§ 4.4 拉普拉斯逆变换
主要内容
由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况
一．由象函数求原函数的三种方法 (1)部分分式法
(2)利用留数定理——围线积分法 (3)数值计算方法——利用计算机
二．F (s ) 的一般形式
通常F (s )具有如下的有理分式形式:
A (s ) a m s m +a m -1s m -1+ +a 1s +a 0
F (s ) == n n -1
B (s ) b s +b s + +b 1s +b 0 n n -1
ai , bi 为实数，m , n 为正整数。当 m
F (s ) ==分解
B (s ) b n (s -p 1)(s -p 2) (s -p n )
零点 z , z , z z 是A s =0的根, 称为F s 的零点123m A (s ) =0⇒F (s ) =0
极点 p 1, p 2, p 3 p n 是B (s )=0的根, 称为F (s )的极点
B (s ) =0⇒F (s ) =∞
三．拉氏逆变换的过程 找出F (s )的极点
将F (s )展成部分分式
查拉氏变换表求f (t )
四．部分分式展开法(m
F (s ) =
(s -p 1)(s -p 2) (s -p n )
p 1, p 2, p 3 p n 为不同的实数根 k n k 1k 2
F (s ) =++ +
()()
()
()
s -p 1s -p 2s -p n
求出k , k , k k , 即可将F (s )展开为部分分式123n
第一种情况：单阶实数极点 2
2s +3s +3
F (s ) =32
s +6s +11s +6
(1)找极点 2s 2+3s +3
F (s )=
(s +1)(s +2)(s +3)
(2)展成部分分式 k 3k 1k 2
()F s =++
s +1s +2s +3
1-56
++求系数 ∴F (s ) =
s +1s +2s +3
1(3)逆变换 根据L e -αt u t =
s +α
得:f (t ) =e -t -5e -2t +6e -3t t ≥0
如何求系数k 1, k 2, k 3``````？ 对等式两边同乘以s +1, 且令s =-1
k ⎫k ⎛k
右边=(s +1) 1+2+3⎪=k 1
⎝s +1s +2s +3⎭s =-1 左边=(s +1) F (s ) s =-1 2s 2+3s +3∴k 1=1 =(s +1) =1
(s +1)(s +2)(s +3) s =-1
同理:k 2=(s +2) F (s ) s =-2=-5,
1-56
∴F (s ) =++
s +1s +2s +3
第二种情况：极点为共轭复数
F 1(s )A (s ) =F (s )=2
s +α-j βs +α+j βD s s +α+β2
[()]
()
共轭极点出现在 -α±j β
K 1K 2
()F s =++...... s +α-j βs +α+j β
F 1(-α+j β)K 1=(s +α-j β)F (s ) =s =-α+j β2j β F (-α-j β)=2 K 2=(s +α-j β)F (s )-2j βs =-α-j β
可见K 1, K 2成共轭关系：
* K 1=A +jB K 2=A -jB =K 1
求f(t)
K 1=A +jB
-1⎡()f C t =L ⎢
K 2=A -jB =K 1
*
⎤K 1K 2
+
s +α-j βs +α+j β⎥⎣⎦
=e -αt K 1e βt +K 1e -βt
(
*
)
=2e -αt [A cos (βt )-B sin (βt )]
s 2+3
求F (s ) =的逆变换f (t ) 。2
(s +2)(s +2s +5)
s 2+3
F (s )=
(s +1+j 2)(s +1-j 2)(s +2)
=
K 0K 1K 2
++
s +2s +1-j 2s +1+j 2
例题
α=-1,
β=2, 取β>0
K 0=(s +2) F (s )s =-2=
75
s 2+3-1+j 2
K ==A =1
12
-, B = ()(s +2)(s +1+j 2) f t =7e -2t +2e -t ⎡-1s =-1(+2j t 2)-25sin (2t )⎤ (t ≥)
5
5⎢⎣55⎥⎦0
另一种方法
求下示函数F (s ) 的逆变换f (t ) ： ()
s +γ F s =2
解：
s +γ+β2F (s ) K s 2+3-1+j 2 1=(s +2)(s +[1=
利用 L e -+αt j 2) s =-β1+j 2]
5t =ββ+(s +α) 2
f (t )=7e -2t +L 2[
e e --t ⎡αt
]
5⎢⎣
-15cos (β2t )t -25β2+s ⎥⎦(s +α) 2
α-γ -β F (s )=s +αβ
s +γ2+β2
-s +γ2+β2
求得 -αα-γ-αt
f (t )=e t
cos (βt )-βe sin (βt ) (t ≥0
)
3. 第三种情况：有重根存在 s 2
k 1k 3 F (s ) =k 2
(s +2)(s +1) 2=s +2+s +1+(s +1) 2
k 1为单根系数, k 3为重根最高次系数 k =(s +2) s 2
1(s +2)(s +1) 2
=4 s =-2
2
k 3=(s +1) 2s
(s +2)(s +1) 2=1s =-1
如何求k 2 ?
