考点5变量间的相关关系

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考点5 变量间的相关关系

1．（2010个旧高一检测）某设备使用年限x和所支出维修费用y（万元）之间呈线性相关，现取五对观察值，计算得：

x

i1

5

i

20,yi25,xi90,xiyi120，则y与x的回归方程是（ ）

2

i1

i1

i1

555

ˆ2x3 B．yˆ3x2 ˆ3x2 D．yˆ2x3 C、yA．y

【解析】选A。

2．（2010天津高一检测）对变量x, y 有观测数据（v 有观测数据（

x1，y1）

（i=1,2,„，10），得散点图1；对变量u ，

u1，v1）

（i=1,2,„，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断( )

（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

【解析】选C。图1中x变大时，y随之变小故x与y负相关；图2中u变大时，v也随之变大，故u与v正相关。

3. （2010白城高一检测）在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）

（1） （2） （3） （4） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）

【解析】选D。选项A为函数关系，选项D不具有相关关系。

ˆ6090x，4.（2010延边高一检测）工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为y

下列判断正确的是（ ） A.劳动生产率为1千元时，工资为50元 B.劳动生产率提高1千元时，工资提高150元 C.劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元 D.劳动生产率为1千元时，工资为90元 【解析】选C.

5、（2010九江高一检测）由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)得到的回归直线方程ybxa，那么下面说法不正确的是（ ） A .直线ybxa必经过点(x,y).

B.直线ybxa至少经过(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)中的一个点.

C.直线ybxa的斜率为

xynxy

ii

i1

n

n

x

i1

2i

nx

2

D. 直线ybxa和各点(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)的总距离的偏差是该坐标平面上所有直线与这些 点的偏差中最小的直线. 【解析】选B.

6. （2010三明高一检测） 设有一个线性回归直线方程为 A． C．

平均增加1.5个单位 B．平均减少1.5个单位 D.

平均增加2个单位 平均减少2个单位

，则变量增加1个单位时（ ）

【解析】选C。

7．(2010鹤壁高一检测)在一次实验中，测得（x,y）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）， 则y与x 之间的回归直线方程为（ ）

ˆx2 C．yˆ2x1 D．yˆx1 B．yˆx1 A．y

【解析】选A。

ˆbxa表示的直线必经过的一个定点是( ) 8. （2010锦州高一检测）线性回归方程y

(A) (0,0) (B) (,0) (C) (0,) (D) (,)

【解析】选D。回归直线方程必过点(x,y)。

9. (2010凌海高一检测)有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是 ）

A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤ 【解析】选C。

10.（2010佛山高一检测）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程（ ）

ˆ1.3x11.5 D. y1.3x11.5 A. y11.5x1.3 B.y11.5x1.3 C. y

（提示：b

xy

ii1

n

i

nxynx

2

x

i1

n

;aybx）

2

i

【解析】选C。

11（2010济南高一检测）. 设有一个直线回归方程为 y21.5x ,则变量x 增加一个单位时 ( ) A.y平均增加 1.5 个单位 B.y平均增加 2 个单位

C.y平均减少 1.5 个单位 D.y平均减少 2 个单位 【解析】选C。

12.（2010秦皇岛高一检测）已知两个变量x，y具有线性相关关系，并测得(x，y)的四组值分别是(2，3)、 (5，7)、(8，9)、(11，13)，则求得的线性回归方程所确定的直线必定经过点（ ） A (2，3)

B (8，9)

C (11，13)

D (6.5，8)

^

^

【解析】选D

13.（2010商丘高一模拟）某设备的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的统计资料：

ˆbxa，其中b0.7，由此预测，当使用10年时，所支出由表中数据用最小二乘法得线性回归方程y

的总费用约为 万元。

【解析】先求出回归直线方程，再代入方程即可求出总费用。 答案：7.75

14.（2010福州高一检测）某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y对x呈线性相关关系。

ˆbxa中的b6.5，预测销售额为115万元时约 根据上表提供的数据得到回归方程y

需 万元广告费.

ˆbxa,其中b参考公式:回归方程为y

xynxy

ii

i1

n

n

x

i1

2i

nx

2

, aybx.

答案：15万元

xy



ˆy23xx315.（2010

聊城高一检测）若回归直线方程为 ，，则 2 ．

答案：2

ˆ85x40，16. （2010长沙高一检测）工人月工资y（元）与劳动生产产值x（千元）变化的线性回归方程为y

则劳动生产产值提高1千元时，工资提高___________元 答案：85

17. （2010乐陵高一检测）在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是

答案：（2）（4）

18.(2010潮州高一检测)已知z，y之间的一组数据如下表：

(1)从x ,y中各取一个数，求x+y≥10的概率； (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y111

x1与yx，试利用“最小二乘法”322

判断哪条直线拟合程度更好.

