平面图形直观图的画法
先观察下面的图形，总结投影变化规律。
投影规律：
1. 平行性不变; 但形状、长度、夹角
会改变；
2. 平行直线段或同一直线上的两条
线段的比不变
3. 在太阳光下，平行于地面
的直线在地面上的投影长不变
表示空间图形的平面图形，叫做
空间图形的直观图
画空间图形的直观图，一般都要
遵守统一的规则，
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
2．平面图形直观图的画法
斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O . 画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝_45°(或135°) _，它们确定的平面表示_水平面．
(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成_
于x ′轴或y ′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持，_垂直于x 轴的线段，长度为原来的_一半_．
注意点：
1．斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？
提示：“斜”是指在已知图形的xOy 平面内垂直于x 轴的线段，在直观图中均与x ′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x ′轴或z ′轴的线段长度不变；平行于y ′轴的线段长度变为原来的一半。
2．圆的斜二测画法，其图形还是圆吗？
提示：不是圆，是一个压扁了的“圆”，即椭圆。
3．立体图形直观图的画法
由于立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，因此，用斜二测画法画立体图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段．平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半． 例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
解：
第一步：在六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为X 轴，对称轴
MN
所在的直线为Y 轴，两轴交于点O 。画相应的X ’轴和Y ’轴，两轴交于点O ’，使∠x ’Oy ’=45°
第二步：以O ’点为中心，在X ’上去A ’D ’=AD，在y ’轴上去M ’N ’=0.5MN。以点N ’为中心，话B ’C ’平行于x ’轴，并且等于BC ，再以M ’为中心，画E ’F ’平行于X ’轴，并且等于EF 。
第三步：连接A ’B ’,C ’D ’,E ’F ’,F ’A ’。
第四步：擦去辅助线x ’轴和y ’轴，便获得六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ’B ’C ’D ’E ’F ’
总结画法规则：
1、在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O 点，再取z 轴，使∠xoz=900,且∠yoz=900；
2、画直观图时把它们画成对应的x ’轴、y ’轴和z ’轴, 它们交于O ’, 并使∠x ’oy ’=450(或1350), ∠x ’oz ’=900, x’轴和y ’轴所确定的平面表示水平平面。
3、已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ’轴、y ’轴或z ’轴的线段。(即平行性不变）。
4、已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半(即横不变纵折半）。 是为斜二测画法。
平面图形直观图的画法
基本步骤：
（1）建系；
（2）画轴；
（3）作平行线段（横不变纵减半）；
（4）连线；
（5）擦去辅助线（也可保留辅助线）；
课堂检测：
1关于斜二测画法的下列结论：
（1）三角形的直观图还是三角形；
（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；
（3）正方形的直观图还是正方形；（
（4）菱形的直观图还是菱形
其中正确的是（）
A （1）（2） B （1）（3） C （3）（4）
2 下列说法中正确的是（）
A 水平放置的矩形的直观图可能是梯形 （1）（2）（3）（4） D
B 水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形
C 水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形
D 水平放置的菱形的直观图不可能是平行四边形
重要规律：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．
对于直观图，除了了解其画图规则外，还要了解原图形面积S 与其直
2观图面积S ′之间的关系S ′S ，能进行相关问题的计算． 4
已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图
△A ′B ′C ′的面积为( ) 3232622A. B.C. a 48816
解析：如图①、②所示的实际图形和直观图．
13由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝a ， 24
2在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝′C ′a. 28
11662∴S △A ′＝′B ′·C ′D ′＝＝a . B ′C ′22816
答案：D
将直观图还原为平面图
把一个水平放置的平面图形的直观图，通过逆向思维，逆 用斜二测画法规则可还原为原来的图形．
例题2、如图是一梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S ，求梯形OABC 的面积．
【思路点拨】 还原→求原图形的高→求原图形的面积
【解】 设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h . C ′B ′＝CB ，O ′A ′＝OA .
过C ′作C ′D ⊥O ′A ′于D ，则C ′D h . 2
1由题意知′D (C ′B ′＋O ′A ′) ＝S ， 2
2即(C ′B ′＋O ′A ′) ＝S
.