设法使部分分式只保留k 2，其它分式为0
对原式两边乘以 (s +1) 2s 2=(s +1) 2k 1
s +2s +2+k 2(s +1) +k 3
令s =-1时, 只能求出k 3=1, 若求k 2, 两边再求导
右边=d ⎡d s ⎢⎣(s +1) 2k 1s +2+(s +1) k ⎤2+k 3⎥⎦
5
A =-12
5, B =
5
k 3=(s +3) F (s )
2(s +1)(s +2) k 1-k 1(s +1) 2
=+k 2+02 (s +2) d ⎡s 2⎤2s (s +2) -s 2s 2+4s d 2左边=(s +1) F (s ) ==⎢⎥= d s d s ⎣s +2⎦(s +2) 2(s +2) 2
2s +4s 此时令s =-1, 右=k 2左边==-32 (s +2) s =-1
∴k 2=-3
逆变换 4-31
F (s ) =++
s +2s +1(s +1) 2
∴f (t ) =L -1[F (s ) ]=4e -2t -3e -t +te -t
(t ≥0)
一般情况 k 1(k -1) A (s ) k 11k 12k 1k =++ ++
(s -p 1) k (s -p 1) k (s -p 1) k -1(s -p 1) 2s -p 1
求k 11，方法同第一种情况： k
k =F (s ) =(s -p ) F (s ) 1111 s =p 1s =p 1
求其它系数，要用下式 1d i -1
k 1i =F 1(s ) i =1, 2, 3, k (i -1)! d s i -1
s =p 1
d
当i =2, K =F 1(s ) s =p 1 12
d s
1d 2
当i =3, K 13=F 1(s ) s =p 1
2
2d s
五．F (s ) 两种特殊情况
非真分式------化为真分式＋多项式
含e -s 的非有理式
1. 非真分式－－真分式＋多项式
s 3+5s 2+9s +7
s +2 F ( s ) = 2 作长除法
s +3s +2 s 2+3s +2s 3+5s 2+9s +7
s 3+3s 2+2s
2
s =-3
=6
[]
2s +7s +7
2s 2+6s +4
s +3
F (s ) =s +2+
F 1(s ) =
s +3
=s +2+F 1(s )
s +1s +221-
s +1s +2
δ ' (t f ( t ) = ) + 2 δ (t )
2. 含e -s 的非有理式
e -s 项不参加部分分式运算， 求解时利用时移性质 。 e -2s -2s
=F (s ) e 12
s +3s +2
1-1
F (s ) =+1
s +1s +2
-1-t -2t
∴f (t ) =L F (s ) =e -e u (t ) 11
∴f t =f 1t -2=e -(t -2) -e -2(t -2) u (t -2)
+2e -t u (t ) -e -2t u (t )
[
]()
()()
[]
§ 4.4 拉普拉斯逆变换
主要内容
由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况
一．由象函数求原函数的三种方法 (1)部分分式法
(2)利用留数定理——围线积分法 (3)数值计算方法——利用计算机
二．F (s ) 的一般形式
通常F (s )具有如下的有理分式形式:
A (s ) a m s m +a m -1s m -1+ +a 1s +a 0
F (s ) == n n -1
B (s ) b s +b s + +b 1s +b 0 n n -1
ai , bi 为实数，m , n 为正整数。当 m
F (s ) ==分解
B (s ) b n (s -p 1)(s -p 2) (s -p n )
零点 z , z , z z 是A s =0的根, 称为F s 的零点123m A (s ) =0⇒F (s ) =0
极点 p 1, p 2, p 3 p n 是B (s )=0的根, 称为F (s )的极点
B (s ) =0⇒F (s ) =∞
三．拉氏逆变换的过程 找出F (s )的极点
将F (s )展成部分分式
查拉氏变换表求f (t )
四．部分分式展开法(m
