《机械基础》
教 案
（2009～ 2010学年第二学期）
学 院 山西省工贸学校 系 （部） 机电系 教 研 室 教 师 梁少宁
山西省工贸学校
③ 学生学案
课题名称：平面力系的平衡方程及其应用
班级： 姓名：
(一) 、工作任务：
物体在平面力系作用下，不但有在平面内发生移动的可能性，而且有在平面内发生转动变化的可能性。要使物体在平面任意力系作用下仍保持平衡状态，应满足什么条件？
(二) 、学习目标：
1、理解平面任意力系的概念；掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
2、能应用平面任意力系平衡方程解决工程上的平衡问题； (三) 、回答问题
1、要使物体在平面任意力系作用下仍保持平衡状态，应满足什么条件？
2、物体在平面力系作用下，在平面内都会发生那些移动方式？
(四) 、分析该资料，完成项目任务：
一：平面力系的概念
平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。 空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。 汇交力系——作用线交于一点的力系。 平行力系——作用线相互平行的力系。
一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。 平面汇交力系的工程实例：
二、 力的分解
按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。 1 、力在坐标轴上的投影
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a 到b (或由a 1到b 1) 的趋向与x 轴（或y 轴）的正向一致时，则力F 的投影F x （或F y ）取正值；反之，取负值。 若已知力F 在直角坐标轴上的投影F x 、F y ，则该力的大小和方向为
力F 可分解为F x 、F y ，可见利用力在直角坐标轴上的投影，可以同时表明力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。 2、合力投影定理
若刚体在平面上的一点作用着n 个力F 1，F 2，…，F n ，按两个力合成的平行四边形法则（三角形）依次类推，从而得出力系的合力等于各分力的矢量和。即
一般地，则其合力的投影
合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力投影定理是用解析法求解平面汇交力系合成与平衡问题的理论依据。 3 、平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F 等于零。即
即
—————————— 平面汇交力系的平衡方程
力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例 2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F 1=2000N，水平向左；F 2=5000N，
与水平成30角；F 3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
解：以三力交点为原点。
F 1x =-F1=-2000N, F2x =-F2cos30=-5000×0.866N=-4330N, F3x =0
F 1y =0, F2y =-F2sin30=-5000×0.5N=-2500N, F3x =-F3=-3000N F x =∑Fx =-2000-4330+0=-6330N F y =∑Fy
=0-2500-3000=-5500N
由于F x 、F y 都是负值，所以合力应在第三象限，图b 。
例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A ，绕在绞车D 的鼓轮上，定滑轮用直杆AB 和AC 支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB 、AC 所受的力。
解 因为杆AB 、AC 都与滑轮接触，所以杆AB 、AC 上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
求出：
F NAC 为负值，表明F NAC 的实际指向与假设方向相反，即AC 杆为受压杆件。 解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
1. 选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
2. 画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。 3. 建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
(五) 、评分表
课堂汇报评分表（教师用表）
(六) 、总结反思：
1、本次讨论的成功之处：
2、本次讨论不足之处：
3、在讨论过程中碰到的主要问题：
4、解决问题的方法：
5、进一步改进的措施：
(七) 、课后作业：
如图：工程实际问题形式多样，为简化平面任意力系平衡问题的计算，对小车进行受力分析，画出受力图，应用所学平面任意力系平衡方程进行求解未知量。求解时要注意坐标轴的合理选择、解题方案的优化，对求解平面任意力系平衡问题有进一步的掌握。
《机械基础》
教 案
（2009～ 2010学年第二学期）
学 院 山西省工贸学校 系 （部） 机电系 教 研 室 教 师 梁少宁
山西省工贸学校
③ 学生学案
课题名称：平面力系的平衡方程及其应用
班级： 姓名：
(一) 、工作任务：
物体在平面力系作用下，不但有在平面内发生移动的可能性，而且有在平面内发生转动变化的可能性。要使物体在平面任意力系作用下仍保持平衡状态，应满足什么条件？
(二) 、学习目标：
1、理解平面任意力系的概念；掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
2、能应用平面任意力系平衡方程解决工程上的平衡问题； (三) 、回答问题
1、要使物体在平面任意力系作用下仍保持平衡状态，应满足什么条件？
2、物体在平面力系作用下，在平面内都会发生那些移动方式？
(四) 、分析该资料，完成项目任务：
一：平面力系的概念
平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。 空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。 汇交力系——作用线交于一点的力系。 平行力系——作用线相互平行的力系。
一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。 平面汇交力系的工程实例：
二、 力的分解
按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。 1 、力在坐标轴上的投影
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a 到b (或由a 1到b 1) 的趋向与x 轴（或y 轴）的正向一致时，则力F 的投影F x （或F y ）取正值；反之，取负值。 若已知力F 在直角坐标轴上的投影F x 、F y ，则该力的大小和方向为
力F 可分解为F x 、F y ，可见利用力在直角坐标轴上的投影，可以同时表明力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。 2、合力投影定理
若刚体在平面上的一点作用着n 个力F 1，F 2，…，F n ，按两个力合成的平行四边形法则（三角形）依次类推，从而得出力系的合力等于各分力的矢量和。即
一般地，则其合力的投影
合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力投影定理是用解析法求解平面汇交力系合成与平衡问题的理论依据。 3 、平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F 等于零。即
即
—————————— 平面汇交力系的平衡方程
力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例 2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F 1=2000N，水平向左；F 2=5000N，
与水平成30角；F 3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
解：以三力交点为原点。
F 1x =-F1=-2000N, F2x =-F2cos30=-5000×0.866N=-4330N, F3x =0
F 1y =0, F2y =-F2sin30=-5000×0.5N=-2500N, F3x =-F3=-3000N F x =∑Fx =-2000-4330+0=-6330N F y =∑Fy
=0-2500-3000=-5500N
由于F x 、F y 都是负值，所以合力应在第三象限，图b 。
例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A ，绕在绞车D 的鼓轮上，定滑轮用直杆AB 和AC 支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB 、AC 所受的力。
解 因为杆AB 、AC 都与滑轮接触，所以杆AB 、AC 上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
求出：
F NAC 为负值，表明F NAC 的实际指向与假设方向相反，即AC 杆为受压杆件。 解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
1. 选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
2. 画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。 3. 建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
(五) 、评分表
课堂汇报评分表（教师用表）
(六) 、总结反思：
1、本次讨论的成功之处：
2、本次讨论不足之处：
3、在讨论过程中碰到的主要问题：
4、解决问题的方法：
5、进一步改进的措施：
(七) 、课后作业：
如图：工程实际问题形式多样，为简化平面任意力系平衡问题的计算，对小车进行受力分析，画出受力图，应用所学平面任意力系平衡方程进行求解未知量。求解时要注意坐标轴的合理选择、解题方案的优化，对求解平面任意力系平衡问题有进一步的掌握。