习 题 五
1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。 解 设X 为已取出的废品只数，则X 的分布为
X
即
P X
012828218
⋅⋅⋅
[1**********]10
1845
21 45
所以
P
822+=， 454598442
+=, EX =
454515
EX =
DX =EX -(EX ) =
2
2
4488-=. 1581405
2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求1周内期望利润是多少？
解 设一周所获利润为T （万元），则T 的可能值为10, 5, 0, -2. 又设X 为机器一周内发生故障的次数，则X ~B (5,0.2) ，于是， P (T =10) =P (X =0) =(0.8)=0.3277 P (T =5) =P (X =1) =C 50.2⨯(0.8)=0.4096 类似地可求出T 的分布为 1
4
5
T -20510
P 0.05790.20480.40960.3277
所以一周内的期望利润为
ET =-2⨯0.0579+5⨯0.4096+10⨯0.3277 =5.209（万元）
·55·
3．假设自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N (μ, 1) ，内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （元）与零件的内径X 有如下关系：
⎧-1, 若X
⎪
T =⎨20, 若10≤X ≤12,
⎪
⎩-5, 若X >12.
问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大.
1⨯P (X 解 E T =-
=-Φ(
10-μ
) +20[Φ(12-μ) -Φ(10-μ)]-5[1-Φ(12-μ)] 1
=25Φ(12-μ) -21Φ(10-μ) -5
dET
=-25ϕ(12-μ) +21ϕ(10-μ) d μ
2
2
μ) μ)
-(10--(12-
22
=21-25 0
即
[(12-μ) 2-(10-μ) 2]21-12=e 25
两边取对数得
2μ-22=ln 即
μ=11-时，平均利润最大.
4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
21
25
125ln . 221
2，设X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量X 5
k =0,1, 2,3.
的分布律、分布函数和数学期望. 解 X ~B (3即
223) P (X =k ) =C 3k () k () 3-k ，分布律为555
·56 ·
X
P
[***********]38 125
X 的分布函数为
x
⎪27⎪, 0≤x
, 1≤x
2≤x
⎪
x ≥3. ⎪⎩1,
5472241506++== EX =
[1**********]55
5．设随机变量服从几何分布，其分布列为 P (X =k ) =(1-p ) k -1p ，0
∞
k =1, 2,
⎛∞k ⎫'=p ∑x ⎪
⎝k =1⎭x =q
∑k (1-p )
k =1
∞
k -1
p =p ∑kq
k =1
∞
k -1
=p ∑(x ) '
k
k =1
x =q
∞
∑x
k =0
k
=
1， 1-x
1⎡1⎤'
EX =p ⎢-1⎥=p
(1-x ) 2⎣1-x ⎦x =q
因为
EX =所以
DX =EX -(EX ) =
2
2
=
x =q
1
. p
2
∑k
k =1
∞
2
pq
k -1
⎡x ⎤'2-p ⎡∞k ⎤'
， ==p ⎢x (∑x ) '⎥=p ⎢22⎥p ⎣k =1⎦x =q ⎣(1-x ) ⎦x =q
2-p 1q
-=. p 2p 2p 2
·57·
解2 EX =P +2pq +3pq 2+ +kpq k -1+ =p (1+2q +3q 2+ +kq k -1+ ), 设
S =1+2q +3q 2+ +kq k -1+ , （1） 则
qS =q +2q 2+3q 3+ +kq k + , （2） （1）–（2）得
(1-q ) S =1+q +q 2+ +q k -1+ =
所以
1， 1-q
S =
从而，得
EX =pS =p ⋅
11
， =
(1-q ) 2p 2
11
. =2
p p
22n -
EX 2=p +22pq +32pq + +n pq +1
=p (1+22q +32q 2+ +n 2q n -1+ ) pS 1，
223 q S q +32q +1=q +2
2n
+n q + ,
(1-q ) S 1=1+3q +5q 2+ +(2n -1) q n -1+ S 2, qS 2=q +3q 2+5q 3+ +(2n -1) q n + ,
2q 2q 2n -1
=1+ (1-q ) S 2=1+2(q +q + +q + ) =1+， 1-q p
12q
S 2=+2，
p p
于是
S 1=所以
EX =p (故得X 的方差为
2
S 212q =2+3， p p p
12q 12q
， +) =+
p 2p 3p p 2
12q 1q 1-p
+2-2=2=2. p p p p p
DX =EX 2-(EX ) 2=
·58 ·
6．设随机变量X 分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.
1-|x |
e ； 2
⎧1-|x |,|x |≤1,
（2）f (x ) =⎨
⎩0, |X |>1; ⎧1522
⎪x (x -2) , 0≤x ≤2,
（3）f (x ) =⎨16
⎪其他;⎩0,
（1）f (x ) =
⎧x , 0≤x
（4）f (x ) =⎨2-x , 1≤x ≤2,
⎪0, 其他. ⎩
1-|x |x ⋅（因为被积函数为奇函数） ⎰-∞2dx =0，
+∞+∞12
x 2e -|x |dx =⎰x 2e -x dx DX =EX =⎰-∞02
解 （1）EX =
+∞
=-x e （2）EX =
2-x +∞
+2⎰
+∞0
xe dx =2[-xe
-x
-x +∞
+⎰
+∞0
e -x dx ]=2.
⎰
1-1
x (1-|x |)dx =0,
2
1
2
1
2
3
x 3x 411
DX =EX =⎰x (1-|x |)dx =2⎰(x -x ) dx =2[-]0=.
-[1**********]532
x (x -2) dx =⎰(x -4x 4+4x 3) dx （3）EX =⎰01616015⎡x 6454x 4⎤1516-x +=⋅=1, =⎢⎥16⎣654⎦01615
15⎡x 74x 64x 5⎤8156254
+=(x -4x +4x ) dx =⎢- EX =⎰， ⎥01616⎣765⎦07
2
2
2
所以
DX =EX -(EX ) = （4）EX =
2
22
81
-1=. 77
2
32
1x 222
x dx +(2x -x ) dx =+x -⎰0⎰1
331
1
2
=
1
28
+3-=1, 33
EX =
⎰
10
x dx +⎰(2x 2-x 3) dx =
1
3
2
12114
+(8-1) -(16-1) =, 43412
·59·
所以
DX =
141-1=. 126
1
1+X
7．在习题三第4题中求E 解 因X 的分布为
X
所以
P
[1**********] 8
1111111167
=+⨯+⨯+⨯=. 1+X 224384896
8．设随机变量X 的概率密度为
⎧ax , 0
f (x ) =⎨cx +b , 2≤x ≤4,
⎪0, 其他.⎩
3
已知EX =2, P (1
4
（1）a , b , c 的值
E
（2）随机变量Y =e X 的数学期望和方差. 解 （1）1= =
⎰
+∞-∞
f (x ) dx =⎰axdx +⎰(cx +b ) dx
2
24
a 22c 244
x +x +bx 2=2a +2b +6c , 2022
+∞-∞
2=⎰ = 解方程组
xf (x ) dx =⎰ax 2dx +⎰(cx +b ) xdx
2
24
856
a +c +6b ， 33
23335
=⎰axdx +⎰(cx +b ) dx =a +c +b ，
12422
1⎧a +b +3c =⎪2⎪
⎨8a +18b +56c =6
⎪3⎪3a +2b +5c =
2⎩
·60 ·
得
1， 4
b =1，
1
c =-.
4
a =
41x 11
xe dx +⎰(-x +1) e x dx =(e 2-1) 2， （2）EY =E (e ) =⎰e f (x ) dx =⎰
-∞04244
+∞214122X 2x 2x 2x
EY =E (e ) =e f (x ) dx =xe dx +(-x +1) e dx ⎰-∞⎰04⎰24
1212222
=(e -1) [e +(e -1) ]
44
122222
DY =EY -(EY ) =e (e -1) .
4
X
+∞
x
2
9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望. 解 设候梯时间为T ，则
X ≤5, ⎧5-X ,
⎪25-X , 5
T =g (X ) =⎨
55-X , 2555. +∞601g (x ) f (x ) dx =⎰g (x ) ⋅dx ET =E [g (X )]=⎰-∞060
2555601⎡5⎤(5-x ) dx +(25-x ) dx +(55-x ) dx +(65-x ) dx = ⎰⎰⎰⎰⎢⎥05255560⎣⎦
1
[12.5+200+450+37.5]=11.67. =60
10．设某种商品每周的需求量X 是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一个整数，商店每销售一单位商品
可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量。 解 设商店获得的利润为T ，进货量为y ，则
·61·
⎧500y +(X -y ) ⨯300, y
⎩500X -(y -X ) ⨯100, 10≤X
=⎨
⎩600X -100y , 10≤X ≤y ,
T =g (X ) =⎨由题意
≤E T = 9280
=
⎰
+∞-∞
g (x ) f (x ) d x
30y
1⎡y
(600x -100y ) dx +⎰⎰⎢1020⎣
=-7.5y 2+350y +5250,
即
(300x +200y ) dx ⎤
⎥⎦
7.5y 2-350y +4030≤0.
解不等式得 20
2
≤y ≤26， 3
即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位. 11．设X 与Y 同分布，且X 的概率密度为
⎧32
⎪x , 0
f (x ) =⎨8
⎪⎩0, 其他.
（1）已知事件A ={X >a }和事件B ={Y >a }独立，且P {A B }=常数a ； （2）求E
3
，求4
1。 2X
解 （1）P (X >a ) =
⎰
2a
321
x dx =[8-a 3] 88
3
=P {A B }=P (A ) +P (B ) -P (AB ) 4
213
[8-a 3]2， =[8-a ]-
864
即有方程
(8-a ) -16(8-a ) +48=0, 即
[(8-a ) -12][(8-a ) -4]=0，
·62 ·
3
3
32
3
可见
8-a 3=12 或 8-a 3=4，
a = 故
a =2313
（2）E 2=⎰=.
08X 4
π(X +Y )
12．于习题四第15题中求Z =sin 的数学期望.
