格林公式. 奥高公式. 格林斯托克斯计算关系与应用 格林公式。
Pdx +Qdy =⎰⎰(
D ∂D ∂Q ∂P -) dxdy ∂x ∂y 。
这个公式具有非常重要的应用，即通过进行这两种不同积分形式的相互转化，而简化积分计算。
所谓线积分的路径无关性就是指如果一种曲线积分，在确定曲线的起点与终点后，积分值就是唯一的了，而与具体的起点与终点之间的曲线形状，或者说积分路径无关，我们就说这种曲线积分具有线积分的路径无关性。
一种曲线积分具有线积分的路径无关性的充要条件是：
设P （x ，y ）和Q （x ，y ）是在平面区域D 上的具有各个一阶连续偏导数的函数，那么曲线积分L
C ⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ， 在D 内具有线积分的路径无关性的充要条件为 Pdx +Qdy =0
其中C 为D 内的任意一条闭曲线。
在实际问题当中，为了方便判断上面的充要条件，需要单连通区域的概念：所谓连通区域就是指一个区域内任意两点的连线都全部是属于这个区域。而单连通区域则是对于任意区域内的闭合曲线都可以连续地收缩为一点。可以想象，这种区域不允许在区域内部存在空洞。而存在空洞的这类不是单连通的连通区域称为复连通区域。
这样我们可以针对单连通区域得到更为方便的，判断一种曲线积分具有线积分的路径无关性的充要条件如下：
设P （x ，y ）和Q （x ，y ）是在单连通区域D 上的具有各个一阶连续偏导数的函数，那么曲线积分L ⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 在D 内具有线积分的路径无关性的充要条件为 ∂P ∂Q =∂y ∂x 。
这样判断一种曲线积分是否具有线积分的路径无关性，就更为方便了，而对于具有线积分的路径无关性的曲线积分，不妨写成
⎰A Pdx +Qdy ，
其中A 和B 为曲线的起点和终点。
判断一种曲线积分具有线积分的路径无关性，能够极大地简化这种曲线积分的计算，因为我们有可能通过选择合适的路径，使得积分计算变得非常简单。
我们知道对于单变量函数的微分运算，存在逆运算，就是函数的不定积分，那么对于多元函数的全微分，要引入它的逆运算，就需要应用具有路径无关性的曲线积分的概念。 首先是存在性问题，即给出一个微分形式Pdx+Qdy，如何判断是否存在一个二元函数f ，使得df 就是所给定的微分形式，或者说判断所给定的微分形式是否为全微分或者说恰当微分的问题。
B
高斯公式以及散度。
在闭曲面上的曲面积分与闭曲面所包含的空间体积上的三重积分之间存在一个关系，即所谓的散度定理，或者说高斯公式：
设在空间区域Ω上存在C 1函数P (x , y , z ) ，Q (x , y , z ) ，R (x , y , z ) ，而这个空间区域的边界为光滑可定向曲面组成，那么有
∂ΩP (x , y , z ) dydz +Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy
⎰⎰⎰(
= ∂P ∂Q ∂R ++) dv ∂x ∂y ∂z ，
其中曲面积分是沿着曲面外侧进行的。
把高斯公式写成向量的形式，可以进一步看到高斯公式与格林公式的相似性，不过需要引入向量场的一个数值函数，即散度：
定义在向量场
f (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k
的数值函数
∂P ∂Q ∂R div f (x , y , z ) =++∂x ∂y ∂z ，
称为向量场在点（x ，y ，z ）的散度。
那么高斯公式就可以写成向量形式：
，
又由于散度还可以应用向量微分算子来表示，因此又可以写成： ∂ΩΩ f ⋅d S =⎰⎰⎰div f d Ω
，
如果把向量场直观理解为某种流量场的话，就可以把向量场中一点的散度，理解为向量场在该点的某种相对体积膨胀率，我们可以把该点用任意一个闭曲面包围起来，对这个曲面运用高斯公式，得到 ∂ΩΩ 0 n ⋅f ⋅d S =⎰⎰⎰∇⋅f d Ω
，
如果向量场为C 1函数，就可以对上面等式右边的三重积分应用积分中值定理，再使得闭曲面向该点收缩，体积趋向于0，得到 ∂ΩΩ f ⋅d S =⎰⎰⎰div f d Ω
div f (x , y , z ) =lim ∂Ω
Ω→0 f ⋅d S Ω。
因此在物理场中，散度大于0的点称为源，而小于0的点称为汇，高斯公式更是具有非常明显的物理意义。
斯托克斯公式，空间曲线积分以及旋度。
从平面曲线积分可以很自然地推广到空间向量场对空间曲线的积分，并且同样存在相似的两种积分方式，即对弧长积分与对坐标积分，这里我们主要考虑对坐标积分，可以写成
。
