＝－（4xy－6xy＋2xy） ＝－（2xy·2x－2xy·3y+2xy·1）
=－2xy(2x－3y+1)
第一项带负号，应先提取负号。
（4）由学生口述完成。
4.交流与提高 对于多项式a(m+n)+b(m+n)，如果设c=m+n，那么这个式子就变为ac+bc，我们就可以提取公式法因式分解了．
例1 2a(b+c)-3(b+c)分解因式．
分析：这个多项式中的b+c是二项式，如果设b+c=m，则原式可变为
2a(b+c)-3(b+c)=2am-3m．
这样，就把问题归结为公因式是单项式的因式，可以用提取公因式法进行因式分解了．
解 设b+c=m，则
2a(b+c)-3(b+c)=2a·m-3·m=m(2a-3)=(b+c)(2a-3)
指出：在把形如例1的多项式因式分解时，只需把(b+c)看作一个整体，作为公因式提出即可，可以不写出辅助元．
(口答)说出下列各多项式中各项的公因式：
(1)2m(a-b)-3n(a-b)；
(2)(3m-2)x+3(3m-2)y；
(3)(y+5)(y-2)-(y+5)；
(4)4n(a+b)(a-b)-5(a+b)； 答：(1)a-b；(2)3m-2；(3)y+5；(4)a+b．
[设计意图]
- 3 - 2222222223 22222
在此环节中，学生先独立完成学案，遇到问题组内讨论解决，解决不了的可到其他组讨论解决。 精讲点拨：
对于找公因式学生在展示出现问题时，教师要及时地引导、点拨，进行拓展与变化，要在课堂中引起讨论，激发学生的思维，让学生从本质上解决问题。精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲，是一个归纳、发展与提升的过程。
例2 把6(x-2)+x(2-x)分解因式．
分析：(x-2)与(2-x)只差一个符号，如果把2-x变号，即2-x=-(x-2)，原多项式就有公因式(x-2)了． 解 6(x-2)+x(2-x)=6·(x-2)-x·(x-2)=(x-2)(6-x)．
问：下列各题中的每两个多项式之间有什么关系？
(1)a+b与-a-b； (2)(a-b)与(b-a)；
(3)(a-b)与(b-a)； (4)(a-b)n与(b-a)n．
学生讨论后总结：
(1)因为-a-b=-(a+b)，所以a+b与-a-b互为相反数；
(2)因为(b-a)=[-(a-b)]=(a-b，所以(a-b)=(b-a)；
(3)因为(b-a)=[-(a-b)]，所以(b-a)3=-(a-b)3；
(4)当n为偶数时，两式相等；当n为奇数时，两式互为相反数．
三、课堂练习
(口答)指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)3m(x-y)-9m(y-x)2；
(2)10(x-y)+6(y-x)；
(3)5m(x-y)-10m2(y-x)； 大部分同学都能通过分析找出公因式，但在具体的问题中，还是有些同学找不准，问题的关键在于没有抓住公因式的本质．在这个问题中，它们两个式子都有互为相反数的因式，那么应把某一个因式进行提取负号，准确找到公因式，学生对此比较难理解，应该多花一点时间进行练习．
课堂小结（学生总结）
1．因式分解的意义及其概念．
2．因式分解与整式乘法的联系与区别．
3．公因式及提公因式法．
- 4 - 222323322)2223322
4．提公因式法因式分解中应注意的问题．
五．教学反思
1．提取公因式法是把多项式因式分解的最基本的，也是最重要的方法．在讲授例题时，要引导学生观察多项式的结构特点，找出多项式各项的公因式．再运用乘法分配律分解因式。
2．通过向学生说明提公因式的依据，培养学生不仅要掌握顺向思维的方式，还应运用逆向思维去考虑问题．由于多项式的因式分解和整式乘法是目标不同，方向相反的恒等变形，借此机会训练学生逆向思维方式．
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