一、等差数列
1. 等差数列的定义：a n -a n -1=d （d 为常数）（n ≥2）；
2．等差数列通项公式：
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广： a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =
（2）等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2
4．等差数列的前n 项和公式：
a +b
或2A =a +b 2
a n -a m
；
n -m
S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n =An 2+Bn 2222
（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数2n +1时，a n +1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S 2n +1=
(2n +1)(a 1+a 2n +1)=
2
(2n +1)a n +1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
*
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列． ⑶数列{a n }是等差数列⇔a n =kn +b （其中k , b 是常数）。
（2） 等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2． （4）数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn , （其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．
*
7. 提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ，其中a 1、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项a n =a 1+(n -1) d
②奇数个数成等差，可设为„，a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „（公差为d ）；
③偶数个数成等差，可设为„，a -3d , a -d , a +d , a +3d , „（注意；公差为2d ）
8.. 等差数列的性质： （1）当公差d ≠0时，
等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；
前n 和S n =na 1+
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 是关于n 的二次函数且常数项为0. 222
（2）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
（3）当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有a m +a n =2a p .
注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅，
（4）若{a n }、{b n }为等差数列，则{λa n +b }，{λ1a n +λ2b n }都为等差数列
(5) 若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列
（6）数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列
（7）设数列{a n }是等差数列，d 为公差，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和
1. 当项数为偶数2n 时，
*
n (a 1+a 2n -1)
S 奇=a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a 2n -1==na n
2n (a 2+a 2n )
S 偶=a 2+a 4+a 6+⋅⋅⋅+a 2n ==na n +1
2
S 偶-S 奇=na n +1-na n =n (a n +1-a n )
S 奇na n a ==n S 偶na n +1a n +1
2、当项数为奇数2n +1时，则
⎧S 奇n +1⎪S 2n +1=S 奇+S 偶=(2n +1) a n+1⎧⎪S 奇=(n +1) a n+1
⇒⇒= ⎨⎨
S -S =a S =na S n n+1n+1⎪奇偶偶⎪偶⎩⎩
（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ，且
则
（9）等差数列{a n }的前n 项和S m =n ，前m 项和S n =m ，则前m+n项和S m +n =-(m +n )
(10)求S n 的最值
法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
A n
=f (n ) ， B n
a n (2n -1) a n A 2n -1
===f (2n -1) . n n 2n -1
n ∈N *。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当a 1>0，d
⎧a n ≥0
可得S n 达到最大值时的n 值．
⎩a n +1≤0
⎧a n ≤0
可得S n 达到最小值时的n 值．
⎩a n +1≥0
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a 10， 由⎨或求{a n }中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n =
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于a 1和d 的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
p +q
2
二、等比数列
1. 等比数列的定义：2. 通项公式：
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)， 首项：a 1；公比：q q
n -m
推广：a n =a m q n -m ， 从而得q 3. 等比中项
=
a n
或q =n a m
2
（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1
4. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =na 1 (2) 当q ≠1时，S n =
a 1(1-q n )1-q
=
a 1-a n q
1-q
=
5. 等比数列的判定方法
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q
（1）用定义：对任意的n, 都有a n +1=qa n 或
a n +1
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列 a n
（2） 等比中项：a n 2=a n +1a n -1（a n +1a n -1≠0）⇔{a n }为等比数列 （3） 通项公式：a n =A ⋅B
n
(A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列
n
n
（4） 前n 项和公式：S n =A -A ⋅B 或S n =A ' B -A ' A , B , A ', B ' 为常数⇔{a n }为等比数列
6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
()
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q n -1
如奇数个数成等差，可设为„，
a a
, , a , aq , aq 2„（公比为q ，中间项用a 表示）； 2
q q
8. 等比数列的性质 (1) 当q ≠1时
①等比数列通项公式a n =a 1q
n -1
=
a 1n
q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q q
②前n 项和S n =
a 1(1-q n )1-q
a 1-a 1q n a 1a =-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ，系数和常数项是互为相反
1-q 1-q 1-q
数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N *, 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q n -m , 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t∈N *), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得a n ⋅a m =a k 2 注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
a k
(4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列{}, {k ⋅a n }, {a n k }, {k ⋅a n ⋅b n }n (k为非零常数) 均为等比数
b n a n
列.
