第九章 单元能力测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
x 2y 2
1．若曲线＋＝1的一条准线方程为x ＝10，则m 的值为( )
m ＋49A ．8或86 C ．5或56 答案 D
解析 由准线是x ＝10及方程形式知曲线是焦点在x 轴上的椭圆，所以a 2＝m ＋4，b 2
＝9，则c ＝m －5m ＋4m －5
＝10，解得m ＝6或86. ∵m ＋4>9，∴m >5，均符合题意．
B ．6或56 D ．6或86
x 2y 2
2．已知椭圆＝1(a >b >0)的面积为S ＝abπ，现有一个椭圆，其中心在坐标原点，
a b 一个焦点坐标为(4,0)，且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为( )
A ．15π C ．3π 答案 D
⎧⎧⎪a －b ＝c ＝4，⎪a ＋b ＝16，
解析 由题意得⎨则⎨
⎪2a －2b ＝2，⎪⎩⎩a －b ＝1，
2
2
2
2
15
B. π 4255D. 4
⎧a 2得到⎨15
b ⎩217
1715255
所以S ＝abπ＝π＝.
224
1
3．过抛物线y ＝x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线
4MN 过定点( )
A ．(0,1)
B ．(1,0) D ．(－1,0)
C ．(0，－1) 答案 A
11
解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1) ．设M (x 1，12) ，N (x 2，22) ，则过M 、N 的
441111
切线方程分别为y －121(x －x 1) ，y 22＝x 2(x －x 2) ．将(0，－1) 代入得x 12＝x 22＝4，
4242∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．
4．设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为(9,2)，
3
则|MA |＋|MF 2|的最小值为( )
5
A ．9 42
5答案 B
x 2y 253
解析 双曲线标准方程为－1|MF 2|转化为M 到
91635右准线的距离．
5．抛物线y ＝－ax 2(a ＜0) 的焦点坐标是( ) a
A ．(0，)
4
1
B ．(0，)
4a a
D ．(0，－4
36B. 554D. 5
1
C ．(0，－)
4a 答案 C
1
解析 因为a ＜0，所以方程可化为x 2＝y ，
－a 1
所以焦点坐标为(0，－) ．故选C.
4a
y 2→→
6．设F 1、F 2分别是双曲线x －1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1·PF 2＝
9
2
→→
0，则|PF 1＋PF 2|等于( )
5 答案 B
解析 F 1(－10，0) ，F 2(10，0) ，2c ＝10，2a ＝2. →→→→∵PF 1·PF 2＝0，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40
→→→→→→→→∴(PF 1＋PF 2) 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2PF 1·PF 2＝40，∴|PF 1＋PF 2|＝210.
x 2y 2x 2y 2
7．已知椭圆＋＝1(a >b >0)与双曲线－＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c, 0) 和
a b m n (c, 0) ．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于( )
1
31 2答案 B
解析 ∵c 2＝am, 2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2，
B. D. 332 2
B ．210 D ．5
1c ∴m 2＝c 2，即m ＝. ∴c 2＝ac ，则e ＝.
333a 3
x 2y 2
8．设双曲线以椭圆1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线
259的渐近线的斜率为( )
A ．±2 1C ．
2答案 C
x 2y 2
解析 椭圆＋＝1中，a ＝5，c ＝4.
259x 2y 2
设双曲线方程为－1(a >0，b >0)．
a b
a 2x 2y 22222
所以c ＝5，＝4. 所以a ＝20，b ＝c －a ＝5. 所以双曲线方程为－＝1.
c 205所以其渐近线方程为y ＝11
＝x ，所以其斜率为.
2220
4
B ．33D ．4
解决此题关键是分清椭圆与双曲线中的a ，b ，c 关系，这也是极易混淆之处． x 2y 2
9．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则
34△MF 1F 2是( )
A ．锐角三角形 C ．直角三角形 答案 C
x 2y 21
解析 由1知a ＝2，b ＝3，c ＝1，e 342则|MF 1|＋|MF 2|＝4， 又|MF 1|－|MF 2|＝1.
53
∴|MF 1|＝|MF 2||F 1F 2|＝2.