【解析】（1）从x,y各取一个数组成数对(x ,y)，共有25对，„„„„„„„„2分

其中满足xy10的有(6,4),(6,5),(7,3),(7,4),(7,5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5)，共9对„„„„„4分 故所求概率为P

925，所以使xy10的概率为9

25

．„„„„„„„„„„„„5分 （2）用y

1

3

x1作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为 Q(410117

131)2(22)2(33)2(34)2(35)23

．„„„„„„„„„„7分

用y

12x1

2

作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为 Q(11)2(22)2(723)2(44)2(925)21

22

．„„„„„„„„„„9分

Q112Q1，故用直线y2x2

拟合程度更好．„„„„„„„„„„„„10分

19.(2010喀左高一检测)某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示

（1）请画出上表数据的散点图；

（2） 请根据上表提供的数据，求最小二乘法求出 y 关于x的线性回归方程y = b x + a ； （3）据此估计2005年该城市人口总数。

（参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，02

12

22

32

42

30，公式见卷首 ）

y

· 18

16

14

12

· 8 · · 6

4

2

0 1 2 3 4

20

5

【解析】（1

）

x

（2） y = 3.2 x + 3.6

（3）x = 5 时，y = 19.6（十万） = 196（万） 答：估计2005年该城市人口总数为 196 万人。

20. （2010白城高一检测）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额。

【解析】（1）图略 3分 （2）x5,y50.



x

i1

5

2

i

145,xiyi1380

i1

5

设回归方程为ybxa 则b

xy

ii1

5

i

5xy

x

i1

5

2

2i

5x13805550

1455526.5

aybx506.5517.5

故回归方程为y6.5x17.5分 （3）当x7时y6.5717.563

所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）。 3分

21.（2010福州高一检测）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验作了四次试验，得到的数据如下表所示：



（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

（Ⅱ）求出y关于x 的线性回归方程 y

ˆbˆxaˆ，并在坐标系中画出回归直线； （Ⅲ）试预测加工10个零件需要多少时间？

y x

温馨提示：

检测题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。

考点5 变量间的相关关系

1．（2010个旧高一检测）某设备使用年限x和所支出维修费用y（万元）之间呈线性相关，现取五对观察值，计算得：

x

i1

5

i

20,yi25,xi90,xiyi120，则y与x的回归方程是（ ）

2

i1

i1

i1

555

ˆ2x3 B．yˆ3x2 ˆ3x2 D．yˆ2x3 C、yA．y

【解析】选A。

2．（2010天津高一检测）对变量x, y 有观测数据（v 有观测数据（

x1，y1）

（i=1,2,„，10），得散点图1；对变量u ，

u1，v1）

（i=1,2,„，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断( )

（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

【解析】选C。图1中x变大时，y随之变小故x与y负相关；图2中u变大时，v也随之变大，故u与v正相关。

3. （2010白城高一检测）在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）

（1） （2） （3） （4） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）

【解析】选D。选项A为函数关系，选项D不具有相关关系。

ˆ6090x，4.（2010延边高一检测）工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为y

下列判断正确的是（ ） A.劳动生产率为1千元时，工资为50元 B.劳动生产率提高1千元时，工资提高150元 C.劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元 D.劳动生产率为1千元时，工资为90元 【解析】选C.

5、（2010九江高一检测）由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)得到的回归直线方程ybxa，那么下面说法不正确的是（ ） A .直线ybxa必经过点(x,y).

B.直线ybxa至少经过(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)中的一个点.

C.直线ybxa的斜率为

xynxy

ii

i1

n

n

x

i1

2i

nx

2

D. 直线ybxa和各点(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)的总距离的偏差是该坐标平面上所有直线与这些 点的偏差中最小的直线. 【解析】选B.

6. （2010三明高一检测） 设有一个线性回归直线方程为 A． C．

平均增加1.5个单位 B．平均减少1.5个单位 D.