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列 (6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{loga a n }是等差数列 (7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
(8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n , a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列 (9) ①当q >1时， ②当0
a 1>0，则{a n }为递减数列1>0，则{a n }为递增数列
{a {a 1
③当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q
(10)在等比数列{a n }中, 当项数为2n (n∈N *) 时,
S 奇1=,. S 偶q
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n ⋅S m
例1、（1）设{a n }是等差数列，且a 1-a 4-a 8-a 12+a 15=2，求a 3+a 13及S 15值。 （2）等比数列{a n }中，a 1+a n =66，a 2a n -1=128，前n 项和S n =126，求n 和公比q 。 （3）等比数列中，q=2，S 99=77，求a 3+a6+…+a99；
（4）项数为奇数的等差数列{a n }中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。
解：（1）由已知可得a 8=-2，所以a 3+a 13=2a 8=-4，S 15=
15a 1+a 15=15a 8=-30
2
⎧a 1=2⎧a 1=64，所以或⎨ a a =128, a +a =662由题 ()⎨1n 1n
a =64a =2⎩n ⎩n
1a 1-a n q ⎧q =2⎧⎪q =
又S n =或⎨=126, 所以⎨2
n =61-q ⎩⎪⎩n =6
(3) S 99=(a 1+a 4+ +a 97)+(a 2+a 6+ +a 98)+(a 3+a 6+ +a 99)
⎛11⎫
= 2++1⎪(a 3+a 6+ +a 99)
q ⎭⎝q
∴a 3+a 6+ +a 99=44
评注：分解重组，引导发现（a 1+a 4+ +a 97）、（a 2+a 6+ +a 98）与（a 3+a 6+ +a 99）的关系，从而使问题获得简单的解法。
(4)设等差数列共2n-1项, 则
S 奇S 偶
(a 1+a 2n -1)n
=
a 2+a 2n -2(n -1)
2
=
n 80
=⇒n =16 n -175
所以此数列共31项. 中间项=S 奇-S 偶=80-75=5
评注：（1）在项数为2n +1项的等差数列{a n }中，S 奇=(n +1)a 中, S 偶=na 中, S 2n +1=(2n +1)a 中； （2）在项数为2n 项的等差数列{a n }中S 奇=na n , S 偶=na n +1, S 2n +1=n (a n +a n +1) ．
变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390, 则这个数列有13 项；
（2）已知数列{a n }是等比数列, 且a n >0, n ∈N , a 3a 5+2a 4a 6+a 5a 7=81，则
*
a 4+a 6=
（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．
(4) 等差数列{an }和{bn }的前n 项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求. 例2、设等差数列的前n 项之和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13
（1）求公差d 的取值范围。
（2）指出S 1，S 2，S 3，…Sn 中哪一个值最大，并说明理由。 解：（1）S 12=12a 1+
a 1588
。（=）
61b 15
⎧2a 1+11d >012⨯1112⨯13
d >0，S 13=13a 1+d
a +6d
24
（2）解一：由S 12=6(a 6+a 7)>0，S 13=13a 70, a 7
由a 3=a 1+2d =12, 代入得：-解二：S n =
24d 2⎛5d ⎫
2
点，根据图象可知S 6最大。
24d ⎛5d -24⎫d 5d -242
-
72⎝2d ⎭22d
5d -24136
2d 2
评注：求等差数列S n 最值有三法：借助求和公式是关于n 的二次函数的特点, 用配方法求解; 借助等差数列的
性质判断, 通过”转折项”求解; 借助二次函数图象求解。（经过原点）
变式：(1) 已知等差数列{an }中，a 1>0, S 5=S 12，问S 1，S 2，S 3，…Sn 中哪一个值最大。
(2) 数列{a n }是首项为1000，公比为
1
的等比数列，数列{bn }满足 10
1
b k =(lga 1+lg a 2+ +lg a k ) (k ∈N *) ，
k
（1）求数列{bn }的前n 项和的最大值；（2）求数列{|bn |}的前n 项和S n '．
略解：（1）由题得a n =104-n ，∴lg a n =4-n ，∴{lga n }是首项为3，公差为-1的AP 。
∴lg a 1+lg a 2+ +lg a k =3k -
k (k -1) 1n (n -1) 7-n
]=，∴b n =[3n -
2n 22
⎧b n ≥021由⎨，得6≤n ≤7，∴数列{bn }的前n 项和的最大值为S 6=S 7=
b ≤02⎩n +1
（2）由（1）当n ≤7时，b n ≥0，当n >7时，b n
7-n
) n =-1n 2+13n ∴当n ≤7时，S n '=b 1+b 2+ +b n =(
244
1213
当n >7时，S n '=b 1+ +b 7-b 8- -b n =2S 7-S n =n -n +21
44
⎧1213-n +n (n ≤7) ⎪⎪44