2
解 X , Y 的分布为
(x , y ) (0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)
解之得
a =
0.100.150.25
0.200.150.15ππ
EZ =sin ⨯0.15+sin ⨯0.25+sin π⨯0.20
22
3π
⨯0.15 +sin π⨯0.15+sin 2
=0.15+0.25-0.15=0.25 13．设(X , Y ) 的分布律为
解 （1）EX =0.4+2⨯0.2+3⨯0.4=2, EY =-1⨯0.3+0.3=0；
p ij
y j Y 1
) =∑∑p ij =-1⨯0.2+(-1/2) ⨯0.1-⨯0 X 3i j x i
111
+0.1+⨯0.1+⨯0.1=-；
2315
2
（3）EW =E (X -Y )
（2）EZ =E (
=D (X -Y ) +(E (X -Y )) =DX +DY -2(EXY -EXEY ) +(EX -EY ) =[EX -(EX ) ]+[EY -(EY ) ]-2[
2
2
2
2
22
∑∑x y
i
I
J
j
p ij -0]+4
=[0.4+4⨯0.2+9⨯0.4-4]+[0.3+0.3]-2(-0.2-2⨯0.1+
+ 0. 1
或
2⨯0. +1⨯3
2
2
0+. 1=4
2
+0. 8-0. 6+. 0=.
2
2
EW =E (X -Y ) =E [X -2XY +Y ]=EX -2EXY +EY
·63·
=0.4+4⨯0.2+9⨯0.4-2(-0.2-2⨯0.1+0.1+2⨯0.1+3⨯0.1) +0.3+0.3=4.8-0.4+0.6=5. 或，先求(X -Y ) 2的分布
(X -Y ) 2
P
014916
0.10.20.30.40
1124
12
14
EW =0.2+4⨯0.3+9⨯0.4=5.
14．设离散型二维随机变量(X , Y ) 在点(1,1),(, ), (-, -), (-1, -1)
1
，求EX , EY , DX , DY , EXY . 4
111111
⨯=0 解 EX =-1⨯-⨯+⨯+1，
[1**********]052
++==， EX =+
4161641685
所以 DX =；
8
111111
⨯=0 , EY =-1⨯-⨯+⨯+1
[1**********]72
； D Y =E Y =46464432
11111111
EXY =(-1) ⨯(-1) ⨯+(-) ⨯(-) ⨯+(⨯) ⨯+1⨯1⨯
42442444
1119
. =(1+++1) =
48816
15．设(X , Y ) 的概率密度为
取值的概率均为
-(x ⎧⎪4xye
f (x , y ) =⎨
⎪⎩0,
2
+y 2)
, x >0, y >0, 其他.
=Z 的数学期望.
解 EZ ==
π
⎰⎰
+∞0
4xye -(x
2
2
+y 2)
dxdy
=4 =
⎰⎰
2
+∞0
r ⋅r 2cos θsin θe -r rdrd θ
+∞0
π
⎰
20
sin 2θd 2θ⎰
π20
r 4e -r drd θ
+∞0
2
=-cos 2θ
·64 ·
21
[-r 3e -r 2
+⎰
+∞0
3r 2e -r dr ]
2
1-r 2
=[3(-re
2
=
=
+∞
2
+∞0
+⎰
+∞0
e -r dr )]
令r 2
2
33-r
e dr =2⎰
04⎰1
e -r dr -∞-∞4
+∞
+∞
dt -
t 22
= 16．设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
⎧1, |y |
f (x , y ) =⎨
0, 其它. ⎩
求EX ,
解
EX =
⎡x dy ⎤dx =12x 2dx =2x ； ⎰0⎢⎰⎰⎥-x 03⎣⎦1⎡x ⎤
EY =⎰dx ⎰ydy =0；
⎢⎥0
⎣-x ⎦1⎡x ⎤
EXY =⎰x ⎰ydy dx =0；
⎥0⎢-x
⎣⎦
1x 11⎤22⎡3
EX =⎰x ⎰dy dx =⎰2x dx =，
⎢002⎣-x ⎥⎦
1
于是 DX =故
D (2X +1) =4DX =
121-() 2=； 2318
42
=. 18 9
17．假设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布，随机变量 X k =⎨
⎧⎪0, 若Y ≤k , ⎪⎩1, 若Y >k ,
k =1, 2.
求（1）X 1, X 2的联合分布，（2）E (X 1+X 2) . 解 （1）(X 1, X 2) 的分布：
P (X 1=0, X 2=0) =P (Y ≤1, Y ≤2) =P (Y ≤1) =1-e ，
P (X 1=0, X 2=1) =P (Y ≤1, Y >2) =0， P (X 1=1, X 2=0) =P (Y >1, Y ≤2) =P (1
·65·
-1
-2
-1
（2）E (X 1+X 2) =EX 1+EX 2=e -1+e -2.
18．设连续型随机变量X 的所有可能值在区间[a , b ]之内，证明： （1）a ≤EX ≤b ；
(b -a ) 2
. （2）DX ≤
4
证 （1）因为a ≤X ≤b ，所以Ea ≤EX ≤Eb ，即a ≤EX ≤b ；
（2）因为对于任意的常数C 有 DX ≤E (X -C ) ，
2
a +b
，则有 2
a +b 2a +b 2b -a 2(b -a ) 2
DX ≤E (X -) ≤E (b -) =E () =.
2224
19．一商店经销某种商品，每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店每售出一单位
取 C =
商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。
解 设T 为一周内所得利润，则 T =g (X , Y ) =⎨
0, ⎧100Y
0+50Y 0-(X ⎩100X
X >Y , ) X ,
≤Y 0, X >Y , ⎧100Y
=⎨
500X (+Y ) , X ≤Y . ⎩
ET =E [g (X , Y )]=其中
⎰
+∞-∞
g (x , y ) f (x , y ) dxdy
⎧1
, 10≤x ≤20, 10≤y ≤20, ⎪
f (x , y ) =⎨100
⎪⎩0, 其他.
所以
ET =
⎰⎰1000y ⋅
D 1
2010
11+⎰⎰500(x +y ) ⋅dxdy 100100D
2
=10⎰
·66 ·
dy ⎰
20y
ydx +5⎰
2010
dy ⎰(x +y ) dx
10
y
=10 =
⎰
2010
y (20-y ) dy +5⎰
2010
3
(y 2-10y -50) dy 2
20000
+5⨯1500≈14166.67（元）. 3
20．设X , Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
⎧e -(y -5, ) y >5, ⎧2x , 0≤x ≤1
f Y (y ) =⎨ f X (x ) =⎨
⎩0, 其他; ⎩0, y ≤5.
求E (XY ), D (XY )
122
x ， 解 E X =⎰2x d =
03
EY =6
（注：因为参数为1的指数分布的数学期望为1，而f Y (y ) 是前指数分布向右平
移了5个单位，所以EY =1+5=6） 因X , Y 独立，所以 EXY =EXEY = 今求 DXY
方法1 DXY =EX Y -(EXY ) =EX EY -16= =
2
2
2
⨯6=4. 3
2
2
2
⎰
10
2x 3dx ⋅[DY +(EY ) 2]-16
1375[1+36]-16=-16==2.5. 222
方法2 利用公式：当X , Y 独立时
DXY =DX ⋅DY +DX (EY ) +DY (EX ) =
2
2
114
⨯1+⨯36+1⨯=2.5. 18189
21．在长为L 的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差.
解 以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X , Y ，则它们均在[0,L ]上服从均匀分布，且X , Y 相互独立.
+∞
L L 11
(x -y ) dxdy +(x -y ) dxdy 22⎰⎰0x L L
E |X -Y |=
⎰⎰|x -y |f (x , y ) dxdy =⎰
-∞
L 0
⎰
x 0
⎤L 1⎡L 2L 2
=2⎢⎰(x -Lx +) dx ⎥=
L ⎣02⎦3
·67·
E |X -Y |2=
⎰⎰
L L 0
(x -y ) 2
L L 11⎡L L 2⎤
dxdy =2x dxdy -2xydxdy ⎰0⎰0⎥L 2L 2⎢⎣⎰0⎰0⎦
1
=2
L
所以
⎡24L 4⎤L 2⎢3L -2⎥=6 ⎣⎦
L 2L 2L 2
-= D |X -Y |=. 6918
22．设随机变量X 与Y 独立，且X 服从均值为1，标准差（均方差）
正态分布，而Y 服从标准正态分布，试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度.
解 因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布，所以
Z ~N (μ, σ2)
其中
μ=EZ =E (2X -Y +3) =2EX -EY +3=5
σ2=DZ =D (2X -Y +3) =4DX +DY =9
(z -5) 218
所以Z 的概率密度为
-
f Z (z ) =, -∞
1
) 的随机变量，求2
23．设X , Y 是两个相互独立的且均服从正态分布N (0,
E |X -Y |与D |X -Y |.
解1 E |X -Y |=⎰
= = =
+∞-∞
⎰
+∞-∞
|x -y |f (x , y ) d x d y
⎰⎰
-∞
+∞+∞-∞
|x -y |
x
2
-
(x 2+y 2)
1
dxdy
π⎰⎰
-∞
1
+∞
-∞
(x -y ) e -(x
+y 2)
dxdy +
π⎰⎰
-∞
1
+∞+∞x
(y -x ) e -(x
2
+y 2)
dxdy
π⎰-∞⎰-∞
+∞x 2⎡+∞x -(x +y ) ⎤-(x +y )
=xe dxdy -ye dxdy ⎰-∞⎰-∞⎥π⎢⎣⎰-∞⎰-∞⎦
π
+∞+∞⎤2⎡π-r 22-r 244
=⎢⎰3πcos θd θ⎰r e dr -⎰3πsin θd θ⎰r 2e dr ⎥
00-π⎣-44⎦
dxdy
2
2
2
2
2
+∞x
(x -y ) e -(x
2
+y 2)
2⎧
=⎨sin θ
π⎩
·68 ·
π
4
3π-4
⎡1-r 2
(-re ⎢⎣2
+∞0
+⎰
+∞0
2⎤⎫
e -r dr ) ⎥⎬
⎦⎭
π+∞+∞2⎧⎡1⎤⎫-r 2-r 24 +⎨cos θ3π(-re +e dr ) ⎬ ⎰⎢⎥0-0π⎩⎦⎭4⎣2
2
4+∞-t 2+∞-r 2⎫⎪
e dr =dt =
=； ⎬⎰-∞-∞π⎪4⎪⎩⎭
+∞
+∞-∞
E |X -Y |2=E (X -Y ) 2= = =
⎰⎰
-∞
(x -y ) 2
2
1
-
π
e
x 2+y 2
2⋅2
dxdy
1
π
1
⎰⎰
-∞
+∞+∞-∞
(x 2+y 2-2xy ) e -(x
+y 2)
dxdy
π⎰⎰
2π+∞0
r e
2
3-r 2
drd θ-
+∞0-r 2
π⎰⎰
2
2π+∞0
sin θcos θe
2π0
-r 2
r 3drd θ
r 2dr ⎤⎥⎦
=2⎢-r 2e -r
⎣2 =2所以
D |X -Y |=1.
