勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做
8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
11
a 2+b 2+4⨯ab =c 2+4⨯ab 222
22， 整理得 a +b =c .
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
1ab 2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点
在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
2
()a +b ∴ ABCD 是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.
∴
(a +b )2
1
=4⨯ab +c 2
222
2. ∴ a +b =c .
【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a）， 以c 为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
1
ab 2三角形的面积等于. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB .
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， 2∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c . ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.
2
()b -a ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于.
12
4⨯ab +(b -a )=c 2
2∴ .
222
∴ a +b =c . 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
1ab
形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点
在一条直线上.
∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,
∴ ∠ADE = ∠BEC .
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，
12c 2它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .
1
(a +b )2
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2.
1
(a +b )2=2⨯1ab +1c 2
22. ∴ 2
222
∴ a +b =c .
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .
∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.
∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD ,
∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，
BC = BD = a.
∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则
11
c 2=S +2⨯ab a 2+b 2=S +2⨯ab ,
2, 2
222
∴ a +b =c .
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .
过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点
F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，
又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .
同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，
交AB 于点M ，交DE 于点
L .
K ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， 12a ∵ ΔFAB 的面积等于2， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
2
a ∴ 矩形ADLM 的面积 =. 同理可证，矩形MLEB 的面积 =b .
∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 222222
∴ c =a +b ，即 a +b =c .
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .
AD ∶AC = AC ∶AB ，
2
即 AC =AD ∙AB . 2
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 BC =BD ∙AB .
222222
∴ AC +BC =(AD +DB )∙AB =AB ，即 a +b =c .
2
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .
∵ ∠BAD = 90º，∠P AC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .
又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c，
∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a .
∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,
Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.
∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b―a ，下底BP= b，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为
c 2=S 1+S 2+S 3+S 4+S 5 ①
1
[b +(b -a )]∙[a +(b -a )]b 2-1ab 22， =
∵
S 8+S 3+S 4=
S 5=S 8+S 9， ∴
把②代入①，得
S 3+S 4=b 2-
1
ab -S 822= b -S 1-S 8 . ②
c 2=S 1+S 2+b 2-S 1-S 8+S 8+S 9
222
= b +S 2+S 9 = b +a . 222
∴ a +b =c .
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .
R 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，
BT = BE = b，
∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a .
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠
∴ ∠GHF = ∠DBC .
∵ DB = EB―ED = b ―a ，
∠HGF = ∠BDC = 90º，
∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 S 7=S 2.
过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE
= ∠QAM ，而AB = AQ = c，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 S 8=S 5.
由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE .
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即S 4=S 6.
222c =S +S +S +S +S a =S +S b 1234516∵ ，，=S 3+S 7+S 8， 又∵ S 7=S 2，S 8=S 5，S 4=S 6，
22a +b =S 1+S 6+S 3+S 7+S 8 ∴
=S 1+S 4+S 3+S 2+S 5
2
=c ，
222
即 a +b =c .
【证法11】（利用切割线定理证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
AC 2=AE ∙AD
=(AB +BE )(AB -BD ) =(c +a )(c -a )
22= c -a ，
222
即b =c -a ， 222
∴ a +b =c .
【证法12】（利用多列米定理证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
AB ∙DC =AD ∙BC +AC ∙BD ， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a，
AC = BD = b，
222222
∴ AB =BC +AC ，即 c =a +b ，
222∴ a +b =c .
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴ AC +BC -AB =(AE +CE )+(BD +CD )-(AF +BF )
= CE +CD = r + r = 2r,
即 a +b -c =2r ， ∴ a +b =2r +c .
22
()()a +b =2r +c ∴ ，
2222a +b +2ab =4r +rc +c 即 ，
(
∵
S ∆ABC =
1
ab 2，
∴ 2ab =4S ∆ABC ，
又∵ S ∆ABC =S ∆AO B +S ∆BO C
1
(2r +c +c )r 2
= 2 = r +rc ，
2
(4r +rc )=4S ∆ABC ， ∴
E 1111
(a +b +c )r cr +ar +br
+S ∆AO C = 222 = 2
)
2
4r +rc =2ab ， ∴
222222∴ a +b +2ab =2ab +c ， ∴ a +b =c . 【证法14】（利用反证法证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
222222
假设a +b ≠c ，即假设 AC +BC ≠AB ，则由
()
AB 2=AB ∙AB =AB (AD +BD )=AB ∙AD +AB ∙BD
22
可知 AC ≠AB ∙AD ，或者 BC ≠AB ∙BD . 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .
在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB .
在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，
∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，
∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.
222
这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，AC +BC ≠AB 的假设不能成立.
222
∴ a +b =c .
【证法15】（辛卜松证明）
D D
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD
222
()a +b =a +b +2ab ；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个的面积为
部分，则正方形ABCD 的面积为 222
∴ a +b +2ab =2ab +c ,
222
∴ a +b =c .
(a +b )2
1
=4⨯ab +c 2
2
2 =2ab +c .
【证法16】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a），斜边的长为c . 做两个边长
分别为a 、b 的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
在EH = b上截取ED = a，连结DA 、DC ，
则 AD = c .
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，
()b +a ∴ DM = EM―ED = ―a = b. 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a， ∠AED = 90º， AE = b，
∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， M ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，
∴ ∠ADC = 90º.
∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .
连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，
∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .
∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .
222c =S +S +S +S b =S +S +S a 2345126∵ ， ， =S 3+S 7，
S 1=S 5=S 4=S 6+S 7， 22a +b =S 3+S 7+S 1+S 2+S 6 ∴
=S 2+S 3+S 1+(S 6+S 7)
=S 2+S 3+S 4+S 5
=c 222
∴ a +b =c .
