椭圆、双曲线的离心率问题
x 2y 2
一．回忆：（朝阳0804）已知双曲线C 1:2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1、
a b
F 2，抛物线C 2的顶点在原点，准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的
交点P 满足PF 2⊥F 则双曲线C 1的离心率为 （ ） 1F 2，A
B
C
D
．a 24a 22
x ； 解：由已知可得抛物线的准线为直线x =-，∴ 方程为y =
c c
b 2b 224a 2b 222
⨯c ，∴ b =2a ⇒2=2， 由双曲线可知P (c , ) ，∴ () =
a c a a
∴ e -1=
2，e =
（教师结合离心率在考纲中的要求、本题所涉及的知识与方法，使同学们明确设计此复习专
题的必要性和重要性．）引出课题． 二．知识方法复习 1．e =
2
c ，（数量关系方面） a
b 2b 222
椭圆中2=1-e ， 双曲线中2=e -1．
a a
2．与椭圆、双曲线的图形结合在一起，离心率又如何体现呢？（展示几何动画）
（1）曲线的第二定义体现离心率的几何意义，特征角的三角形函数值； （2）离心率的变化与图形形状之间的内在联系：
椭圆越圆，离心率越小； 椭圆越扁，离心率越大； 双曲线开口越大（阔），离心率越大； 开口越小（窄），离心率越小． 三．典型试题分析
例1．（西城0804）若双曲线x +ky =1的离心率是2，则实数k 的值是（ B ） A ．-3 B ． - C ．3 D ．
2
2
22
1
31 3
b 22
解析：先将方程化成标准形式，然后确定a 、b ，再根据2=e -1求出k 的值．
a b 22
设计意图：考查双曲线的标准方程及2=e -1的应用．
a
请同学们思考：
变式：若椭圆x 2+ky 2=1的离心率是
1
，则实数k 的值是 ． 2
设计意图：通过类似分析求解，让同学们理解和掌握“已知离心率时如何迅速求出方程中所含有的参数的值或参数之间的关系”，同时还训练了同学们的举一反三能力．
x 2y 2
例2．椭圆2+2=1（a >b >0）的两个焦点分别为F 、F 2，以F 1、F 2为边作正三角
a b
形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ） A
B
1 C
．4(2 D
y
P
解析：设点P 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，
由平面几何知识可得|PF 2|:|PF 1|:|FF 12|=2， 所以由椭圆的定义及e =
c
得：
a
e =
|F 1F 2|2c ===1，故选B ． 2a |PF 1|+|PF 2|F 1O F 2
x
设计意图：充分利用平面几何中特殊图形的性质，考查椭圆第一定义及离心率e 的基本求法，突出了离心率的大小只和c 与a 的比值有关，而与其大小分别是多少无关，进一步揭示离心率是体现椭圆扁圆程度的基本量．
变式提醒
：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率e =1．
x 2y 2
例3．（东城0804）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2，若
a b
在双曲线的右支上存在一点P ，使得PF 则双曲线的离心率e 的取值范围为． 1=3PF 2，（答案：1
解析：方法一：由PF 1=3PF 2及双曲线第一定义式
y
P
|PF 1|-|PF 2|=2a ，得：
|PF 1|=3a ，|PF 2|=a ，又|F 1F 2|=2c ．
因为点P 在右支上运动，所以|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|，得4a ≥2c ，即
F 1
O
F 2
x
c
≤2，又e >1，故填1
方法反思：若改变两个焦半径PF 1、PF 2的倍分关系，同理也可得出相应的离心率的范围．
P 的几何意义，将会体现出本试题更大的价值！ 方法二：若思考满足PF 1=3PF 2的动点
（引导学生思考：到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么？同时启动几何画板．） 因F 1(-c ,0) ，F 2(c ,0) ，根据阿氏圆的定义可得：点P 应在以AB 为直径的圆上，其中
c