⎡1
+∞0
+∞0
+⎰
⎤1re dr ⎥-
⎦2π
-r 2+∞
⎡cos 2θ⎢⎣
⎰
+∞0
⎰
re
-r 2
dr =-e =1；
2
π
注意：从上面的解题过程看，计算相当麻烦，下面给出一种简单的计算方法： 解2 设Z =X -Y ，则Z ~N (0,1)
E |X -Y |=E |Z |=
=
2
⎰
-
+∞-∞
z
-z |e 2dz =2
⎰
+∞0
ze
-
z 2
2
dz
-e
2
z 2
2+∞
|) =
E |X -Y |=EZ =DZ =1， 所以
D (X -Y ) =Z |X -Y |2-(E |X -Y |)2=1-
24．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从N (μ,
2
π
.
σ2) 分布，试证
σ
E max(X , Y ) =μ+, E min(X , Y ) =μ-
πX -μY -μ
Y 1= 证1 令X 1=，，则X 1, Y 1仍相互独立且均服从N (0,1) σσ
于是
X =μ+σX 1, Y =μ+σY 1
·69·
从而
max(X , Y ) =max(μ+σX 1,
μ+σY 1)
=μ+σmax(X 1, Y 1) E max(X , Y ) =μ+σE max(X 1, Y 1) E max(X 1, Y 1) = =
+∞
+∞-∞
⎰⎰
-∞x 1>y 1
max(x 1, y 1) ⋅
2
2
12π
-
22x 1+y 12
dx 1dy 1
2
2
⎰⎰
y 1y 1
1-x 1+1-x 1+
22
x 1⋅dx 1dy 1+⎰⎰y 1⋅dx 1dy 1
2π2πx ≤y
1
1
1
====
y 1=r sin θ2π
1⎡= ⎢2π⎣⎰
π
x 1=r cos θ
π
⎰
45π4
cos θd θ⎰
+∞0
r 2e
-
r 2
2
1dr +
2π
⎰
π
5π4
4
2
sin θd θ⎰
+∞0
r 2e
-
r 22
dr
r -+∞⎤24
r e 2dr 5cos θd θ+⎰πsin θd θ⎥⎰0π
44⎦
r 2r 2π5π⎡⎤--+∞⎡⎤12+∞244
sin θ-cos θ(-re |+e dr ) =⎥ 5π⎥⎢0⎢⎰0π2π⎣⎥44⎦⎢⎣⎦
5π
4
2+∞-r 2+∞-r 2
=e dr =e dr ⎰0-∞2π2π
=
所以
E max(X , Y ) =μ同理可证
22
+∞-∞
-r 2
， dr =2
证2 X 1, Y 1如上所设，令Z =X 1-Y 1，则Z ~N (0,2)
E min(X , Y ) =μ
~N (0,1)
利用23题的结果得
EZ =E |X 1-Y 1|=由公式
max(X 1, Y 1) =
·70 ·
1
(X 1+Y 1+|X 1-Y 1|) 2
min(X 1, Y 1) =得
1
(X 1+Y 1-|X 1-Y 1|) 2
E max(X , Y ) =μ+σE max(X 1, Y 1)
=μ+σE [(X 1+Y 1+|X 1-Y 1|)]
=μ+σ12=μ+
E min(X , Y ) =μ+σE min(X 1, Y 1) =μ. 25．（超几何分布的数学期望）设N 件产品中有M 件次品，从中任取n 件进行检查，求查得的次品数X 的数学期望. 解 设X i =⎨则 X =
⎧1, 第i 次取到次品, ⎩0, 第i 次取到正品.
i =1,2, , n ,
∑X
i =1
n
i
，
X i 的分布为
X i
则
EX i =故
EX =
P
N -M N 1
M ， N
M
, i =1, 2, , n , N
n
∑EX i =
i =1
nM
N
k n -k C M C N -N
注：（1）X 的分布为P (X =k ) =n
C N
k =0, 1, , n ，所以X 的
期望为
k n -k k n -k n C M C N kC M C N nM -M -M
EX =∑k ，由上面的计算得. =∑n n
C N C N N k =0k =0
M
) ，此时 （2）若X 表示n 次有放回地抽取所得次品数，则X ~B (n , N
M
EX =n ，这与超几何分布的期望相同。
N
n
·71·
26．对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为p 1, p 2, p 3，求产生故障仪器的台数X 的数学期望和方差。 解1 X 的分布为
X 0
P (1-p 1)(1-p 2)(1-p 3)
123p 1(1-p 2)(1-p 3) p 1p 2(1-p 3) p 1p 2p 3
+(1-p 1) p 2(1-p 3) p 1(1-p 2) p 3+(1-p 1)(1-p 2) p 3(1-p 1) p 2p 3
由此计算EX 和DX 相当麻繁，我们利用期望的性质进行计算。
⎧1, 第i 台仪器出现故障,
设 X i =⎨
⎩0, 第i 台仪器不出故障.
X i 的分布如下：
于是
EX i =p i , i =1, 2, 3. DX i =p i (1-p i ), i =1, 2, 3. 故 E X =
3
3
i =1, 2, 3.
X i P
01-p i
1p i
i =1, 2, 3.
∑
i =1
；E X p DX =∑DX i =p 1(1-p 1) +p 2(1-p 2) +p 3(1-p 3) . i =1p +2p +3
i =1
27．袋中有n 张卡片，分别记有号码1, 2, , n ，从中有放回地抽取k 张来，以X 表示所得号码之和，求EX , DX .
解 设X i 为第i 张的号码，i =1,2, , k ，则 X i 的分布为
X 则
P
1
1n 21n
n 1 n
1n +1(1+2+ +n ) =，i =1,2, , k . n 21(n +1)(2n +1) 22
EX i =(1+4+ +n ) =
n 6
EX i =
·72 ·
(n +1)(2n +1) (n +1) 2n +1
-=(4n +2-3n -3) DX i =EX -EX =
6412
n 2-1
=
12
2i
2i
所以
k (n +1) k (n 2-1)
EX =，DX =.
212
28．将n 只球（编号为1,2, , n ) 随机地放入n 只盒子（编号为1, 2, , n ）
中去，一只盒放一只球。将一只球放入与球同号的盒子算作一个配对，记X 为配对的个数，求EX . 解 设X i =⎨则 X =
⎧1, 第i 号球放入i 号盒,⎩0, 其他.
i =1,2, , n .
∑X
i =1
n
i
X i 的分布为
X i
01-1n
P 1， n
n
11 n
EX i = E X =
∑
i =1
1
E X ==1. i
n
29．从10双不同的鞋子中任取8只，记X 为这8只鞋子中成双的对数，求
EX 。
解 X 的分布为
k 8-2k 8-2k C 10C 10-k (2) P (X =k ) =8
C 20
k =0,1, ,4.
即 故
X P 01234
0.09150.4270.4000.080.00167
7⨯2 EX =0. 42+
0. +40⨯03+0. ⨯084=0. 00. 16
30．已知DX =25, DY =36, ρXY =0.4，求D (X +Y ) 及D (X -Y ) .
解 D (X +Y ) =DX +DY +2ρXY
=2+53+6=24 85;
·73·
D (X -Y ) =DX +DY -2ρXY
=25+36-24=37.
31．设X , Y , Z 为三个随机变量，且EX =EY =1, EZ =-1, DX =DY =
11
DZ =1，ρXY =0, ρXZ =, ρYZ =-，若W =X +Y +Z 求EW , DW .
22
解 EW =E (X +Y +Z ) =EX +EY +EZ =1 D W =D o Y Z (X +Y +) Z =D X +D +Y D 2+Z c o v (, X ) +Y 2c o v (X , +Z ) 2c
11
=3+2⨯⨯1-2⨯⨯1=3.
22
32．设X , Y , Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是
1，求X -Y 和Y -Z 的相关系数. 解 c o v X (-Y , Y -Z =)
c o v X (Y -, ) Z c X o v Z (-, ) Y c o Y +v (, ) Y
=-DY =-1 D (X -Y ) =D (Y -Z ) =2. 所以X -Y 与Y -Z 的相关系数为
ρ=
1
=-.
2 33．某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件，现从中随机抽取一件，记
⎧1, 若抽到i 等品,
X i =⎨i =1, 2, 3.
⎩0, 其他,
试求：（1）随机变量X 1与X 2的联合分布；（2）随机变量X 1与X 2的相关系数. 解 （1）(X 1, X 2) 的分布
P (X 1=0, X 2=0) =P (X 3=1) =0.1
P (X 1=0, X 2=1) =P (X 2=1) =0.1
P (X 1=1, X 2=0) =P (X 1=1) =0.8
P (X 1=1, X 2=1) =0 E X E 1X X 0, D 1X =0. 16D , 2X = 0. 091=0. 8, E X 2=0. 1, 2=所以X 1, X 2的相关系数为
0.082
=-=- ρ=
0.123 34．设二维随机变量(X , Y ) 在矩形G ={(x , y ) |0≤x ≤2, 0≤y ≤1}上服
从均匀分布，记
·74 ·
⎧⎪0, 若X ≤Y ,
U =⎨
⎪⎩1, 若X >Y ; ⎧⎪0, 若X ≤2Y ,
V =⎨ 1, 若X >2Y . ⎪⎩ 求：（1）U 和V 的联合分布；（2）U 和V 的相关系数ρ.
1
解 （1）P (U =0, V =0) =P (X ≤Y , X ≤2Y ) =P (X ≤Y ) =，
4
P (U =0, V =1) =P (X ≤Y , X >2Y ) =0，
1
P (U =1, V =0) =P (X >Y , X ≤2Y ) =P (Y
41
P (U =1, V =1) =P (X >Y , X >2Y ) =P (X >2Y ) =,
2
33
即(U , V ) 的概率分布为 （2）EU =，DU =，
416
11
EV =，DV =，
241
EUV =，
2 所以U , V 的相关系数为
== ρ= 35．设X 与Y 为具有二阶矩的随机变量，且设Q (a , b ) =E [Y -(a +bX )]2，求a , b 使Q (a , b ) 达到最小值Q min ，并证明
2
Q min =DY (1-ρXY ).
