§2 连续函数的性质
(一) 教学目的：
掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质． (二) 教学内容：
连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性． 基本要求：
1）掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．
2) 理解一致连续于逐点连续的本质区别．
(三) 教学建议：
1) 函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，
间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释． 2）本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征． 难点：连续函数的保号性；一致连续性
————————————————————————————
一 连续函数的局部性质
根据函数的在x 0点连续性，即lim f (x ) =f (x 0) 可推断出函数f (x ) 在x 0点的某邻域
x →x 0
U (x 0) 内的性态。
定理4.2（局部连续性）若函数f (x ) 在x 0点连续，则f (x ) 在x 0点的某邻域内有界。 定理4.3（局部保号性）若函数f (x ) 在x 0点连续，且f (x 0) >α>0，则对任意
0α'>0
定理4.4（四则运算性质）若函数则f (x ) , g (x ) 在区间I 上有定义，且都在x 0∈I 连续，则f (x ) ±g (x ) ,
f (x ) g (x ) , f (x ) /g (x ) （g (x 0) ≠0）在x 0点连续。
例 因y =c 和 y =x 连续，可推出多项式函数
n (n -1)
+ +a n -1+a n P (x ) =a 0x +a 1x
和有理函数R (x ) =
P (x ) Q (x )
( P, Q 为多项式）在定义域的每一点连续。同样由
sin x 和cos x 在R 上的连续性，可推出tan x 与cot x 在定义域的每一点连续。
定理4.5（复合函数的连续性）若函数f (x ) 在x 0点连续，g (u ) 在u 0点连续，
u 0=f (x 0) ，则复合函数g (f (x )) 在x 0点连续。
证明 由于g 在u 0连续，对任给的ε>0，存在 δ1>0，使u -u 00，存在δ>0，使得当x -x 00，存在 δ>0，当x -x 0
g (f (x )) -g (f (x 0))
这就证明了g f 在点x 0连续.
注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为
x →x 0
2
lim g (f (x )) =g (lim f (x )) =g (f (x 0)) (2)
x →x 0
例1 求lim sin(1-x ) .
x →1
解 sin(1-x ) 可看作函数g (u ) =sin u 与u =1-x 的复合. 由(2)式, 可得
lim sin(1-x ) =sin lim (1-x ) =sin 0=0
x →1
x →1
2
2
22
注：若复合函数的g f 内函数f 当x →x 0时极限为a ，而a ≠f (x 0) 或f 在x 0无定义（x 0为f 的可去间断点），又外函数g 在u =a 处连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有
x →x 0
lim g (f (x )) =g (lim f (x )) (3)
x →x 0
±
读者还可证明(3)式对于x →∞, x →-∞或x →x 0等类型的极限也是成立的。
sin x x
sin x x
例2 求极限：（1）lim
x →0
2-；（2）lim
x →∞
2-.
解 (1) lim
x →0
2-
sin x x
=2-lim
sin x x
x →0
=2-1=1
(2) lim
x →∞
2-
sin x x
=2-lim
sin x x
x →∞
=2-0=2
二 闭区间上连续函数的基本性质
前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。
定义1 设f 为定义在数集D 上的函数，若存在x 0∈D ，使得对一切x 0∈D 有 f (x 0) ≥f (x ) ( f(x0) ≤f(x) ) ，
则称f 在D 上有最大（最小值）值，并称f (x 0) 为f 在D 上的最大（最小值）值. 例如 sin x 在[0, π]上有最大值1, 最小值0. 但一般而言f 在定义域D 上不一定有最大值或最小值（即使f 在D 上有界）。如f (x ) =x 在(0, 1) 上既无最大值又无最小值，又如
⎧1
⎪ , x ∈(0, 1) ,
g (x ) =⎨x (4)
⎪2 , x =0 或 x =1 , ⎩
在闭区间上也无最大、最小值。
定理4.6 (最大最小值定理) 若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则f (x ) 在闭区间
[a , b ] 上有最大值与最小值。
该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七章§2给出证明.
推论：（有界性）若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则f (x ) 在闭区间[a , b ] 上有界。
定理4.7(介值性定理) 若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) ≠f (b ) ，若μ为f (a ) 与 f (b ) 介于之间的任何实数（f (a )
(a , b ) 内至少存在一点x 0，使得 f (x 0) =μ.