空间曲线积分在所谓有势场里具有很好的性质，所谓有势场是指存在一个定义在相应空间区域的势能函数，使得所考虑的向量场为这个势能场的梯度。
而一个向量场同时是有势场的充要条件为
向量场 C C ⎰f ⋅d s =⎰Pdx +Qdy +Rdz
f (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k
为有势场的充要条件是
∂P ∂Q ∂P ∂R ∂R ∂Q ===∂y ∂x ；∂z ∂x ；∂y ∂z 。
然后对于一个有势场，其中定义的曲线积分具有如下性质：
设定义在单连通区域Ω的向量场f (x , y , z ) 同时为势能函数g (x , y , z ) 的梯度，即为有势场，
（1） 那么对于空间区域内的任意曲线C ，向量场在C 上面的线积分与路径无关；
（2） 并且这个积分值等于势能函数在曲线两个端点的函数值的差。
上面关于有势场的充要条件还可以使用另一种表述，即引入一种新的描述向量场的运算，旋度。
所谓旋度是一个向量，为向量微分算子（哈密顿算子）与向量场的外积。写成
curl f =rot f =∇⨯f 。
这样，有势场的充要条件也就可以表述为旋度为0的向量场。
利用旋度的概念，还可以把平面曲线上的格林公式推广到空间曲线上，得到所谓斯托克斯公式：
定义在空间区域Ω上的向量场
f (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k
为C 向量场，S 为空间区域Ω内以分段光滑曲线C 作为边界的分片光滑曲面，则有 1
其中C 的环绕方向与S 的正法向遵循右手法则。
类似地，对于向量场中的任意一点M ，取一个以空间曲线C 为边界的有界曲面S 包含该点M ，对它运用斯托克斯公式，并且使得S 收缩趋向于M 点，就得到 C S f ⋅d s =⎰⎰∇⨯f ⋅d s
f (x , y , z ) =curl n lim C f ⋅d s
S S →M 。
反过来，对于向量场内的面积微元S ，可以得到 curl f (x , y , z ) S =f ⋅d s n
C ，
称为向量场围绕闭曲线C 的环量，这个表达式还可以理解为向量场沿着空间中任意闭曲线C 的环量，等于向量场的旋度通过任意以C 为边界的空间曲面S 的通量。这种理解使得斯托克斯公式在物理学获得了广泛的应用。
格林公式. 奥高公式. 格林斯托克斯计算关系与应用 格林公式。
Pdx +Qdy =⎰⎰(
D ∂D ∂Q ∂P -) dxdy ∂x ∂y 。
这个公式具有非常重要的应用，即通过进行这两种不同积分形式的相互转化，而简化积分计算。
所谓线积分的路径无关性就是指如果一种曲线积分，在确定曲线的起点与终点后，积分值就是唯一的了，而与具体的起点与终点之间的曲线形状，或者说积分路径无关，我们就说这种曲线积分具有线积分的路径无关性。
一种曲线积分具有线积分的路径无关性的充要条件是：
设P （x ，y ）和Q （x ，y ）是在平面区域D 上的具有各个一阶连续偏导数的函数，那么曲线积分L
C ⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ， 在D 内具有线积分的路径无关性的充要条件为 Pdx +Qdy =0
其中C 为D 内的任意一条闭曲线。
在实际问题当中，为了方便判断上面的充要条件，需要单连通区域的概念：所谓连通区域就是指一个区域内任意两点的连线都全部是属于这个区域。而单连通区域则是对于任意区域内的闭合曲线都可以连续地收缩为一点。可以想象，这种区域不允许在区域内部存在空洞。而存在空洞的这类不是单连通的连通区域称为复连通区域。
这样我们可以针对单连通区域得到更为方便的，判断一种曲线积分具有线积分的路径无关性的充要条件如下：
设P （x ，y ）和Q （x ，y ）是在单连通区域D 上的具有各个一阶连续偏导数的函数，那么曲线积分L ⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 在D 内具有线积分的路径无关性的充要条件为 ∂P ∂Q =∂y ∂x 。
这样判断一种曲线积分是否具有线积分的路径无关性，就更为方便了，而对于具有线积分的路径无关性的曲线积分，不妨写成
⎰A Pdx +Qdy ，
其中A 和B 为曲线的起点和终点。
判断一种曲线积分具有线积分的路径无关性，能够极大地简化这种曲线积分的计算，因为我们有可能通过选择合适的路径，使得积分计算变得非常简单。
我们知道对于单变量函数的微分运算，存在逆运算，就是函数的不定积分，那么对于多元函数的全微分，要引入它的逆运算，就需要应用具有路径无关性的曲线积分的概念。 首先是存在性问题，即给出一个微分形式Pdx+Qdy，如何判断是否存在一个二元函数f ，使得df 就是所给定的微分形式，或者说判断所给定的微分形式是否为全微分或者说恰当微分的问题。
