《高等代数》试题7
一、问下列向量组是否线性相关？
（1）（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）
（2）（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）
二、设α, β, γ线性无关，证明α+β, β+γ, γ+α也线性无关。
三、考虑R 中以下两组向量{α1=(-3, 1, -2), α2=(1, -1, 1), α3=(2, 3, -1)}; 3
{β1=(1, 1, 1), β2=(1, 2, 3), β3=(2, 0, 1)}容易证明, {α1, α2, α3}和{β1, β2, β3}都是R 3的基. 求出由基{α1, α2, α3}到{β1, β2, β3}的过渡矩阵.
⎧x 1-x 2+5x 3-x 4=0⎪x +x -2x +3x =0⎪1234四 求齐次线性方程组 ⎨ 的一个基础解系.
⎪3x 1-x 2+8x 3+x 4=0
⎪⎩x 1+3x 2-9x 3+7x 4=0
⎡15-115⎤⎢⎥五. 设F 上三维向量空间的相性变换σ关于基{α1, α2, α3}的矩阵是20-158, ⎢⎥⎢⎣8-76⎥⎦
求σ关于基β1=2α1+3α2+α3, β2=3α1+4α2+α3, β3=α1+2α2+2α3 的矩阵.
2-1⎤⎡3⎢⎥-1六 矩阵A =-2-22, 求矩阵T, 使T AT 是对角形矩阵. ⎢⎥⎢6-1⎥⎣3⎦
222七 判断实二次形 10x 1-2x 2+3x 3+4x 1x 2+4x 1x 3 是不是正定的.
八 λ取什么值时, 实二次形 222 是正定的. λ(x 12+x 2+x 3) +2x 1x 2-2x 1x 3-2x 2x 3+x 4
九 证明:两个对称变换的和还是一个对称变换, 两个对称变换的乘积是不是对称变换?
找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.
十 证明题:设向量组{α1, α2, αr }线性无关, 而{α1, α2, αr , β}线性相关, 那么β一定可以由α1, α2, αr 相性表示.
《高等代数》试题7
一、问下列向量组是否线性相关？
（1）（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）
（2）（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）
二、设α, β, γ线性无关，证明α+β, β+γ, γ+α也线性无关。
三、考虑R 中以下两组向量{α1=(-3, 1, -2), α2=(1, -1, 1), α3=(2, 3, -1)}; 3
{β1=(1, 1, 1), β2=(1, 2, 3), β3=(2, 0, 1)}容易证明, {α1, α2, α3}和{β1, β2, β3}都是R 3的基. 求出由基{α1, α2, α3}到{β1, β2, β3}的过渡矩阵.
⎧x 1-x 2+5x 3-x 4=0⎪x +x -2x +3x =0⎪1234四 求齐次线性方程组 ⎨ 的一个基础解系.
⎪3x 1-x 2+8x 3+x 4=0
⎪⎩x 1+3x 2-9x 3+7x 4=0
⎡15-115⎤⎢⎥五. 设F 上三维向量空间的相性变换σ关于基{α1, α2, α3}的矩阵是20-158, ⎢⎥⎢⎣8-76⎥⎦
求σ关于基β1=2α1+3α2+α3, β2=3α1+4α2+α3, β3=α1+2α2+2α3 的矩阵.
2-1⎤⎡3⎢⎥-1六 矩阵A =-2-22, 求矩阵T, 使T AT 是对角形矩阵. ⎢⎥⎢6-1⎥⎣3⎦
222七 判断实二次形 10x 1-2x 2+3x 3+4x 1x 2+4x 1x 3 是不是正定的.
八 λ取什么值时, 实二次形 222 是正定的. λ(x 12+x 2+x 3) +2x 1x 2-2x 1x 3-2x 2x 3+x 4
九 证明:两个对称变换的和还是一个对称变换, 两个对称变换的乘积是不是对称变换?
找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.
十 证明题:设向量组{α1, α2, αr }线性无关, 而{α1, α2, αr , β}线性相关, 那么β一定可以由α1, α2, αr 相性表示.