22∴|MF 1|>|F 1F 2|>|MF 2|，
|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|2
cos ∠MF 2F 10，
2|MF 2||F 1F 2|∴∠MF 2F 1＝90°. 即△MF 1F 2是直角三角形．
x 2y 2
10．已知双曲线＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△
a b a 2
OAF 的面积为O 为原点) ，则两条渐近线的夹角为( )
2
A ．30°
B ．钝角三角形 D ．等边三角形
B ．45°
C ．60° 答案 D
D ．90°
b a 2a 2ab 解析 由y ＝x 和x ＝A (，) ，
a c c c 1ab 1
∴S △＝c ＝ab ，
2c 2
1
又∵S △2，∴a ＝b ，∴其夹角为90°.
2
→→→→
11. 已知两点M (－3,0) ，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN |·|MP |＋MN ·NP ＝0，则动点P (x ，y ) 到点A (－3,0) 的距离的最小值为( )
A ．2 C ．4 答案 B
→→→→
解析 因为M (－3,0) ，N (3,0)，所以MN ＝(6,0)，|MN |＝6，MP ＝(x ＋3，y ) ，NP ＝(x －3，y ) ．
→→→→由|MN |·|MP |＋MN ·NP ＝0得(x ＋3)＋y ＋6(x －3) ＝0，化简整理得y 2＝－12x ，所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0) 的距离，所以d ＝3.
12．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p ) 2＝p 2于点A 、→→B 、C 、D ，则AB ·CD 的值是(
)
B ．3 D ．6
A ．8p 2 C ．2p 2 答案 D
→→→→→→
解析 |AB |＝|AF |－p ＝y A ，|CD |＝|DF |－p ＝y D ，|AB |·|CD |＝y A y D ＝p 2. 因为AB ，CD 的方向→→→→相同，所以AB ·CD ＝|AB |·|CD |＝y A y D ＝p 2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________． 答案
2－1
B ．4p 2 D ．p 2
解析 令AB ＝2，则AC ＝22，
∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋2⇒a ＝1＋2， c 1
可得e ＝2－1.
a 2＋1
命题思路 本题考查椭圆概念和基本量的关系．
x 2y 2
14．若焦点在x 轴上的椭圆1上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则
45b b 的取值范围是________．
310310
答案 －≤b b ≠0
22
解析 设椭圆的两焦点为F 1(－c, 0) ，F 2(c, 0) 以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足c ≥b ，从而得c 2≥b 2⇒a 214510310
－b 2≥b 2⇒b 2≤a 2＝≤b ≤且b ≠0.
2222
15．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝
2
围成的三角形区域(包含边界) 为E ，2
P (x ，y ) 为该区域的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．
答案 －
2
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
→→
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|P A |－|PB |＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；→1→→
②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP ＝(OA ＋OB ) ，则动点P 的轨
2x 2
迹为椭圆；③方程2x －5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－
25
2
y 2x 2
＝1与椭圆y 2＝1有相同的焦点． 935
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号) ． 答案 ③④
解析 ①错误，当k >0且k 0且k ＝|AB |时表示一条射线；当k >0且k >|AB |时，不表示任何图形；当k
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 设抛物线y 2＝2px (p ＞0) 被直线y ＝2x －4截得的弦AB 长为5. (1)求抛物线的方程；
(2)设直线AB 上有一点Q ，使得A 、Q 、B 到抛物线的准线的距离成等差数列，求Q 点
坐标．
解析 (1)将y ＝2x －4代入y 2＝2px 得 (2x －4) 2＝2px ，即2x 2－(8＋p ) x ＋8＝0. 设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则 8＋p
x 1＋x 2＝，x 1x 2＝4.
2所以|AB |所以p ＝2.
所以抛物线的方程为y 2＝4x .
(2)①当x >－1时，设Q (x ，y ) ，因为抛物线的准线为x ＝－1. 所以由题意得2(x ＋1) ＝(x 1＋1) ＋(x 2＋1) ． x 1＋x 25即x ＝＝y ＝2x －4＝1.
225
即Q 点坐标为(1) ．
2
②当x
∴x ＝－－2＝－，y ＝－13
229
∴Q ＝(－－13)
2
59
综上，Q 为，1) 或(－，－13) ．
22
18．(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F 1(0，－3) 和F 2(0，3) 3
的椭圆．设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点2
8＋p 2
(1＋22)[(－4×4]＝35.