∴S n '=⎨．
⎪1n 2-13n +21(n >7) ⎪⎩44
例3、(1) 由正数组成的等比数列{a n }，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4
3+
项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{a n }的通项公式．
⎧a 1(1-q 2n ) 11a 1q (1-q 2n ) ①
=⎪
1-q 2解：当q =1时，得2na 1=11na 1不成立，∴q ≠1，∴⎨1-q
⎪a q 2+a q 3=11a q ⋅a q 3② ⎩1111
11n -2
由①得q =，代入②得a 1=10，∴a n =() ．
1010
说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． (2) 若数列{a n }成等差数列，且S m =n , S n =m (m ≠n ) ，求S n +m ．
解：（法一）基本量法（略）；
2
⎧(1)⎪An +Bn =m
（法二）设S n =An +Bn ，则⎨ 2
(2)⎪⎩Am +Bm =n
(1)-(2)得：(n 2-m 2) A +(n -m ) B =m -n ， m ≠n ， ∴(m +n ) A +B =-1，
2
∴S n +m =(n +m ) 2A +(n +m ) B =-(n +m ) ．
评注：法二抓住了等差数列前n 项和的特征S n =An 2+Bn 。
变式：设数列{an }为等差数列，S n 为数列{an }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,Tn 为数列{7⨯6⎧
S =7a +d =71⎪⎪72
解：法一：（基本量法）设{an }首项为a 1，公差为d ，则⎨
15⨯14⎪S =15a +d =75151⎪2⎩
S n
}的前n 项和，求T n 。 n
⎧a =-2S n (n -1) n -1n 5∴ ⎨1 ∴ S n =-2+，∴ n =-2+=-
d =12n 222⎩
∴ 此式为n 的一次函数， ∴ {
S n 1a
}为等差数列，∴ T n =n 2-n 。
44n
2
2⎧⎪S 7=A ⨯7+7B =7
法二：{an }为等差数列，设S n =An+Bn，∴ ⎨ 2
⎪⎩S 15=A ⨯15+15B =75
1⎧
A =⎪15⎪2 ∴ 解之得：⎨S n =n 2-n ，下略。
22⎪B =-5
⎪2⎩
例4、已知等差数列110,116,122, ，
（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；
（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和. 解：a n =110+6(n -1) =6n +104，
（1）由450≤6n +104≤600，得58≤n ≤82，又n ∈N ,
*
1
(a 58+a 82) ⨯25=13100． 2
（2）∵a n =110+6(n -1) ，∴要使a n 能被5整除，只要n -1能被5整除，即n -1=5k ，
∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和S n =
n =5k +1，∴58≤5k +1≤82，∴12≤k ≤16，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即∴
第61,66,71,76,81项，其和S =
5(a 61+a 81)
=2650．
2
等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题
1. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ） A.34 B.35 C.36 D.37 2.{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45,a 2+a 5+a 8=39,则a 3+a 6+a 9的值是（ ） A.24 B.27 C.30 D.33 3. 设函数f (x ) 满足f (n +1)=
A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若{a n }是等差数列，首项a 1>0, a 2003+a 2004>0, a 2003. a 2004
2f (n ) +n
(n ∈N *) 且f (1)=2,则f (20)为（ ） 2
S n >0成立的最大自然数n 是：
（ ）
A ．4005 B ．4006 C ．4007 D．4008 5. 等差数列{a n }中，已知a 1=－6, a n =0,公差d ∈N *, 则n (n ≥3)的最大值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 6. 设命题甲:△ABC 的一个内角为60o ，命题乙:△ABC 的三个内角的度数成等差数列. 那么( )
(A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12, a 4+a 6=－4, 则S 20为（ ） A.180 B. －180 C.90 D. －90
8. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ） A.9 B.10 C.19 D.29
9. 由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4, a2+a 5, a3+a 6…是（ ） A. 公差为d 的等差数列 B. 公差为2d 的等差数列
C. 公差为3d 的等差数列 D. 非等差数列
10. 在等差数列{a n }中，若S 9=18,S n =240,a n －4=30,则n 的值为（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 二、填空题
2a n 2
11. 在数列{a n }中，a 1=1,a n +1=(n ∈N *), 则是这个数列的第_________项.