22
解 Q (a , b ) =E [Y -(a +bX )]=D [Y -a -bX ]+[E (Y -a -bX )]
22
=DY +b DX -2b cov(X , Y ) +(EY -bEX -a ) ，
∂Q
=-2(E Y -b E X -) a 0 ， ∂a ∂Q
=2b D X -2c o v X (Y , -) E 2X E (-Y b E -X =a ) 0 . ∂b
解方程组 ⎨得
⎧EY -bEX -a =0,
⎩2bDX -2cov(X , Y ) -2EX (EY -bEX -a ) =0.
·75·
b =此时 Q min
cov(X , Y )
，a =EY -bEX .
DX
2
[cov(X , Y )]2[cov(X , Y )]2
=E [Y -(a +bx )]=DY +DX -22
(DX ) DX
[cov(X , Y )]22
=DY [1-ρXY ]. =DY -
DX
36．设随机变量X 和Y 在圆城x 2+y 2≤r 2上服从均匀分布，（1）求X 和Y 的相关系数ρ；（2）问X , Y 是否独立？为什么？
解 (X , Y ) 的密度为
⎧1222
⎪2, x +y ≤r ,
f (x , y ) =⎨πr
⎪⎩0, 其他.
（1）EX =
x 2+y 2≤r 2
2π
⎰⎰
x ⋅
2πr 11
dxdy =ρcos θ⋅ρd ρd θ 22⎰⎰00πr πr
r π⎰0
2πr 11
EXY =⎰⎰xy ⋅2dxdy =sin 2θd θ⎰ρ3d ρ 2⎰00xr 2πr x 2+y 2≤r 2
=sin θ
⋅
1
2
r
ρ2d ρ=0
1 =[-cos 2θ
4πr 2
（2）关于X 的边缘密度为
f X (x ) =
2π0
]⎰ρ3d ρ=0
r
故 X , Y 的相关系数ρ=0.
⎰
+∞-∞
⎧⎪⎰, |x |≤r ,
f (x , y ) dy =⎨
⎪0, |x |>r , ⎩
|x |≤r ,
=
⎪
|x |>r . ⎩0,
关于Y 的边缘密度的
·76 ·
|y |≤r ,
f Y (y ) =
⎪
|y |>r . ⎩0,
因为f (x , y ) ≠f X (x ) ⋅f Y (y ) ，所以X , Y 不独立. 37．设A , B 是二随机事件，随机变量
⎧⎧⎪1, 若A 出现,⎪1, 若B 出现,
X =⎨ Y =⎨
⎪⎪⎩-1, 若B 不出现.⎩-1, 若A 不出现;
试证明随机变量X 和Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立.
[证] 若A , B 独立，则X 与Y 独立，当然X 与Y 不相关，充分性得证，今证必要性
设X 与Y 不相关，即EXY =EXEY . E X =P (A ) -A ) =2P (A -)
i
j
1, E =Y
EXY =∑∑x i y j P (X =x i , Y =y j )
) 1, 2P (-B
=P (X =1, Y =1) +P (X =-1, Y =-1) -P (X =1, Y =-1) -P (X =-1, Y =1) =P (AB ) +P () -P () -P () =P (AB ) +1-P (A ) -P (B ) +P (AB ) -P (A ) +P (AB ) -P (B ) +P (AB ) =4P (AB ) -2P (A ) -2P (B ) +1. 因为 E X Y =
E X E Y ，所以
4P (AB ) -2P (A ) -2P (B ) +1=[2P (A ) -1][2P (B ) -1]
) =4P (A ) P (B -
从而有
2P (A -) 2P B (+，)
) = P (A B P (A ) P (，B )
1-|x |
e , -∞
故A 与B 独立。
38．设随机变量X 的概率密度为f (x ) =与|X |不相关，也不独立.
1
x ⋅e -|x |dx =0 （此乃因为xe -|x |是奇函数） -∞2
+∞1
x |x |⋅e -|x |dx =0 EX |X |=⎰-∞2
所以cov(X ,|X |=0，即X 与|X |不相关。今证X 与|X |不独立，用反证法. 假定X 与|X |独立，则对任意的正数a 有
证 EX =⎰
+∞
·77·
P (X ≤a , |X |≤a ) =P (X ≤a ) P (|X |≤a ),
但
111-|x |111-x 1-x
e dx =⎰e dx +=-e P (X ≤1) =⎰0-∞202222111-1
=+-e
222
而(X ≤1) ⊃(|X |≤1) ，所以
1
P (X ≤1, |X |≤1) =P (|X |≤1) ≠P (X ≤1) P (|X |≤1)
出现矛盾，故X 与|X |不独立。
39．设(X , Y ) 为二维正态变量EX =1, EY =0, DX =4, DY =9，
cov(X , Y ) =3，求(X , Y ) 的概率密度.
31
解 (X , Y ) 的相关系数为ρ==，所以(X , Y ) 的密度为
62
22
⎧⎪4⎡(x -1) (x -1) ⋅y y ⎤⎫⎪⎨-⎢-+⎥⎬
f (x , y ) =
69⎦⎪⎪⎩6⎣4⎭
=
⎧1⎫
⎨-(9x 2-18x -6xy +6y +4y 2+9) ⎬ ⎩54⎭
1
[ϕ1(x , y ) +ϕ2(x , y )]， 2
40．设二维随机变量(X , Y ) 的密度函数为 f (x , y ) =
其中ϕ1(x , y ) 和ϕ2(x , y ) 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为
11
和-，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都33
是零，方差都是1。
（1）求随机变量X 和Y 的密度函数f 1(x ) 和f 2(y ) ，及X 和Y 的相关系数
ρ（可以直接利用二维正态密度的性质）。
（2）问X , Y 是否独立？为什么？
解 （1）f 1(x ) =⎰
+∞-∞
f (x , y ) dy =
2
+∞1⎡+∞⎤ϕ(x , y ) dy +ϕ(x , y ) dy 1⎰-∞2⎥2⎢⎣⎰-∞⎦
2
1⎡-x 2-x 2
+
=2同理
·78 ·
⎤-x 2
，-∞
2
-y 2
f 2(y ) ，-∞
因为EX =EY =0, DX =DY =1，所以X 和Y 的相关系数为
ρ=EXY = =
2
⎰⎰
-∞
+∞+∞-∞
1
xy ⋅[ϕ1(x , y ) +ϕ2(x , y )]dxdy
2
+∞-∞
+∞1⎡+∞+∞
xy ϕ(x , y ) dxdy +1⎰-∞⎰2⎢⎣⎰-∞⎰-∞
xy ϕ2(x , y ) dxdy ⎤
⎥⎦
=
1⎡1
-2⎢3⎣1⎤
=0； ⎥3⎦
（2）因为(X , Y ) 的密度为
1
[ϕ1(x , y ) +ϕ2(x , y )] 2
9292
1⎧⎡-16(x 2-3xy +y 2) -16(x 2+3xy +y 2) ⎤⎫⎪
e +e
=⎥⎬
2⎦⎪⎭
922-(x 2+y 2) xy -xy
=16[e 3+e 3]
f (x , y ) =而边缘密度的乘积为 f 1(x ) ⋅f 2(y ) =所以X , Y 不独立.
41．设X 为随机变量，E |X |r (r >0) 存在，试证明：对任意ε>0有 P (|X |≥ε) ≤
1e 2π
-
x 2+y 22
E |X |r
ε2
.
证 若X 为离散型，其概率分布为P (X =x i ) =p i , 则
P (|X |≥ε) =
i =1,2, E |x |r
|x i |≥ε
∑p ≤∑
i
|x i |r
|x i |≥ε
εr
|x r |
p i ≤∑
i
|x i |r
ε2
1
p i =
ε2
r
；
若X 为连续型，其概率密度为f (x ) ，则 P (|X ≥|ε=)
|x ≥|
⎰εf
x (dx ) ≤
x |≥|
⎰ε
εr
f x dx (≤)
εr
⎰
+∞-∞
E x |r |
x |f x |dx (=r
ε
.
42．若DX =0.004，利用切比雪夫不等式估计概率P (|X -EX |
·79·
解 由切比雪夫不等式 P (|X -EX |
DX 0.004
=1-=0.9 2
(0.2)0.04
=1-
0.009
≥0.9
43．给定P (|X -EX |
DX
ε
2
ε
2
ε≥0.3
44．用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证‘正面’出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9.
解 设需掷n 次，正面出现的次数为Y n ，则Y n ~B (n , ) ，依题意应有 P (0.4
1
2
Y n
Y n
-|n
n (|
n 0. 5|0. 1)
Y n
≥1-所以 n ≥250.
n ⨯0.5⨯0.525
=1-≥0.9
0.01n 2n
45．若随机变量序列X 1, X 2, , X n , 满足条件
n
1
lim 2D (∑X i ) =0
n →∞n i =1
试证明{X n }服从大数定律.
证：由切比雪夫不等式，对任意的ε>0有
⎧1n ⎫1n
P ⎨∑X i -∑EX i ≥ε⎬≤
n i =1⎩n i =1⎭
所以对任意的ε>0
1n
D (∑X i ) n i =1
ε
2
=
n
1
D (∑X i ) n 2i =1
ε
2
n
⎧1n ⎫111n
lim P ⎨∑X i -∑EX i ≥ε⎬≤2lim 2D (∑X i ) =0
n →∞n i =1i =1⎩n i =1⎭εn →∞n
故{X n }服从大数定律。
46．设有30个电子器件D 1, D 2, , D 30，它们的使用情况如下：D 1损坏，
·80 ·
D 2立即使用；D 2损坏，D 3立即使用等等，设器件D i 的寿命服从参数为
λ=0.1(小时) -1的指数分布的随机变量，令T 为30个器件使用的总时间，求T
超过350小时的概率。
解 设D i 为器件D i 的寿命，则T =
∑D
i =1
30
i
，所求概率为
⎧30⎫
D -300∑i 30⎪⎪
P (T ≥350) =P (∑D i ≥350) =P ≥
i =1⎪⎪⎩⎭
≈1-Φ=1-Φ(0.91)=1-0.8186=0.1814.
47．某计算机系统有100个终端，每个终端有20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率。 解 设X i =⎨
⎧1, 第i 个终端在使用, ⎩0, 第i 个终端不在用.
~B (100,0.2)
i =1, 2,
则同时使用的终端数 X =所求概率为
∑X
i =1
100
i
P (X ≥10) ≈1-Φ=1-Φ(-2.5) =Φ(2.5)=0.9938.
48．某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求
P (14≤X ≤30) .
20
-Φ) ) =Φ(2.5)-Φ(-1.5) ≤X ≤30≈) Φ 解
P (14
=0.9938+Φ(1.5)-1=0.9938+0.9332-1 =0.927.
