初二数学——分解因式
一、 考点、热点分析
整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
(一) 常见形式：（1）平方差公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b )
（2）完全平方公式：a 2±2ab +b 2=(a ±b ) 2
（3）立方差公式：a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)
（4）立方和公式：a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)
（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）
①二次三项式：
把多项式ax 2+bx +c ，称为字母x 的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx 、 为一次项，c 为常数项．例如，x 2-2x -3和x 2+5x +6都是关于x 的二次三项式.
在多项式x 2-6xy +8y 2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式； 如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．
在多项式2a 2b 2-7ab +3中，把ab 看作一个整体，即2(ab ) 2-7(ab ) +3，就是 关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x +y ) 2+7(x +y ) +12，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．
②十字相乘法的依据和具体内容
它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式x 2+px +q ，如果能把 常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以 运用公式
x 2+(a +b ) x +ab =(x +a )(x +b ) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．
注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式ax 2+bx +c (a，b ，c 都是整数且a ≠0) 来说，如果存在四个整数a 1, a 2, c 1, c 2，使a 1⋅a 2=a ，c 1⋅c 2=c ，且a 1c 2+a 2c 1=b ， 那么运用
ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+(a 1c 2+a 2c 1) x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)
它的特征是“拆两头，凑中间”. 如：5x 2+6xy -8y 2=(x +2)(5x -4)
（6）分组分解法：
在多项式am+ an+ bm+ bn中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法， 再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．
如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法 分别分解因式．即：
原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n)
这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以
原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)•(a +b)．
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
（二）因式分解一般要遵循的步骤:(1)先考虑能否提公因式;
(2)再考虑能否运用公式或十字相乘法;
(3)最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的
多项式因式仍然用这一步骤反复进行．
口 诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要
合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
二、典型例题
分解因式：
1．m ²(p－q) －p ＋q ； 2．a(ab＋bc ＋ac) －abc ；
3．x 4－2y 4－2x 3y ＋xy 3； 4．abc(a²＋b ²＋c ²) －a 3bc ＋2ab ²c ²；
5．(x²－2x) ²＋2x(x－2) ＋1；
6．(x－y) ²＋12(y－x)z ＋36z ²； 7．x ²－4ax ＋8ab －4b ²；
8．(ax＋by) ²＋(ay－bx) ²＋2(ax＋by)(ay－bx) ；
9．(1－a ²)(1－b ²) －(a²－1) ²(b²－1) ²；
10．(x＋1) ²－9(x－1) ²；
11．x 3n ＋y 3n ；
12．(x＋y) 3＋125；
13．8(x＋y) 3＋1；
（1）x 2-2x -15 （2）x 2-5xy +6y 2
（3）2x 2-5x -3 （4）3x 2+8x -3
一、选择题
22
322四、课后练习
2
20062005
22
7．若481x 2+2x﹣3可因式分解成（13x+a）（bx+c），其中a 、b 、c 均为整数，则下列叙述
2
23210．在实数范围内因式分解：x 3﹣2x 2y+xy2= _________ ．
11．分解因式：2x 2+2x+= _________ ．
12．分解因式：﹣x +2x﹣x= _________ ．
13．分解因式：x （x ﹣1）﹣3x+4= _________ ．
14．将多项式a 3﹣6a 2b+9ab2分解因式得 _________ ．
三．解答题
15．已知x=y+4，求代数式2x 2﹣4xy+2y2﹣25的值．
16．计算：
（1）（x+y）2﹣y （2x+y）﹣8x]÷2x；
32
（2）已知：m ﹣n=4，m 2﹣n 2=24，求（m+n）3的值．
（3）已知﹣2x 3m+1y 2n 与7x n ﹣6y ﹣3﹣m 的积与x 4y 是同类项，求m 2+n的值．
（4）先化简，再求值：（﹣2a 4x 2+4a3x 3﹣a 2x 4）÷（﹣a 2x 2），其中a=，x=﹣4．
17. 证明：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.
