第2课时 分段函数
导入新课
思路1. 当x>1时,f(x)=x+1;当x≤1时,f(x)=-x,请写出函数f(x)的解析式. 这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题.
思路2. 化简函数y=|x|的解析式, 说说此函数解析式的特点, 教师指出本节课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①函数h(x)=⎨
⎧x,-x +1,
与f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么区别?
⎩x
②请举出几个分段函数的例子.
活动：学生讨论交流函数解析式的区别. 所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分, 有不同对应法则的函数. 并让学生结合体会来实际举例. 讨论结果：①函数h(x)是分段函数, 在定义域的不同部分, 其解析式不同. 说明:分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个函数; 分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集; 生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题, 如出租车的计费、个人所得税纳税额等等. ②例如:y=应用示例
思路1
1. 画出函数y=|x|的图象.
活动：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数; ②利用变换法画出图象, 根据绝对值的概念来化简解析式. 解法一：由绝对值的概念, 我们有y=⎨
0, x >0, 1, x
等.
⎧x, x ≥0,
⎩-x, x
所以, 函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示
.
图1-2-2-10
解法二：画函数y=x的图象, 将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方, 与函数y=x的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示. 变式训练
x ≤0, ⎧x +4,
⎪2
1. 已知函数y=⎨x -2x , 0
⎪-x +2, x >4. ⎩
(1)求f{f［f(5)］}的值; (2)画出函数的图象.
分析:本题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数, 要求f{f［f(5)］},需要确定f ［f(5)］的取值范围, 为此又需确定f(5)的取值范围, 然后根据所在定义域代入相应的解析式, 逐步求解. 画出函数在各段上的图象, 再合起来就是分段函数的图象.
解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3
:
图1-2-2-11
2. 课本P 23练习3.
3. 画函数y=(x+1)2,-x,x≤0,x>0的图象.
步骤:①画整个二次函数y=x2的图象, 再取其在区间(-∞,0］上的图象, 其他部分删去不要; ②画一次函数y=-x的图象, 再取其在区间(0,+∞)上的图象, 其他部分删去不要; ③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象. 如图1-2-2-12所示
.
图1-2-2-12
函数y=f(x)的图象位于x 轴上方的部分和y=|f(x)|的图象相同, 函数y=f(x)的图象位于x 轴下方的部分对称到上方就是函数y=|f(x)|的图象的一部分. 利用函数y=f(x)的图象和函数y=|f(x)|的图象的这种关系, 由函数y=f(x)的图象画出函数y=|f(x)|的图象. 2. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5千米以内(含5千米), 票价2元;
(2)5千米以上, 每增加5千米, 票价增加1元(不足5千米按5千米计算),
如果某条线路的总里程为20千米, 请根据题意, 写出票价与里程之间的函数解析式, 并画出函数的图象. 活动：学生讨论交流题目的条件, 弄清题意. 本例是一个实际问题, 有具体的实际意义, 根据实际情况公共汽车到站才能停车, 所以行车里程只能取整数值. 由于里程在不同的范围内, 票价有
不同的计算方法, 故此函数是分段函数.
解：设里程为x 千米时, 票价为y 元, 根据题意得x ∈(0,20］. 由空调汽车票价制定的规定, 可得到以下函数解析式
:
图1-2-2-13
⎧2, 0
4, 10
根据这个函数解析式, 可画出函数图象, 如图1-2-2-13所示.
点评：本题主要考查分段函数的实际应用, 以及应用函数解决问题的能力. 生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题, 如出租车的计费、个人所得税纳税额等等. 在列出其解析式时, 要充分考虑实际问题的规定, 根据规定来求得解析式.
注意：①本例具有实际背景, 所以解题时应考虑其实际意义;
②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来, 并分别注明各部分的自变量的取值情况.