·81·
习 题 五
1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。 解 设X 为已取出的废品只数，则X 的分布为
X
即
P X
012828218
⋅⋅⋅
[1**********]10
1845
21 45
所以
P
822+=， 454598442
+=, EX =
454515
EX =
DX =EX -(EX ) =
2
2
4488-=. 1581405
2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求1周内期望利润是多少？
解 设一周所获利润为T （万元），则T 的可能值为10, 5, 0, -2. 又设X 为机器一周内发生故障的次数，则X ~B (5,0.2) ，于是， P (T =10) =P (X =0) =(0.8)=0.3277 P (T =5) =P (X =1) =C 50.2⨯(0.8)=0.4096 类似地可求出T 的分布为 1
4
5
T -20510
P 0.05790.20480.40960.3277
所以一周内的期望利润为
ET =-2⨯0.0579+5⨯0.4096+10⨯0.3277 =5.209（万元）
·55·
3．假设自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N (μ, 1) ，内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （元）与零件的内径X 有如下关系：
⎧-1, 若X
⎪
T =⎨20, 若10≤X ≤12,
⎪
⎩-5, 若X >12.
问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大.
1⨯P (X 解 E T =-
=-Φ(
10-μ
) +20[Φ(12-μ) -Φ(10-μ)]-5[1-Φ(12-μ)] 1
=25Φ(12-μ) -21Φ(10-μ) -5
dET
=-25ϕ(12-μ) +21ϕ(10-μ) d μ
2
2
μ) μ)
-(10--(12-
22
=21-25 0
即
[(12-μ) 2-(10-μ) 2]21-12=e 25
两边取对数得
2μ-22=ln 即
μ=11-时，平均利润最大.
4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
21
25
125ln . 221
2，设X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量X 5
k =0,1, 2,3.
的分布律、分布函数和数学期望. 解 X ~B (3即
223) P (X =k ) =C 3k () k () 3-k ，分布律为555
·56 ·
X
P
[***********]38 125
X 的分布函数为
x
⎪27⎪, 0≤x
, 1≤x
2≤x
⎪
x ≥3. ⎪⎩1,
5472241506++== EX =
[1**********]55
5．设随机变量服从几何分布，其分布列为 P (X =k ) =(1-p ) k -1p ，0
∞
k =1, 2,
⎛∞k ⎫'=p ∑x ⎪
⎝k =1⎭x =q
∑k (1-p )
k =1
∞
k -1
p =p ∑kq
k =1
∞
k -1
=p ∑(x ) '
k
k =1
x =q
∞
∑x
k =0
k
=
1， 1-x
1⎡1⎤'
EX =p ⎢-1⎥=p
(1-x ) 2⎣1-x ⎦x =q
因为
EX =所以
DX =EX -(EX ) =
2
2
=
x =q
1
. p
2
∑k
k =1
∞
2
pq
k -1
⎡x ⎤'2-p ⎡∞k ⎤'
， ==p ⎢x (∑x ) '⎥=p ⎢22⎥p ⎣k =1⎦x =q ⎣(1-x ) ⎦x =q
2-p 1q
-=. p 2p 2p 2
·57·
解2 EX =P +2pq +3pq 2+ +kpq k -1+ =p (1+2q +3q 2+ +kq k -1+ ), 设
S =1+2q +3q 2+ +kq k -1+ , （1） 则
qS =q +2q 2+3q 3+ +kq k + , （2） （1）–（2）得
(1-q ) S =1+q +q 2+ +q k -1+ =
所以
1， 1-q
S =
从而，得
EX =pS =p ⋅
11
， =
(1-q ) 2p 2
11
. =2
p p
22n -
EX 2=p +22pq +32pq + +n pq +1
=p (1+22q +32q 2+ +n 2q n -1+ ) pS 1，
223 q S q +32q +1=q +2
2n
+n q + ,
(1-q ) S 1=1+3q +5q 2+ +(2n -1) q n -1+ S 2, qS 2=q +3q 2+5q 3+ +(2n -1) q n + ,
2q 2q 2n -1
=1+ (1-q ) S 2=1+2(q +q + +q + ) =1+， 1-q p
12q
S 2=+2，
p p
于是
S 1=所以
EX =p (故得X 的方差为
2
S 212q =2+3， p p p
12q 12q
， +) =+
p 2p 3p p 2
12q 1q 1-p
+2-2=2=2. p p p p p
DX =EX 2-(EX ) 2=
·58 ·
6．设随机变量X 分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.
1-|x |
e ； 2
⎧1-|x |,|x |≤1,
（2）f (x ) =⎨
⎩0, |X |>1; ⎧1522
⎪x (x -2) , 0≤x ≤2,
（3）f (x ) =⎨16
⎪其他;⎩0,
（1）f (x ) =
⎧x , 0≤x
（4）f (x ) =⎨2-x , 1≤x ≤2,
⎪0, 其他. ⎩
1-|x |x ⋅（因为被积函数为奇函数） ⎰-∞2dx =0，
+∞+∞12
x 2e -|x |dx =⎰x 2e -x dx DX =EX =⎰-∞02
解 （1）EX =
+∞
=-x e （2）EX =
2-x +∞
+2⎰
+∞0
xe dx =2[-xe
-x
-x +∞
+⎰
+∞0
e -x dx ]=2.
⎰
1-1
x (1-|x |)dx =0,
2
1
2
1
2
3
x 3x 411
DX =EX =⎰x (1-|x |)dx =2⎰(x -x ) dx =2[-]0=.
-[1**********]532
x (x -2) dx =⎰(x -4x 4+4x 3) dx （3）EX =⎰01616015⎡x 6454x 4⎤1516-x +=⋅=1, =⎢⎥16⎣654⎦01615
15⎡x 74x 64x 5⎤8156254
+=(x -4x +4x ) dx =⎢- EX =⎰， ⎥01616⎣765⎦07
2
2
2
所以
DX =EX -(EX ) = （4）EX =
2
22
81
-1=. 77
2
32
1x 222
x dx +(2x -x ) dx =+x -⎰0⎰1
331
1
2
=
1
28
+3-=1, 33
EX =
⎰
10
x dx +⎰(2x 2-x 3) dx =
1
3
2
12114
+(8-1) -(16-1) =, 43412
·59·
所以
DX =
141-1=. 126
1
1+X
7．在习题三第4题中求E 解 因X 的分布为
X
所以
P
[1**********] 8
1111111167
=+⨯+⨯+⨯=. 1+X 224384896
8．设随机变量X 的概率密度为
⎧ax , 0
f (x ) =⎨cx +b , 2≤x ≤4,
⎪0, 其他.⎩
3
已知EX =2, P (1
4
（1）a , b , c 的值
E
（2）随机变量Y =e X 的数学期望和方差. 解 （1）1= =
⎰
+∞-∞
f (x ) dx =⎰axdx +⎰(cx +b ) dx
2
24
a 22c 244
x +x +bx 2=2a +2b +6c , 2022
+∞-∞
2=⎰ = 解方程组
xf (x ) dx =⎰ax 2dx +⎰(cx +b ) xdx
2
24
856
a +c +6b ， 33
23335
=⎰axdx +⎰(cx +b ) dx =a +c +b ，
12422
1⎧a +b +3c =⎪2⎪
⎨8a +18b +56c =6
⎪3⎪3a +2b +5c =
2⎩
·60 ·
得
1， 4
b =1，
1
c =-.
4
a =
41x 11
xe dx +⎰(-x +1) e x dx =(e 2-1) 2， （2）EY =E (e ) =⎰e f (x ) dx =⎰
-∞04244
+∞214122X 2x 2x 2x
EY =E (e ) =e f (x ) dx =xe dx +(-x +1) e dx ⎰-∞⎰04⎰24
1212222
=(e -1) [e +(e -1) ]
44
122222
DY =EY -(EY ) =e (e -1) .
4
X
+∞
x
2
9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望. 解 设候梯时间为T ，则
X ≤5, ⎧5-X ,
⎪25-X , 5
T =g (X ) =⎨
55-X , 2555. +∞601g (x ) f (x ) dx =⎰g (x ) ⋅dx ET =E [g (X )]=⎰-∞060
2555601⎡5⎤(5-x ) dx +(25-x ) dx +(55-x ) dx +(65-x ) dx = ⎰⎰⎰⎰⎢⎥05255560⎣⎦
1
[12.5+200+450+37.5]=11.67. =60
10．设某种商品每周的需求量X 是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一个整数，商店每销售一单位商品
可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量。 解 设商店获得的利润为T ，进货量为y ，则
·61·
⎧500y +(X -y ) ⨯300, y
⎩500X -(y -X ) ⨯100, 10≤X
=⎨
⎩600X -100y , 10≤X ≤y ,
T =g (X ) =⎨由题意
≤E T = 9280
=
⎰
+∞-∞
g (x ) f (x ) d x
30y
1⎡y
(600x -100y ) dx +⎰⎰⎢1020⎣
=-7.5y 2+350y +5250,
即
(300x +200y ) dx ⎤
⎥⎦
7.5y 2-350y +4030≤0.
解不等式得 20
2
≤y ≤26， 3
即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位. 11．设X 与Y 同分布，且X 的概率密度为
⎧32
⎪x , 0
f (x ) =⎨8
⎪⎩0, 其他.
（1）已知事件A ={X >a }和事件B ={Y >a }独立，且P {A B }=常数a ； （2）求E
3
，求4
1。 2X
解 （1）P (X >a ) =
⎰
2a
321
x dx =[8-a 3] 88
3
=P {A B }=P (A ) +P (B ) -P (AB ) 4
213
[8-a 3]2， =[8-a ]-
864
即有方程
(8-a ) -16(8-a ) +48=0, 即
[(8-a ) -12][(8-a ) -4]=0，
·62 ·
3
3
32
3
可见
8-a 3=12 或 8-a 3=4，
a = 故
a =2313
（2）E 2=⎰=.
08X 4
π(X +Y )
12．于习题四第15题中求Z =sin 的数学期望.