平均增加2个单位 平均减少2个单位

，则变量增加1个单位时（ ）

【解析】选C。

7．(2010鹤壁高一检测)在一次实验中，测得（x,y）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）， 则y与x 之间的回归直线方程为（ ）

ˆx2 C．yˆ2x1 D．yˆx1 B．yˆx1 A．y

【解析】选A。

ˆbxa表示的直线必经过的一个定点是( ) 8. （2010锦州高一检测）线性回归方程y

(A) (0,0) (B) (,0) (C) (0,) (D) (,)

【解析】选D。回归直线方程必过点(x,y)。

9. (2010凌海高一检测)有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是 ）

A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤ 【解析】选C。

10.（2010佛山高一检测）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程（ ）

ˆ1.3x11.5 D. y1.3x11.5 A. y11.5x1.3 B.y11.5x1.3 C. y

（提示：b

xy

ii1

n

i

nxynx

2

x

i1

n

;aybx）

2

i

【解析】选C。

11（2010济南高一检测）. 设有一个直线回归方程为 y21.5x ,则变量x 增加一个单位时 ( ) A.y平均增加 1.5 个单位 B.y平均增加 2 个单位

C.y平均减少 1.5 个单位 D.y平均减少 2 个单位 【解析】选C。

12.（2010秦皇岛高一检测）已知两个变量x，y具有线性相关关系，并测得(x，y)的四组值分别是(2，3)、 (5，7)、(8，9)、(11，13)，则求得的线性回归方程所确定的直线必定经过点（ ） A (2，3)

B (8，9)

C (11，13)

D (6.5，8)

^

^

【解析】选D

13.（2010商丘高一模拟）某设备的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的统计资料：

ˆbxa，其中b0.7，由此预测，当使用10年时，所支出由表中数据用最小二乘法得线性回归方程y

的总费用约为 万元。

【解析】先求出回归直线方程，再代入方程即可求出总费用。 答案：7.75

14.（2010福州高一检测）某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y对x呈线性相关关系。

ˆbxa中的b6.5，预测销售额为115万元时约 根据上表提供的数据得到回归方程y

需 万元广告费.

ˆbxa,其中b参考公式:回归方程为y

xynxy

ii

i1

n

n

x

i1

2i

nx

2

, aybx.

答案：15万元

xy



ˆy23xx315.（2010

聊城高一检测）若回归直线方程为 ，，则 2 ．

答案：2

ˆ85x40，16. （2010长沙高一检测）工人月工资y（元）与劳动生产产值x（千元）变化的线性回归方程为y

则劳动生产产值提高1千元时，工资提高___________元 答案：85

17. （2010乐陵高一检测）在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是

答案：（2）（4）

18.(2010潮州高一检测)已知z，y之间的一组数据如下表：

(1)从x ,y中各取一个数，求x+y≥10的概率； (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y111

x1与yx，试利用“最小二乘法”322

判断哪条直线拟合程度更好.

【解析】（1）从x,y各取一个数组成数对(x ,y)，共有25对，„„„„„„„„2分

其中满足xy10的有(6,4),(6,5),(7,3),(7,4),(7,5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5)，共9对„„„„„4分 故所求概率为P

925，所以使xy10的概率为9

25

．„„„„„„„„„„„„5分 （2）用y

1

3

x1作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为 Q(410117

131)2(22)2(33)2(34)2(35)23

．„„„„„„„„„„7分

用y

12x1

2

作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为 Q(11)2(22)2(723)2(44)2(925)21

22

．„„„„„„„„„„9分

Q112Q1，故用直线y2x2

拟合程度更好．„„„„„„„„„„„„10分

19.(2010喀左高一检测)某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示

（1）请画出上表数据的散点图；

（2） 请根据上表提供的数据，求最小二乘法求出 y 关于x的线性回归方程y = b x + a ； （3）据此估计2005年该城市人口总数。

（参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，02

12

22

32

42

30，公式见卷首 ）

y

· 18

16

14

12

· 8 · · 6

4

2

0 1 2 3 4

20

5

【解析】（1

）

x

（2） y = 3.2 x + 3.6

（3）x = 5 时，y = 19.6（十万） = 196（万） 答：估计2005年该城市人口总数为 196 万人。

20. （2010白城高一检测）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额。

【解析】（1）图略 3分 （2）x5,y50.



x

i1

5

2

i

145,xiyi1380

i1

5

设回归方程为ybxa 则b

xy

ii1

5

i

5xy

x

i1

5

2

2i

5x13805550

1455526.5

aybx506.5517.5

故回归方程为y6.5x17.5分 （3）当x7时y6.5717.563

所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）。 3分

21.（2010福州高一检测）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验作了四次试验，得到的数据如下表所示：



（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

（Ⅱ）求出y关于x 的线性回归方程 y

ˆbˆxaˆ，并在坐标系中画出回归直线； （Ⅲ）试预测加工10个零件需要多少时间？

y x