推论（根的存在定理）若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) , f (b ) 异号，则至少存在一点x 0∈(a , b ) 使得f (x 0) =0. 即f (x ) 在(a , b ) 内至少有一个实根.
应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若f 在区间[a,b]上连续且不是常量函数, 则值域f (I ) 也是一个区间；特别若I 为区间[a,b], f 在[a,b]上的最大值为M , 最小值为m ，则f ([a , b ])=[m , M ]；又若f 为[a,b]上的增（减）连续函数且不为常数，则f ([a , b ])=[f (a ), f (b )] ( [f (b ) , f (a ) ] )
n
例3 证明：若r >0, n 为正整数，则存在唯一正数x 0，使得x 0=r .
n n
证明 先证存在性。由于当x →+∞时有x →+∞，故存在正数a ，使得a >r . 因
f (x ) =x 在[0, a ]上连续，并有f (0)
n
n
再证唯一性。设正数x 1使得x 1=r
x 0-x 1=(x 0-x 1)(x 0
n
n
n -1
n
+x 0
n -2
x 1+ x 1
n -1
) =0
由于第二个括号内的数为正所以只能x 0-x 1=0，即x 0=x 1.
例4 设f 在[a,b]连续，满足
f ([a , b ])⊂[a , b ] （5） 证明：存在x 0∈[a , b ]，使得 f (x 0) =x 0 （6）
证 条件（5）意味着：对任何x 0∈[a , b ]有a ≤f (x ) ≤b ，特别有 a ≤f (a ) 以及 b ≤f (b ) .
若a =f (a ) 或b =f (b ) ，则取x 0=a 或 b ，从而（6）式成立。现设a
F (x ) =f (x ) -x ，
则F (a ) =f (a ) -a >0，F (b ) =f (b ) -b
三 反函数的连续性。
定理4.8（反函数的连续性）若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]严格递增（递减）且 连续，则其反函数f 减）且连续。
证明 （只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为 [f (a ), f (b )]。 设 y 0∈(f (a ), f (b )) ，且x 0=f 则 x 0∈(a , b ) ，对任给的ε>0可在x 0的两 侧各取异于x 0的两点x 1, x 2（x 1
设y 1=f (x 1) , y 2=f (x 2) ，由函数的严 格递增性，y 1, y 2必分别落在y 0的两侧，即 当 y 1
-1
-1
(y ) 在相应的定义域 [f (a ), f (b )]（[f (b ), f (a )]）上递增（递
(y 0)
则当y ∈U (y 0; δ) 时，对应的x =f
-1
(y ) 的值必落在x 1, x 2之间，从而|x -x 0|
-1
应用单侧极限的定义，同样可证x =f 例5 由于y =sin x 在区间[-[-1，1]上连续。
ππ
2, 2
(y ) 在区间端点也是连续的。
]上严格单调且连续，故反函数y =arcsin x 在区间
同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数arccos x , arctgx , arcctgx 在其定义域内是连续的。
1
例6由于y =x （n 为正整数）在[0, +∞) 严格上单调且连续，所以它的反函数y =x n
在[0, +∞) 上连续。又若把y =x
1
n
-
1n
1
（n 为正整数）看作由 y =u n 与u =
1x
的复合，。
综上可知，y =x q （q 为非零整数）其定义域内是连续的。
例7 证明：有理幂函数y =x α在其定义区间上连续.
