点到直线的距离
一、 教学内容
《数学必修2》第三章《直线与方程》，第三单元《直线的交点与距离公式》第三节《点到直
线的距离》. 点二、教学目标
到直线的距离公式：
（1）探索并初步理解点到直线的距离公式； （2）进一步学习用代数方法解决几何问题. 三、教学重难点
点到直线的距离公式并初步会用. 四、教学准备 多媒体课件 五、教学过程
（一）创设情景 给出定义
师：同学们到学校要到公路上乘车，怎么走到村边的公路上，才使所走的路最短？
生：垂直于公路走最短。 [板书]点到直线的距离 （二）提出问题 初探思路
“求点P （-1，2）到直线l ：2x+y-10=0的距离。”
提问学生解题思路，估计学生的思路：先求过点P 的l 的垂线l 的方程；再联立l 、l ' 求垂足Q ，最后用两点间距离公式求│PQ │。[使学生巩固已学过的知识和方法，同
时也为问题二的解决作铺垫。]
'
（三）自主探索 推导公式
1. 公式引入及推导
我们已经学过两点间的距离公式，今天我们一起来看一个新的问题，请看大屏幕给大家五分钟时间，看谁先做出来. 问题1: 已知点
和直线的方程：
，求点P 0到直线的距离.
怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q ，求线段PQ 的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？
设计意图：由学生熟悉的两点间距离引入，直接提出本节课要讨论的问题.
师生活动：教师给学生一定的时间进行思考并推导，之后共同交流解决问题的方案. 学生可
能提出下面的方法：先过点P 0作直线l 的垂线，垂足为Q ，则|P0Q|就是点P 0到直线l 的距离d ；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q 的坐标；最后利用两点间距离公式求出|P0Q|.
问题2：这种方法计算量较大，能不能在此基础上进行改进使得方法简单些？ 设计意图：引导学生思考选择更好的方法得到点到直线的距离公式. 师生活动：
（1）根据学生情况，教师可以给予以下引导：
上述方法中的难点在于求交点坐标，以及两点之间的距离，如果是一条平行于坐标轴的线段，是不是交点坐标和线段长度就都很好求了？
教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x 轴和y 轴的特殊情况．学生解决．
l
l
板书：
当A =0时，l :By +C =0, PQ =y 0-y Q
By 0+C C
=y 0+=
B B
当B =0时，l :Ax +C =0, PQ =x 0-x Q =x 0+
当AB ≠0时，如何求PQ ？
Ax 0+C C = A A
学生思考回答下列想法：
根据上述思考以及借鉴两点间距离公式的推导，能否将|P0Q|放到一个直角三角形中求
解呢？
思路一：[学生类比问题一，容易有思路]过P 作
PQ ⊥l 于Q 点，根据点斜式写出直线PQ 方程，
)
由PQ 与l 联立方程组解得Q 点坐标，然后利用两
点距离公式求得． 教师继续提出问题：
(1)求线段长度可以构造图形吗？ (2)什么图形？如何构造？
(3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？
学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．
[老师引导学生观察图形，抓住直角特征，构造以垂线段为一直角边的直角三．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角形。] ．．
思路二：过P 点做x,y 轴的平行线与直线l 的交点R 、S ．在直角△PQR, 或直角△PQS 中, 求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）, 用余弦值．
思路三：在直角△PRS 中，求线段PR 、PS 、RS ，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ 长．
学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程．
B
（思路一）解：直线PQ ：y -y 0=(x -x 0), (x ≠x 0)，即Bx -Ay =Bx 0-Ay 0
A
⎧Bx -Ay =Bx 0-Ay 0B 2x 0-ABy 0-AC 由⎨，x Q = 22
A +B ⎩Ax +By +C =0
B 2x 0-ABy 0-AC -A 2x 0-B 2x 0-A (Ax 0+By 0+C )
x Q - x 0 = =22
A 2+B 2A +B
B Ax +By +C
y Q -y 0=(x -x 0)=-
B 0202
A A +B
∴d =
=
x
Q
22
-x 0+y Q -y 0
（思路二）解：在Rt △PSQ 中，已知|PS|、θ，要求PQ ，只需求cos θ。
而已知l 的方程，就知道tg α（当B ≠0时，tg α=－就知道sec θ，就可以求出cos θ；∵θ＜90°，∴
cos θ=
1+tg θ
2
0+By 0+C
=
A ），也就知道tg θ， 也B
=
11+A B 2
2
=
B A +B
2
2
；
在Rt △PSQ 中，已知│PS │，cos ∠QPS 即 cos θ，则
│PQ │=│PS │cos θ =
Ax 0+By 0+C A +B
2
2
Ax 0+By 0+C
B
×
B A +B
2
2
=
（思路三）解：设P (x 0, y 0)，Q (x Q , y Q )，R (x R , y 0)，S (x 0, y S )
Ax R +By 0+C =0，x R =-
By 0+C Ax +C
；Ax 0+By S +C =0，y S =-0 A B
RP =x 0-x R =
Ax 0+By 0+C
A Ax 0+By 0+C
B
PR ⋅PS RS
PS =y 0-y S =
由PQ ⋅RS =PR ⋅PS ， PQ =
而RS =RP +PS
22
=Ax 0+By 0+C
A 2+B 2
A 2+B 2
22
A B
=
Ax 0+By 0+C
AB
∴PQ =
Ax 0+By 0+C
A +B
2
2
2. 公式结构分析及应用 问题3：公式有哪些结构特征？
设计意图：通过对结构的分析，帮助学生准确记忆公式. 师生活动：
教师引导并具体指出公式特点：
公式的分子：保留直线方程一般式的结构，体现了公式与直线方程关系. 公式的分母：直线方程中两个未知数的系数的平方和再开方.