2
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做
8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
11
a 2+b 2+4⨯ab =c 2+4⨯ab 222
22， 整理得 a +b =c .
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
1ab 2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点
在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
2
()a +b ∴ ABCD 是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.
∴
(a +b )2
1
=4⨯ab +c 2
222
2. ∴ a +b =c .
【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a）， 以c 为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
1
ab 2三角形的面积等于. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB .
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， 2∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c . ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.
2
()b -a ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于.
12
4⨯ab +(b -a )=c 2
2∴ .
222
∴ a +b =c . 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
1ab
形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点
在一条直线上.
∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,
∴ ∠ADE = ∠BEC .
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，
12c 2它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .
1
(a +b )2
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2.
1
(a +b )2=2⨯1ab +1c 2
22. ∴ 2
222
∴ a +b =c .
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .
∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.
∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD ,
∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，
BC = BD = a.
∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则
11
c 2=S +2⨯ab a 2+b 2=S +2⨯ab ,
2, 2
222
∴ a +b =c .
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .
过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点
F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，
又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .
同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，
交AB 于点M ，交DE 于点
L .
K ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， 12a ∵ ΔFAB 的面积等于2， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
2
a ∴ 矩形ADLM 的面积 =. 同理可证，矩形MLEB 的面积 =b .
∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 222222
∴ c =a +b ，即 a +b =c .
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .
AD ∶AC = AC ∶AB ，
2
即 AC =AD ∙AB . 2
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 BC =BD ∙AB .
222222
∴ AC +BC =(AD +DB )∙AB =AB ，即 a +b =c .
2
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .
∵ ∠BAD = 90º，∠P AC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .
又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c，
∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a .
∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,
Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.
∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b―a ，下底BP= b，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为
c 2=S 1+S 2+S 3+S 4+S 5 ①
1
[b +(b -a )]∙[a +(b -a )]b 2-1ab 22， =
∵
S 8+S 3+S 4=
S 5=S 8+S 9， ∴
把②代入①，得
S 3+S 4=b 2-
1
ab -S 822= b -S 1-S 8 . ②
c 2=S 1+S 2+b 2-S 1-S 8+S 8+S 9
222
= b +S 2+S 9 = b +a . 222
∴ a +b =c .
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .
R 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，
BT = BE = b，
∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a .
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠
∴ ∠GHF = ∠DBC .
∵ DB = EB―ED = b ―a ，
∠HGF = ∠BDC = 90º，
∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 S 7=S 2.
过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE
= ∠QAM ，而AB = AQ = c，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 S 8=S 5.
由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE .
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即S 4=S 6.
222c =S +S +S +S +S a =S +S b 1234516∵ ，，=S 3+S 7+S 8， 又∵ S 7=S 2，S 8=S 5，S 4=S 6，
22a +b =S 1+S 6+S 3+S 7+S 8 ∴
=S 1+S 4+S 3+S 2+S 5
2
=c ，
222
即 a +b =c .
【证法11】（利用切割线定理证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
AC 2=AE ∙AD
=(AB +BE )(AB -BD ) =(c +a )(c -a )
22= c -a ，
222
即b =c -a ， 222
∴ a +b =c .
【证法12】（利用多列米定理证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
AB ∙DC =AD ∙BC +AC ∙BD ， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a，
AC = BD = b，
222222
∴ AB =BC +AC ，即 c =a +b ，
222∴ a +b =c .
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴ AC +BC -AB =(AE +CE )+(BD +CD )-(AF +BF )
= CE +CD = r + r = 2r,
即 a +b -c =2r ， ∴ a +b =2r +c .
22
()()a +b =2r +c ∴ ，
2222a +b +2ab =4r +rc +c 即 ，
(
∵
S ∆ABC =
1
ab 2，
∴ 2ab =4S ∆ABC ，
又∵ S ∆ABC =S ∆AO B +S ∆BO C
1
(2r +c +c )r 2
= 2 = r +rc ，
2
(4r +rc )=4S ∆ABC ， ∴
E 1111
(a +b +c )r cr +ar +br
+S ∆AO C = 222 = 2
)
2
4r +rc =2ab ， ∴
222222∴ a +b +2ab =2ab +c ， ∴ a +b =c . 【证法14】（利用反证法证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .
222222
假设a +b ≠c ，即假设 AC +BC ≠AB ，则由
()
AB 2=AB ∙AB =AB (AD +BD )=AB ∙AD +AB ∙BD
22
可知 AC ≠AB ∙AD ，或者 BC ≠AB ∙BD . 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .
在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB .
在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，
∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，
∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.
222
这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，AC +BC ≠AB 的假设不能成立.
222
∴ a +b =c .
【证法15】（辛卜松证明）
D D
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD
222
()a +b =a +b +2ab ；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个的面积为
部分，则正方形ABCD 的面积为 222
∴ a +b +2ab =2ab +c ,
222
∴ a +b =c .
(a +b )2
1
=4⨯ab +c 2
2
2 =2ab +c .
【证法16】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a），斜边的长为c . 做两个边长
分别为a 、b 的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
在EH = b上截取ED = a，连结DA 、DC ，
则 AD = c .
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，
()b +a ∴ DM = EM―ED = ―a = b. 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a， ∠AED = 90º， AE = b，
∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， M ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，
∴ ∠ADC = 90º.
∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .
连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，
∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .
∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .
222c =S +S +S +S b =S +S +S a 2345126∵ ， ， =S 3+S 7，
S 1=S 5=S 4=S 6+S 7， 22a +b =S 3+S 7+S 1+S 2+S 6 ∴
=S 2+S 3+S 1+(S 6+S 7)
=S 2+S 3+S 4+S 5
=c 222
∴ a +b =c .
2