p q
1
证明：设有理数α=
，这里p , q ( ≠0 ) 为整数。因为y =x q 与y =x p 均在其定义
1
区间上连续，所以复合函数 y =(x ) q =x α也是其定义区间上的连续函数。
p
四 一致连续性
前面介绍的函数f (x ) 在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的 δ>0 不仅与ε>0 有关，而且与x 0有关。下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，其定义中的δ>0只与ε>0有关，而与x 0无关。
定义2（一致连续性）设函数f (x ) 在区间I 上有定义，若∀ε>0, ∃δ=δ(ε) >0只要x 1, x 2∈I ， |x 1-x 2|
这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。直观的说f (x ) 在区间I 一致连续意味着：不论两点x 1, x 2在I 中处于什么位置只要它们的距离小于δ，就可使
反之，结论不一定成立（参见例9）。 |f (x 1) -f (x 2) |
按照一致连续的定义，f (x ) 在区间I 不一致连续意味着：对于某个ε0>0对任何的δ>0（无论δ多么小），总存在两点x 1, x 2∈I 尽管|x 1-x 2|
|f (x 1) -f (x 2) |
例8 证明 y =sin ax 在 (-∞, +∞) 内一致连续。
a (x 1-x 2)
2
a (x 1+x 2)
2
证明 |sin ax 1-sin ax 2|=2|sin
a (x 1-x 2)
2
cos |
≤2|sin
|≤=|a | |x 1-x 2|
对∀ε>0，取 δ=
ε|a |
，不管x 1, x 2是 (-∞, +∞) 中的怎样两点，只要
|x 1-x 2|
所以y =sin ax 在 (-∞, +∞) 内一致连续。 例9证明y =
证明 y =1x 1
1x 2
1x 1x
在 (δ, 1) 内一致连续，但在(0, 1) 内不一致连续。
在 (δ, 1) 内一致连续：
1
|-|=
|x 2-x 1|x 1x 2
≤
δ
2
|x 2-x 1|
|1/x1 –1/x2
2
对∀ε>0，取 η=δε，不管x 1, x 2
是 (δ, 1) 中的怎样两点，只要
|x 1-x 2|
所以 y =
1x
在 (δ, 1) 内一致连续。
但在(0, 1) 内不一致连续。
取 ε0=1, 对任意的 δ>0，都存在两点 x 1=
|x 1-x 2|=
12n
1) ， 但 |
1n
, x 2=
12n
， 尽管
1x 1
-
1x 2
|=2n -n =n >1
所以，y =
1x
在(0, 1) 内不一致连续。
可推出f (x ) 在区间I 上每点f (x ) 在区间I 上的一致连续性是f (x ) 又一个整体性质，
都连续的这一局部性质（只要在一致连续的定义中把x 1, x 2看作定点和动点）；但f (x ) 区间上I 上每点连续并不能保证在区间I 上一致连续，两者在概念上有本质的差别。因为
f (x ) 函数f (x ) 在区间I 上每点连续是指：
对于 每一点x ∈I 及∀ε>0, ∃δ=δ(ε, x ) >0 ，当 |x '-x |
有 |f (x ') -f (x ) |
注意这里的δ不仅与ε>0有关，还与x 的位置有关，如果能做到δ只与ε有关即能找不到适合I 上所有点的公共δ=δ(ε) >0，则f (x ) 在I 上每点连续，且一致连续；否则f (x ) 在I 上每点连续，但不一致连续。
一般说来对I 上无穷多个点，存在无穷多个δ，这无穷多个δ的下确界可能为零，也可能大于零。如果这无穷多个δ的下确界为零，则不存在适合I 上所有点的公共
δ=δ(ε) >0，这种情况f (x ) 在I 上连续，但不一致连续；如果这无穷多个δ的下确界大于零，则必存在对I 上每一点都适用的公共δ=δ(ε) >0，比如我们可取取 δ=min δ，则对I 上任意两点x , x ' ，只要 |x '-x |
f (x ) 在I 上不仅逐点连续，而且是一致连续。
定理4.9 （一致连续性）若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则f (x ) 在[a , b ]上一致连续。
例10 设区间I 1的右端点为c ∈I 1，区间I 2的左端点也为c ∈I 2（I 1, I 2可为有限或无限区间）。试证明：若f (x ) 分别在I 1和I 2上一致连续，则f (x ) 在区间I =I 1 I 2上也一致连续。
证明：任给ε>0，由f 在I 1和I 2上的一致连续性，分别存在正数δ1和δ2使得对任何x 1, x 2∈I 1，只要x 1-x 2
f (x 1) -f (x 2)
又对任何x 1, x 2∈I 2，只要x 1-x 2
点x =c 作为I 1右端点，f 在点c 为左连续，作为I 2左端点，f 在点c 为右连续，所以f 在点c 为连续。故对上述ε>0，存在δ3>0，当 x -c
f (x ) -f (c )
ε
2
. （8）
令δ=min(δ1, δ2, δ3) ，对任何的x 1, x 2∈I x 1-x 2
（ii ）x 1, x 2分别属于I 1和I 2，不妨设x 1∈I 1和x 2∈I 2，则 x 1-c =c -x 1
ε
2
. 同理得f (x 2) -f (c )
ε
2
. 从而也有（7）式成立。
这便证明了f 在I 上一致连续。
§2 连续函数的性质
(一) 教学目的：
掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质． (二) 教学内容：
连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性． 基本要求：