变式训练2007上海中学高三测试, 理7某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米, 票价是每千米0.5元, 如果超过100千米, 超过部分按每千米0.4元定价, 则客运票价y(元) 与行程千米数x(千米) 之间的函数关系式是________. 分析:根据行程是否大于100千米来求出解析式.
0≤x ≤100, ⎧0. 5x ,
答案：y=⎨
10+0. 4x , x >100. ⎩
思路2
⎧-x 2+2x , x >0,
⎪
1. 已知函数f(x)=⎨1, x =0,
⎪-x -1, x
(1)求f(-1),f［f(-1)］,f{f［f(-1)］}的值;
(2)画出函数的图象.
活动：此函数是分段函数, 应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系. 解：(1)f(-1)=0;f[f(-1)]=f(0)=1;f{f[f(-1)]}=f(1)=-12+2×1=1. (2)函数图象如图1-2-2-14所示:
图1-2-2-14
变式训练
2007福建厦门调研, 文10若定义运算a ⊙b=⎨________.
分析:由题意得f(x)=⎨
⎧b , a ≥b ,
则函数f(x)=x⊙(2-x)的值域是
a , a
x ≤1, ⎧x ,
画函数f(x)的图象得值域是(-∞,1］.
⎩2-x , x >1.
答案：(-∞,1］
点评：本题主要考查分段函数的解析式和图象. 求分段函数的函数值时, 要注意自变量在其定
⎧f 1(x ), x ∈D 1, ⎪
义域的哪一段上, 依次代入分段函数的解析式. 画分段函数y=⎨f 2(x ), x ∈D 2, (D1,D 2,…,两两
⎪ , . ⎩
交集是空集) 的图象步骤是
(1)画整个函数y=f1(x)的图象, 再取其在区间D 1上的图象, 其他部分删去不要; (2)画整个函数y=f2(x)的图象, 再取其在区间D 2上的图象, 其他部分删去不要; (3)依次画下去;
(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.
2. 如图1-2-2-15所示, 在梯形ABCD 中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P 从B 点开始沿着折线BC 、CD 、DA 前进至A, 若P 点运动的路程为x, △PAB 的面积为
y.
图1-2-2-15
(1)写出y=f(x)的解析式, 指出函数的定义域; (2)画出函数的图象并求出函数的值域.
活动：学生之间相互讨论交流, 教师帮助学生审题读懂题意. 首先通过画草图可以发现,P 点运动到不同的位置,y 的求法是不同的(如图1-2-2-16的阴影部分所示
).
图1-2-2-16
可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的, 它们的面积由其高来定, 所以只要由运动里程x 来求出各段的高即可. 三角形的面积公式为底乘高除以2, 则△PAB 的面积的计算方式由点P
所在的位置来确定. 解：(1)分类讨论:
①当P 在BC 上运动时, 易知∠B=60°, 则知 y=
531
×10×(xsin60°)=x,0≤x≤4.
22
②当P 点在CD 上运动时, y=
1
×10×23=103,4
51
×10×(14-x)sin60°=-x+353,10
22
③当P 在DA 上运动时, y=
综上所得, 函数的解析式为
⎧3
x , 0≤x ≤4, ⎪⎪2
4
⎪53
x +35, 10
(2)f(x)的图象如图1-2-2-17所示
:
图1-2-2-17
由图象, 可知y 的取值范围是0≤y≤10, 即函数f(x)的值域为[0,10]. 知能训练
1. 函数f(x)=|x-1|的图象是(
)
图1-2-2-18
分析:方法一:函数的解析式化为y=⎨
⎧x -1, x ≥1,
画出此分段函数的图象, 故选B. 方法二:将函
⎩1-x , x
数f(x)=x-1位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方, 与f(x)=x-1位于x 轴上方部分合起来, 即可得到函数f(x)=|x-1|的图象, 故选B. 方法三:由f(-1)=2,知图象过点(-1,2),排除A 、C 、D, 故选B. 答案：B
⎧2
x >0, ⎪x ,
⎪
2. 已知函数f(x)=⎨1, x =0,
⎪1
-, x
(1)画出函数的图象;
(2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.