2
→→→
P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM ＝OA ＋OB . 求：
(1)点M 的轨迹方程； →
(2)|OM |的最小值．
y 2x 2
解析 (1)椭圆方程可写为1，
a b a －b ＝3，⎧⎪
式中a >b >0，且⎨3 ⎪⎩a 2得a 2＝4，b 2＝1，∴曲线C 的方程为 y 2
x ＋1(x >0，y >0)．
4
2
2
2
y ＝1－x (0
2x
. 1－x 设P (x 0，y 0) ，因P 在C 上，有0
y ′|x ＝x 0，得切线AB 的方程为
y 04x y ＝－(x －x 0) ＋y 0.
y 0
设A (x, 0) 和B (0，y ) ，由切线方程得 14x ＝，y . x 0y 0
→→→
由OM ＝OA ＋OB 得M 的坐标为(x ，y ) ，由x 0，y 0满足C 的方程，得点M 的轨迹方程为 14
1(x >1，y >2)． x y →
(2)∵|OM |2＝x 2＋y 2， y 2＝
411－x
4＋
4
x －1
4→
∴|OM |2＝x 2－1＋5≥4＋5＝9，
x －1且当x 2－1＝
4
x ＝时，上式取等号． x －1
→
故|OM |的最小值为3.
→→
19．(本小题满分12分) 已知点A (3,0)，点B 在x 轴上，点M 在直线x ＝1上移动，且MA ·MB →→＝0，动点C 满足MC ＝3BC .
(1)求C 点的轨迹D 的方程；
(2)设直线l ：y ＝k (x －1) 与曲线D 有两个不同的交点E ，F ，点P (0,1)，当∠EPF 为锐角时，求k 的取值范围．
解析 (1)设M (1，y 0) ，C (x ，y ) ，B (b, 0) ． →→∵MC ＝3BC ，
1＋2x y 0＋2y ∴b 0①
1＋21＋2→→又MA ·MB ＝0，
→→
MA ＝(2，－y 0) ，MB ＝(b －1，－y 0) ， ∴2(b －1) ＋y 02＝0. ②
1
由①②得y 2＝(1－x ) ，这就是C 点的轨迹D 的方程．
3
1
(2)l ：y ＝k (x －1) 代入y 2＝(1－x ) 得
33k 2x 2＋(1－6k 2) x ＋3k 2－1＝0，
3k 2－11
解得x 1＝1，x 2＝，则y 1＝0，y 2＝－. 3k 3k 3k 2－11设E (1,0)，则F (，－) ， 3k 3k
2
1→→3k －1
PE ＝(1，－1) ，PF ＝(－1) ． 3k 3k
111→→3k －1当∠EPF 为锐角时，PE ·PF ＝(1)>0，解得k . 3k 3k 23→→
当PF ＝λPE 时，有k ＝－1，应舍去．
11
故k 的取值范围为(－∞，－1) ∪(－1，－) ∪(∞) ．
23
x 2
20．(本小题满分12分) 如右图所示，等腰三角形ABC 的底边BC 的两端点是椭圆E a y 2
＋＝1(a >b >0)的两焦点，且AB 的中点D 在椭圆E 上．
b
2
(1)若∠ABC ＝60°，|AB |＝4，试求椭圆E 的方程； (2)设椭圆离心率为e ，求cos ∠ABC .
解析 (1)因为∠ABC ＝60°，且△ABC 为等腰三角形，所以△ABC 是正三角形． 又因为点B ，C 是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c ，
则2c ＝|BC |＝|AB |＝4，如右图所示，连结CD ，由AB 中点D 在椭圆上，得
13
2a ＝|BD |＋|CD |AB |＋|AB |＝2＋23，
22所以a ＝13，
从而a 2＝4＋2，b 2＝a 2－c 2＝， x 2y 2
故所求椭圆E ＝1.
4＋233
(2)设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a ，b ，c ，且|AD |＝|DB |＝m ，连结CD ， 则|BO |＝|OC |＝c ，|DC |＝2a －m ，
在Rt △AOB 中，cos ∠ABC ＝
c ① 2m
在△BCD 中，由余弦定理，得 (2c )2＋m 2－(2a －m )2
cos ∠ABC ＝. ②
2×(2c )×m
2a 2－c 2ac e
由①②式得2m ＝，代入①式得cos ∠ABC ＝＝.
a 2a －c 2－e 21．(本小题满分12分) 如右图所示，F 1(－3,0) ，F 2(3,0)是双曲线C 的两焦点，直线x ＝4
C 的右准线，A 1，A 2是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于A 2的3
一个动点，直线A 1P ，A 2P 交双曲线C 的右准线分别于M ，N 两点．
(1)求双曲线C 的方程； →→
(2)求证：F 1M ·F 2N 是定值． a 24解析 (1)由已知，c ＝3，
c 3所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝5.
x 2y 2
所以所求双曲线C 的方程为＝1.