a n +27
12. 在等差数列{a n }中，已知S 100=10，S 10=100，则S 110=_________.
13. 在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______.
S a 2n
14. 等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 、T n , 若n =, 则11=_________.
b 11T n 3n +115. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则16. 若数列{a n }是等差数列，则数列⎨
a 1+a 3+a 9
的值是
a 2+a 4+a 10
⎧a 1+a 2+ +a n ⎫
⎬也为等差数列，类比上述性质，相应地：若{cn }
n ⎩⎭
是等比数列，且c n >0，则{d n }是等比数列, 其中d n =
17. 设m ∈N +，log 2m 的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是三、解答题（本大题共5小题，共54分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？
19. 在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17, 求数列前多少项和最大.
20. 已知f (x +1)=x 2－4, 等差数列{a n }中, a 1=f (x －1), a2=－
(1)求x 值； （2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值.
21. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2),a 1=
3
, a 3=f (x ). 2
1. 2
1
}是等差数列； （2）求a n 表达式； S n
（3）若b n =2(1－n ) a n (n ≥2),求证：b 22+b 32+…+b n 2
(1)求证：{
13、14等差、等比数列性质及应用复习题参考答案
一、选择题：
1、 C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、C 7、A 8、B 9、B 10、B 二、填空提：
11、6 12、－110 13、5 14、
1321
15、 16
17、8204
1632
三、解答题：
18． 设这两个数列分别为{a n }、{b n },则a n =3n +2,b n =4n －1, 令a k =b m , 则3k +2=4m －1.
∴3k =3(m －1)+m , ∴m 被3整除. 设m =3p (p ∈N *), 则k =4p －1. ∵k 、m ∈［1,100］. 则1≤3p ≤100且1≤p ≤25. ∴它们共有25个相同的项. 19. ∵S 9=S 17，a 1=25,∴9×25+
∴S n =25n +
9⨯(9-1) 17(17-1)
d =17×25+d ，解得d =－2, 22
20. 、（1）∵f (x －1)=(x －1－1) 2－4=(x －2) 2－4
∴f (x )=(x －1) 2－4, ∴a 1=(x －2) 2－4, a 3=(x －1) 2－4， 又a 1+a 3=2a 2, 解得x =0或x =3.
(2)∵ a 1、a 2、a 3分别为0、－∴a n =－
n (n -1)
(－2)=－(n －13) 2+169.由二次函数性质知前13项和最大. 2
33、－3或－3、－、0 22
33
(n －1) 或a n =(n －3) 2239351
① 当a n =－(n －1) 时，a 2+a 5+…+a 26=(a 2+a 26)=
22239297
② 当a n =(n －3) 时，a 2+a 5+…+a 26=(a 2+a 26)=.