4
又原直角梯形面积为
1S ′＝2h (CB ＋OA ) 2
＝h (C ′B ′＋O ′A ′) 4S ＝2S ， 2
所以梯形OABC 的面积为2S .
注意：由直观图还原为平面图形时，注意平行y ′轴的线段，要变为2倍长度．
如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一
个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，
O ′C ′＝2 cm ，则原图形
是( )
A ．正方形B ．矩形
C ．菱形 D ．一般的平行四边形
解析：将直观图还原得▱OABC ，则
∵O ′D ′′C ′＝2(cm ) ，
OD ＝2O ′D ′＝2(cm ) ，
C ′D ′＝O ′C ′＝2(cm ) ，∴CD ＝2(cm ) ，
OC CD 2＋OD 2＝22＋2＝
6(cm ) ，
OA ＝O ′A ′＝6 (cm ) ＝OC
，
故原图形为菱形．
答案：C
立体图形直观图的画法
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于o 点．画直观图时，把它画成对应的x ′轴、y ′轴，使
∠ x ' Oy '=45 或 135，它确定的平面表示水平平面。
（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．
例：用斜二测画法画长, 宽, 高分别是
4cm,3cm,2cm 的长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’的直观图
解：
第一步：画轴。画x 轴，y 轴，z 轴，三轴交
于点O ，使得∠xOy=45°，∠xOz=90°
第二步：画底面。以O 为中心，在x 轴上取
线段MN ，使得MN=4cm，在y 轴上取线段
PQ ，使得PQ=1.5cm；分别国电M.N 作y 轴
的平行线，过点P ,Q 作x 轴的平行线，作出
平行四边形ABCD
第三步：画侧棱，过点A,B,C,D, 分别作z 轴的平行线，并在这些平行 (
)
线上分别截取2cm 长的线段AA ’,BB ’,CC ’,DD ’。
第四步：成图，连接A ’,B ’,C ’,D ’去掉辅助线，即
可画出直观图
总结基本步骤：
（1）画轴；
（2）画底面；
（3）画侧棱；
（4）成图；
总结：
斜二测画法的规则；关键是“平行性不变；横不变纵折半”。
平面图形直观图的画法
先观察下面的图形，总结投影变化规律。
投影规律：
1. 平行性不变; 但形状、长度、夹角
会改变；
2. 平行直线段或同一直线上的两条
线段的比不变
3. 在太阳光下，平行于地面
的直线在地面上的投影长不变
表示空间图形的平面图形，叫做
空间图形的直观图
画空间图形的直观图，一般都要
遵守统一的规则，
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
2．平面图形直观图的画法
斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O . 画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝_45°(或135°) _，它们确定的平面表示_水平面．
(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成_
于x ′轴或y ′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持，_垂直于x 轴的线段，长度为原来的_一半_．
注意点：
1．斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？
提示：“斜”是指在已知图形的xOy 平面内垂直于x 轴的线段，在直观图中均与x ′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x ′轴或z ′轴的线段长度不变；平行于y ′轴的线段长度变为原来的一半。
2．圆的斜二测画法，其图形还是圆吗？
提示：不是圆，是一个压扁了的“圆”，即椭圆。
3．立体图形直观图的画法
由于立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，因此，用斜二测画法画立体图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段．平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半． 例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
解：
第一步：在六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为X 轴，对称轴
MN
所在的直线为Y 轴，两轴交于点O 。画相应的X ’轴和Y ’轴，两轴交于点O ’，使∠x ’Oy ’=45°
第二步：以O ’点为中心，在X ’上去A ’D ’=AD，在y ’轴上去M ’N ’=0.5MN。以点N ’为中心，话B ’C ’平行于x ’轴，并且等于BC ，再以M ’为中心，画E ’F ’平行于X ’轴，并且等于EF 。
第三步：连接A ’B ’,C ’D ’,E ’F ’,F ’A ’。
第四步：擦去辅助线x ’轴和y ’轴，便获得六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ’B ’C ’D ’E ’F ’
总结画法规则：
1、在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O 点，再取z 轴，使∠xoz=900,且∠yoz=900；