B
高斯公式以及散度。
在闭曲面上的曲面积分与闭曲面所包含的空间体积上的三重积分之间存在一个关系，即所谓的散度定理，或者说高斯公式：
设在空间区域Ω上存在C 1函数P (x , y , z ) ，Q (x , y , z ) ，R (x , y , z ) ，而这个空间区域的边界为光滑可定向曲面组成，那么有
∂ΩP (x , y , z ) dydz +Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy
⎰⎰⎰(
= ∂P ∂Q ∂R ++) dv ∂x ∂y ∂z ，
其中曲面积分是沿着曲面外侧进行的。
把高斯公式写成向量的形式，可以进一步看到高斯公式与格林公式的相似性，不过需要引入向量场的一个数值函数，即散度：
定义在向量场
f (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k
的数值函数
∂P ∂Q ∂R div f (x , y , z ) =++∂x ∂y ∂z ，
称为向量场在点（x ，y ，z ）的散度。
那么高斯公式就可以写成向量形式：
，
又由于散度还可以应用向量微分算子来表示，因此又可以写成： ∂ΩΩ f ⋅d S =⎰⎰⎰div f d Ω
，
如果把向量场直观理解为某种流量场的话，就可以把向量场中一点的散度，理解为向量场在该点的某种相对体积膨胀率，我们可以把该点用任意一个闭曲面包围起来，对这个曲面运用高斯公式，得到 ∂ΩΩ 0 n ⋅f ⋅d S =⎰⎰⎰∇⋅f d Ω
，
如果向量场为C 1函数，就可以对上面等式右边的三重积分应用积分中值定理，再使得闭曲面向该点收缩，体积趋向于0，得到 ∂ΩΩ f ⋅d S =⎰⎰⎰div f d Ω
div f (x , y , z ) =lim ∂Ω
Ω→0 f ⋅d S Ω。
因此在物理场中，散度大于0的点称为源，而小于0的点称为汇，高斯公式更是具有非常明显的物理意义。
斯托克斯公式，空间曲线积分以及旋度。
从平面曲线积分可以很自然地推广到空间向量场对空间曲线的积分，并且同样存在相似的两种积分方式，即对弧长积分与对坐标积分，这里我们主要考虑对坐标积分，可以写成
。
空间曲线积分在所谓有势场里具有很好的性质，所谓有势场是指存在一个定义在相应空间区域的势能函数，使得所考虑的向量场为这个势能场的梯度。
而一个向量场同时是有势场的充要条件为
向量场 C C ⎰f ⋅d s =⎰Pdx +Qdy +Rdz
f (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k
为有势场的充要条件是
∂P ∂Q ∂P ∂R ∂R ∂Q ===∂y ∂x ；∂z ∂x ；∂y ∂z 。
然后对于一个有势场，其中定义的曲线积分具有如下性质：
设定义在单连通区域Ω的向量场f (x , y , z ) 同时为势能函数g (x , y , z ) 的梯度，即为有势场，
（1） 那么对于空间区域内的任意曲线C ，向量场在C 上面的线积分与路径无关；
（2） 并且这个积分值等于势能函数在曲线两个端点的函数值的差。
上面关于有势场的充要条件还可以使用另一种表述，即引入一种新的描述向量场的运算，旋度。
所谓旋度是一个向量，为向量微分算子（哈密顿算子）与向量场的外积。写成
curl f =rot f =∇⨯f 。
这样，有势场的充要条件也就可以表述为旋度为0的向量场。
利用旋度的概念，还可以把平面曲线上的格林公式推广到空间曲线上，得到所谓斯托克斯公式：
定义在空间区域Ω上的向量场
f (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k
为C 向量场，S 为空间区域Ω内以分段光滑曲线C 作为边界的分片光滑曲面，则有 1
其中C 的环绕方向与S 的正法向遵循右手法则。
类似地，对于向量场中的任意一点M ，取一个以空间曲线C 为边界的有界曲面S 包含该点M ，对它运用斯托克斯公式，并且使得S 收缩趋向于M 点，就得到 C S f ⋅d s =⎰⎰∇⨯f ⋅d s
f (x , y , z ) =curl n lim C f ⋅d s
S S →M 。
反过来，对于向量场内的面积微元S ，可以得到 curl f (x , y , z ) S =f ⋅d s n
C ，
称为向量场围绕闭曲线C 的环量，这个表达式还可以理解为向量场沿着空间中任意闭曲线C 的环量，等于向量场的旋度通过任意以C 为边界的空间曲面S 的通量。这种理解使得斯托克斯公式在物理学获得了广泛的应用。