1）掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．
2) 理解一致连续于逐点连续的本质区别．
(三) 教学建议：
1) 函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，
间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释． 2）本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征． 难点：连续函数的保号性；一致连续性
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一 连续函数的局部性质
根据函数的在x 0点连续性，即lim f (x ) =f (x 0) 可推断出函数f (x ) 在x 0点的某邻域
x →x 0
U (x 0) 内的性态。
定理4.2（局部连续性）若函数f (x ) 在x 0点连续，则f (x ) 在x 0点的某邻域内有界。 定理4.3（局部保号性）若函数f (x ) 在x 0点连续，且f (x 0) >α>0，则对任意
0α'>0
定理4.4（四则运算性质）若函数则f (x ) , g (x ) 在区间I 上有定义，且都在x 0∈I 连续，则f (x ) ±g (x ) ,
f (x ) g (x ) , f (x ) /g (x ) （g (x 0) ≠0）在x 0点连续。
例 因y =c 和 y =x 连续，可推出多项式函数
n (n -1)
+ +a n -1+a n P (x ) =a 0x +a 1x
和有理函数R (x ) =
P (x ) Q (x )
( P, Q 为多项式）在定义域的每一点连续。同样由
sin x 和cos x 在R 上的连续性，可推出tan x 与cot x 在定义域的每一点连续。
定理4.5（复合函数的连续性）若函数f (x ) 在x 0点连续，g (u ) 在u 0点连续，
u 0=f (x 0) ，则复合函数g (f (x )) 在x 0点连续。
证明 由于g 在u 0连续，对任给的ε>0，存在 δ1>0，使u -u 00，存在δ>0，使得当x -x 00，存在 δ>0，当x -x 0
g (f (x )) -g (f (x 0))
这就证明了g f 在点x 0连续.
注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为
x →x 0
2
lim g (f (x )) =g (lim f (x )) =g (f (x 0)) (2)
x →x 0
例1 求lim sin(1-x ) .
x →1
解 sin(1-x ) 可看作函数g (u ) =sin u 与u =1-x 的复合. 由(2)式, 可得
lim sin(1-x ) =sin lim (1-x ) =sin 0=0
x →1
x →1
2
2
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注：若复合函数的g f 内函数f 当x →x 0时极限为a ，而a ≠f (x 0) 或f 在x 0无定义（x 0为f 的可去间断点），又外函数g 在u =a 处连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有
x →x 0
lim g (f (x )) =g (lim f (x )) (3)
x →x 0
±
读者还可证明(3)式对于x →∞, x →-∞或x →x 0等类型的极限也是成立的。
sin x x
sin x x
例2 求极限：（1）lim
x →0
2-；（2）lim
x →∞
2-.
解 (1) lim
x →0
2-
sin x x
=2-lim
sin x x
x →0
=2-1=1
(2) lim
x →∞
2-
sin x x
=2-lim
sin x x
x →∞
=2-0=2
二 闭区间上连续函数的基本性质
前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。
定义1 设f 为定义在数集D 上的函数，若存在x 0∈D ，使得对一切x 0∈D 有 f (x 0) ≥f (x ) ( f(x0) ≤f(x) ) ，
则称f 在D 上有最大（最小值）值，并称f (x 0) 为f 在D 上的最大（最小值）值. 例如 sin x 在[0, π]上有最大值1, 最小值0. 但一般而言f 在定义域D 上不一定有最大值或最小值（即使f 在D 上有界）。如f (x ) =x 在(0, 1) 上既无最大值又无最小值，又如
⎧1
⎪ , x ∈(0, 1) ,
g (x ) =⎨x (4)
⎪2 , x =0 或 x =1 , ⎩
在闭区间上也无最大、最小值。
定理4.6 (最大最小值定理) 若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则f (x ) 在闭区间
[a , b ] 上有最大值与最小值。
该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七章§2给出证明.
推论：（有界性）若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则f (x ) 在闭区间[a , b ] 上有界。
定理4.7(介值性定理) 若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) ≠f (b ) ，若μ为f (a ) 与 f (b ) 介于之间的任何实数（f (a )
(a , b ) 内至少存在一点x 0，使得 f (x 0) =μ.