45
(2)设P 的坐标为(x 0，y 0) ，M ，N 的纵坐标分别为y 1，y 2，因为A 1(－2,0) ，A 2(2,0)， 102→→→
所以A 1P ＝(x 0＋2，y 0) ，A 2P ＝(x 0－2，y 0) ，A 1M ＝(y 1) ，A 2N ＝(y 2) ．
33→
因为A 1P 与A 1M 共线， 10
所以(x 0＋2) y 1＝y 0，
310y 所以y 1.
3(x 0＋2)同理，y 2＝－
2y 3(x 0－2)
135→→
因为F 1M ＝(，y 1) ，F 2N ＝(，y 2) ．
33
5(x 02－4)
20×
4656520y 2656525→→
所以F 1M ·F 2N ＝－＋y 1y 2＝＝－－＝－－＝－－＝－999(x 0－4)9999(x 0－4)10.
x 2y 2
22．(本小题满分12分) 已知椭圆＋＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c, 0) 和
a b a 2
F 2(c, 0)(c >0)，过点E (0) 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |.
c
(Ⅰ) 求椭圆的离心率； (Ⅱ) 求直线AB 的斜率；
(Ⅲ) 设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线F 2B 上有一点H (m ，n )(m ≠0) 在△AF 1C 的n
外接圆上，求
m
a 2
c c |EF ||F B |11
解析 (Ⅰ) 由F 1A ∥F 2B 且|F 1A |＝2|F 2B |，得＝＝.
|EF 1||F 1A |2a 2
c c c 整理，得a 2＝3c 2. 故离心率e ＝＝a 3
(Ⅱ) 由(Ⅰ) ，得b 2＝a 2－c 2＝2c 2. 所以椭圆的方程可写为2x 2＋3y 2＝6c 2. a 2
设直线AB 的方程为y ＝k (x －，即y ＝k (x －3c ) ．
c
⎧⎪y ＝k (x －3c )，
由已知设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则它们的坐标满足方程组⎨222 ⎪2x ＋3y ＝6c . ⎩
消去y 并整理，得(2＋3k 2) x 2－18k 2cx ＋27k 2c 2－6c 2＝0. 依题意，Δ＝48c 2(1－3k 2)>0，得－18k 2c 而x 1＋x 2
2＋3k 27k 2c 2－6c 2
x 1x 2＝. ②
2＋3k 由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 x 1＋3c ＝2x 2. ③
9k 2c －2c 9k 2c ＋2c
联立①③解得x 1x 2＝.
2＋3k 2＋3k 2
将x 1，x 2代入②中，解得k ＝.
33c
(Ⅲ) 解法一 由(Ⅱ) 可知x 1＝0，x 2＝2当k ＝－
2
A (0，c ) ，由已知得C (02c ) ． 3
22c c
c ＝－x ＋，直线l 与x 轴的交点(，0) 是222233
线段AF 1的垂直平分线l 的方程为y －
c c △AF 1C 的外接圆的圆心．因此外接圆的方程为(x －) 2＋y 2＝c ) 2. 22
直线F 2B 的方程为y 2(x －c ) ，于是点H (m ，n ) 的坐标满足方程组
c 29c 22⎧⎪(m －2)＋n ＝4⎨⎪⎩n (m －c ).
