1.2.2 充要条件
教材分析
充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础．
这节内容被安排在高二第一学期第一章“常用逻辑用语”的第二节．教材在学习这节内容前，安排了“四种命题”这节内容作为必要的知识铺垫，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念．
从学生学习的角度看，学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善．
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解充要条件的概念和判断方法．
教学目标
重 点: 1．理解充要条件的意义．
2．命题条件的充要性判断．
难 点：命题条件的充要性判断．
知识点：1．充要条件的概念．
2．判断命题的条件的充要性的方法．
能力点：1．理解并掌握充要条件的概念．
2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．
3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．
教育点：通过对一个命题的条件的分析判断，掌握等价关系、体会辨正唯物主义观点；通过
学习，学会用数学方法去分析问题和解决问题．
自主探究点：充要条件的证明；从集合关系的角度充分理解命题关系．
考 试 点：充要条件的概念、等价转化的思想．
易错易混点：概念比较抽象, 不易理解, 用它们去解决具体问题则更为困难, 因此“充要条件”
的教学成为难点之一, 学生对”充分条件”的概念较易接受, 而必要条件的概念都难以理解．对于“q=>p”, 称p 是q 的必要条件难于接受,p 本是q 推出的结论, 怎么又变成条件了呢? 对这学生难于理解．
教具准备 多媒体
课堂模式 学案导学
一、 引入新课
事例（一）：“同学们出海报布置教室，需要4位同学的生活照．班长向同学们征集后，有10位同学交了照片．现在照片足够了．”
【设计意图】用这个事件目的是为了引导学生理解充分条件的定义．
事例（二）：“虽然有过一次挫败，但经过8年坚持不懈的努力，北京终于取得申奥的最终胜利．”就产生了“坚持不懈的努力”与”申奥成功”的关系．用这个事件的目的是为了第二部分引导学生得出必要条件的定义．这里要强调该事件包括：A ：努力；B ：成功．
【设计意图】 用这个事件的目的是为了引导学生理解必要条件的定义．
［师］由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为哪四类?
［生］充分不必要条件；必要不充分条件；充分必要条件；既不充分又不必要条件． ［师］本节课将继续研究命题中充分必要条件．
【设计意图】 用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学生感到亲切自然，有助于提高兴趣和深入领会概念的内容，特别是它的必要性．
二、探究新知
［师］请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件?
(幻灯片§1．2．2 A)
［生］命题(1)中因：是无理数＋5是无理数，所以“是无理数”是“＋5是无理数”的充分条件；又因“a ＋5是无整数⇒a 是无理数”则“a 是无理数”又是“a ＋5是无理数”的必要条件，因此，“a 是无理数”是“a ＋5是无理数”的充分必要条件．
［师］回答正确．由上述命题(1)的条件判定可知：(板书)
一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作：“p ⇔q ”，此时，我们说， p是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件，
【设计意图】引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分必要条件的定义．
三、理解新知
［师］说明：⑴符号“⇔”叫做等价符号．“p ⇔q”表示“p ⇒q 且p ⇐q ”；也表示“p 等价于q ”．
⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”．
［师］下边请回答命题(2)，(3)．
［生］命题(2)中因“a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ”，又有“a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ”，则“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．
2命题(3)中因：“一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0有两个不等实根⇒Δ＞0”，又有“Δ＞
20⇒一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0有两个不等实根”,
2则“一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件．
［生］总结出判断充要关系的基本方法步骤：
（1）分清条件和结论 ；
（2）考察条件和结论间的相互推出关系；
（3）根据定义作出判断．
【设计意图】 旨在纠偏纠错，让学生先发现或是数学问题，或是语言表述问题的错误，从而先改正后分析．这样，既可以让学生发现问题，及时改正错误，对语言表述引起重视，又可以培养团结协作的精神．进一步深化认识，概括出一般解题策略．
四、运用新知
［师］下面讨论并解答下列例题：
［生］命题(1)中因“(－2) （－3）＝0＝2或＝3≠>－2＝0”,
而“x －2＝0⇒（x －2）（x －3）＝0”，所以p 是q 的必要而不充分条件．
［生］命题(2)中因“同位角相等⇔两直线平行”，所以p 是q 的充要条件．
22命题(3)中因“x ＝3⇒x ＝9”，而“x ＝9” x ＝3”，所以p 是q 的充分而不必要条件．
命题(4)中因“四边形的对角线相等 ≠>四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形 ≠>四边形的对角线相等．”所以p 是q 的既不充分又不必要条件．
命题(5)中因：p ：x 2x +3＝x ⇔x （2x +3－x ）＝0，解得x ＝0或x ＝3；q ：2x 2
＋3＝x 得x ＝－1或x ＝3．则有p ≠>q 且q ≠>p ．所以p 是q 的既不充分也不必要条件．
［师］由命题(5)可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定． ［师］讨论解答下列例题：
