1997年8月北 方 交 通 大 学 学 报Aug. 1997
第21卷第4期双调和函数中值定理的逆定理
郑 建 军
(北方交通大学土木建筑系, 北京100044)
摘 要 提出并证明了二维和三维双调和函数中值定理的逆定理. 关键词 双调和函数 中值定理 逆定理分类号 O326
The Converse Theorems of the Mean Value Theorem of
Two -and Three -Dimensional Biharmonic Function
Zheng Jianjun
(Department of Civil Engineering, Northern Jiaotong Un i versity, Beijing 100044)
Abstract The converse theorems of mean value theorem of two -and three -dimensional biharmonic function are presented and proven
Key words biharmonic function mean value theorem converse theorem
目前, 关于力学中值定理的研究主要表现在从力学问题的微分方程导出相应的中值定理[1], 笔者曾提出并证明了杆件拉伸振动、杆件弯曲振动和D Arcy 方程中值定理的逆定理. 考虑到力学中的许多问题, 如弹性力学和薄板弯曲等, 均表现为求解双调和函数, 而且要像文献[4]那样利用中值定理构造出有限元迭代格式, 必须证明相应中值定理的逆定理, 这样才使中值定理与微分方程等价. 本文提出并证明了二维和三维双调和函数中值定理的逆定理, 为中值定理的应用提供理论依据.
[2~4]
1 二维双调和函数中值定理的逆定理
逆定理1 如果函数W (x , y ) 及其一阶、二阶和三阶偏导数可导, 四阶偏导数连续, 且对于任一点(x 0, y 0) 函数W (x , y ) 满足中值公式
W (x 0, y 0) =
R 20
W d s -
2 R 0
W d
(1)
式中, s 是以(x 0, y 0) 为中心、R 0为半径的圆形区域, 是区域s 的周界, 则函数W (x , y ) 是一个二维的双调和函数, 即满足 4W =0
证明 令 4W =f (x , y )
03- 男1963(2)
由定理条件可知f (x , y ) 是一连续函数, 如果f (x , y ) 处处为零, 则逆定理获证. 现假设在某点
第4期 郑建军:双调和函数中值定理的逆定理
(x 0, y 0) 处, f (x 0, y 0) >0(对f (x 0, y 0)
f (x , y ) |(x, y ) s >0
4
*
(3)
现在构造一函数W *(x , y ) , 使W *(x , y ) 在以(x 0, y 0) 为中心、R 0为半径的圆形区域s 上满足方程
W
= (x -x 0, y -y 0) - R 0
=0
(4)
在s 的同界 上, W *(x , y ) 满足边界条件
2*W (x , y ) (x , y ) =(x , y ) (x , y ) n
式中, n 为曲线 的法线, 可以直接验证, 满足边界条件(4) 时方程(5) 的解为
*
222
[R 40-((x -x 0) +(y -y 0) ) ]
W (x , y ) =
32 R 20*
*=
(5)
+
[(x -x 0) 2+(y -y 0) 2]ln [
*
(x -x 0) +(y -y 0) /R 0]
8
s
(6) (7) (8)
由式(6) 易证 W (x , y ) |(x , y ) 式(7) 等号仅在边界 上成立. 由式(3) 、式(7) 可得
1, 则在s -s 1上应用格林公式有
=
s
f W *d s >0
再在区域s 中挖去一以(x 0, y 0) 为中心、 (
s-s 1
(W * 4W -W 4W *) d s W
*
+ 1
2*2*22*- W + W -W d
(9) W d s +2 R W d - f W d s =0
, y ) >W d s -W d 这与逆定理条件(1) 相矛
R 2 R R 0
*
s
s
2
s
20
将式(2、4、5、6) 代入上式并令 0有
W (x 0, y 0) -由式(8) 、式(9) 可得W (x 0
盾, 因此函数f (x , y ) 必处处为零, 故逆定理1获证.
2 三维双调和函数中值定理的逆定理
逆定理2 如果函数W (x , y , z ) 及其一阶、二阶和三阶偏导数可导, 四阶偏导数连续, 且对于任一点(x 0, y 0, z 0) 函数W (x , y , z ) 满足中值公式
W (x 0, y 0, z 0) =
8 R 0
W d -
8 R 0
W d s
s
(10)
式中, 是以(x 0, y 0, z 0) 为中心、R 0为半径的球域, s 是 的周界. 则函数W (x , y , z ) 是一个三维的双调和函数, 即W(x , y , z ) 满足 4W (x , y , z ) =0
证明 令 4W =f (x , y , z )
(11)
(x , , x , y , .