推论（根的存在定理）若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) , f (b ) 异号，则至少存在一点x 0∈(a , b ) 使得f (x 0) =0. 即f (x ) 在(a , b ) 内至少有一个实根.
应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若f 在区间[a,b]上连续且不是常量函数, 则值域f (I ) 也是一个区间；特别若I 为区间[a,b], f 在[a,b]上的最大值为M , 最小值为m ，则f ([a , b ])=[m , M ]；又若f 为[a,b]上的增（减）连续函数且不为常数，则f ([a , b ])=[f (a ), f (b )] ( [f (b ) , f (a ) ] )
n
例3 证明：若r >0, n 为正整数，则存在唯一正数x 0，使得x 0=r .
n n
证明 先证存在性。由于当x →+∞时有x →+∞，故存在正数a ，使得a >r . 因
f (x ) =x 在[0, a ]上连续，并有f (0)
n
n
再证唯一性。设正数x 1使得x 1=r
x 0-x 1=(x 0-x 1)(x 0
n
n
n -1
n
+x 0
n -2
x 1+ x 1
n -1
) =0
由于第二个括号内的数为正所以只能x 0-x 1=0，即x 0=x 1.
例4 设f 在[a,b]连续，满足
f ([a , b ])⊂[a , b ] （5） 证明：存在x 0∈[a , b ]，使得 f (x 0) =x 0 （6）
证 条件（5）意味着：对任何x 0∈[a , b ]有a ≤f (x ) ≤b ，特别有 a ≤f (a ) 以及 b ≤f (b ) .
若a =f (a ) 或b =f (b ) ，则取x 0=a 或 b ，从而（6）式成立。现设a
F (x ) =f (x ) -x ，
则F (a ) =f (a ) -a >0，F (b ) =f (b ) -b
三 反函数的连续性。
定理4.8（反函数的连续性）若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]严格递增（递减）且 连续，则其反函数f 减）且连续。
证明 （只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为 [f (a ), f (b )]。 设 y 0∈(f (a ), f (b )) ，且x 0=f 则 x 0∈(a , b ) ，对任给的ε>0可在x 0的两 侧各取异于x 0的两点x 1, x 2（x 1
设y 1=f (x 1) , y 2=f (x 2) ，由函数的严 格递增性，y 1, y 2必分别落在y 0的两侧，即 当 y 1
-1
-1
(y ) 在相应的定义域 [f (a ), f (b )]（[f (b ), f (a )]）上递增（递
(y 0)
则当y ∈U (y 0; δ) 时，对应的x =f
-1
(y ) 的值必落在x 1, x 2之间，从而|x -x 0|
-1
应用单侧极限的定义，同样可证x =f 例5 由于y =sin x 在区间[-[-1，1]上连续。
ππ
2, 2
(y ) 在区间端点也是连续的。
]上严格单调且连续，故反函数y =arcsin x 在区间
同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数arccos x , arctgx , arcctgx 在其定义域内是连续的。
1
例6由于y =x （n 为正整数）在[0, +∞) 严格上单调且连续，所以它的反函数y =x n
在[0, +∞) 上连续。又若把y =x
1
n
-
1n
1
（n 为正整数）看作由 y =u n 与u =
1x
的复合，。
综上可知，y =x q （q 为非零整数）其定义域内是连续的。
例7 证明：有理幂函数y =x α在其定义区间上连续.