公式分子中的结构：
就是将已知点的坐标带入到直线方程后取绝对值的结
果，点到直线距离公式实际上也体现了这个值与该点到直线距离的关系. 例1 求点P 0(－1,2) 到直线3x=2的距离. 例2 练习:
求点P 0(－1,2) 到下列直线的距离 ① 5y=3 ② 2x＋y=10 ③ y=－4x+1 设计意图：直接运用公式，熟悉公式.
师生活动：
在运用点到直线距离公式时，教师应强调公式结构，并强调先将直线方程化为一般式后，再将点的坐标带入到直线方程进行计算，并指出，当直线垂直于坐标轴时，可直接求解. 例2 已知点A （4,2）到直线
的距离为2，求k 的值.
设计意图：公式的逆用，已知点到直线的距离，求解参数的值，进一步熟悉公式，并达到对公式的初步理解. 师生活动：
教师应关注学生是否能将直线方程化为一般式，以及学生是否能利用公式得到关于k 的方程.
（四）课堂小结
本节课学习了点到直线距离公式. 在推导过程中，我们通过构造直角三角形将求两点间的距离转化为了求平行于坐标轴的线段的长度，这降低了运算难度. 可以看到点到直线的距离公式的分子是将已知点坐标带入直线方程等号左边的式子后再取绝对值的结果，分母则是直线方程中未知数系数的平方和再开方. 在应用公式的时候应当注意，应将直线方程化为一般式之后再用公式进行计算. （五）布置作业 课堂未完成例2 求P （-1,1）到直线l ：
的距离d
（六）课后反思
点到直线的距离
一、 教学内容
《数学必修2》第三章《直线与方程》，第三单元《直线的交点与距离公式》第三节《点到直
线的距离》. 点二、教学目标
到直线的距离公式：
（1）探索并初步理解点到直线的距离公式； （2）进一步学习用代数方法解决几何问题. 三、教学重难点
点到直线的距离公式并初步会用. 四、教学准备 多媒体课件 五、教学过程
（一）创设情景 给出定义
师：同学们到学校要到公路上乘车，怎么走到村边的公路上，才使所走的路最短？
生：垂直于公路走最短。 [板书]点到直线的距离 （二）提出问题 初探思路
“求点P （-1，2）到直线l ：2x+y-10=0的距离。”
提问学生解题思路，估计学生的思路：先求过点P 的l 的垂线l 的方程；再联立l 、l ' 求垂足Q ，最后用两点间距离公式求│PQ │。[使学生巩固已学过的知识和方法，同
时也为问题二的解决作铺垫。]
'
（三）自主探索 推导公式
1. 公式引入及推导
我们已经学过两点间的距离公式，今天我们一起来看一个新的问题，请看大屏幕给大家五分钟时间，看谁先做出来. 问题1: 已知点
和直线的方程：
，求点P 0到直线的距离.
怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q ，求线段PQ 的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？
设计意图：由学生熟悉的两点间距离引入，直接提出本节课要讨论的问题.
师生活动：教师给学生一定的时间进行思考并推导，之后共同交流解决问题的方案. 学生可
能提出下面的方法：先过点P 0作直线l 的垂线，垂足为Q ，则|P0Q|就是点P 0到直线l 的距离d ；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q 的坐标；最后利用两点间距离公式求出|P0Q|.
