§3命题形式和真值表
上节介绍了将命题表示为符号串。 是否每个符号串都是命题呢？
p q →
什么样的符号串才能表示命题呢？如下命题形式定义的符号串表示的才是命题。
命题形式的定义
定义6命题形式是由命题变元和联结词按以下规
则组成的符号串:
(1) 任何命题变元都是命题形式---此时称为原子
命题形式;
(2) 如果α是命题形式, 则(¬α) 也是命题形式;
(3) 如果α、β是命题形式, 则(α∨β) 、(α∧β) 、(α→β) 和(αβ) 都是命题形式;
(4) 只有有限次地应用(1)—(3)构成的符号串才是
命题形式.
下列符号串都是命题形式：(¬p)
(p∧(¬q))
(p ∨(¬p))
(p (¬p))
(p ∧(¬p))
((p ∧p) →(¬(p ∨r)))
下列符号串是否为命题形式？
（1）pq →
（2）(p¬q)
（3）(p∧(¬q))
（4）p ∧(¬q)
（5）((¬q))
（6）¬p
一些注记
1. 定义6是归纳定义，而不是循环定义。
(1)是奠基，(2)、(3)是归纳步骤。
2. 如果在(2)和(3)中将括号去掉，结果如何？
p →q →r 与→r 、P →3. 如仅去掉(2)和(3)中某类公式的括号呢？例如，
仅去掉(2)中括号。
(p∧¬q) ——¬的优先级高于其它的。
4. 如果规定省略命题形式最外层括号，与2的差别。
约定
¬的优先级高于其它的
省略命题形式最外层括号
命题形式的简单性质
任一个命题形式必为下列形式之一：命题变元、(¬α) 、(α∨β) 、(α∧β) 、(α→β) 或(αβ) 命题形式的BNF (BacusNormal Form):α::= p | (¬α) | (α∨β) | (α∧β) | (α→β) | (αβ) 每个命题形式都是有限符号串。
指派
命题形式的真假由它中命题变元的值完全确定。定义7设α为一个命题形式, α中出现的所有命题变元都在p 1，p 2，…，p n 中, 对序列p 1，p 2，…，p n 指定的的任一真假值序列t 1，t 2，…，t n 称为α的关于p 1，p 2，…，p n 的一个指派(asignment)，其中t i = 0或1, i ∈N , 1 ≤i ≤n.
即指派是从{p1，p 2，…，p n }到{0，1}的一个函数。
成真指派
若p 1，p 2，…，p n 的一个指派使α为真，则称此指派为α的一个成真指派若p 1，p 2，…，p n 的一个指派使α为假，则称此指派为α的一个成假指派。由定义可知：
¾
¾
¾
¾¬p 关于p 的成真指派为0, 成假指派为1. p ∧q 关于p 、q 的成真派为, 成假指派为, , .p ∨q 关于p 、q 的成真指派为, , , 成假指派为.不难给出p →q 、p q 的成真和成假指派. (§2.1).
例5
求(p∧q) →(¬(q∨r)) 的成真和成假指派。解：令(p∧q) →(¬(q∨r)) 为α。
要使α为假，必须p ∧q 为真且¬(q∨r) 为假。从而p ∧q 必须为真，且q ∨r 也必须为真。故α的成假指派为(1，1，1) 和(1，1，0).
α的成真指派为(0，0，0) 、(1，0，0) 、(0，1，0) 、(0，0，1) 、(0，1，1) 、(1，0，1) 。
定义8命题形式在所有可能的指派下所取值列成的表称为真值表.
命题形式的类型
定义9
命题形式α称为重言式(或永真式) ，如果α关于其中出现的命题变元的所有指派均为成真指派. 命题形式α称为矛盾式(永假式) ，如果α对于其中出现的命题变元的所有指派均为成假指派. 一个命题形式α称为可满足式, 如果α对于其中出现的命题变元的某个指派为成真指派.
例如：p ∧(¬p) 为矛盾式，p ∨(¬p) 为重言式。
(¬p) ∨q 为可满足式。
与哑元的无关性
定理1设命题形式α中出现的命题变元都在p 1, p2, …, p n 中, pn+1, …, pn+m是另外m 个不在α中出现的命题变元. 对于p 1, p2, …, pn , pn+1, …, p n+m的任意两个指派:
和，其中：u i , vi = 0或1 (1 ≤i, j ≤n+m).
若u 1= v1, …, un =vn , 则α在这两个指派下的值相同.