222
21、 （1）∵－a n =2S n S n －1, ∴－S n +S n －1=2S n S n －1(n ≥2)，又S n ≠0, 11111∴－=2,又==2,∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列. S n S n -1S 1a 1S n （2）由（1）
111
=2+(n －1)2=2n , ∴S n =，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－
2n (n -1) S n 2n
⎧1
(n =1) ⎪1⎪2
n =1时，a 1=S 1=, ∴a n =⎨
12⎪- (n ≥2) ⎪2n (n -1) ⎩
(3) 由（2）知b n =2(1－n ) a n =∴b 22+b 32+…+b n 2=
1 n
111111++…+
(n -1) n 3n 2⨯31⨯22
111111=(1－)+(－)+…+(－)=1－
223n -1n n
一、等差数列
1. 等差数列的定义：a n -a n -1=d （d 为常数）（n ≥2）；
2．等差数列通项公式：
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广： a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =
（2）等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2
4．等差数列的前n 项和公式：
a +b
或2A =a +b 2
a n -a m
；
n -m
S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n =An 2+Bn 2222
（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数2n +1时，a n +1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S 2n +1=
(2n +1)(a 1+a 2n +1)=
2
(2n +1)a n +1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
*
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列． ⑶数列{a n }是等差数列⇔a n =kn +b （其中k , b 是常数）。
（2） 等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2． （4）数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn , （其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．
*
7. 提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ，其中a 1、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项a n =a 1+(n -1) d
②奇数个数成等差，可设为„，a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „（公差为d ）；
③偶数个数成等差，可设为„，a -3d , a -d , a +d , a +3d , „（注意；公差为2d ）
8.. 等差数列的性质： （1）当公差d ≠0时，
等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；
前n 和S n =na 1+
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 是关于n 的二次函数且常数项为0. 222
（2）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
（3）当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有a m +a n =2a p .
注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅，
（4）若{a n }、{b n }为等差数列，则{λa n +b }，{λ1a n +λ2b n }都为等差数列
(5) 若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列
（6）数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列
（7）设数列{a n }是等差数列，d 为公差，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和
1. 当项数为偶数2n 时，
*
n (a 1+a 2n -1)
S 奇=a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a 2n -1==na n
2n (a 2+a 2n )
S 偶=a 2+a 4+a 6+⋅⋅⋅+a 2n ==na n +1
2
S 偶-S 奇=na n +1-na n =n (a n +1-a n )
S 奇na n a ==n S 偶na n +1a n +1
2、当项数为奇数2n +1时，则
⎧S 奇n +1⎪S 2n +1=S 奇+S 偶=(2n +1) a n+1⎧⎪S 奇=(n +1) a n+1
⇒⇒= ⎨⎨
S -S =a S =na S n n+1n+1⎪奇偶偶⎪偶⎩⎩
（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ，且
则
（9）等差数列{a n }的前n 项和S m =n ，前m 项和S n =m ，则前m+n项和S m +n =-(m +n )
(10)求S n 的最值
法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
A n
=f (n ) ， B n
a n (2n -1) a n A 2n -1
===f (2n -1) . n n 2n -1
n ∈N *。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当a 1>0，d
⎧a n ≥0
可得S n 达到最大值时的n 值．
⎩a n +1≤0
⎧a n ≤0
可得S n 达到最小值时的n 值．
⎩a n +1≥0
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a 10， 由⎨或求{a n }中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n =
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于a 1和d 的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
p +q
2
二、等比数列
1. 等比数列的定义：2. 通项公式：
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)， 首项：a 1；公比：q q
n -m
推广：a n =a m q n -m ， 从而得q 3. 等比中项
=
a n
或q =n a m
2
（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1
4. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =na 1 (2) 当q ≠1时，S n =
a 1(1-q n )1-q
=
a 1-a n q
1-q
=
5. 等比数列的判定方法
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q
（1）用定义：对任意的n, 都有a n +1=qa n 或
a n +1
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列 a n
（2） 等比中项：a n 2=a n +1a n -1（a n +1a n -1≠0）⇔{a n }为等比数列 （3） 通项公式：a n =A ⋅B
n
(A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列
n
n
（4） 前n 项和公式：S n =A -A ⋅B 或S n =A ' B -A ' A , B , A ', B ' 为常数⇔{a n }为等比数列
6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
()
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q n -1
如奇数个数成等差，可设为„，
a a
, , a , aq , aq 2„（公比为q ，中间项用a 表示）； 2
q q
8. 等比数列的性质 (1) 当q ≠1时
①等比数列通项公式a n =a 1q
n -1
=
a 1n
q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q q
②前n 项和S n =
a 1(1-q n )1-q
a 1-a 1q n a 1a =-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ，系数和常数项是互为相反
1-q 1-q 1-q
数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N *, 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q n -m , 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t∈N *), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得a n ⋅a m =a k 2 注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
a k
(4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列{}, {k ⋅a n }, {a n k }, {k ⋅a n ⋅b n }n (k为非零常数) 均为等比数
b n a n
列.