2、画直观图时把它们画成对应的x ’轴、y ’轴和z ’轴, 它们交于O ’, 并使∠x ’oy ’=450(或1350), ∠x ’oz ’=900, x’轴和y ’轴所确定的平面表示水平平面。
3、已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ’轴、y ’轴或z ’轴的线段。(即平行性不变）。
4、已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半(即横不变纵折半）。 是为斜二测画法。
平面图形直观图的画法
基本步骤：
（1）建系；
（2）画轴；
（3）作平行线段（横不变纵减半）；
（4）连线；
（5）擦去辅助线（也可保留辅助线）；
课堂检测：
1关于斜二测画法的下列结论：
（1）三角形的直观图还是三角形；
（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；
（3）正方形的直观图还是正方形；（
（4）菱形的直观图还是菱形
其中正确的是（）
A （1）（2） B （1）（3） C （3）（4）
2 下列说法中正确的是（）
A 水平放置的矩形的直观图可能是梯形 （1）（2）（3）（4） D
B 水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形
C 水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形
D 水平放置的菱形的直观图不可能是平行四边形
重要规律：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．
对于直观图，除了了解其画图规则外，还要了解原图形面积S 与其直
2观图面积S ′之间的关系S ′S ，能进行相关问题的计算． 4
已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图
△A ′B ′C ′的面积为( ) 3232622A. B.C. a 48816
解析：如图①、②所示的实际图形和直观图．
13由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝a ， 24
2在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝′C ′a. 28
11662∴S △A ′＝′B ′·C ′D ′＝＝a . B ′C ′22816
答案：D
将直观图还原为平面图
把一个水平放置的平面图形的直观图，通过逆向思维，逆 用斜二测画法规则可还原为原来的图形．
例题2、如图是一梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S ，求梯形OABC 的面积．
【思路点拨】 还原→求原图形的高→求原图形的面积
【解】 设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h . C ′B ′＝CB ，O ′A ′＝OA .
过C ′作C ′D ⊥O ′A ′于D ，则C ′D h . 2
1由题意知′D (C ′B ′＋O ′A ′) ＝S ， 2
2即(C ′B ′＋O ′A ′) ＝S
.
4
又原直角梯形面积为
1S ′＝2h (CB ＋OA ) 2
＝h (C ′B ′＋O ′A ′) 4S ＝2S ， 2
所以梯形OABC 的面积为2S .
注意：由直观图还原为平面图形时，注意平行y ′轴的线段，要变为2倍长度．
如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一
个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，
O ′C ′＝2 cm ，则原图形
是( )
A ．正方形B ．矩形
C ．菱形 D ．一般的平行四边形
解析：将直观图还原得▱OABC ，则
∵O ′D ′′C ′＝2(cm ) ，
OD ＝2O ′D ′＝2(cm ) ，
C ′D ′＝O ′C ′＝2(cm ) ，∴CD ＝2(cm ) ，
OC CD 2＋OD 2＝22＋2＝
6(cm ) ，
OA ＝O ′A ′＝6 (cm ) ＝OC
，
故原图形为菱形．
答案：C
立体图形直观图的画法
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于o 点．画直观图时，把它画成对应的x ′轴、y ′轴，使
∠ x ' Oy '=45 或 135，它确定的平面表示水平平面。
（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．
例：用斜二测画法画长, 宽, 高分别是
4cm,3cm,2cm 的长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’的直观图
解：
第一步：画轴。画x 轴，y 轴，z 轴，三轴交
于点O ，使得∠xOy=45°，∠xOz=90°
第二步：画底面。以O 为中心，在x 轴上取
线段MN ，使得MN=4cm，在y 轴上取线段
PQ ，使得PQ=1.5cm；分别国电M.N 作y 轴
的平行线，过点P ,Q 作x 轴的平行线，作出
平行四边形ABCD
第三步：画侧棱，过点A,B,C,D, 分别作z 轴的平行线，并在这些平行 (
)
线上分别截取2cm 长的线段AA ’,BB ’,CC ’,DD ’。
第四步：成图，连接A ’,B ’,C ’,D ’去掉辅助线，即
可画出直观图
总结基本步骤：
（1）画轴；
（2）画底面；
（3）画侧棱；
（4）成图；
总结：
斜二测画法的规则；关键是“平行性不变；横不变纵折半”。