初二数学——分解因式
一、 考点、热点分析
整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
(一) 常见形式：（1）平方差公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b )
（2）完全平方公式：a 2±2ab +b 2=(a ±b ) 2
（3）立方差公式：a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)
（4）立方和公式：a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)
（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）
①二次三项式：
把多项式ax 2+bx +c ，称为字母x 的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx 、 为一次项，c 为常数项．例如，x 2-2x -3和x 2+5x +6都是关于x 的二次三项式.
在多项式x 2-6xy +8y 2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式； 如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．
在多项式2a 2b 2-7ab +3中，把ab 看作一个整体，即2(ab ) 2-7(ab ) +3，就是 关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x +y ) 2+7(x +y ) +12，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．
②十字相乘法的依据和具体内容
它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式x 2+px +q ，如果能把 常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以 运用公式
x 2+(a +b ) x +ab =(x +a )(x +b ) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．
注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式ax 2+bx +c (a，b ，c 都是整数且a ≠0) 来说，如果存在四个整数a 1, a 2, c 1, c 2，使a 1⋅a 2=a ，c 1⋅c 2=c ，且a 1c 2+a 2c 1=b ， 那么运用
ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+(a 1c 2+a 2c 1) x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)
它的特征是“拆两头，凑中间”. 如：5x 2+6xy -8y 2=(x +2)(5x -4)
（6）分组分解法：
在多项式am+ an+ bm+ bn中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法， 再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．
如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法 分别分解因式．即：
原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n)
这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以
原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)•(a +b)．
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
（二）因式分解一般要遵循的步骤:(1)先考虑能否提公因式;
(2)再考虑能否运用公式或十字相乘法;
(3)最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的
多项式因式仍然用这一步骤反复进行．
口 诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要
合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
二、典型例题
分解因式：
1．m ²(p－q) －p ＋q ； 2．a(ab＋bc ＋ac) －abc ；
3．x 4－2y 4－2x 3y ＋xy 3； 4．abc(a²＋b ²＋c ²) －a 3bc ＋2ab ²c ²；
5．(x²－2x) ²＋2x(x－2) ＋1；
6．(x－y) ²＋12(y－x)z ＋36z ²； 7．x ²－4ax ＋8ab －4b ²；
8．(ax＋by) ²＋(ay－bx) ²＋2(ax＋by)(ay－bx) ；
9．(1－a ²)(1－b ²) －(a²－1) ²(b²－1) ²；
10．(x＋1) ²－9(x－1) ²；
11．x 3n ＋y 3n ；
12．(x＋y) 3＋125；
13．8(x＋y) 3＋1；
（1）x 2-2x -15 （2）x 2-5xy +6y 2
（3）2x 2-5x -3 （4）3x 2+8x -3
一、选择题
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322四、课后练习
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20062005
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7．若481x 2+2x﹣3可因式分解成（13x+a）（bx+c），其中a 、b 、c 均为整数，则下列叙述
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23210．在实数范围内因式分解：x 3﹣2x 2y+xy2= _________ ．
11．分解因式：2x 2+2x+= _________ ．
12．分解因式：﹣x +2x﹣x= _________ ．
13．分解因式：x （x ﹣1）﹣3x+4= _________ ．
14．将多项式a 3﹣6a 2b+9ab2分解因式得 _________ ．
三．解答题
15．已知x=y+4，求代数式2x 2﹣4xy+2y2﹣25的值．
16．计算：
（1）（x+y）2﹣y （2x+y）﹣8x]÷2x；
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（2）已知：m ﹣n=4，m 2﹣n 2=24，求（m+n）3的值．
（3）已知﹣2x 3m+1y 2n 与7x n ﹣6y ﹣3﹣m 的积与x 4y 是同类项，求m 2+n的值．
（4）先化简，再求值：（﹣2a 4x 2+4a3x 3﹣a 2x 4）÷（﹣a 2x 2），其中a=，x=﹣4．
17. 证明：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.