p q
1
证明：设有理数α=
，这里p , q ( ≠0 ) 为整数。因为y =x q 与y =x p 均在其定义
1
区间上连续，所以复合函数 y =(x ) q =x α也是其定义区间上的连续函数。
p
四 一致连续性
前面介绍的函数f (x ) 在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的 δ>0 不仅与ε>0 有关，而且与x 0有关。下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，其定义中的δ>0只与ε>0有关，而与x 0无关。
定义2（一致连续性）设函数f (x ) 在区间I 上有定义，若∀ε>0, ∃δ=δ(ε) >0只要x 1, x 2∈I ， |x 1-x 2|
这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。直观的说f (x ) 在区间I 一致连续意味着：不论两点x 1, x 2在I 中处于什么位置只要它们的距离小于δ，就可使
反之，结论不一定成立（参见例9）。 |f (x 1) -f (x 2) |
按照一致连续的定义，f (x ) 在区间I 不一致连续意味着：对于某个ε0>0对任何的δ>0（无论δ多么小），总存在两点x 1, x 2∈I 尽管|x 1-x 2|
|f (x 1) -f (x 2) |
例8 证明 y =sin ax 在 (-∞, +∞) 内一致连续。
a (x 1-x 2)
2
a (x 1+x 2)
2
证明 |sin ax 1-sin ax 2|=2|sin
a (x 1-x 2)
2
cos |
≤2|sin
|≤=|a | |x 1-x 2|
对∀ε>0，取 δ=
ε|a |
，不管x 1, x 2是 (-∞, +∞) 中的怎样两点，只要
|x 1-x 2|
所以y =sin ax 在 (-∞, +∞) 内一致连续。 例9证明y =
证明 y =1x 1
1x 2
1x 1x
在 (δ, 1) 内一致连续，但在(0, 1) 内不一致连续。
在 (δ, 1) 内一致连续：
1
|-|=
|x 2-x 1|x 1x 2
≤
δ
2
|x 2-x 1|
|1/x1 –1/x2
2
对∀ε>0，取 η=δε，不管x 1, x 2
是 (δ, 1) 中的怎样两点，只要
|x 1-x 2|
所以 y =
1x
在 (δ, 1) 内一致连续。
但在(0, 1) 内不一致连续。
取 ε0=1, 对任意的 δ>0，都存在两点 x 1=
|x 1-x 2|=
12n
1) ， 但 |
1n
, x 2=
12n
， 尽管
1x 1
-
1x 2
|=2n -n =n >1
所以，y =
1x
在(0, 1) 内不一致连续。
可推出f (x ) 在区间I 上每点f (x ) 在区间I 上的一致连续性是f (x ) 又一个整体性质，
都连续的这一局部性质（只要在一致连续的定义中把x 1, x 2看作定点和动点）；但f (x ) 区间上I 上每点连续并不能保证在区间I 上一致连续，两者在概念上有本质的差别。因为
f (x ) 函数f (x ) 在区间I 上每点连续是指：
对于 每一点x ∈I 及∀ε>0, ∃δ=δ(ε, x ) >0 ，当 |x '-x |
有 |f (x ') -f (x ) |
注意这里的δ不仅与ε>0有关，还与x 的位置有关，如果能做到δ只与ε有关即能找不到适合I 上所有点的公共δ=δ(ε) >0，则f (x ) 在I 上每点连续，且一致连续；否则f (x ) 在I 上每点连续，但不一致连续。
一般说来对I 上无穷多个点，存在无穷多个δ，这无穷多个δ的下确界可能为零，也可能大于零。如果这无穷多个δ的下确界为零，则不存在适合I 上所有点的公共
δ=δ(ε) >0，这种情况f (x ) 在I 上连续，但不一致连续；如果这无穷多个δ的下确界大于零，则必存在对I 上每一点都适用的公共δ=δ(ε) >0，比如我们可取取 δ=min δ，则对I 上任意两点x , x ' ，只要 |x '-x |
f (x ) 在I 上不仅逐点连续，而且是一致连续。
定理4.9 （一致连续性）若函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则f (x ) 在[a , b ]上一致连续。
例10 设区间I 1的右端点为c ∈I 1，区间I 2的左端点也为c ∈I 2（I 1, I 2可为有限或无限区间）。试证明：若f (x ) 分别在I 1和I 2上一致连续，则f (x ) 在区间I =I 1 I 2上也一致连续。
证明：任给ε>0，由f 在I 1和I 2上的一致连续性，分别存在正数δ1和δ2使得对任何x 1, x 2∈I 1，只要x 1-x 2
f (x 1) -f (x 2)
又对任何x 1, x 2∈I 2，只要x 1-x 2
点x =c 作为I 1右端点，f 在点c 为左连续，作为I 2左端点，f 在点c 为右连续，所以f 在点c 为连续。故对上述ε>0，存在δ3>0，当 x -c
f (x ) -f (c )
ε
2
. （8）
令δ=min(δ1, δ2, δ3) ，对任何的x 1, x 2∈I x 1-x 2
（ii ）x 1, x 2分别属于I 1和I 2，不妨设x 1∈I 1和x 2∈I 2，则 x 1-c =c -x 1
ε
2
. 同理得f (x 2) -f (c )
ε
2
. 从而也有（7）式成立。
这便证明了f 在I 上一致连续。