2
解 X , Y 的分布为
(x , y ) (0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)
解之得
a =
0.100.150.25
0.200.150.15ππ
EZ =sin ⨯0.15+sin ⨯0.25+sin π⨯0.20
22
3π
⨯0.15 +sin π⨯0.15+sin 2
=0.15+0.25-0.15=0.25 13．设(X , Y ) 的分布律为
解 （1）EX =0.4+2⨯0.2+3⨯0.4=2, EY =-1⨯0.3+0.3=0；
p ij
y j Y 1
) =∑∑p ij =-1⨯0.2+(-1/2) ⨯0.1-⨯0 X 3i j x i
111
+0.1+⨯0.1+⨯0.1=-；
2315
2
（3）EW =E (X -Y )
（2）EZ =E (
=D (X -Y ) +(E (X -Y )) =DX +DY -2(EXY -EXEY ) +(EX -EY ) =[EX -(EX ) ]+[EY -(EY ) ]-2[
2
2
2
2
22
∑∑x y
i
I
J
j
p ij -0]+4
=[0.4+4⨯0.2+9⨯0.4-4]+[0.3+0.3]-2(-0.2-2⨯0.1+
+ 0. 1
或
2⨯0. +1⨯3
2
2
0+. 1=4
2
+0. 8-0. 6+. 0=.
2
2
EW =E (X -Y ) =E [X -2XY +Y ]=EX -2EXY +EY
·63·
=0.4+4⨯0.2+9⨯0.4-2(-0.2-2⨯0.1+0.1+2⨯0.1+3⨯0.1) +0.3+0.3=4.8-0.4+0.6=5. 或，先求(X -Y ) 2的分布
(X -Y ) 2
P
014916
0.10.20.30.40
1124
12
14
EW =0.2+4⨯0.3+9⨯0.4=5.
14．设离散型二维随机变量(X , Y ) 在点(1,1),(, ), (-, -), (-1, -1)
1
，求EX , EY , DX , DY , EXY . 4
111111
⨯=0 解 EX =-1⨯-⨯+⨯+1，
[1**********]052
++==， EX =+
4161641685
所以 DX =；
8
111111
⨯=0 , EY =-1⨯-⨯+⨯+1
[1**********]72
； D Y =E Y =46464432
11111111
EXY =(-1) ⨯(-1) ⨯+(-) ⨯(-) ⨯+(⨯) ⨯+1⨯1⨯
42442444
1119
. =(1+++1) =
48816
15．设(X , Y ) 的概率密度为
取值的概率均为
-(x ⎧⎪4xye
f (x , y ) =⎨
⎪⎩0,
2
+y 2)
, x >0, y >0, 其他.
=Z 的数学期望.
解 EZ ==
π
⎰⎰
+∞0
4xye -(x
2
2
+y 2)
dxdy
=4 =
⎰⎰
2
+∞0
r ⋅r 2cos θsin θe -r rdrd θ
+∞0
π
⎰
20
sin 2θd 2θ⎰
π20
r 4e -r drd θ
+∞0
2
=-cos 2θ
·64 ·
21
[-r 3e -r 2
+⎰
+∞0
3r 2e -r dr ]
2
1-r 2
=[3(-re
2
=
=
+∞
2
+∞0
+⎰
+∞0
e -r dr )]
令r 2
2
33-r
e dr =2⎰
04⎰1
e -r dr -∞-∞4
+∞
+∞
dt -
t 22
= 16．设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为
⎧1, |y |
f (x , y ) =⎨
0, 其它. ⎩
求EX ,
解
EX =
⎡x dy ⎤dx =12x 2dx =2x ； ⎰0⎢⎰⎰⎥-x 03⎣⎦1⎡x ⎤
EY =⎰dx ⎰ydy =0；
⎢⎥0
⎣-x ⎦1⎡x ⎤
EXY =⎰x ⎰ydy dx =0；
⎥0⎢-x
⎣⎦
1x 11⎤22⎡3
EX =⎰x ⎰dy dx =⎰2x dx =，
⎢002⎣-x ⎥⎦
1
于是 DX =故
D (2X +1) =4DX =
121-() 2=； 2318
42
=. 18 9
17．假设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布，随机变量 X k =⎨
⎧⎪0, 若Y ≤k , ⎪⎩1, 若Y >k ,
k =1, 2.
求（1）X 1, X 2的联合分布，（2）E (X 1+X 2) . 解 （1）(X 1, X 2) 的分布：
P (X 1=0, X 2=0) =P (Y ≤1, Y ≤2) =P (Y ≤1) =1-e ，
P (X 1=0, X 2=1) =P (Y ≤1, Y >2) =0， P (X 1=1, X 2=0) =P (Y >1, Y ≤2) =P (1
·65·
-1
-2
-1
（2）E (X 1+X 2) =EX 1+EX 2=e -1+e -2.
18．设连续型随机变量X 的所有可能值在区间[a , b ]之内，证明： （1）a ≤EX ≤b ；
(b -a ) 2
. （2）DX ≤
4
证 （1）因为a ≤X ≤b ，所以Ea ≤EX ≤Eb ，即a ≤EX ≤b ；
（2）因为对于任意的常数C 有 DX ≤E (X -C ) ，
2
a +b
，则有 2
a +b 2a +b 2b -a 2(b -a ) 2
DX ≤E (X -) ≤E (b -) =E () =.
2224
19．一商店经销某种商品，每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店每售出一单位
取 C =
商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。
解 设T 为一周内所得利润，则 T =g (X , Y ) =⎨
0, ⎧100Y
0+50Y 0-(X ⎩100X
X >Y , ) X ,
≤Y 0, X >Y , ⎧100Y
=⎨
500X (+Y ) , X ≤Y . ⎩
ET =E [g (X , Y )]=其中
⎰
+∞-∞
g (x , y ) f (x , y ) dxdy
⎧1
, 10≤x ≤20, 10≤y ≤20, ⎪
f (x , y ) =⎨100
⎪⎩0, 其他.
所以
ET =
⎰⎰1000y ⋅
D 1
2010
11+⎰⎰500(x +y ) ⋅dxdy 100100D
2
=10⎰
·66 ·
dy ⎰
20y
ydx +5⎰
2010
dy ⎰(x +y ) dx
10
y
=10 =
⎰
2010
y (20-y ) dy +5⎰
2010
3
(y 2-10y -50) dy 2
20000
+5⨯1500≈14166.67（元）. 3
20．设X , Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
⎧e -(y -5, ) y >5, ⎧2x , 0≤x ≤1
f Y (y ) =⎨ f X (x ) =⎨
⎩0, 其他; ⎩0, y ≤5.
求E (XY ), D (XY )
122
x ， 解 E X =⎰2x d =
03
EY =6
（注：因为参数为1的指数分布的数学期望为1，而f Y (y ) 是前指数分布向右平
移了5个单位，所以EY =1+5=6） 因X , Y 独立，所以 EXY =EXEY = 今求 DXY
方法1 DXY =EX Y -(EXY ) =EX EY -16= =
2
2
2
⨯6=4. 3
2
2
2
⎰
10
2x 3dx ⋅[DY +(EY ) 2]-16
1375[1+36]-16=-16==2.5. 222
方法2 利用公式：当X , Y 独立时
DXY =DX ⋅DY +DX (EY ) +DY (EX ) =
2
2
114
⨯1+⨯36+1⨯=2.5. 18189
21．在长为L 的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差.
解 以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X , Y ，则它们均在[0,L ]上服从均匀分布，且X , Y 相互独立.
+∞
L L 11
(x -y ) dxdy +(x -y ) dxdy 22⎰⎰0x L L
E |X -Y |=
⎰⎰|x -y |f (x , y ) dxdy =⎰
-∞
L 0
⎰
x 0
⎤L 1⎡L 2L 2
=2⎢⎰(x -Lx +) dx ⎥=
L ⎣02⎦3
·67·
E |X -Y |2=
⎰⎰
L L 0
(x -y ) 2
L L 11⎡L L 2⎤
dxdy =2x dxdy -2xydxdy ⎰0⎰0⎥L 2L 2⎢⎣⎰0⎰0⎦
1
=2
L
所以
⎡24L 4⎤L 2⎢3L -2⎥=6 ⎣⎦
L 2L 2L 2
-= D |X -Y |=. 6918
22．设随机变量X 与Y 独立，且X 服从均值为1，标准差（均方差）
正态分布，而Y 服从标准正态分布，试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度.
解 因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布，所以
Z ~N (μ, σ2)
其中
μ=EZ =E (2X -Y +3) =2EX -EY +3=5
σ2=DZ =D (2X -Y +3) =4DX +DY =9
(z -5) 218
所以Z 的概率密度为
-
f Z (z ) =, -∞
1
) 的随机变量，求2
23．设X , Y 是两个相互独立的且均服从正态分布N (0,
E |X -Y |与D |X -Y |.
解1 E |X -Y |=⎰
= = =
+∞-∞
⎰
+∞-∞
|x -y |f (x , y ) d x d y
⎰⎰
-∞
+∞+∞-∞
|x -y |
x
2
-
(x 2+y 2)
1
dxdy
π⎰⎰
-∞
1
+∞
-∞
(x -y ) e -(x
+y 2)
dxdy +
π⎰⎰
-∞
1
+∞+∞x
(y -x ) e -(x
2
+y 2)
dxdy
π⎰-∞⎰-∞
+∞x 2⎡+∞x -(x +y ) ⎤-(x +y )
=xe dxdy -ye dxdy ⎰-∞⎰-∞⎥π⎢⎣⎰-∞⎰-∞⎦
π
+∞+∞⎤2⎡π-r 22-r 244
=⎢⎰3πcos θd θ⎰r e dr -⎰3πsin θd θ⎰r 2e dr ⎥
00-π⎣-44⎦
dxdy
2
2
2
2
2
+∞x
(x -y ) e -(x
2
+y 2)
2⎧
=⎨sin θ
π⎩
·68 ·
π
4
3π-4
⎡1-r 2
(-re ⎢⎣2
+∞0
+⎰
+∞0
2⎤⎫
e -r dr ) ⎥⎬
⎦⎭
π+∞+∞2⎧⎡1⎤⎫-r 2-r 24 +⎨cos θ3π(-re +e dr ) ⎬ ⎰⎢⎥0-0π⎩⎦⎭4⎣2
2
4+∞-t 2+∞-r 2⎫⎪
e dr =dt =
=； ⎬⎰-∞-∞π⎪4⎪⎩⎭
+∞
+∞-∞
E |X -Y |2=E (X -Y ) 2= = =
⎰⎰
-∞
(x -y ) 2
2
1
-
π
e
x 2+y 2
2⋅2
dxdy
1
π
1
⎰⎰
-∞
+∞+∞-∞
(x 2+y 2-2xy ) e -(x
+y 2)
dxdy
π⎰⎰
2π+∞0
r e
2
3-r 2
drd θ-
+∞0-r 2
π⎰⎰
2
2π+∞0
sin θcos θe
2π0
-r 2
r 3drd θ
r 2dr ⎤⎥⎦
=2⎢-r 2e -r
⎣2 =2所以
D |X -Y |=1.