作业
p508 (P100)2（1）、（4）
3（2）、（3）、（6）、（8）、（9）
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§3命题形式和真值表
上节介绍了将命题表示为符号串。 是否每个符号串都是命题呢？
p q →
什么样的符号串才能表示命题呢？如下命题形式定义的符号串表示的才是命题。
命题形式的定义
定义6命题形式是由命题变元和联结词按以下规
则组成的符号串:
(1) 任何命题变元都是命题形式---此时称为原子
命题形式;
(2) 如果α是命题形式, 则(¬α) 也是命题形式;
(3) 如果α、β是命题形式, 则(α∨β) 、(α∧β) 、(α→β) 和(αβ) 都是命题形式;
(4) 只有有限次地应用(1)—(3)构成的符号串才是
命题形式.
下列符号串都是命题形式：(¬p)
(p∧(¬q))
(p ∨(¬p))
(p (¬p))
(p ∧(¬p))
((p ∧p) →(¬(p ∨r)))
下列符号串是否为命题形式？
（1）pq →
（2）(p¬q)
（3）(p∧(¬q))
（4）p ∧(¬q)
（5）((¬q))
（6）¬p
一些注记
1. 定义6是归纳定义，而不是循环定义。
(1)是奠基，(2)、(3)是归纳步骤。
2. 如果在(2)和(3)中将括号去掉，结果如何？
p →q →r 与→r 、P →3. 如仅去掉(2)和(3)中某类公式的括号呢？例如，
仅去掉(2)中括号。
(p∧¬q) ——¬的优先级高于其它的。
4. 如果规定省略命题形式最外层括号，与2的差别。
约定
¬的优先级高于其它的
省略命题形式最外层括号
命题形式的简单性质
任一个命题形式必为下列形式之一：命题变元、(¬α) 、(α∨β) 、(α∧β) 、(α→β) 或(αβ) 命题形式的BNF (BacusNormal Form):α::= p | (¬α) | (α∨β) | (α∧β) | (α→β) | (αβ) 每个命题形式都是有限符号串。
指派
命题形式的真假由它中命题变元的值完全确定。定义7设α为一个命题形式, α中出现的所有命题变元都在p 1，p 2，…，p n 中, 对序列p 1，p 2，…，p n 指定的的任一真假值序列t 1，t 2，…，t n 称为α的关于p 1，p 2，…，p n 的一个指派(asignment)，其中t i = 0或1, i ∈N , 1 ≤i ≤n.
即指派是从{p1，p 2，…，p n }到{0，1}的一个函数。
成真指派
若p 1，p 2，…，p n 的一个指派使α为真，则称此指派为α的一个成真指派若p 1，p 2，…，p n 的一个指派使α为假，则称此指派为α的一个成假指派。由定义可知：
¾
¾
¾
¾¬p 关于p 的成真指派为0, 成假指派为1. p ∧q 关于p 、q 的成真派为, 成假指派为, , .p ∨q 关于p 、q 的成真指派为, , , 成假指派为.不难给出p →q 、p q 的成真和成假指派. (§2.1).
例5
求(p∧q) →(¬(q∨r)) 的成真和成假指派。解：令(p∧q) →(¬(q∨r)) 为α。
要使α为假，必须p ∧q 为真且¬(q∨r) 为假。从而p ∧q 必须为真，且q ∨r 也必须为真。故α的成假指派为(1，1，1) 和(1，1，0).
α的成真指派为(0，0，0) 、(1，0，0) 、(0，1，0) 、(0，0，1) 、(0，1，1) 、(1，0，1) 。
定义8命题形式在所有可能的指派下所取值列成的表称为真值表.
命题形式的类型
定义9
命题形式α称为重言式(或永真式) ，如果α关于其中出现的命题变元的所有指派均为成真指派. 命题形式α称为矛盾式(永假式) ，如果α对于其中出现的命题变元的所有指派均为成假指派. 一个命题形式α称为可满足式, 如果α对于其中出现的命题变元的某个指派为成真指派.
例如：p ∧(¬p) 为矛盾式，p ∨(¬p) 为重言式。
(¬p) ∨q 为可满足式。
与哑元的无关性
定理1设命题形式α中出现的命题变元都在p 1, p2, …, p n 中, pn+1, …, pn+m是另外m 个不在α中出现的命题变元. 对于p 1, p2, …, pn , pn+1, …, p n+m的任意两个指派:
和，其中：u i , vi = 0或1 (1 ≤i, j ≤n+m).
若u 1= v1, …, un =vn , 则α在这两个指派下的值相同.
作业
p508 (P100)2（1）、（4）
3（2）、（3）、（6）、（8）、（9）
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