设集合M ＝{x ｜x ＞2}，P ＝{x ｜x ＜3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的什么条件? ［生］解:由“x ∈M 或x ∈P ”可得“x ∈P ”，又由“x ∈M ∩P ”可得x ∈{x ｜2＜x ＜3}． 则由x ∈P ，即x ∈{x ｜x ＜3} ≠>x ∈{x ｜2＜x ＜3}．但由“x ∈{x ｜2＜x ＜3}⇒x ∈{x ｜x ＜3}，即x ∈P ．
故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的必要而不充分条件．
幻灯片：(§1．2．2 C)
例2：求证实系数一元二次方程x +px +q =0有两个异号根的充要条件是q
∵q
∴方程x +px +q =0的∆=p -4q >0．
∴方程x +px +q =0有两个不相等的实根，设其为x 1，x 2．
∵x ·1x 2=q
∴方程x +px +q =0有两个异号实根． 222222
（2）再证必要性
∵方程x 2+px +q =0有两个异号实根，设其为x 1，x 2
∴x ·1x 2
∵x ·1x 2=q ，
∴q
由（1）（2），原命题得证．
【设计意图】充分性证明：条件⇒结论；必要性证明：结论⇒条件．
练习：已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．求证：d ＝r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．
分析：设p ：d ＝r ，q ：直线l 与⊙O 相切．要证p 是q 的充要条件，只需要分别证明充分性（p ⇒q ）和必要性（q ⇒p ）即可．
【设计意图】 在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：
1．知识：充要条件的概念．判断命题的条件的充要性的方法．
2．思想：等价转化的思想、逻辑推理论证的思想．
教师总结:
概念的应用用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容, “温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏, 从而更好地运用知识, 解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．
【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．
六、布置作业
1．阅读教材P11—12；
2．书面作业
必做题：P12 习题1．2 A组 3，4．
选做题：P12 习题1．2 B组 1，2
3．课外题 写出生活中有四种关系的名言名句各1句，并进行剖析．
【设计意图】设计作业1，2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生能够运用知识解决简单的数学问题；课外题的安排，让学生探究生活中的充要关系，把学习延伸到课外，体验“在生活中数学地思维”．
七、教后反思
1． 本节课是概念课，要避免单一的下定义作练习模式，应该努力使课堂元素更为丰富．这节课，借助多媒体辅助教学手段，激发学生的学习兴趣，增加课堂教学的信息容量，另外将学生的自编题利用多媒体课件展示出来分析，提高了课堂教学的效率．
2． 在教学方法上，主要是采用讲练结合法进行教学．教师通过点拨引导的方式，启动学生的思维活动，从具体问题出发引出数学概念，并在实际问题中反复应用和辨析，启发学生理解概念并能在实践中总结判定方法．
八、板书设计
1.2.2 充要条件
教材分析
充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础．
这节内容被安排在高二第一学期第一章“常用逻辑用语”的第二节．教材在学习这节内容前，安排了“四种命题”这节内容作为必要的知识铺垫，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念．
从学生学习的角度看，学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善．
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解充要条件的概念和判断方法．
教学目标
重 点: 1．理解充要条件的意义．
2．命题条件的充要性判断．
难 点：命题条件的充要性判断．
知识点：1．充要条件的概念．
2．判断命题的条件的充要性的方法．
能力点：1．理解并掌握充要条件的概念．
2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．
3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．
教育点：通过对一个命题的条件的分析判断，掌握等价关系、体会辨正唯物主义观点；通过
学习，学会用数学方法去分析问题和解决问题．
自主探究点：充要条件的证明；从集合关系的角度充分理解命题关系．
考 试 点：充要条件的概念、等价转化的思想．
易错易混点：概念比较抽象, 不易理解, 用它们去解决具体问题则更为困难, 因此“充要条件”
的教学成为难点之一, 学生对”充分条件”的概念较易接受, 而必要条件的概念都难以理解．对于“q=>p”, 称p 是q 的必要条件难于接受,p 本是q 推出的结论, 怎么又变成条件了呢? 对这学生难于理解．
教具准备 多媒体
课堂模式 学案导学
一、 引入新课
事例（一）：“同学们出海报布置教室，需要4位同学的生活照．班长向同学们征集后，有10位同学交了照片．现在照片足够了．”
【设计意图】用这个事件目的是为了引导学生理解充分条件的定义．
事例（二）：“虽然有过一次挫败，但经过8年坚持不懈的努力，北京终于取得申奥的最终胜利．”就产生了“坚持不懈的努力”与”申奥成功”的关系．用这个事件的目的是为了第二部分引导学生得出必要条件的定义．这里要强调该事件包括：A ：努力；B ：成功．
【设计意图】 用这个事件的目的是为了引导学生理解必要条件的定义．
［师］由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为哪四类?
［生］充分不必要条件；必要不充分条件；充分必要条件；既不充分又不必要条件． ［师］本节课将继续研究命题中充分必要条件．
【设计意图】 用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学生感到亲切自然，有助于提高兴趣和深入领会概念的内容，特别是它的必要性．
二、探究新知
［师］请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件?