F (s ) =
(s -p 1)(s -p 2) (s -p n )
p 1, p 2, p 3 p n 为不同的实数根 k n k 1k 2
F (s ) =++ +
()()
()
()
s -p 1s -p 2s -p n
求出k , k , k k , 即可将F (s )展开为部分分式123n
第一种情况：单阶实数极点 2
2s +3s +3
F (s ) =32
s +6s +11s +6
(1)找极点 2s 2+3s +3
F (s )=
(s +1)(s +2)(s +3)
(2)展成部分分式 k 3k 1k 2
()F s =++
s +1s +2s +3
1-56
++求系数 ∴F (s ) =
s +1s +2s +3
1(3)逆变换 根据L e -αt u t =
s +α
得:f (t ) =e -t -5e -2t +6e -3t t ≥0
如何求系数k 1, k 2, k 3``````？ 对等式两边同乘以s +1, 且令s =-1
k ⎫k ⎛k
右边=(s +1) 1+2+3⎪=k 1
⎝s +1s +2s +3⎭s =-1 左边=(s +1) F (s ) s =-1 2s 2+3s +3∴k 1=1 =(s +1) =1
(s +1)(s +2)(s +3) s =-1
同理:k 2=(s +2) F (s ) s =-2=-5,
1-56
∴F (s ) =++
s +1s +2s +3
第二种情况：极点为共轭复数
F 1(s )A (s ) =F (s )=2
s +α-j βs +α+j βD s s +α+β2
[()]
()
共轭极点出现在 -α±j β
K 1K 2
()F s =++...... s +α-j βs +α+j β
F 1(-α+j β)K 1=(s +α-j β)F (s ) =s =-α+j β2j β F (-α-j β)=2 K 2=(s +α-j β)F (s )-2j βs =-α-j β
可见K 1, K 2成共轭关系：
* K 1=A +jB K 2=A -jB =K 1
求f(t)
K 1=A +jB
-1⎡()f C t =L ⎢
K 2=A -jB =K 1
*
⎤K 1K 2
+
s +α-j βs +α+j β⎥⎣⎦
=e -αt K 1e βt +K 1e -βt
(
*
)
=2e -αt [A cos (βt )-B sin (βt )]
s 2+3
求F (s ) =的逆变换f (t ) 。2
(s +2)(s +2s +5)
s 2+3
F (s )=
(s +1+j 2)(s +1-j 2)(s +2)
=
K 0K 1K 2
++
s +2s +1-j 2s +1+j 2
例题
α=-1,
β=2, 取β>0
K 0=(s +2) F (s )s =-2=
75
s 2+3-1+j 2
K ==A =1
12
-, B = ()(s +2)(s +1+j 2) f t =7e -2t +2e -t ⎡-1s =-1(+2j t 2)-25sin (2t )⎤ (t ≥)
5
5⎢⎣55⎥⎦0
另一种方法
求下示函数F (s ) 的逆变换f (t ) ： ()
s +γ F s =2
解：
s +γ+β2F (s ) K s 2+3-1+j 2 1=(s +2)(s +[1=
利用 L e -+αt j 2) s =-β1+j 2]
5t =ββ+(s +α) 2
f (t )=7e -2t +L 2[
e e --t ⎡αt
]
5⎢⎣
-15cos (β2t )t -25β2+s ⎥⎦(s +α) 2
α-γ -β F (s )=s +αβ
s +γ2+β2
-s +γ2+β2
求得 -αα-γ-αt
f (t )=e t
cos (βt )-βe sin (βt ) (t ≥0
)
3. 第三种情况：有重根存在 s 2
k 1k 3 F (s ) =k 2
(s +2)(s +1) 2=s +2+s +1+(s +1) 2
k 1为单根系数, k 3为重根最高次系数 k =(s +2) s 2
1(s +2)(s +1) 2
=4 s =-2
2
k 3=(s +1) 2s
(s +2)(s +1) 2=1s =-1
如何求k 2 ?