⎡1
+∞0
+∞0
+⎰
⎤1re dr ⎥-
⎦2π
-r 2+∞
⎡cos 2θ⎢⎣
⎰
+∞0
⎰
re
-r 2
dr =-e =1；
2
π
注意：从上面的解题过程看，计算相当麻烦，下面给出一种简单的计算方法： 解2 设Z =X -Y ，则Z ~N (0,1)
E |X -Y |=E |Z |=
=
2
⎰
-
+∞-∞
z
-z |e 2dz =2
⎰
+∞0
ze
-
z 2
2
dz
-e
2
z 2
2+∞
|) =
E |X -Y |=EZ =DZ =1， 所以
D (X -Y ) =Z |X -Y |2-(E |X -Y |)2=1-
24．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从N (μ,
2
π
.
σ2) 分布，试证
σ
E max(X , Y ) =μ+, E min(X , Y ) =μ-
πX -μY -μ
Y 1= 证1 令X 1=，，则X 1, Y 1仍相互独立且均服从N (0,1) σσ
于是
X =μ+σX 1, Y =μ+σY 1
·69·
从而
max(X , Y ) =max(μ+σX 1,
μ+σY 1)
=μ+σmax(X 1, Y 1) E max(X , Y ) =μ+σE max(X 1, Y 1) E max(X 1, Y 1) = =
+∞
+∞-∞
⎰⎰
-∞x 1>y 1
max(x 1, y 1) ⋅
2
2
12π
-
22x 1+y 12
dx 1dy 1
2
2
⎰⎰
y 1y 1
1-x 1+1-x 1+
22
x 1⋅dx 1dy 1+⎰⎰y 1⋅dx 1dy 1
2π2πx ≤y
1
1
1
====
y 1=r sin θ2π
1⎡= ⎢2π⎣⎰
π
x 1=r cos θ
π
⎰
45π4
cos θd θ⎰
+∞0
r 2e
-
r 2
2
1dr +
2π
⎰
π
5π4
4
2
sin θd θ⎰
+∞0
r 2e
-
r 22
dr
r -+∞⎤24
r e 2dr 5cos θd θ+⎰πsin θd θ⎥⎰0π
44⎦
r 2r 2π5π⎡⎤--+∞⎡⎤12+∞244
sin θ-cos θ(-re |+e dr ) =⎥ 5π⎥⎢0⎢⎰0π2π⎣⎥44⎦⎢⎣⎦
5π
4
2+∞-r 2+∞-r 2
=e dr =e dr ⎰0-∞2π2π
=
所以
E max(X , Y ) =μ同理可证
22
+∞-∞
-r 2
， dr =2
证2 X 1, Y 1如上所设，令Z =X 1-Y 1，则Z ~N (0,2)
E min(X , Y ) =μ
~N (0,1)
利用23题的结果得
EZ =E |X 1-Y 1|=由公式
max(X 1, Y 1) =
·70 ·
1
(X 1+Y 1+|X 1-Y 1|) 2
min(X 1, Y 1) =得
1
(X 1+Y 1-|X 1-Y 1|) 2
E max(X , Y ) =μ+σE max(X 1, Y 1)
=μ+σE [(X 1+Y 1+|X 1-Y 1|)]
=μ+σ12=μ+
E min(X , Y ) =μ+σE min(X 1, Y 1) =μ. 25．（超几何分布的数学期望）设N 件产品中有M 件次品，从中任取n 件进行检查，求查得的次品数X 的数学期望. 解 设X i =⎨则 X =
⎧1, 第i 次取到次品, ⎩0, 第i 次取到正品.
i =1,2, , n ,
∑X
i =1
n
i
，
X i 的分布为
X i
则
EX i =故
EX =
P
N -M N 1
M ， N
M
, i =1, 2, , n , N
n
∑EX i =
i =1
nM
N
k n -k C M C N -N
注：（1）X 的分布为P (X =k ) =n
C N
k =0, 1, , n ，所以X 的
期望为
k n -k k n -k n C M C N kC M C N nM -M -M
EX =∑k ，由上面的计算得. =∑n n
C N C N N k =0k =0
M
) ，此时 （2）若X 表示n 次有放回地抽取所得次品数，则X ~B (n , N
M
EX =n ，这与超几何分布的期望相同。
N
n
·71·
26．对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为p 1, p 2, p 3，求产生故障仪器的台数X 的数学期望和方差。 解1 X 的分布为
X 0
P (1-p 1)(1-p 2)(1-p 3)
123p 1(1-p 2)(1-p 3) p 1p 2(1-p 3) p 1p 2p 3
+(1-p 1) p 2(1-p 3) p 1(1-p 2) p 3+(1-p 1)(1-p 2) p 3(1-p 1) p 2p 3
由此计算EX 和DX 相当麻繁，我们利用期望的性质进行计算。
⎧1, 第i 台仪器出现故障,
设 X i =⎨
⎩0, 第i 台仪器不出故障.
X i 的分布如下：
于是
EX i =p i , i =1, 2, 3. DX i =p i (1-p i ), i =1, 2, 3. 故 E X =
3
3
i =1, 2, 3.
X i P
01-p i
1p i
i =1, 2, 3.
∑
i =1
；E X p DX =∑DX i =p 1(1-p 1) +p 2(1-p 2) +p 3(1-p 3) . i =1p +2p +3
i =1
27．袋中有n 张卡片，分别记有号码1, 2, , n ，从中有放回地抽取k 张来，以X 表示所得号码之和，求EX , DX .
解 设X i 为第i 张的号码，i =1,2, , k ，则 X i 的分布为
X 则
P
1
1n 21n
n 1 n
1n +1(1+2+ +n ) =，i =1,2, , k . n 21(n +1)(2n +1) 22
EX i =(1+4+ +n ) =
n 6
EX i =
·72 ·
(n +1)(2n +1) (n +1) 2n +1
-=(4n +2-3n -3) DX i =EX -EX =
6412
n 2-1
=
12
2i
2i
所以
k (n +1) k (n 2-1)
EX =，DX =.
212
28．将n 只球（编号为1,2, , n ) 随机地放入n 只盒子（编号为1, 2, , n ）
中去，一只盒放一只球。将一只球放入与球同号的盒子算作一个配对，记X 为配对的个数，求EX . 解 设X i =⎨则 X =
⎧1, 第i 号球放入i 号盒,⎩0, 其他.
i =1,2, , n .
∑X
i =1
n
i
X i 的分布为
X i
01-1n
P 1， n
n
11 n
EX i = E X =
∑
i =1
1
E X ==1. i
n
29．从10双不同的鞋子中任取8只，记X 为这8只鞋子中成双的对数，求
EX 。
解 X 的分布为
k 8-2k 8-2k C 10C 10-k (2) P (X =k ) =8
C 20
k =0,1, ,4.
即 故
X P 01234
0.09150.4270.4000.080.00167
7⨯2 EX =0. 42+
0. +40⨯03+0. ⨯084=0. 00. 16
30．已知DX =25, DY =36, ρXY =0.4，求D (X +Y ) 及D (X -Y ) .
解 D (X +Y ) =DX +DY +2ρXY
=2+53+6=24 85;
·73·
D (X -Y ) =DX +DY -2ρXY
=25+36-24=37.
31．设X , Y , Z 为三个随机变量，且EX =EY =1, EZ =-1, DX =DY =
11
DZ =1，ρXY =0, ρXZ =, ρYZ =-，若W =X +Y +Z 求EW , DW .
22
解 EW =E (X +Y +Z ) =EX +EY +EZ =1 D W =D o Y Z (X +Y +) Z =D X +D +Y D 2+Z c o v (, X ) +Y 2c o v (X , +Z ) 2c
11
=3+2⨯⨯1-2⨯⨯1=3.
22
32．设X , Y , Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是
1，求X -Y 和Y -Z 的相关系数. 解 c o v X (-Y , Y -Z =)
c o v X (Y -, ) Z c X o v Z (-, ) Y c o Y +v (, ) Y
=-DY =-1 D (X -Y ) =D (Y -Z ) =2. 所以X -Y 与Y -Z 的相关系数为
ρ=
1
=-.
2 33．某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件，现从中随机抽取一件，记
⎧1, 若抽到i 等品,
X i =⎨i =1, 2, 3.
⎩0, 其他,
试求：（1）随机变量X 1与X 2的联合分布；（2）随机变量X 1与X 2的相关系数. 解 （1）(X 1, X 2) 的分布
P (X 1=0, X 2=0) =P (X 3=1) =0.1
P (X 1=0, X 2=1) =P (X 2=1) =0.1
P (X 1=1, X 2=0) =P (X 1=1) =0.8
P (X 1=1, X 2=1) =0 E X E 1X X 0, D 1X =0. 16D , 2X = 0. 091=0. 8, E X 2=0. 1, 2=所以X 1, X 2的相关系数为
0.082
=-=- ρ=
0.123 34．设二维随机变量(X , Y ) 在矩形G ={(x , y ) |0≤x ≤2, 0≤y ≤1}上服
从均匀分布，记
·74 ·
⎧⎪0, 若X ≤Y ,
U =⎨
⎪⎩1, 若X >Y ; ⎧⎪0, 若X ≤2Y ,
V =⎨ 1, 若X >2Y . ⎪⎩ 求：（1）U 和V 的联合分布；（2）U 和V 的相关系数ρ.
1
解 （1）P (U =0, V =0) =P (X ≤Y , X ≤2Y ) =P (X ≤Y ) =，
4
P (U =0, V =1) =P (X ≤Y , X >2Y ) =0，
1
P (U =1, V =0) =P (X >Y , X ≤2Y ) =P (Y
41
P (U =1, V =1) =P (X >Y , X >2Y ) =P (X >2Y ) =,
2
33
即(U , V ) 的概率分布为 （2）EU =，DU =，
416
11
EV =，DV =，
241
EUV =，
2 所以U , V 的相关系数为
== ρ= 35．设X 与Y 为具有二阶矩的随机变量，且设Q (a , b ) =E [Y -(a +bX )]2，求a , b 使Q (a , b ) 达到最小值Q min ，并证明
2
Q min =DY (1-ρXY ).
