理论力学(哈工大版)第十二章:动量矩定理

第八章 动量矩定理

8-1 质点系的动量矩（待强化） 一．动量矩的概念

质点对点O的动量矩：O(m)m 质点对轴 z 的动量矩：mz(m)mO(mxy) 对着轴看：顺时针为负 逆时针为正

质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：O(m) zmz(m) kg·ｍ2/s。

二．质点系的动量矩 质系对点O动量矩：LO质系对轴z 动量矩：Lz

m

O

(mii)

mi

i

i

z

(mii)LO z

三．质点系的动量矩的计算

L0Lcrcmvc

质点系对任意定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O点动量矩的矢量和。

质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质心平动的参考系的相对运动动量矩。 结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的平动参考系的相对速度vi`，所得结果是一样的。 四、刚体的动量矩 1．平动刚体

LOO(mC)CmC

Lzmz(mC)

2．定轴转动刚体 LzJZ

3．平面运动刚体

LOrCmvCLCOCmvCLC

Lzmz(mC)JC

平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。

8-2 动量矩定理（待强化） 一．质点的动量矩定理

ddt

(rmv)rF ,

ddt

[mO(mv)]mO(F)

质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。

质点动量矩定理的应用：1、在质点受有心力的作用时。2、质点绕某心（轴）转动的问题。 二．质点系的动量矩定理

dLOdt



m

O

(Fi

(e)

)MO

(e)

质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。

8-3 动量矩守恒

质点系的动量矩守恒：当MO

8-4 刚体定轴转动微分方程（自：这里可以不用看） 一．转动惯量 1．定义：Jz

(e)

0时，LO常矢量。当M

(e)z

0时，Lz常量。



miri

2

若刚体的质量是连续分布：Jz单位：kg·m2



m

2

rdm

2．转动惯量的计算

（１）积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用） （2） 回转半径 由

Jzm

2

所定义的长度z称为刚体对 z 轴的回转半径。

Jzmz

（3） 平行移轴定理（同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。）

Jz'JzCmd

2

（4）计算转动惯量的组合法

当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。

二．刚体定轴转动微分方程 JzM

(e)z

或 Jz

ddt

2

2

M

(e)z

解决两类问题：

已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。

特殊情况： 若Mz若M

z

(e)



m

z

(F

(e)

)0,则0,恒量，刚体作匀速转动或保持静止。

(e)

常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。

8-5 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程 一．质点系相对质心的动量矩定理 dLC rdt



C

(Fi

(e)

)MC

(e)

（自：没什么区别）

质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。 二．刚体平面运动微分方程 maC xCmx

(e)



X , maC y

Y , JC 

mC(F

(e)

)



CX , my

 Y , JC

mC(F

)

动量矩定理习题课

六．动量矩定理的应用

应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）

1．已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。

2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。 3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。

注意：

研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。

应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定的一致性。

第八章 动量矩定理

8-1 质点系的动量矩（待强化） 一．动量矩的概念

质点对点O的动量矩：O(m)m 质点对轴 z 的动量矩：mz(m)mO(mxy) 对着轴看：顺时针为负 逆时针为正

质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：O(m) zmz(m) kg·ｍ2/s。

二．质点系的动量矩 质系对点O动量矩：LO质系对轴z 动量矩：Lz

m

O

(mii)

mi

i

i

z

(mii)LO z

三．质点系的动量矩的计算

L0Lcrcmvc

质点系对任意定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O点动量矩的矢量和。

质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质心平动的参考系的相对运动动量矩。 结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的平动参考系的相对速度vi`，所得结果是一样的。 四、刚体的动量矩 1．平动刚体

LOO(mC)CmC

Lzmz(mC)

2．定轴转动刚体 LzJZ

3．平面运动刚体

LOrCmvCLCOCmvCLC

Lzmz(mC)JC

平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。

8-2 动量矩定理（待强化） 一．质点的动量矩定理

ddt

(rmv)rF ,

ddt

[mO(mv)]mO(F)

质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。

质点动量矩定理的应用：1、在质点受有心力的作用时。2、质点绕某心（轴）转动的问题。 二．质点系的动量矩定理

dLOdt



m

O

(Fi

(e)

)MO

(e)

质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。

8-3 动量矩守恒

质点系的动量矩守恒：当MO

8-4 刚体定轴转动微分方程（自：这里可以不用看） 一．转动惯量 1．定义：Jz

(e)

0时，LO常矢量。当M

(e)z

0时，Lz常量。



miri

2

若刚体的质量是连续分布：Jz单位：kg·m2



m

2

rdm

2．转动惯量的计算

（１）积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用） （2） 回转半径 由

Jzm

2

所定义的长度z称为刚体对 z 轴的回转半径。

Jzmz

（3） 平行移轴定理（同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。）

Jz'JzCmd

2

（4）计算转动惯量的组合法

当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。

二．刚体定轴转动微分方程 JzM

(e)z

或 Jz

ddt

2

2

M

(e)z

解决两类问题：

已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。

特殊情况： 若Mz若M

z

(e)



m

z

(F

(e)

)0,则0,恒量，刚体作匀速转动或保持静止。

(e)

常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。

8-5 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程 一．质点系相对质心的动量矩定理 dLC rdt



C

(Fi

(e)

)MC

(e)

（自：没什么区别）

质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。 二．刚体平面运动微分方程 maC xCmx

(e)



X , maC y

Y , JC 

mC(F

(e)

)



CX , my

 Y , JC

mC(F

)

动量矩定理习题课

六．动量矩定理的应用

应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）

1．已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。

2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。 3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。

注意：

研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。

应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定的一致性。