解析:分别作出f(x)在x>0,x=0,x
.
图1-2-2-19
(2)f(1)=12=1,f(-1)=-
1
=1,f［f(-1)］=f(1)=1. -1
3. 某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地, 到达B 地并停留1.5小时后, 再以65千米/时的速度返回A 地. 试将此人驱车走过的路程s(千米) 表示为时间t 的函数. 分析:本题中的函数是分段函数, 要由时间t 属于哪个时间段, 得到相应的解析式. 解：从A 地到B 地, 路上的时间为
260260
=5(小时); 从B 地回到A 地, 路上的时间为=4(小5265
时). 所以走过的路程s(千米) 与时间t 的函数关系式为
0≤t
⎪
5≤t ≤6. 5, s=⎨260,
⎪260+65(t -6. 5), 6. 5
拓展提升
问题:已知函数y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,n∈N *. (1)求:f(2),f(3),f(4),f(5); (2)猜想f(n),n∈N *.
探究:(1)由题意得f(1)=1,则有 f(2)=f(1)+2=1+2=3, f(3)=f(2)+2=3+2=5, f(4)=f(3)+2=5+2=7, f(5)=f(4)+2=7+2=9. (2)由(1)得 f(1)=1=2×1-1, f(2)=3=2×2-1,
f(3)=5=2×3-1, f(4)=7=2×4-1, f(5)=9=2×5-1.
因此猜想f(n)=2n-1,n∈N *. 课堂小结
本节课学习了:画分段函数的图象; 求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用. 作业
课本P 25习题1.2 B 组 3、4.
设计感想
本节教学设计容量较大, 特别是例题条件有图, 建议使用信息技术来完成. 本节重点设计了分段函数, 这是课标明确要求也是高考的重点, 通过分段函数问题能够区分学生的思维层次, 因此教学中应予以重视. (设计者：刘菲)
第2课时 分段函数
导入新课
思路1. 当x>1时,f(x)=x+1;当x≤1时,f(x)=-x,请写出函数f(x)的解析式. 这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题.
思路2. 化简函数y=|x|的解析式, 说说此函数解析式的特点, 教师指出本节课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①函数h(x)=⎨
⎧x,-x +1,
与f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么区别?
⎩x
②请举出几个分段函数的例子.
活动：学生讨论交流函数解析式的区别. 所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分, 有不同对应法则的函数. 并让学生结合体会来实际举例. 讨论结果：①函数h(x)是分段函数, 在定义域的不同部分, 其解析式不同. 说明:分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个函数; 分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集; 生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题, 如出租车的计费、个人所得税纳税额等等. ②例如:y=应用示例
思路1
1. 画出函数y=|x|的图象.
活动：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数; ②利用变换法画出图象, 根据绝对值的概念来化简解析式. 解法一：由绝对值的概念, 我们有y=⎨
0, x >0, 1, x
等.
⎧x, x ≥0,
⎩-x, x
所以, 函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示
.
图1-2-2-10
解法二：画函数y=x的图象, 将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方, 与函数y=x的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示. 变式训练
x ≤0, ⎧x +4,
⎪2
1. 已知函数y=⎨x -2x , 0
⎪-x +2, x >4. ⎩
(1)求f{f［f(5)］}的值; (2)画出函数的图象.
分析:本题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数, 要求f{f［f(5)］},需要确定f ［f(5)］的取值范围, 为此又需确定f(5)的取值范围, 然后根据所在定义域代入相应的解析式, 逐步求解. 画出函数在各段上的图象, 再合起来就是分段函数的图象.
解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3
:
图1-2-2-11
2. 课本P 23练习3.
3. 画函数y=(x+1)2,-x,x≤0,x>0的图象.
