不等式选讲高考题汇编(新课标)

不等式选讲高考题汇编

1．(2009新课标全国卷)如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C到B距离的6倍的和．

（Ⅰ）将y表示为x的函数；

（Ⅱ）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？

3.(2011新课标全国卷) 设函数f(x)|xa|3x，其中a0．

（I）当a=1时，求不等式f(x)3x2的解集．

（II）若不等式f(x)0的解集为｛x|x1}，求a的值．

2.(2010新课标全国卷)设函数f(x)=2x4 + 1。（Ⅰ）画出函数y=f(x)的图像：

（Ⅱ）若不等式f(x)ax的解集非空，求a的取值范围

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4.(2012新课标全国卷)已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。

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5.(2013新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)|2x1||2xa|，g(x)x3。（Ⅰ）当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；（Ⅱ）设a1，且当x[

a2,1

)时，f(x)g(x)，求a的取值范围。

6.(2013新课标全国Ⅱ卷)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

（Ⅰ）ab＋bc＋ca≤13；（Ⅱ）

a2bb2cc2

≥1.

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7.（2013辽宁高考）已知函数f(x)xa,其中a1.

()当a2时，求不等式f(x)4x4的解集；

()已知关于x的不等式f(2xa)2f(x)2的解集为xx2，求a的值。

8.（2013福建高考）设不等式x2a(aN*)的解集为A,且31

2A,2

A

（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f(x)xax2的最小值

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不等式选讲高考题汇编参考答案

1．解：（Ⅰ）y4|x10|6|x20|,0x30．

xaxa



a 或a 即 xa42

|70,4|x10|6|x20

（Ⅱ）依题意，x满足 解不等式组，其解集为[9,23]．所以

因为a0，所以不等式组的解集为x|xa2



0x30

x[9,23]．

2.（Ⅰ）由于f(x)2x5,x2

2x3,x2 则函数yf(x)的

图像如图所示

（Ⅱ）由函数yfx与函数yax的图像可知，当且仅当

a

或a2时，函数yfx与函数yax的图像有交点。故不等式fxax的解集非空时，a的取值范围为

,2[

,)。

3.解：（Ⅰ）当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2。由此可得 x3或x1。

故不等式f(x)3x2的解集为{x|x3或x1}。 (Ⅱ) 由f(x)0 得 xa3x0 此不等式化为不等式组



xaxa3x0 或xa



ax3x0

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由题设可得

= 1，故a2 4．解

5.解: （Ⅰ）当a2时，不等式f(x)g(x)化为

|2x1||2x2|x30.

设函数y|2x1||2x2|x3，则



5x,x1

2y

x2,1x1



23x6,x1

其图象如图所示，

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从图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是{x|0x2}.

（Ⅱ）当x[a1

2,2

]时，f(x)1a.

不等式f(x)g(x)化为1ax3.

所以xa2对x[a1a

42,2]都成立，故2

a2，即a3.

从而a的取值范围为(1,4

]

6.解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤1

(2)因为a2bb2a，b2cc2b，c2

aa2c，

故a2bb2cc2

a(abc)≥2(a＋b＋c)，即a2bb2cc2

a≥a＋b＋c. a2b2c2

所以bca

≥1.

2x6,

x2,7.()当a2时，f(x)x4

2,

2x4, 2x6,x4.当x2时，由f(x)4x4264x1；当2x4时，由f(x)4x424，不成立；当x4时，由f(x)4x42x64x5；综上，x1,或x5

所以，当a2时，不等式f(x)4x4的解集为xx1,或x5.

()记h(x)f(2xa)2f(x)2x2xa

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2ax0,则h(x)

,4x2a,

0xa, 

2a,xa.

由f(2xa)2f(x)2得h(x)2，即4x2a224x2a2

a12xa1

由已知不等式f(2xa)2f(x)2的解集为xx2 亦即h(x)2的解集为x1x2

a1

1所以2

解得aa13.

2

28.（Ⅰ）因为3131

2A，且2A，所以22a，且2

2a

解得12a3

，又因为aN*，所以a1

（Ⅱ）因为|x1||x2||(x1)(x2)|3.

当且仅当(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号,所以f(x)的最小值为3.

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