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列 (6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{loga a n }是等差数列 (7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
(8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n , a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列 (9) ①当q >1时， ②当0
a 1>0，则{a n }为递减数列1>0，则{a n }为递增数列
{a {a 1
③当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q
(10)在等比数列{a n }中, 当项数为2n (n∈N *) 时,
S 奇1=,. S 偶q
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n ⋅S m
例1、（1）设{a n }是等差数列，且a 1-a 4-a 8-a 12+a 15=2，求a 3+a 13及S 15值。 （2）等比数列{a n }中，a 1+a n =66，a 2a n -1=128，前n 项和S n =126，求n 和公比q 。 （3）等比数列中，q=2，S 99=77，求a 3+a6+…+a99；
（4）项数为奇数的等差数列{a n }中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。
解：（1）由已知可得a 8=-2，所以a 3+a 13=2a 8=-4，S 15=
15a 1+a 15=15a 8=-30
2
⎧a 1=2⎧a 1=64，所以或⎨ a a =128, a +a =662由题 ()⎨1n 1n
a =64a =2⎩n ⎩n
1a 1-a n q ⎧q =2⎧⎪q =
又S n =或⎨=126, 所以⎨2
n =61-q ⎩⎪⎩n =6
(3) S 99=(a 1+a 4+ +a 97)+(a 2+a 6+ +a 98)+(a 3+a 6+ +a 99)
⎛11⎫
= 2++1⎪(a 3+a 6+ +a 99)
q ⎭⎝q
∴a 3+a 6+ +a 99=44
评注：分解重组，引导发现（a 1+a 4+ +a 97）、（a 2+a 6+ +a 98）与（a 3+a 6+ +a 99）的关系，从而使问题获得简单的解法。
(4)设等差数列共2n-1项, 则
S 奇S 偶
(a 1+a 2n -1)n
=
a 2+a 2n -2(n -1)
2
=
n 80
=⇒n =16 n -175
所以此数列共31项. 中间项=S 奇-S 偶=80-75=5
评注：（1）在项数为2n +1项的等差数列{a n }中，S 奇=(n +1)a 中, S 偶=na 中, S 2n +1=(2n +1)a 中； （2）在项数为2n 项的等差数列{a n }中S 奇=na n , S 偶=na n +1, S 2n +1=n (a n +a n +1) ．
变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390, 则这个数列有13 项；
（2）已知数列{a n }是等比数列, 且a n >0, n ∈N , a 3a 5+2a 4a 6+a 5a 7=81，则
*
a 4+a 6=
（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．
(4) 等差数列{an }和{bn }的前n 项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求. 例2、设等差数列的前n 项之和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13
（1）求公差d 的取值范围。
（2）指出S 1，S 2，S 3，…Sn 中哪一个值最大，并说明理由。 解：（1）S 12=12a 1+
a 1588
。（=）
61b 15
⎧2a 1+11d >012⨯1112⨯13
d >0，S 13=13a 1+d
a +6d
24
（2）解一：由S 12=6(a 6+a 7)>0，S 13=13a 70, a 7
由a 3=a 1+2d =12, 代入得：-解二：S n =
24d 2⎛5d ⎫
2
点，根据图象可知S 6最大。
24d ⎛5d -24⎫d 5d -242
-
72⎝2d ⎭22d
5d -24136
2d 2
评注：求等差数列S n 最值有三法：借助求和公式是关于n 的二次函数的特点, 用配方法求解; 借助等差数列的
性质判断, 通过”转折项”求解; 借助二次函数图象求解。（经过原点）
变式：(1) 已知等差数列{an }中，a 1>0, S 5=S 12，问S 1，S 2，S 3，…Sn 中哪一个值最大。
(2) 数列{a n }是首项为1000，公比为
1
的等比数列，数列{bn }满足 10
1
b k =(lga 1+lg a 2+ +lg a k ) (k ∈N *) ，
k
（1）求数列{bn }的前n 项和的最大值；（2）求数列{|bn |}的前n 项和S n '．
略解：（1）由题得a n =104-n ，∴lg a n =4-n ，∴{lga n }是首项为3，公差为-1的AP 。
∴lg a 1+lg a 2+ +lg a k =3k -
k (k -1) 1n (n -1) 7-n
]=，∴b n =[3n -
2n 22
⎧b n ≥021由⎨，得6≤n ≤7，∴数列{bn }的前n 项和的最大值为S 6=S 7=
b ≤02⎩n +1
（2）由（1）当n ≤7时，b n ≥0，当n >7时，b n
7-n
) n =-1n 2+13n ∴当n ≤7时，S n '=b 1+b 2+ +b n =(
244
1213
当n >7时，S n '=b 1+ +b 7-b 8- -b n =2S 7-S n =n -n +21
44
⎧1213-n +n (n ≤7) ⎪⎪44