当k ＝ ⎧由m ≠0，解得⎨22n ＝⎩3，5m ＝c ，3 n 2故＝m 52n 22时，同理可得＝－3m 5
3c 解法二 由(Ⅱ) 可知x 1＝0，x 2＝. 2
当k ＝－2A (0，2c ) ，由已知得C (02c ) ． 3
由椭圆的对称性知B ，F 2，C 三点共线．因为点H (m ，n ) 在△AF 1C 的外接圆上，且F 1A ∥F 2B ，所以四边形AF 1CH 为等腰梯形．
由直线F 2B 的方程y 2(x －c ) ，知点H 的坐标为(m ，2m 2c ) ．
522因为|AH |＝|CF 1|，所以m 2＋(2m 2c 2c ) 2＝a 2，解得m ＝c (舍) 或m ＝ c ．则n 33
n 22c . 所以m 5
当k ＝
2n 22时，同理可得＝－3m 5
第九章 单元能力测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
x 2y 2
1．若曲线＋＝1的一条准线方程为x ＝10，则m 的值为( )
m ＋49A ．8或86 C ．5或56 答案 D
解析 由准线是x ＝10及方程形式知曲线是焦点在x 轴上的椭圆，所以a 2＝m ＋4，b 2
＝9，则c ＝m －5m ＋4m －5
＝10，解得m ＝6或86. ∵m ＋4>9，∴m >5，均符合题意．
B ．6或56 D ．6或86
x 2y 2
2．已知椭圆＝1(a >b >0)的面积为S ＝abπ，现有一个椭圆，其中心在坐标原点，
a b 一个焦点坐标为(4,0)，且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为( )
A ．15π C ．3π 答案 D
⎧⎧⎪a －b ＝c ＝4，⎪a ＋b ＝16，
解析 由题意得⎨则⎨
⎪2a －2b ＝2，⎪⎩⎩a －b ＝1，
2
2
2
2
15
B. π 4255D. 4
⎧a 2得到⎨15
b ⎩217
1715255
所以S ＝abπ＝π＝.
224
1
3．过抛物线y ＝x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线
4MN 过定点( )
A ．(0,1)
B ．(1,0) D ．(－1,0)
C ．(0，－1) 答案 A
11
解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1) ．设M (x 1，12) ，N (x 2，22) ，则过M 、N 的
441111
切线方程分别为y －121(x －x 1) ，y 22＝x 2(x －x 2) ．将(0，－1) 代入得x 12＝x 22＝4，
4242∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．
4．设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为(9,2)，
3
则|MA |＋|MF 2|的最小值为( )
5
A ．9 42
5答案 B
x 2y 253
解析 双曲线标准方程为－1|MF 2|转化为M 到
91635右准线的距离．
5．抛物线y ＝－ax 2(a ＜0) 的焦点坐标是( ) a
A ．(0，)
4
1
B ．(0，)
4a a
D ．(0，－4
36B. 554D. 5
1
C ．(0，－)
4a 答案 C
1
解析 因为a ＜0，所以方程可化为x 2＝y ，
－a 1
所以焦点坐标为(0，－) ．故选C.
4a
y 2→→
6．设F 1、F 2分别是双曲线x －1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1·PF 2＝
9
2
→→
0，则|PF 1＋PF 2|等于( )
5 答案 B
解析 F 1(－10，0) ，F 2(10，0) ，2c ＝10，2a ＝2. →→→→∵PF 1·PF 2＝0，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40
→→→→→→→→∴(PF 1＋PF 2) 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2PF 1·PF 2＝40，∴|PF 1＋PF 2|＝210.
x 2y 2x 2y 2
7．已知椭圆＋＝1(a >b >0)与双曲线－＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c, 0) 和
a b m n (c, 0) ．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于( )
1
31 2答案 B
解析 ∵c 2＝am, 2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2，
B. D. 332 2
B ．210 D ．5
1c ∴m 2＝c 2，即m ＝. ∴c 2＝ac ，则e ＝.
333a 3
x 2y 2
8．设双曲线以椭圆1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线
259的渐近线的斜率为( )
A ．±2 1C ．
2答案 C
x 2y 2
解析 椭圆＋＝1中，a ＝5，c ＝4.
259x 2y 2
设双曲线方程为－1(a >0，b >0)．
a b
a 2x 2y 22222
所以c ＝5，＝4. 所以a ＝20，b ＝c －a ＝5. 所以双曲线方程为－＝1.
c 205所以其渐近线方程为y ＝11
＝x ，所以其斜率为.
2220
4
B ．33D ．4
解决此题关键是分清椭圆与双曲线中的a ，b ，c 关系，这也是极易混淆之处． x 2y 2
9．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则
34△MF 1F 2是( )
A ．锐角三角形 C ．直角三角形 答案 C
x 2y 21
解析 由1知a ＝2，b ＝3，c ＝1，e 342则|MF 1|＋|MF 2|＝4， 又|MF 1|－|MF 2|＝1.
53
∴|MF 1|＝|MF 2||F 1F 2|＝2.