设法使部分分式只保留k 2，其它分式为0
对原式两边乘以 (s +1) 2s 2=(s +1) 2k 1
s +2s +2+k 2(s +1) +k 3
令s =-1时, 只能求出k 3=1, 若求k 2, 两边再求导
右边=d ⎡d s ⎢⎣(s +1) 2k 1s +2+(s +1) k ⎤2+k 3⎥⎦
5
A =-12
5, B =
5
k 3=(s +3) F (s )
2(s +1)(s +2) k 1-k 1(s +1) 2
=+k 2+02 (s +2) d ⎡s 2⎤2s (s +2) -s 2s 2+4s d 2左边=(s +1) F (s ) ==⎢⎥= d s d s ⎣s +2⎦(s +2) 2(s +2) 2
2s +4s 此时令s =-1, 右=k 2左边==-32 (s +2) s =-1
∴k 2=-3
逆变换 4-31
F (s ) =++
s +2s +1(s +1) 2
∴f (t ) =L -1[F (s ) ]=4e -2t -3e -t +te -t
(t ≥0)
一般情况 k 1(k -1) A (s ) k 11k 12k 1k =++ ++
(s -p 1) k (s -p 1) k (s -p 1) k -1(s -p 1) 2s -p 1
求k 11，方法同第一种情况： k
k =F (s ) =(s -p ) F (s ) 1111 s =p 1s =p 1
求其它系数，要用下式 1d i -1
k 1i =F 1(s ) i =1, 2, 3, k (i -1)! d s i -1
s =p 1
d
当i =2, K =F 1(s ) s =p 1 12
d s
1d 2
当i =3, K 13=F 1(s ) s =p 1
2
2d s
五．F (s ) 两种特殊情况
非真分式------化为真分式＋多项式
含e -s 的非有理式
1. 非真分式－－真分式＋多项式
s 3+5s 2+9s +7
s +2 F ( s ) = 2 作长除法
s +3s +2 s 2+3s +2s 3+5s 2+9s +7
s 3+3s 2+2s
2
s =-3
=6
[]
2s +7s +7
2s 2+6s +4
s +3
F (s ) =s +2+
F 1(s ) =
s +3
=s +2+F 1(s )
s +1s +221-
s +1s +2
δ ' (t f ( t ) = ) + 2 δ (t )
2. 含e -s 的非有理式
e -s 项不参加部分分式运算， 求解时利用时移性质 。 e -2s -2s
=F (s ) e 12
s +3s +2
1-1
F (s ) =+1
s +1s +2
-1-t -2t
∴f (t ) =L F (s ) =e -e u (t ) 11
∴f t =f 1t -2=e -(t -2) -e -2(t -2) u (t -2)
+2e -t u (t ) -e -2t u (t )
[
]()
()()
[]