∴S n '=⎨．
⎪1n 2-13n +21(n >7) ⎪⎩44
例3、(1) 由正数组成的等比数列{a n }，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4
3+
项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{a n }的通项公式．
⎧a 1(1-q 2n ) 11a 1q (1-q 2n ) ①
=⎪
1-q 2解：当q =1时，得2na 1=11na 1不成立，∴q ≠1，∴⎨1-q
⎪a q 2+a q 3=11a q ⋅a q 3② ⎩1111
11n -2
由①得q =，代入②得a 1=10，∴a n =() ．
1010
说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． (2) 若数列{a n }成等差数列，且S m =n , S n =m (m ≠n ) ，求S n +m ．
解：（法一）基本量法（略）；
2
⎧(1)⎪An +Bn =m
（法二）设S n =An +Bn ，则⎨ 2
(2)⎪⎩Am +Bm =n
(1)-(2)得：(n 2-m 2) A +(n -m ) B =m -n ， m ≠n ， ∴(m +n ) A +B =-1，
2
∴S n +m =(n +m ) 2A +(n +m ) B =-(n +m ) ．
评注：法二抓住了等差数列前n 项和的特征S n =An 2+Bn 。
变式：设数列{an }为等差数列，S n 为数列{an }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,Tn 为数列{7⨯6⎧
S =7a +d =71⎪⎪72
解：法一：（基本量法）设{an }首项为a 1，公差为d ，则⎨
15⨯14⎪S =15a +d =75151⎪2⎩
S n
}的前n 项和，求T n 。 n
⎧a =-2S n (n -1) n -1n 5∴ ⎨1 ∴ S n =-2+，∴ n =-2+=-
d =12n 222⎩
∴ 此式为n 的一次函数， ∴ {
S n 1a
}为等差数列，∴ T n =n 2-n 。
44n
2
2⎧⎪S 7=A ⨯7+7B =7
法二：{an }为等差数列，设S n =An+Bn，∴ ⎨ 2
⎪⎩S 15=A ⨯15+15B =75
1⎧
A =⎪15⎪2 ∴ 解之得：⎨S n =n 2-n ，下略。
22⎪B =-5
⎪2⎩
例4、已知等差数列110,116,122, ，
（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；
（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和. 解：a n =110+6(n -1) =6n +104，
（1）由450≤6n +104≤600，得58≤n ≤82，又n ∈N ,
*
1
(a 58+a 82) ⨯25=13100． 2
（2）∵a n =110+6(n -1) ，∴要使a n 能被5整除，只要n -1能被5整除，即n -1=5k ，
∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和S n =
n =5k +1，∴58≤5k +1≤82，∴12≤k ≤16，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即∴
第61,66,71,76,81项，其和S =
5(a 61+a 81)
=2650．
2
等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题
1. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ） A.34 B.35 C.36 D.37 2.{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45,a 2+a 5+a 8=39,则a 3+a 6+a 9的值是（ ） A.24 B.27 C.30 D.33 3. 设函数f (x ) 满足f (n +1)=
A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若{a n }是等差数列，首项a 1>0, a 2003+a 2004>0, a 2003. a 2004
2f (n ) +n
(n ∈N *) 且f (1)=2,则f (20)为（ ） 2
S n >0成立的最大自然数n 是：
（ ）
A ．4005 B ．4006 C ．4007 D．4008 5. 等差数列{a n }中，已知a 1=－6, a n =0,公差d ∈N *, 则n (n ≥3)的最大值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 6. 设命题甲:△ABC 的一个内角为60o ，命题乙:△ABC 的三个内角的度数成等差数列. 那么( )
(A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12, a 4+a 6=－4, 则S 20为（ ） A.180 B. －180 C.90 D. －90
8. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ） A.9 B.10 C.19 D.29
9. 由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4, a2+a 5, a3+a 6…是（ ） A. 公差为d 的等差数列 B. 公差为2d 的等差数列
C. 公差为3d 的等差数列 D. 非等差数列
10. 在等差数列{a n }中，若S 9=18,S n =240,a n －4=30,则n 的值为（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 二、填空题
2a n 2
11. 在数列{a n }中，a 1=1,a n +1=(n ∈N *), 则是这个数列的第_________项.