A (, 0) 为有向线段F 1F 2的内分点，B (2c , 0) 2
为有向线段F 1F 2的外分点．所以双曲线上若存在点P 满足题意，必有a ≥故1
方法反思：通过对条件PF 1=3PF 2的转化，
揭示了本题中动点P 的本质属性，从而转化为圆心在x 轴上的圆和双曲线有公共点的问题，体现了模拟试题的综合性，同时也提高了同学们分析问题和解决问题的能力．
c
，所以e ≤2． 2
x 2y 2
P 例4．（密云0804）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，
a b
是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|⋅|PF 2|=4ab ，则双曲线的离心率是 （ A ）
A
B
C ．3 D ． 2 引导同学们思考问题变式：若将“准线”改为“双曲线”、“渐近线”呢？
x 2y 2
思考作业 （04全国3）双曲线2-2=1 (a >1, b >0) 的焦距为2c ，直线l 过点(a , 0)
a b
和(0, b ) ，且点(1, 0) 到直线l 的距离与点(-1, 0) 到直线l 的距离之和s ≥的离心率e 的取值范围． 解：直线l 的方程为
4
c ．求双曲线5
x y
+=1，即 b x +a y -a b =0． a b
由点到直线的距离公式，且a >1，得到点（1，0）到直线l 的距离d 1=
b (a -1) a +b
2
2
，
同理得到点（－1，0）到直线l 的距离d 2=
b (a +1) a +b
2
2
．
s =d 1+d 2=
2ab a 2+b 2
=
42ab 42ab
≥c , 即 5a c 2-a 2≥2c 2.
. 由s ≥c , 得
5c 5c
4
2
于是得2e 2，即4e -25e +25≤0． 解不等式，得
5≤e 2≤5. 由于e >1>0, 所以e
的取值范围是≤e ≤ 42
（或者利用原点O 到直线的距离满足2d ≥
4
c 直接得出关系式） 5
四．小结
本节主要结合各区一模试题分析了椭圆、双曲线离心率的求法，能够从数和形两方面理解离心率的定义和意义，希望同学们能掌握其中的思想和方法，并迁移到和离心率有关的其它问题中去，预祝同学们高考成功！
椭圆、双曲线的离心率问题
x 2y 2
一．回忆：（朝阳0804）已知双曲线C 1:2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1、
a b
F 2，抛物线C 2的顶点在原点，准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的
交点P 满足PF 2⊥F 则双曲线C 1的离心率为 （ ） 1F 2，A
B
C
D
．a 24a 22
x ； 解：由已知可得抛物线的准线为直线x =-，∴ 方程为y =
c c
b 2b 224a 2b 222
⨯c ，∴ b =2a ⇒2=2， 由双曲线可知P (c , ) ，∴ () =
a c a a
∴ e -1=
2，e =
（教师结合离心率在考纲中的要求、本题所涉及的知识与方法，使同学们明确设计此复习专
题的必要性和重要性．）引出课题． 二．知识方法复习 1．e =
2
c ，（数量关系方面） a
b 2b 222
椭圆中2=1-e ， 双曲线中2=e -1．
a a
2．与椭圆、双曲线的图形结合在一起，离心率又如何体现呢？（展示几何动画）
（1）曲线的第二定义体现离心率的几何意义，特征角的三角形函数值； （2）离心率的变化与图形形状之间的内在联系：
椭圆越圆，离心率越小； 椭圆越扁，离心率越大； 双曲线开口越大（阔），离心率越大； 开口越小（窄），离心率越小． 三．典型试题分析
例1．（西城0804）若双曲线x +ky =1的离心率是2，则实数k 的值是（ B ） A ．-3 B ． - C ．3 D ．
2
2
22
1
31 3
b 22
解析：先将方程化成标准形式，然后确定a 、b ，再根据2=e -1求出k 的值．
a b 22
设计意图：考查双曲线的标准方程及2=e -1的应用．
a
请同学们思考：
变式：若椭圆x 2+ky 2=1的离心率是
1
，则实数k 的值是 ． 2
设计意图：通过类似分析求解，让同学们理解和掌握“已知离心率时如何迅速求出方程中所含有的参数的值或参数之间的关系”，同时还训练了同学们的举一反三能力．
x 2y 2
例2．椭圆2+2=1（a >b >0）的两个焦点分别为F 、F 2，以F 1、F 2为边作正三角
