一元二次方程考点
知识点1．一元二次方程的判断标准：
（1）方程是整式方程（2）只有一个未知数——（一元）（3）未知数的最高次数是2——（二次）
三个条件同时满足的方程就是一元二次方程
练习：
1、下面关于x 的方程中：①ax2+bx+c=0；②3x2-2x=1；③x+3=12；④x2-y=0；④（x+1）=x 2-1．一元二次方程的个数是.
222、若方程kx +x=3x+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．
3、若关于x 的方程x
4、若方程（m-1）xk 2-2则k 的取值范围是_________．+-1+5=0是一元二次方程，|m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．
知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ax 2是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，b 为一次项系数，c 为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号
练习：
1、将一元二次方程3x (x -1) =5(x +2) 化成一般形式为_____________，其中二次项系数a =________，一次项系数b=__________，常数项c=__________
知识点3．完全平方式
a2+2ab+b2a2-2ab+b2
练习：
1、说明代数式2x -4x -1总大于x -2x -4
2、已知a +
22211=,求a -的值.a a 3、若x +mx+9是一个完全平方式，则m=
22若x +6x+m是一个完全平方式，则m 的值是，。若4x 2+kx +9是完全平方式，则k =知识点4．整体运算
思路：把一个代数式看成一个整体来求值，然后代入去求另一个代数式的值。练习：
1、已知x +3x+5的值为11，则代数式3x +9x+12的值为
2、已知实数x 满足x 2+x -1=0则代数式3x 2+3x +7的值为____________知识点5．方程的解22
练习：
1、已知关于x 的方程x +3x+k=0的一个根是x=-1，则2、求以x 1=-1，x 2=-3为两根的关于x 的一元二次方程
知识点6．方程的解法22⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次
练习：
1、直接开方解法方程
(x -6) 2+3=0
2、用配方法解方程1(x -3) 2=2x 2-4x +3=0x 2+2x -1=0
3、用公式法解方程
2x 2-7x +3=0
4、用因式分解法解方程x 2-x -1=0
3x (x -2) =2x -4
5、用十字相乘法解方程(2x -4) 2=(x +5) 2
x 2-x -90=02x 2+x -10=0
2知识点7．一元二次方程根的判别式：∆=b -4ac
练习：
1、关于x 的一元二次方程x 2+(m +2) x +2m -1=0. 求证：方程有两个不相等的实数根2、若关于x 的方程x 2+2k x -1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
3、关于x 的方程(m -1)x +2mx +m =0有实数根，则m 的取值范围是2知识点8．韦达定理
b c 2x 1+x 2=-, x 1x 2=(a≠0,Δ=b-4ac≥0) 使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）定理成立的条件∆≥0
练习：
1、已知方程5x + mx-6=0的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值。
2、已知2x +4x -3=0的两根是x 1,x 2，利用根于系数的关系求下列各式的值22
11+x 1x 22x 12+x 2(x 1+1)(x 2+1)
2(x 1-x 2) 212m －2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有43、已知关于x 的一元二次方程x －（m+2）x+
两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 1，x2满足x 12+x22=18，求m 的值．知识点9．一元二次方程与实际问题
1、病毒传播问题
2、树干问题
3、握手问题（单循环问题）
4、贺卡问题（双循环问题）
5、围栏问题
6、几何图形（道路、做水箱）
7、增长率、折旧、降价率问题
8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）
9、数字问题
10、折扣问题
练习：
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
一元二次方程考点
知识点1．一元二次方程的判断标准：
（1）方程是整式方程（2）只有一个未知数——（一元）（3）未知数的最高次数是2——（二次）
三个条件同时满足的方程就是一元二次方程
练习：
1、下面关于x 的方程中：①ax2+bx+c=0；②3x2-2x=1；③x+3=12；④x2-y=0；④（x+1）=x 2-1．一元二次方程的个数是.
222、若方程kx +x=3x+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．
3、若关于x 的方程x
4、若方程（m-1）xk 2-2则k 的取值范围是_________．+-1+5=0是一元二次方程，|m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．
知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ax 2是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，b 为一次项系数，c 为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号
练习：
1、将一元二次方程3x (x -1) =5(x +2) 化成一般形式为_____________，其中二次项系数a =________，一次项系数b=__________，常数项c=__________
知识点3．完全平方式
a2+2ab+b2a2-2ab+b2
练习：
1、说明代数式2x -4x -1总大于x -2x -4
2、已知a +
22211=,求a -的值.a a 3、若x +mx+9是一个完全平方式，则m=
22若x +6x+m是一个完全平方式，则m 的值是，。若4x 2+kx +9是完全平方式，则k =知识点4．整体运算
思路：把一个代数式看成一个整体来求值，然后代入去求另一个代数式的值。练习：
1、已知x +3x+5的值为11，则代数式3x +9x+12的值为
2、已知实数x 满足x 2+x -1=0则代数式3x 2+3x +7的值为____________知识点5．方程的解22
练习：
1、已知关于x 的方程x +3x+k=0的一个根是x=-1，则2、求以x 1=-1，x 2=-3为两根的关于x 的一元二次方程
知识点6．方程的解法22⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次
练习：
1、直接开方解法方程
(x -6) 2+3=0
2、用配方法解方程1(x -3) 2=2x 2-4x +3=0x 2+2x -1=0
3、用公式法解方程
2x 2-7x +3=0
4、用因式分解法解方程x 2-x -1=0
3x (x -2) =2x -4
5、用十字相乘法解方程(2x -4) 2=(x +5) 2
x 2-x -90=02x 2+x -10=0
2知识点7．一元二次方程根的判别式：∆=b -4ac
练习：
1、关于x 的一元二次方程x 2+(m +2) x +2m -1=0. 求证：方程有两个不相等的实数根2、若关于x 的方程x 2+2k x -1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
3、关于x 的方程(m -1)x +2mx +m =0有实数根，则m 的取值范围是2知识点8．韦达定理
b c 2x 1+x 2=-, x 1x 2=(a≠0,Δ=b-4ac≥0) 使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）定理成立的条件∆≥0
练习：
1、已知方程5x + mx-6=0的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值。
2、已知2x +4x -3=0的两根是x 1,x 2，利用根于系数的关系求下列各式的值22
11+x 1x 22x 12+x 2(x 1+1)(x 2+1)
2(x 1-x 2) 212m －2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有43、已知关于x 的一元二次方程x －（m+2）x+
两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 1，x2满足x 12+x22=18，求m 的值．知识点9．一元二次方程与实际问题
1、病毒传播问题
2、树干问题
3、握手问题（单循环问题）
4、贺卡问题（双循环问题）
5、围栏问题
6、几何图形（道路、做水箱）
7、增长率、折旧、降价率问题
8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）
9、数字问题
10、折扣问题
练习：
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？