北 方 交 通 大 学 学 报 第21卷
点(x 0, y 0, z 0) 处, f (x 0, y 0, z 0) >0(对f (x 0, y 0, z 0)
形区域 上满足方程
W (x , y , z ) = (x -x 0, y -y 0, z -z 0) -在 的周界s 上, W *(x , y , z ) 满足边界条件
W (x , y , z )
*
(x, y , z) 4
*
f (x , y , z )
(x, y , z)
>0(12)
现构造一函数W *(x , y , z ) , 使得W *(x , y , z ) 在以(x 0, y 0, z 0) 为中心、R 0为半径的球
8 R 0
(13)
*=s (x , y , z ) s
2*=
n 2
(x, y, z ) s
=0(14)
式中, n 为曲面s 的法线. 可以验证, 满足条件(14) 时方程(13) 的解为
3R 0(x -x 0) +(y -y 0) +(z -z 0) W (x , y , z ) =-64 8
222
3[(x -x 0) +(y -y 0) +(z -z 0) ][(x -x 0) 2+(y -y 0) 2+(z -z 0) 2]2
+-(15)
32 R 064 R 30
*
易证
W *(x , y , z )
(x , y , z )
0(16) (17)
上式等号仅在边界s 上成立. 由式(12) 、式(16) 得
=
f W d >0
*
再在区域 中挖去一以(x 0, y 0, z 0) 为中心、 (
s+s
1
-
(W * 4W -W 4W *) d
1
W
*
2*2*22*- W + W -W
8 R 0
d s.
将式(11、13、14、15) 代入上式, 并令 0有
W (x 0, y 0, z 0) -
W d +
8 R 0
s
W d s -
s
s
W d s
*
(18)
W d - 8 R 08 R 0
(10) 相矛盾, 因而f (x , y , z ) 必处处为零, 故逆定理获证. 由式(17) 、式(18) 得W (x 0, y 0, z 0) >
W d s , 这与逆定理条件
参考文献
1 郑建军, 樊承谋 固体力学的中值定理 长春:吉林大学出版社, 1994
2 郑建军, 樊承谋 杆件拉伸和振动的中值定理及逆定理 山东建筑工程学院学报, 1995, (3) :11~163 郑建军, 樊承谋 杆件弯曲和振动的中值定理及逆定理 山东建筑工程学院学报, 1995, (4) :11~174 郑建军 D Arcy 方程中值定理的逆定理 北方交通大学学报, 1995, 19(4) :514~517
(责任编辑 王尚韵)
1997年8月北 方 交 通 大 学 学 报Aug. 1997
第21卷第4期双调和函数中值定理的逆定理
郑 建 军
(北方交通大学土木建筑系, 北京100044)
摘 要 提出并证明了二维和三维双调和函数中值定理的逆定理. 关键词 双调和函数 中值定理 逆定理分类号 O326
The Converse Theorems of the Mean Value Theorem of
Two -and Three -Dimensional Biharmonic Function
Zheng Jianjun
(Department of Civil Engineering, Northern Jiaotong Un i versity, Beijing 100044)
Abstract The converse theorems of mean value theorem of two -and three -dimensional biharmonic function are presented and proven
Key words biharmonic function mean value theorem converse theorem
目前, 关于力学中值定理的研究主要表现在从力学问题的微分方程导出相应的中值定理[1], 笔者曾提出并证明了杆件拉伸振动、杆件弯曲振动和D Arcy 方程中值定理的逆定理. 考虑到力学中的许多问题, 如弹性力学和薄板弯曲等, 均表现为求解双调和函数, 而且要像文献[4]那样利用中值定理构造出有限元迭代格式, 必须证明相应中值定理的逆定理, 这样才使中值定理与微分方程等价. 本文提出并证明了二维和三维双调和函数中值定理的逆定理, 为中值定理的应用提供理论依据.