步骤:①画整个二次函数y=x2的图象, 再取其在区间(-∞,0］上的图象, 其他部分删去不要; ②画一次函数y=-x的图象, 再取其在区间(0,+∞)上的图象, 其他部分删去不要; ③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象. 如图1-2-2-12所示
.
图1-2-2-12
函数y=f(x)的图象位于x 轴上方的部分和y=|f(x)|的图象相同, 函数y=f(x)的图象位于x 轴下方的部分对称到上方就是函数y=|f(x)|的图象的一部分. 利用函数y=f(x)的图象和函数y=|f(x)|的图象的这种关系, 由函数y=f(x)的图象画出函数y=|f(x)|的图象. 2. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5千米以内(含5千米), 票价2元;
(2)5千米以上, 每增加5千米, 票价增加1元(不足5千米按5千米计算),
如果某条线路的总里程为20千米, 请根据题意, 写出票价与里程之间的函数解析式, 并画出函数的图象. 活动：学生讨论交流题目的条件, 弄清题意. 本例是一个实际问题, 有具体的实际意义, 根据实际情况公共汽车到站才能停车, 所以行车里程只能取整数值. 由于里程在不同的范围内, 票价有
不同的计算方法, 故此函数是分段函数.
解：设里程为x 千米时, 票价为y 元, 根据题意得x ∈(0,20］. 由空调汽车票价制定的规定, 可得到以下函数解析式
:
图1-2-2-13
⎧2, 0
4, 10
根据这个函数解析式, 可画出函数图象, 如图1-2-2-13所示.
点评：本题主要考查分段函数的实际应用, 以及应用函数解决问题的能力. 生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题, 如出租车的计费、个人所得税纳税额等等. 在列出其解析式时, 要充分考虑实际问题的规定, 根据规定来求得解析式.
注意：①本例具有实际背景, 所以解题时应考虑其实际意义;
②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来, 并分别注明各部分的自变量的取值情况.
变式训练2007上海中学高三测试, 理7某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米, 票价是每千米0.5元, 如果超过100千米, 超过部分按每千米0.4元定价, 则客运票价y(元) 与行程千米数x(千米) 之间的函数关系式是________. 分析:根据行程是否大于100千米来求出解析式.
0≤x ≤100, ⎧0. 5x ,
答案：y=⎨
10+0. 4x , x >100. ⎩
思路2
⎧-x 2+2x , x >0,
⎪
1. 已知函数f(x)=⎨1, x =0,
⎪-x -1, x
(1)求f(-1),f［f(-1)］,f{f［f(-1)］}的值;
(2)画出函数的图象.
活动：此函数是分段函数, 应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系. 解：(1)f(-1)=0;f[f(-1)]=f(0)=1;f{f[f(-1)]}=f(1)=-12+2×1=1. (2)函数图象如图1-2-2-14所示:
图1-2-2-14
变式训练
2007福建厦门调研, 文10若定义运算a ⊙b=⎨________.
分析:由题意得f(x)=⎨
⎧b , a ≥b ,
则函数f(x)=x⊙(2-x)的值域是
a , a
x ≤1, ⎧x ,
画函数f(x)的图象得值域是(-∞,1］.
⎩2-x , x >1.
答案：(-∞,1］
点评：本题主要考查分段函数的解析式和图象. 求分段函数的函数值时, 要注意自变量在其定
⎧f 1(x ), x ∈D 1, ⎪
义域的哪一段上, 依次代入分段函数的解析式. 画分段函数y=⎨f 2(x ), x ∈D 2, (D1,D 2,…,两两
⎪ , . ⎩
交集是空集) 的图象步骤是
(1)画整个函数y=f1(x)的图象, 再取其在区间D 1上的图象, 其他部分删去不要; (2)画整个函数y=f2(x)的图象, 再取其在区间D 2上的图象, 其他部分删去不要; (3)依次画下去;
(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.
2. 如图1-2-2-15所示, 在梯形ABCD 中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P 从B 点开始沿着折线BC 、CD 、DA 前进至A, 若P 点运动的路程为x, △PAB 的面积为
y.
