质点动能定理的证明(高中数学基础)

动能定理

质点动能定理的证明（高中数学基础）

如果质点m在恒力F作用下做直线运动，质点的位移为s，则根据牛顿第二定律

2F=ma和匀变速直线运动公式v2-v0=2as，可得

2v2-v0112W=Fs=ma=mv2-mv0 2a22

式中

Ek=

称为质点的动能，这就是质点动能定理。 12mv 2

对于变力的情形，可以采用以下方法分析：将外力F分解为两个分量，即切向力

，根据功的定义，Ft（与速度方向平行的分量）和法向力Fn（与速度方向垂直的分量）

法向力Fn与质点的位移Δr垂直，因而不做功，因此外力F的功就等于切向力Ft的功。为了计算力F做的功，可以把质点的位移Δr分成若干小段的位移Δri（称为位移微元或元位移，每一段元位移Δri的方向可能各不相同），把这些元位移Δri近似看做直线，作用在每一段元位移Δri上的外力Fi也可以近似看做恒力（类似的，作用在这每一段元位移Δri上的外力Fi的方向可能也各不相同），Δri与Fi之间的夹角为θi（当元位移

，根据恒力作用下的质点动能定理，Δri充分小时Δri的方向可以认为与速度方向相同）

作用在元位移Δri上的外力Fi做的功ΔWi（称为功微元或元功）为

ΔWi=FiΔricosθi=FitΔri=1212mvi-mvi-1 22

上式中Fit=Ficosθi为作用在每一段元位移Δri上的外力Fi在Δri方向上的分力。为了计算外力F做的功，把外力F在每一段元位移Δri上的元功ΔWi相加，可得

1⎛1⎫1212WA→B=∑ΔWi=∑ mvi2-mvi2-1⎪=mvn-mv0 22⎭2i=1i=1⎝2

元位移Δri取得越小，以上两式的精确度就越高，如果把元位移Δri取得nn 接近于零（也就是Δri无限小，即Δri→0），则上式中的功WA→B就是Δ外力F做的功W的准确值。记vA=v0为初速度，vB=vn为末速度，则

WA→B=

如果用ΔEk表示动能的增量，即 1212mvB-mvA 22

⎛1⎫1212ΔEk=Δ mv2⎪=mvB-mvA 2⎝2⎭2

则前式可以简写为

W=ΔEk

这就是质点动能定理：外力做的功等于质点动能的增量，这样就证明了质点动能定理，这个定理仅适用于惯性系。

对于一维直线运动，质点动能定理表达为

W=1212mv-mv0 22

上式中，v0=v(t0)，v=v(t)，分别为质点在时刻t0和t时的速度；或者v0=v(x0)，v=v(x)，分别为质点在位置x0和x处的速度。

以上证明方法的思路就是高等数学中微积分的基本思想，即划分-求和-取极限，先对经过的路径（积分路径）进行划分得到路径微元，定出要求的物理量微元（微分），然后把各个物理量微元相加求和（积分），最后令积分路径微元取无限小（取极限），即可得到所要求物理量的准确值。