22
解 Q (a , b ) =E [Y -(a +bX )]=D [Y -a -bX ]+[E (Y -a -bX )]
22
=DY +b DX -2b cov(X , Y ) +(EY -bEX -a ) ，
∂Q
=-2(E Y -b E X -) a 0 ， ∂a ∂Q
=2b D X -2c o v X (Y , -) E 2X E (-Y b E -X =a ) 0 . ∂b
解方程组 ⎨得
⎧EY -bEX -a =0,
⎩2bDX -2cov(X , Y ) -2EX (EY -bEX -a ) =0.
·75·
b =此时 Q min
cov(X , Y )
，a =EY -bEX .
DX
2
[cov(X , Y )]2[cov(X , Y )]2
=E [Y -(a +bx )]=DY +DX -22
(DX ) DX
[cov(X , Y )]22
=DY [1-ρXY ]. =DY -
DX
36．设随机变量X 和Y 在圆城x 2+y 2≤r 2上服从均匀分布，（1）求X 和Y 的相关系数ρ；（2）问X , Y 是否独立？为什么？
解 (X , Y ) 的密度为
⎧1222
⎪2, x +y ≤r ,
f (x , y ) =⎨πr
⎪⎩0, 其他.
（1）EX =
x 2+y 2≤r 2
2π
⎰⎰
x ⋅
2πr 11
dxdy =ρcos θ⋅ρd ρd θ 22⎰⎰00πr πr
r π⎰0
2πr 11
EXY =⎰⎰xy ⋅2dxdy =sin 2θd θ⎰ρ3d ρ 2⎰00xr 2πr x 2+y 2≤r 2
=sin θ
⋅
1
2
r
ρ2d ρ=0
1 =[-cos 2θ
4πr 2
（2）关于X 的边缘密度为
f X (x ) =
2π0
]⎰ρ3d ρ=0
r
故 X , Y 的相关系数ρ=0.
⎰
+∞-∞
⎧⎪⎰, |x |≤r ,
f (x , y ) dy =⎨
⎪0, |x |>r , ⎩
|x |≤r ,
=
⎪
|x |>r . ⎩0,
关于Y 的边缘密度的
·76 ·
|y |≤r ,
f Y (y ) =
⎪
|y |>r . ⎩0,
因为f (x , y ) ≠f X (x ) ⋅f Y (y ) ，所以X , Y 不独立. 37．设A , B 是二随机事件，随机变量
⎧⎧⎪1, 若A 出现,⎪1, 若B 出现,
X =⎨ Y =⎨
⎪⎪⎩-1, 若B 不出现.⎩-1, 若A 不出现;
试证明随机变量X 和Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立.
[证] 若A , B 独立，则X 与Y 独立，当然X 与Y 不相关，充分性得证，今证必要性
设X 与Y 不相关，即EXY =EXEY . E X =P (A ) -A ) =2P (A -)
i
j
1, E =Y
EXY =∑∑x i y j P (X =x i , Y =y j )
) 1, 2P (-B
=P (X =1, Y =1) +P (X =-1, Y =-1) -P (X =1, Y =-1) -P (X =-1, Y =1) =P (AB ) +P () -P () -P () =P (AB ) +1-P (A ) -P (B ) +P (AB ) -P (A ) +P (AB ) -P (B ) +P (AB ) =4P (AB ) -2P (A ) -2P (B ) +1. 因为 E X Y =
E X E Y ，所以
4P (AB ) -2P (A ) -2P (B ) +1=[2P (A ) -1][2P (B ) -1]
) =4P (A ) P (B -
从而有
2P (A -) 2P B (+，)
) = P (A B P (A ) P (，B )
1-|x |
e , -∞
故A 与B 独立。
38．设随机变量X 的概率密度为f (x ) =与|X |不相关，也不独立.
1
x ⋅e -|x |dx =0 （此乃因为xe -|x |是奇函数） -∞2
+∞1
x |x |⋅e -|x |dx =0 EX |X |=⎰-∞2
所以cov(X ,|X |=0，即X 与|X |不相关。今证X 与|X |不独立，用反证法. 假定X 与|X |独立，则对任意的正数a 有
证 EX =⎰
+∞
·77·
P (X ≤a , |X |≤a ) =P (X ≤a ) P (|X |≤a ),
但
111-|x |111-x 1-x
e dx =⎰e dx +=-e P (X ≤1) =⎰0-∞202222111-1
=+-e
222
而(X ≤1) ⊃(|X |≤1) ，所以
1
P (X ≤1, |X |≤1) =P (|X |≤1) ≠P (X ≤1) P (|X |≤1)
出现矛盾，故X 与|X |不独立。
39．设(X , Y ) 为二维正态变量EX =1, EY =0, DX =4, DY =9，
cov(X , Y ) =3，求(X , Y ) 的概率密度.
31
解 (X , Y ) 的相关系数为ρ==，所以(X , Y ) 的密度为
62
22
⎧⎪4⎡(x -1) (x -1) ⋅y y ⎤⎫⎪⎨-⎢-+⎥⎬
f (x , y ) =
69⎦⎪⎪⎩6⎣4⎭
=
⎧1⎫
⎨-(9x 2-18x -6xy +6y +4y 2+9) ⎬ ⎩54⎭
1
[ϕ1(x , y ) +ϕ2(x , y )]， 2
40．设二维随机变量(X , Y ) 的密度函数为 f (x , y ) =
其中ϕ1(x , y ) 和ϕ2(x , y ) 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为
11
和-，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都33
是零，方差都是1。
（1）求随机变量X 和Y 的密度函数f 1(x ) 和f 2(y ) ，及X 和Y 的相关系数
ρ（可以直接利用二维正态密度的性质）。
（2）问X , Y 是否独立？为什么？
解 （1）f 1(x ) =⎰
+∞-∞
f (x , y ) dy =
2
+∞1⎡+∞⎤ϕ(x , y ) dy +ϕ(x , y ) dy 1⎰-∞2⎥2⎢⎣⎰-∞⎦
2
1⎡-x 2-x 2
+
=2同理
·78 ·
⎤-x 2
，-∞
2
-y 2
f 2(y ) ，-∞
因为EX =EY =0, DX =DY =1，所以X 和Y 的相关系数为
ρ=EXY = =
2
⎰⎰
-∞
+∞+∞-∞
1
xy ⋅[ϕ1(x , y ) +ϕ2(x , y )]dxdy
2
+∞-∞
+∞1⎡+∞+∞
xy ϕ(x , y ) dxdy +1⎰-∞⎰2⎢⎣⎰-∞⎰-∞
xy ϕ2(x , y ) dxdy ⎤
⎥⎦
=
1⎡1
-2⎢3⎣1⎤
=0； ⎥3⎦
（2）因为(X , Y ) 的密度为
1
[ϕ1(x , y ) +ϕ2(x , y )] 2
9292
1⎧⎡-16(x 2-3xy +y 2) -16(x 2+3xy +y 2) ⎤⎫⎪
e +e
=⎥⎬
2⎦⎪⎭
922-(x 2+y 2) xy -xy
=16[e 3+e 3]
f (x , y ) =而边缘密度的乘积为 f 1(x ) ⋅f 2(y ) =所以X , Y 不独立.
41．设X 为随机变量，E |X |r (r >0) 存在，试证明：对任意ε>0有 P (|X |≥ε) ≤
1e 2π
-
x 2+y 22
E |X |r
ε2
.
证 若X 为离散型，其概率分布为P (X =x i ) =p i , 则
P (|X |≥ε) =
i =1,2, E |x |r
|x i |≥ε
∑p ≤∑
i
|x i |r
|x i |≥ε
εr
|x r |
p i ≤∑
i
|x i |r
ε2
1
p i =
ε2
r
；
若X 为连续型，其概率密度为f (x ) ，则 P (|X ≥|ε=)
|x ≥|
⎰εf
x (dx ) ≤
x |≥|
⎰ε
εr
f x dx (≤)
εr
⎰
+∞-∞
E x |r |
x |f x |dx (=r
ε
.
42．若DX =0.004，利用切比雪夫不等式估计概率P (|X -EX |
·79·
解 由切比雪夫不等式 P (|X -EX |
DX 0.004
=1-=0.9 2
(0.2)0.04
=1-
0.009
≥0.9
43．给定P (|X -EX |
DX
ε
2
ε
2
ε≥0.3
44．用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证‘正面’出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9.
解 设需掷n 次，正面出现的次数为Y n ，则Y n ~B (n , ) ，依题意应有 P (0.4
1
2
Y n
Y n
-|n
n (|
n 0. 5|0. 1)
Y n
≥1-所以 n ≥250.
n ⨯0.5⨯0.525
=1-≥0.9
0.01n 2n
45．若随机变量序列X 1, X 2, , X n , 满足条件
n
1
lim 2D (∑X i ) =0
n →∞n i =1
试证明{X n }服从大数定律.
证：由切比雪夫不等式，对任意的ε>0有
⎧1n ⎫1n
P ⎨∑X i -∑EX i ≥ε⎬≤
n i =1⎩n i =1⎭
所以对任意的ε>0
1n
D (∑X i ) n i =1
ε
2
=
n
1
D (∑X i ) n 2i =1
ε
2
n
⎧1n ⎫111n
lim P ⎨∑X i -∑EX i ≥ε⎬≤2lim 2D (∑X i ) =0
n →∞n i =1i =1⎩n i =1⎭εn →∞n
故{X n }服从大数定律。
46．设有30个电子器件D 1, D 2, , D 30，它们的使用情况如下：D 1损坏，
·80 ·
D 2立即使用；D 2损坏，D 3立即使用等等，设器件D i 的寿命服从参数为
λ=0.1(小时) -1的指数分布的随机变量，令T 为30个器件使用的总时间，求T
超过350小时的概率。
解 设D i 为器件D i 的寿命，则T =
∑D
i =1
30
i
，所求概率为
⎧30⎫
D -300∑i 30⎪⎪
P (T ≥350) =P (∑D i ≥350) =P ≥
i =1⎪⎪⎩⎭
≈1-Φ=1-Φ(0.91)=1-0.8186=0.1814.
47．某计算机系统有100个终端，每个终端有20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率。 解 设X i =⎨
⎧1, 第i 个终端在使用, ⎩0, 第i 个终端不在用.
~B (100,0.2)
i =1, 2,
则同时使用的终端数 X =所求概率为
∑X
i =1
100
i
P (X ≥10) ≈1-Φ=1-Φ(-2.5) =Φ(2.5)=0.9938.
48．某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求
P (14≤X ≤30) .
20
-Φ) ) =Φ(2.5)-Φ(-1.5) ≤X ≤30≈) Φ 解
P (14
=0.9938+Φ(1.5)-1=0.9938+0.9332-1 =0.927.
·81·