[2~4]
1 二维双调和函数中值定理的逆定理
逆定理1 如果函数W (x , y ) 及其一阶、二阶和三阶偏导数可导, 四阶偏导数连续, 且对于任一点(x 0, y 0) 函数W (x , y ) 满足中值公式
W (x 0, y 0) =
R 20
W d s -
2 R 0
W d
(1)
式中, s 是以(x 0, y 0) 为中心、R 0为半径的圆形区域, 是区域s 的周界, 则函数W (x , y ) 是一个二维的双调和函数, 即满足 4W =0
证明 令 4W =f (x , y )
03- 男1963(2)
由定理条件可知f (x , y ) 是一连续函数, 如果f (x , y ) 处处为零, 则逆定理获证. 现假设在某点
第4期 郑建军:双调和函数中值定理的逆定理
(x 0, y 0) 处, f (x 0, y 0) >0(对f (x 0, y 0)
f (x , y ) |(x, y ) s >0
4
*
(3)
现在构造一函数W *(x , y ) , 使W *(x , y ) 在以(x 0, y 0) 为中心、R 0为半径的圆形区域s 上满足方程
W
= (x -x 0, y -y 0) - R 0
=0
(4)
在s 的同界 上, W *(x , y ) 满足边界条件
2*W (x , y ) (x , y ) =(x , y ) (x , y ) n
式中, n 为曲线 的法线, 可以直接验证, 满足边界条件(4) 时方程(5) 的解为
*
222
[R 40-((x -x 0) +(y -y 0) ) ]
W (x , y ) =
32 R 20*
*=
(5)
+
[(x -x 0) 2+(y -y 0) 2]ln [
*
(x -x 0) +(y -y 0) /R 0]
8
s
(6) (7) (8)
由式(6) 易证 W (x , y ) |(x , y ) 式(7) 等号仅在边界 上成立. 由式(3) 、式(7) 可得
1, 则在s -s 1上应用格林公式有
=
s
f W *d s >0
再在区域s 中挖去一以(x 0, y 0) 为中心、 (
s-s 1
(W * 4W -W 4W *) d s W
*
+ 1
2*2*22*- W + W -W d
(9) W d s +2 R W d - f W d s =0
, y ) >W d s -W d 这与逆定理条件(1) 相矛
R 2 R R 0
*
s
s
2
s
20
将式(2、4、5、6) 代入上式并令 0有
W (x 0, y 0) -由式(8) 、式(9) 可得W (x 0
盾, 因此函数f (x , y ) 必处处为零, 故逆定理1获证.
2 三维双调和函数中值定理的逆定理
逆定理2 如果函数W (x , y , z ) 及其一阶、二阶和三阶偏导数可导, 四阶偏导数连续, 且对于任一点(x 0, y 0, z 0) 函数W (x , y , z ) 满足中值公式
W (x 0, y 0, z 0) =
8 R 0
W d -
8 R 0
W d s
s
(10)
式中, 是以(x 0, y 0, z 0) 为中心、R 0为半径的球域, s 是 的周界. 则函数W (x , y , z ) 是一个三维的双调和函数, 即W(x , y , z ) 满足 4W (x , y , z ) =0
证明 令 4W =f (x , y , z )
(11)
(x , , x , y , .
北 方 交 通 大 学 学 报 第21卷
点(x 0, y 0, z 0) 处, f (x 0, y 0, z 0) >0(对f (x 0, y 0, z 0)
形区域 上满足方程
W (x , y , z ) = (x -x 0, y -y 0, z -z 0) -在 的周界s 上, W *(x , y , z ) 满足边界条件
W (x , y , z )
*
(x, y , z) 4
*
f (x , y , z )
(x, y , z)
>0(12)
现构造一函数W *(x , y , z ) , 使得W *(x , y , z ) 在以(x 0, y 0, z 0) 为中心、R 0为半径的球
8 R 0
(13)
*=s (x , y , z ) s
2*=
n 2
(x, y, z ) s
=0(14)
式中, n 为曲面s 的法线. 可以验证, 满足条件(14) 时方程(13) 的解为
3R 0(x -x 0) +(y -y 0) +(z -z 0) W (x , y , z ) =-64 8
222
3[(x -x 0) +(y -y 0) +(z -z 0) ][(x -x 0) 2+(y -y 0) 2+(z -z 0) 2]2
+-(15)
32 R 064 R 30
*
易证
W *(x , y , z )
(x , y , z )
0(16) (17)
上式等号仅在边界s 上成立. 由式(12) 、式(16) 得
=
f W d >0
*
再在区域 中挖去一以(x 0, y 0, z 0) 为中心、 (
s+s
1
-
(W * 4W -W 4W *) d
1
W
*
2*2*22*- W + W -W
8 R 0
d s.
将式(11、13、14、15) 代入上式, 并令 0有
W (x 0, y 0, z 0) -
W d +
8 R 0
s
W d s -
s
s
W d s
*
(18)
W d - 8 R 08 R 0
(10) 相矛盾, 因而f (x , y , z ) 必处处为零, 故逆定理获证. 由式(17) 、式(18) 得W (x 0, y 0, z 0) >
W d s , 这与逆定理条件
参考文献
1 郑建军, 樊承谋 固体力学的中值定理 长春:吉林大学出版社, 1994
2 郑建军, 樊承谋 杆件拉伸和振动的中值定理及逆定理 山东建筑工程学院学报, 1995, (3) :11~163 郑建军, 樊承谋 杆件弯曲和振动的中值定理及逆定理 山东建筑工程学院学报, 1995, (4) :11~174 郑建军 D Arcy 方程中值定理的逆定理 北方交通大学学报, 1995, 19(4) :514~517
(责任编辑 王尚韵)