a n +27
12. 在等差数列{a n }中，已知S 100=10，S 10=100，则S 110=_________.
13. 在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______.
S a 2n
14. 等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 、T n , 若n =, 则11=_________.
b 11T n 3n +115. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则16. 若数列{a n }是等差数列，则数列⎨
a 1+a 3+a 9
的值是
a 2+a 4+a 10
⎧a 1+a 2+ +a n ⎫
⎬也为等差数列，类比上述性质，相应地：若{cn }
n ⎩⎭
是等比数列，且c n >0，则{d n }是等比数列, 其中d n =
17. 设m ∈N +，log 2m 的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是三、解答题（本大题共5小题，共54分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？
19. 在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17, 求数列前多少项和最大.
20. 已知f (x +1)=x 2－4, 等差数列{a n }中, a 1=f (x －1), a2=－
(1)求x 值； （2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值.
21. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2),a 1=
3
, a 3=f (x ). 2
1. 2
1
}是等差数列； （2）求a n 表达式； S n
（3）若b n =2(1－n ) a n (n ≥2),求证：b 22+b 32+…+b n 2
(1)求证：{
13、14等差、等比数列性质及应用复习题参考答案
一、选择题：
1、 C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、C 7、A 8、B 9、B 10、B 二、填空提：
11、6 12、－110 13、5 14、
1321
15、 16
17、8204
1632
三、解答题：
18． 设这两个数列分别为{a n }、{b n },则a n =3n +2,b n =4n －1, 令a k =b m , 则3k +2=4m －1.
∴3k =3(m －1)+m , ∴m 被3整除. 设m =3p (p ∈N *), 则k =4p －1. ∵k 、m ∈［1,100］. 则1≤3p ≤100且1≤p ≤25. ∴它们共有25个相同的项. 19. ∵S 9=S 17，a 1=25,∴9×25+
∴S n =25n +
9⨯(9-1) 17(17-1)
d =17×25+d ，解得d =－2, 22
20. 、（1）∵f (x －1)=(x －1－1) 2－4=(x －2) 2－4
∴f (x )=(x －1) 2－4, ∴a 1=(x －2) 2－4, a 3=(x －1) 2－4， 又a 1+a 3=2a 2, 解得x =0或x =3.
(2)∵ a 1、a 2、a 3分别为0、－∴a n =－
n (n -1)
(－2)=－(n －13) 2+169.由二次函数性质知前13项和最大. 2
33、－3或－3、－、0 22
33
(n －1) 或a n =(n －3) 2239351
① 当a n =－(n －1) 时，a 2+a 5+…+a 26=(a 2+a 26)=
22239297
② 当a n =(n －3) 时，a 2+a 5+…+a 26=(a 2+a 26)=.
222
21、 （1）∵－a n =2S n S n －1, ∴－S n +S n －1=2S n S n －1(n ≥2)，又S n ≠0, 11111∴－=2,又==2,∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列. S n S n -1S 1a 1S n （2）由（1）
111
=2+(n －1)2=2n , ∴S n =，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－
2n (n -1) S n 2n
⎧1
(n =1) ⎪1⎪2
n =1时，a 1=S 1=, ∴a n =⎨
12⎪- (n ≥2) ⎪2n (n -1) ⎩
(3) 由（2）知b n =2(1－n ) a n =∴b 22+b 32+…+b n 2=
1 n
111111++…+
(n -1) n 3n 2⨯31⨯22
111111=(1－)+(－)+…+(－)=1－
223n -1n n