22∴|MF 1|>|F 1F 2|>|MF 2|，
|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|2
cos ∠MF 2F 10，
2|MF 2||F 1F 2|∴∠MF 2F 1＝90°. 即△MF 1F 2是直角三角形．
x 2y 2
10．已知双曲线＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△
a b a 2
OAF 的面积为O 为原点) ，则两条渐近线的夹角为( )
2
A ．30°
B ．钝角三角形 D ．等边三角形
B ．45°
C ．60° 答案 D
D ．90°
b a 2a 2ab 解析 由y ＝x 和x ＝A (，) ，
a c c c 1ab 1
∴S △＝c ＝ab ，
2c 2
1
又∵S △2，∴a ＝b ，∴其夹角为90°.
2
→→→→
11. 已知两点M (－3,0) ，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN |·|MP |＋MN ·NP ＝0，则动点P (x ，y ) 到点A (－3,0) 的距离的最小值为( )
A ．2 C ．4 答案 B
→→→→
解析 因为M (－3,0) ，N (3,0)，所以MN ＝(6,0)，|MN |＝6，MP ＝(x ＋3，y ) ，NP ＝(x －3，y ) ．
→→→→由|MN |·|MP |＋MN ·NP ＝0得(x ＋3)＋y ＋6(x －3) ＝0，化简整理得y 2＝－12x ，所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0) 的距离，所以d ＝3.
12．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p ) 2＝p 2于点A 、→→B 、C 、D ，则AB ·CD 的值是(
)
B ．3 D ．6
A ．8p 2 C ．2p 2 答案 D
→→→→→→
解析 |AB |＝|AF |－p ＝y A ，|CD |＝|DF |－p ＝y D ，|AB |·|CD |＝y A y D ＝p 2. 因为AB ，CD 的方向→→→→相同，所以AB ·CD ＝|AB |·|CD |＝y A y D ＝p 2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________． 答案
2－1
B ．4p 2 D ．p 2
解析 令AB ＝2，则AC ＝22，
∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋2⇒a ＝1＋2， c 1
可得e ＝2－1.
a 2＋1
命题思路 本题考查椭圆概念和基本量的关系．
x 2y 2
14．若焦点在x 轴上的椭圆1上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则
45b b 的取值范围是________．
310310
答案 －≤b b ≠0
22
解析 设椭圆的两焦点为F 1(－c, 0) ，F 2(c, 0) 以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足c ≥b ，从而得c 2≥b 2⇒a 214510310
－b 2≥b 2⇒b 2≤a 2＝≤b ≤且b ≠0.
2222
15．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝
2
围成的三角形区域(包含边界) 为E ，2
P (x ，y ) 为该区域的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．
答案 －
2
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
→→
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|P A |－|PB |＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；→1→→
②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP ＝(OA ＋OB ) ，则动点P 的轨
2x 2
迹为椭圆；③方程2x －5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－
25
2
y 2x 2
＝1与椭圆y 2＝1有相同的焦点． 935
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号) ． 答案 ③④
解析 ①错误，当k >0且k 0且k ＝|AB |时表示一条射线；当k >0且k >|AB |时，不表示任何图形；当k
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 设抛物线y 2＝2px (p ＞0) 被直线y ＝2x －4截得的弦AB 长为5. (1)求抛物线的方程；
(2)设直线AB 上有一点Q ，使得A 、Q 、B 到抛物线的准线的距离成等差数列，求Q 点
坐标．
解析 (1)将y ＝2x －4代入y 2＝2px 得 (2x －4) 2＝2px ，即2x 2－(8＋p ) x ＋8＝0. 设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则 8＋p
x 1＋x 2＝，x 1x 2＝4.
2所以|AB |所以p ＝2.
所以抛物线的方程为y 2＝4x .
(2)①当x >－1时，设Q (x ，y ) ，因为抛物线的准线为x ＝－1. 所以由题意得2(x ＋1) ＝(x 1＋1) ＋(x 2＋1) ． x 1＋x 25即x ＝＝y ＝2x －4＝1.
225
即Q 点坐标为(1) ．
2
②当x
∴x ＝－－2＝－，y ＝－13
229
∴Q ＝(－－13)
2
59
综上，Q 为，1) 或(－，－13) ．
22
18．(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F 1(0，－3) 和F 2(0，3) 3
的椭圆．设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点2
8＋p 2
(1＋22)[(－4×4]＝35.
