复数
复数包括实部和虚部。复数r 可以用直角坐标或极坐标两种形式表示，如下：
=a +jb （直角坐标）
=|r |e φ （极坐标）
下式是从直角坐标变换到极坐标的公式：
幅值
|r |=
相角 ⎧−1b tan , a >0⎪⎪a φ=⎨ b ⎪tan −1±π, a
在复平面上也可以用直角坐标或极坐标形式表示复数，如图1：
图1：复平面表示：直角坐标，极坐标
欧拉恒等式
欧拉恒等式：
e j φ=cos φ+j sin φ
上式也可以用sin ，cos 与e 的级数展开式表示：
cos φ=φ−φ3
3! +φ5φ7
5! −7! +K
sin φ=1−φ2
2! +φ4
4! −φ6
6! +K
e =1+j φ−j φφ2
2! −j φ3
3! +φ4
4! +j φ5
5! +K
代入：
cos φ+j sin φ=1+j φ−
=e j φ
φ22! −j φ33! +φ44! +j φ55! +K
复指数
假设φ是以ω恒速增长的时间函数：
φ(t ) =ωt 则r (t ) 变为：
(t ) =e j ωt
如图2，r (t ) 在复平面上的轨迹是一个半径为1的圆。画出r (t ) 实部与虚部随时间变化的曲线（图3），观察得：实部Re {r (t ) }=cos ωt ，对应的虚部Im {(t ) }=sin ωt 。 ·令变量r (t ) 用如下形式表示：
t ) =e st 其中s 是复数：
=σ+
j ω
图2：(t ) =e j ωt 复平面图
图3：r (t ) 实部，虚部随时间变化的曲线 ·r (t ) 在复平面上的路径是怎样的呢？假设：
(t ) =e =e (σ+j ω) t =e σt ⋅e j ωt
可以将上式看作是一个随时间变化的量值（e σt ）乘上一个以ω速率在单位圆上旋转的点。
由e j ωt 随时间变化的曲线图（图4），可以看出三个明显的区域：
1．σ>0时，这种情况不稳定。
2．σ=0时，e j ωt 的值为常量。这种情况称为临界稳定，因为量值虽没有无限增长，但也没有依概率收敛到0。
3．σ
∞减为0，这种情况称为稳定。
图4：σ不同的r (t ) 值
极点位置的作用
系统的稳定性取决于系统极点的位置。若极点位于四分之二或四分之三的圆内（在极坐标图中该四分圆决定了曲线旋转的方向），则被认为是稳定的。图5显示了稳定极点在复平面中的位置，r (t ) 在复平面上的轨迹，以及极点实部对于时间的响应曲线。
若极点落在虚轴上，则被称为临界稳定。图6显示了临界稳定极点在复平面上的位置，r (t ) 在复平面上的轨迹，以及极点实部对于时间的响应曲线。
最后，若极点位于第一象限或第四象限，则被视为不稳定。图7显示了不稳定极点在复平面上的位置，r (t ) 在复平面上的轨迹，以及极点实部对于时间的响应曲线。
图5：稳定极点位置，r (t ) ，极点实部相对时间的响应曲线
图6：临界稳定极点位置，r (t ) ，极点实部相对时间的响应曲线
图7：不稳定极点位置，r (t ) ，极点实部相对时间的响应曲线
复数
复数包括实部和虚部。复数r 可以用直角坐标或极坐标两种形式表示，如下：
=a +jb （直角坐标）
=|r |e φ （极坐标）
下式是从直角坐标变换到极坐标的公式：
幅值
|r |=
相角 ⎧−1b tan , a >0⎪⎪a φ=⎨ b ⎪tan −1±π, a
在复平面上也可以用直角坐标或极坐标形式表示复数，如图1：
图1：复平面表示：直角坐标，极坐标
欧拉恒等式
欧拉恒等式：
e j φ=cos φ+j sin φ
上式也可以用sin ，cos 与e 的级数展开式表示：
cos φ=φ−φ3
3! +φ5φ7
5! −7! +K
sin φ=1−φ2
2! +φ4
4! −φ6
6! +K
e =1+j φ−j φφ2
2! −j φ3
3! +φ4
4! +j φ5
5! +K
代入：
cos φ+j sin φ=1+j φ−
=e j φ
φ22! −j φ33! +φ44! +j φ55! +K
复指数
假设φ是以ω恒速增长的时间函数：
φ(t ) =ωt 则r (t ) 变为：
(t ) =e j ωt
如图2，r (t ) 在复平面上的轨迹是一个半径为1的圆。画出r (t ) 实部与虚部随时间变化的曲线（图3），观察得：实部Re {r (t ) }=cos ωt ，对应的虚部Im {(t ) }=sin ωt 。 ·令变量r (t ) 用如下形式表示：
t ) =e st 其中s 是复数：
=σ+
j ω
图2：(t ) =e j ωt 复平面图
图3：r (t ) 实部，虚部随时间变化的曲线 ·r (t ) 在复平面上的路径是怎样的呢？假设：
(t ) =e =e (σ+j ω) t =e σt ⋅e j ωt
可以将上式看作是一个随时间变化的量值（e σt ）乘上一个以ω速率在单位圆上旋转的点。
由e j ωt 随时间变化的曲线图（图4），可以看出三个明显的区域：
1．σ>0时，这种情况不稳定。
2．σ=0时，e j ωt 的值为常量。这种情况称为临界稳定，因为量值虽没有无限增长，但也没有依概率收敛到0。
3．σ
∞减为0，这种情况称为稳定。
图4：σ不同的r (t ) 值
极点位置的作用
系统的稳定性取决于系统极点的位置。若极点位于四分之二或四分之三的圆内（在极坐标图中该四分圆决定了曲线旋转的方向），则被认为是稳定的。图5显示了稳定极点在复平面中的位置，r (t ) 在复平面上的轨迹，以及极点实部对于时间的响应曲线。
若极点落在虚轴上，则被称为临界稳定。图6显示了临界稳定极点在复平面上的位置，r (t ) 在复平面上的轨迹，以及极点实部对于时间的响应曲线。
最后，若极点位于第一象限或第四象限，则被视为不稳定。图7显示了不稳定极点在复平面上的位置，r (t ) 在复平面上的轨迹，以及极点实部对于时间的响应曲线。
图5：稳定极点位置，r (t ) ，极点实部相对时间的响应曲线
图6：临界稳定极点位置，r (t ) ，极点实部相对时间的响应曲线
图7：不稳定极点位置，r (t ) ，极点实部相对时间的响应曲线