a b
形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ） A
B
1 C
．4(2 D
y
P
解析：设点P 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，
由平面几何知识可得|PF 2|:|PF 1|:|FF 12|=2， 所以由椭圆的定义及e =
c
得：
a
e =
|F 1F 2|2c ===1，故选B ． 2a |PF 1|+|PF 2|F 1O F 2
x
设计意图：充分利用平面几何中特殊图形的性质，考查椭圆第一定义及离心率e 的基本求法，突出了离心率的大小只和c 与a 的比值有关，而与其大小分别是多少无关，进一步揭示离心率是体现椭圆扁圆程度的基本量．
变式提醒
：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率e =1．
x 2y 2
例3．（东城0804）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2，若
a b
在双曲线的右支上存在一点P ，使得PF 则双曲线的离心率e 的取值范围为． 1=3PF 2，（答案：1
解析：方法一：由PF 1=3PF 2及双曲线第一定义式
y
P
|PF 1|-|PF 2|=2a ，得：
|PF 1|=3a ，|PF 2|=a ，又|F 1F 2|=2c ．
因为点P 在右支上运动，所以|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|，得4a ≥2c ，即
F 1
O
F 2
x
c
≤2，又e >1，故填1
方法反思：若改变两个焦半径PF 1、PF 2的倍分关系，同理也可得出相应的离心率的范围．
P 的几何意义，将会体现出本试题更大的价值！ 方法二：若思考满足PF 1=3PF 2的动点
（引导学生思考：到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么？同时启动几何画板．） 因F 1(-c ,0) ，F 2(c ,0) ，根据阿氏圆的定义可得：点P 应在以AB 为直径的圆上，其中
c
A (, 0) 为有向线段F 1F 2的内分点，B (2c , 0) 2
为有向线段F 1F 2的外分点．所以双曲线上若存在点P 满足题意，必有a ≥故1
方法反思：通过对条件PF 1=3PF 2的转化，
揭示了本题中动点P 的本质属性，从而转化为圆心在x 轴上的圆和双曲线有公共点的问题，体现了模拟试题的综合性，同时也提高了同学们分析问题和解决问题的能力．
c
，所以e ≤2． 2
x 2y 2
P 例4．（密云0804）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，
a b
是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|⋅|PF 2|=4ab ，则双曲线的离心率是 （ A ）
A
B
C ．3 D ． 2 引导同学们思考问题变式：若将“准线”改为“双曲线”、“渐近线”呢？
x 2y 2
思考作业 （04全国3）双曲线2-2=1 (a >1, b >0) 的焦距为2c ，直线l 过点(a , 0)
a b
和(0, b ) ，且点(1, 0) 到直线l 的距离与点(-1, 0) 到直线l 的距离之和s ≥的离心率e 的取值范围． 解：直线l 的方程为
4
c ．求双曲线5
x y
+=1，即 b x +a y -a b =0． a b
由点到直线的距离公式，且a >1，得到点（1，0）到直线l 的距离d 1=
b (a -1) a +b
2
2
，
同理得到点（－1，0）到直线l 的距离d 2=
b (a +1) a +b
2
2
．
s =d 1+d 2=
2ab a 2+b 2
=
42ab 42ab
≥c , 即 5a c 2-a 2≥2c 2.
. 由s ≥c , 得
5c 5c
4
2
于是得2e 2，即4e -25e +25≤0． 解不等式，得
5≤e 2≤5. 由于e >1>0, 所以e
的取值范围是≤e ≤ 42
（或者利用原点O 到直线的距离满足2d ≥
4
c 直接得出关系式） 5
四．小结
本节主要结合各区一模试题分析了椭圆、双曲线离心率的求法，能够从数和形两方面理解离心率的定义和意义，希望同学们能掌握其中的思想和方法，并迁移到和离心率有关的其它问题中去，预祝同学们高考成功！