2
→→→
P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM ＝OA ＋OB . 求：
(1)点M 的轨迹方程； →
(2)|OM |的最小值．
y 2x 2
解析 (1)椭圆方程可写为1，
a b a －b ＝3，⎧⎪
式中a >b >0，且⎨3 ⎪⎩a 2得a 2＝4，b 2＝1，∴曲线C 的方程为 y 2
x ＋1(x >0，y >0)．
4
2
2
2
y ＝1－x (0
2x
. 1－x 设P (x 0，y 0) ，因P 在C 上，有0
y ′|x ＝x 0，得切线AB 的方程为
y 04x y ＝－(x －x 0) ＋y 0.
y 0
设A (x, 0) 和B (0，y ) ，由切线方程得 14x ＝，y . x 0y 0
→→→
由OM ＝OA ＋OB 得M 的坐标为(x ，y ) ，由x 0，y 0满足C 的方程，得点M 的轨迹方程为 14
1(x >1，y >2)． x y →
(2)∵|OM |2＝x 2＋y 2， y 2＝
411－x
4＋
4
x －1
4→
∴|OM |2＝x 2－1＋5≥4＋5＝9，
x －1且当x 2－1＝
4
x ＝时，上式取等号． x －1
→
故|OM |的最小值为3.
→→
19．(本小题满分12分) 已知点A (3,0)，点B 在x 轴上，点M 在直线x ＝1上移动，且MA ·MB →→＝0，动点C 满足MC ＝3BC .
(1)求C 点的轨迹D 的方程；
(2)设直线l ：y ＝k (x －1) 与曲线D 有两个不同的交点E ，F ，点P (0,1)，当∠EPF 为锐角时，求k 的取值范围．
解析 (1)设M (1，y 0) ，C (x ，y ) ，B (b, 0) ． →→∵MC ＝3BC ，
1＋2x y 0＋2y ∴b 0①
1＋21＋2→→又MA ·MB ＝0，
→→
MA ＝(2，－y 0) ，MB ＝(b －1，－y 0) ， ∴2(b －1) ＋y 02＝0. ②
1
由①②得y 2＝(1－x ) ，这就是C 点的轨迹D 的方程．
3
1
(2)l ：y ＝k (x －1) 代入y 2＝(1－x ) 得
33k 2x 2＋(1－6k 2) x ＋3k 2－1＝0，
3k 2－11
解得x 1＝1，x 2＝，则y 1＝0，y 2＝－. 3k 3k 3k 2－11设E (1,0)，则F (，－) ， 3k 3k
2
1→→3k －1
PE ＝(1，－1) ，PF ＝(－1) ． 3k 3k
111→→3k －1当∠EPF 为锐角时，PE ·PF ＝(1)>0，解得k . 3k 3k 23→→
当PF ＝λPE 时，有k ＝－1，应舍去．
11
故k 的取值范围为(－∞，－1) ∪(－1，－) ∪(∞) ．
23
x 2
20．(本小题满分12分) 如右图所示，等腰三角形ABC 的底边BC 的两端点是椭圆E a y 2
＋＝1(a >b >0)的两焦点，且AB 的中点D 在椭圆E 上．
b
2
(1)若∠ABC ＝60°，|AB |＝4，试求椭圆E 的方程； (2)设椭圆离心率为e ，求cos ∠ABC .
解析 (1)因为∠ABC ＝60°，且△ABC 为等腰三角形，所以△ABC 是正三角形． 又因为点B ，C 是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c ，
则2c ＝|BC |＝|AB |＝4，如右图所示，连结CD ，由AB 中点D 在椭圆上，得
13
2a ＝|BD |＋|CD |AB |＋|AB |＝2＋23，
22所以a ＝13，
从而a 2＝4＋2，b 2＝a 2－c 2＝， x 2y 2
故所求椭圆E ＝1.
4＋233
(2)设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a ，b ，c ，且|AD |＝|DB |＝m ，连结CD ， 则|BO |＝|OC |＝c ，|DC |＝2a －m ，
在Rt △AOB 中，cos ∠ABC ＝
c ① 2m
在△BCD 中，由余弦定理，得 (2c )2＋m 2－(2a －m )2
cos ∠ABC ＝. ②
2×(2c )×m
2a 2－c 2ac e
由①②式得2m ＝，代入①式得cos ∠ABC ＝＝.
a 2a －c 2－e 21．(本小题满分12分) 如右图所示，F 1(－3,0) ，F 2(3,0)是双曲线C 的两焦点，直线x ＝4
C 的右准线，A 1，A 2是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于A 2的3
一个动点，直线A 1P ，A 2P 交双曲线C 的右准线分别于M ，N 两点．
(1)求双曲线C 的方程； →→
(2)求证：F 1M ·F 2N 是定值． a 24解析 (1)由已知，c ＝3，
c 3所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝5.
x 2y 2
所以所求双曲线C 的方程为＝1.