问题2：这种方法计算量较大，能不能在此基础上进行改进使得方法简单些？ 设计意图：引导学生思考选择更好的方法得到点到直线的距离公式. 师生活动：
（1）根据学生情况，教师可以给予以下引导：
上述方法中的难点在于求交点坐标，以及两点之间的距离，如果是一条平行于坐标轴的线段，是不是交点坐标和线段长度就都很好求了？
教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x 轴和y 轴的特殊情况．学生解决．
l
l
板书：
当A =0时，l :By +C =0, PQ =y 0-y Q
By 0+C C
=y 0+=
B B
当B =0时，l :Ax +C =0, PQ =x 0-x Q =x 0+
当AB ≠0时，如何求PQ ？
Ax 0+C C = A A
学生思考回答下列想法：
根据上述思考以及借鉴两点间距离公式的推导，能否将|P0Q|放到一个直角三角形中求
解呢？
思路一：[学生类比问题一，容易有思路]过P 作
PQ ⊥l 于Q 点，根据点斜式写出直线PQ 方程，
)
由PQ 与l 联立方程组解得Q 点坐标，然后利用两
点距离公式求得． 教师继续提出问题：
(1)求线段长度可以构造图形吗？ (2)什么图形？如何构造？
(3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？
学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．
[老师引导学生观察图形，抓住直角特征，构造以垂线段为一直角边的直角三．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角形。] ．．
思路二：过P 点做x,y 轴的平行线与直线l 的交点R 、S ．在直角△PQR, 或直角△PQS 中, 求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）, 用余弦值．
思路三：在直角△PRS 中，求线段PR 、PS 、RS ，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ 长．
学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程．
B
（思路一）解：直线PQ ：y -y 0=(x -x 0), (x ≠x 0)，即Bx -Ay =Bx 0-Ay 0
A
⎧Bx -Ay =Bx 0-Ay 0B 2x 0-ABy 0-AC 由⎨，x Q = 22
A +B ⎩Ax +By +C =0
B 2x 0-ABy 0-AC -A 2x 0-B 2x 0-A (Ax 0+By 0+C )
x Q - x 0 = =22
A 2+B 2A +B
B Ax +By +C
y Q -y 0=(x -x 0)=-
B 0202
A A +B
∴d =
=
x
Q
22
-x 0+y Q -y 0
（思路二）解：在Rt △PSQ 中，已知|PS|、θ，要求PQ ，只需求cos θ。
而已知l 的方程，就知道tg α（当B ≠0时，tg α=－就知道sec θ，就可以求出cos θ；∵θ＜90°，∴
cos θ=
1+tg θ
2
0+By 0+C
=
A ），也就知道tg θ， 也B
=
11+A B 2
2
=
B A +B
2
2
；
在Rt △PSQ 中，已知│PS │，cos ∠QPS 即 cos θ，则
│PQ │=│PS │cos θ =
Ax 0+By 0+C A +B
2
2
Ax 0+By 0+C
B
×
B A +B
2
2
=
（思路三）解：设P (x 0, y 0)，Q (x Q , y Q )，R (x R , y 0)，S (x 0, y S )
Ax R +By 0+C =0，x R =-
By 0+C Ax +C
；Ax 0+By S +C =0，y S =-0 A B
RP =x 0-x R =
Ax 0+By 0+C
A Ax 0+By 0+C
B
PR ⋅PS RS
PS =y 0-y S =
由PQ ⋅RS =PR ⋅PS ， PQ =
而RS =RP +PS
22
=Ax 0+By 0+C
A 2+B 2
A 2+B 2
22
A B
=
Ax 0+By 0+C
AB
∴PQ =
Ax 0+By 0+C
A +B
2
2
2. 公式结构分析及应用 问题3：公式有哪些结构特征？
设计意图：通过对结构的分析，帮助学生准确记忆公式. 师生活动：
教师引导并具体指出公式特点：
公式的分子：保留直线方程一般式的结构，体现了公式与直线方程关系. 公式的分母：直线方程中两个未知数的系数的平方和再开方.
公式分子中的结构：
就是将已知点的坐标带入到直线方程后取绝对值的结
果，点到直线距离公式实际上也体现了这个值与该点到直线距离的关系. 例1 求点P 0(－1,2) 到直线3x=2的距离. 例2 练习:
求点P 0(－1,2) 到下列直线的距离 ① 5y=3 ② 2x＋y=10 ③ y=－4x+1 设计意图：直接运用公式，熟悉公式.
师生活动：
在运用点到直线距离公式时，教师应强调公式结构，并强调先将直线方程化为一般式后，再将点的坐标带入到直线方程进行计算，并指出，当直线垂直于坐标轴时，可直接求解. 例2 已知点A （4,2）到直线
的距离为2，求k 的值.
设计意图：公式的逆用，已知点到直线的距离，求解参数的值，进一步熟悉公式，并达到对公式的初步理解. 师生活动：
教师应关注学生是否能将直线方程化为一般式，以及学生是否能利用公式得到关于k 的方程.
（四）课堂小结
本节课学习了点到直线距离公式. 在推导过程中，我们通过构造直角三角形将求两点间的距离转化为了求平行于坐标轴的线段的长度，这降低了运算难度. 可以看到点到直线的距离公式的分子是将已知点坐标带入直线方程等号左边的式子后再取绝对值的结果，分母则是直线方程中未知数系数的平方和再开方. 在应用公式的时候应当注意，应将直线方程化为一般式之后再用公式进行计算. （五）布置作业 课堂未完成例2 求P （-1,1）到直线l ：
的距离d
（六）课后反思