(幻灯片§1．2．2 A)
［生］命题(1)中因：是无理数＋5是无理数，所以“是无理数”是“＋5是无理数”的充分条件；又因“a ＋5是无整数⇒a 是无理数”则“a 是无理数”又是“a ＋5是无理数”的必要条件，因此，“a 是无理数”是“a ＋5是无理数”的充分必要条件．
［师］回答正确．由上述命题(1)的条件判定可知：(板书)
一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作：“p ⇔q ”，此时，我们说， p是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件，
【设计意图】引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分必要条件的定义．
三、理解新知
［师］说明：⑴符号“⇔”叫做等价符号．“p ⇔q”表示“p ⇒q 且p ⇐q ”；也表示“p 等价于q ”．
⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”．
［师］下边请回答命题(2)，(3)．
［生］命题(2)中因“a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ”，又有“a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ”，则“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．
2命题(3)中因：“一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0有两个不等实根⇒Δ＞0”，又有“Δ＞
20⇒一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0有两个不等实根”,
2则“一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件．
［生］总结出判断充要关系的基本方法步骤：
（1）分清条件和结论 ；
（2）考察条件和结论间的相互推出关系；
（3）根据定义作出判断．
【设计意图】 旨在纠偏纠错，让学生先发现或是数学问题，或是语言表述问题的错误，从而先改正后分析．这样，既可以让学生发现问题，及时改正错误，对语言表述引起重视，又可以培养团结协作的精神．进一步深化认识，概括出一般解题策略．
四、运用新知
［师］下面讨论并解答下列例题：
［生］命题(1)中因“(－2) （－3）＝0＝2或＝3≠>－2＝0”,
而“x －2＝0⇒（x －2）（x －3）＝0”，所以p 是q 的必要而不充分条件．
［生］命题(2)中因“同位角相等⇔两直线平行”，所以p 是q 的充要条件．
22命题(3)中因“x ＝3⇒x ＝9”，而“x ＝9” x ＝3”，所以p 是q 的充分而不必要条件．
命题(4)中因“四边形的对角线相等 ≠>四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形 ≠>四边形的对角线相等．”所以p 是q 的既不充分又不必要条件．
命题(5)中因：p ：x 2x +3＝x ⇔x （2x +3－x ）＝0，解得x ＝0或x ＝3；q ：2x 2
＋3＝x 得x ＝－1或x ＝3．则有p ≠>q 且q ≠>p ．所以p 是q 的既不充分也不必要条件．
［师］由命题(5)可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定． ［师］讨论解答下列例题：
设集合M ＝{x ｜x ＞2}，P ＝{x ｜x ＜3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的什么条件? ［生］解:由“x ∈M 或x ∈P ”可得“x ∈P ”，又由“x ∈M ∩P ”可得x ∈{x ｜2＜x ＜3}． 则由x ∈P ，即x ∈{x ｜x ＜3} ≠>x ∈{x ｜2＜x ＜3}．但由“x ∈{x ｜2＜x ＜3}⇒x ∈{x ｜x ＜3}，即x ∈P ．
故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的必要而不充分条件．
幻灯片：(§1．2．2 C)
例2：求证实系数一元二次方程x +px +q =0有两个异号根的充要条件是q
∵q
∴方程x +px +q =0的∆=p -4q >0．
∴方程x +px +q =0有两个不相等的实根，设其为x 1，x 2．
∵x ·1x 2=q
∴方程x +px +q =0有两个异号实根． 222222
（2）再证必要性
∵方程x 2+px +q =0有两个异号实根，设其为x 1，x 2
∴x ·1x 2
∵x ·1x 2=q ，
∴q
由（1）（2），原命题得证．
【设计意图】充分性证明：条件⇒结论；必要性证明：结论⇒条件．
练习：已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．求证：d ＝r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．
分析：设p ：d ＝r ，q ：直线l 与⊙O 相切．要证p 是q 的充要条件，只需要分别证明充分性（p ⇒q ）和必要性（q ⇒p ）即可．
【设计意图】 在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：
1．知识：充要条件的概念．判断命题的条件的充要性的方法．
2．思想：等价转化的思想、逻辑推理论证的思想．
教师总结:
概念的应用用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容, “温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏, 从而更好地运用知识, 解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．
【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．
六、布置作业
1．阅读教材P11—12；
2．书面作业
必做题：P12 习题1．2 A组 3，4．
选做题：P12 习题1．2 B组 1，2
3．课外题 写出生活中有四种关系的名言名句各1句，并进行剖析．
【设计意图】设计作业1，2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生能够运用知识解决简单的数学问题；课外题的安排，让学生探究生活中的充要关系，把学习延伸到课外，体验“在生活中数学地思维”．
七、教后反思
1． 本节课是概念课，要避免单一的下定义作练习模式，应该努力使课堂元素更为丰富．这节课，借助多媒体辅助教学手段，激发学生的学习兴趣，增加课堂教学的信息容量，另外将学生的自编题利用多媒体课件展示出来分析，提高了课堂教学的效率．
2． 在教学方法上，主要是采用讲练结合法进行教学．教师通过点拨引导的方式，启动学生的思维活动，从具体问题出发引出数学概念，并在实际问题中反复应用和辨析，启发学生理解概念并能在实践中总结判定方法．
八、板书设计