图1-2-2-15
(1)写出y=f(x)的解析式, 指出函数的定义域; (2)画出函数的图象并求出函数的值域.
活动：学生之间相互讨论交流, 教师帮助学生审题读懂题意. 首先通过画草图可以发现,P 点运动到不同的位置,y 的求法是不同的(如图1-2-2-16的阴影部分所示
).
图1-2-2-16
可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的, 它们的面积由其高来定, 所以只要由运动里程x 来求出各段的高即可. 三角形的面积公式为底乘高除以2, 则△PAB 的面积的计算方式由点P
所在的位置来确定. 解：(1)分类讨论:
①当P 在BC 上运动时, 易知∠B=60°, 则知 y=
531
×10×(xsin60°)=x,0≤x≤4.
22
②当P 点在CD 上运动时, y=
1
×10×23=103,4
51
×10×(14-x)sin60°=-x+353,10
22
③当P 在DA 上运动时, y=
综上所得, 函数的解析式为
⎧3
x , 0≤x ≤4, ⎪⎪2
4
⎪53
x +35, 10
(2)f(x)的图象如图1-2-2-17所示
:
图1-2-2-17
由图象, 可知y 的取值范围是0≤y≤10, 即函数f(x)的值域为[0,10]. 知能训练
1. 函数f(x)=|x-1|的图象是(
)
图1-2-2-18
分析:方法一:函数的解析式化为y=⎨
⎧x -1, x ≥1,
画出此分段函数的图象, 故选B. 方法二:将函
⎩1-x , x
数f(x)=x-1位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方, 与f(x)=x-1位于x 轴上方部分合起来, 即可得到函数f(x)=|x-1|的图象, 故选B. 方法三:由f(-1)=2,知图象过点(-1,2),排除A 、C 、D, 故选B. 答案：B
⎧2
x >0, ⎪x ,
⎪
2. 已知函数f(x)=⎨1, x =0,
⎪1
-, x
(1)画出函数的图象;
(2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.
解析:分别作出f(x)在x>0,x=0,x
.
图1-2-2-19
(2)f(1)=12=1,f(-1)=-
1
=1,f［f(-1)］=f(1)=1. -1
3. 某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地, 到达B 地并停留1.5小时后, 再以65千米/时的速度返回A 地. 试将此人驱车走过的路程s(千米) 表示为时间t 的函数. 分析:本题中的函数是分段函数, 要由时间t 属于哪个时间段, 得到相应的解析式. 解：从A 地到B 地, 路上的时间为
260260
=5(小时); 从B 地回到A 地, 路上的时间为=4(小5265
时). 所以走过的路程s(千米) 与时间t 的函数关系式为
0≤t
⎪
5≤t ≤6. 5, s=⎨260,
⎪260+65(t -6. 5), 6. 5
拓展提升
问题:已知函数y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,n∈N *. (1)求:f(2),f(3),f(4),f(5); (2)猜想f(n),n∈N *.
探究:(1)由题意得f(1)=1,则有 f(2)=f(1)+2=1+2=3, f(3)=f(2)+2=3+2=5, f(4)=f(3)+2=5+2=7, f(5)=f(4)+2=7+2=9. (2)由(1)得 f(1)=1=2×1-1, f(2)=3=2×2-1,
f(3)=5=2×3-1, f(4)=7=2×4-1, f(5)=9=2×5-1.
因此猜想f(n)=2n-1,n∈N *. 课堂小结
本节课学习了:画分段函数的图象; 求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用. 作业
课本P 25习题1.2 B 组 3、4.
设计感想
本节教学设计容量较大, 特别是例题条件有图, 建议使用信息技术来完成. 本节重点设计了分段函数, 这是课标明确要求也是高考的重点, 通过分段函数问题能够区分学生的思维层次, 因此教学中应予以重视. (设计者：刘菲)