45
(2)设P 的坐标为(x 0，y 0) ，M ，N 的纵坐标分别为y 1，y 2，因为A 1(－2,0) ，A 2(2,0)， 102→→→
所以A 1P ＝(x 0＋2，y 0) ，A 2P ＝(x 0－2，y 0) ，A 1M ＝(y 1) ，A 2N ＝(y 2) ．
33→
因为A 1P 与A 1M 共线， 10
所以(x 0＋2) y 1＝y 0，
310y 所以y 1.
3(x 0＋2)同理，y 2＝－
2y 3(x 0－2)
135→→
因为F 1M ＝(，y 1) ，F 2N ＝(，y 2) ．
33
5(x 02－4)
20×
4656520y 2656525→→
所以F 1M ·F 2N ＝－＋y 1y 2＝＝－－＝－－＝－－＝－999(x 0－4)9999(x 0－4)10.
x 2y 2
22．(本小题满分12分) 已知椭圆＋＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c, 0) 和
a b a 2
F 2(c, 0)(c >0)，过点E (0) 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |.
c
(Ⅰ) 求椭圆的离心率； (Ⅱ) 求直线AB 的斜率；
(Ⅲ) 设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线F 2B 上有一点H (m ，n )(m ≠0) 在△AF 1C 的n
外接圆上，求
m
a 2
c c |EF ||F B |11
解析 (Ⅰ) 由F 1A ∥F 2B 且|F 1A |＝2|F 2B |，得＝＝.
|EF 1||F 1A |2a 2
c c c 整理，得a 2＝3c 2. 故离心率e ＝＝a 3
(Ⅱ) 由(Ⅰ) ，得b 2＝a 2－c 2＝2c 2. 所以椭圆的方程可写为2x 2＋3y 2＝6c 2. a 2
设直线AB 的方程为y ＝k (x －，即y ＝k (x －3c ) ．
c
⎧⎪y ＝k (x －3c )，
由已知设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，则它们的坐标满足方程组⎨222 ⎪2x ＋3y ＝6c . ⎩
消去y 并整理，得(2＋3k 2) x 2－18k 2cx ＋27k 2c 2－6c 2＝0. 依题意，Δ＝48c 2(1－3k 2)>0，得－18k 2c 而x 1＋x 2
2＋3k 27k 2c 2－6c 2
x 1x 2＝. ②
2＋3k 由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 x 1＋3c ＝2x 2. ③
9k 2c －2c 9k 2c ＋2c
联立①③解得x 1x 2＝.
2＋3k 2＋3k 2
将x 1，x 2代入②中，解得k ＝.
33c
(Ⅲ) 解法一 由(Ⅱ) 可知x 1＝0，x 2＝2当k ＝－
2
A (0，c ) ，由已知得C (02c ) ． 3
22c c
c ＝－x ＋，直线l 与x 轴的交点(，0) 是222233
线段AF 1的垂直平分线l 的方程为y －
c c △AF 1C 的外接圆的圆心．因此外接圆的方程为(x －) 2＋y 2＝c ) 2. 22
直线F 2B 的方程为y 2(x －c ) ，于是点H (m ，n ) 的坐标满足方程组
c 29c 22⎧⎪(m －2)＋n ＝4⎨⎪⎩n (m －c ).
当k ＝ ⎧由m ≠0，解得⎨22n ＝⎩3，5m ＝c ，3 n 2故＝m 52n 22时，同理可得＝－3m 5
3c 解法二 由(Ⅱ) 可知x 1＝0，x 2＝. 2
当k ＝－2A (0，2c ) ，由已知得C (02c ) ． 3
由椭圆的对称性知B ，F 2，C 三点共线．因为点H (m ，n ) 在△AF 1C 的外接圆上，且F 1A ∥F 2B ，所以四边形AF 1CH 为等腰梯形．
由直线F 2B 的方程y 2(x －c ) ，知点H 的坐标为(m ，2m 2c ) ．
522因为|AH |＝|CF 1|，所以m 2＋(2m 2c 2c ) 2＝a 2，解得m ＝c (舍) 或m ＝ c ．则n 33
n 22c . 所以m 5
当k ＝
2n 22时，同理可得＝－3m 5