海口市2009年高中数学课堂教学优质课评比教学实录
1.1.3 导数的几何意义
李明（湖南师大附中海口中学）
12月4日于海南华侨中学
一、创设情境、导入新课
师：上节课我们学习了导数的概念，请回答：函数在x =含义？ 生：函数在x =
x 0处的导数f '(x 0) 的
x 0处的瞬时变化率.
f /(x 0)=lim
f (x 0+∆x )-f (x 0) ∆y
=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
师：那么，用定义求导数分哪几个步骤？同学们可参考教材第6页例1.
∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)
=生：第一步：求平均变化率； ∆x ∆x ∆y
lim 第二步：求瞬时变化率，即f (x 0)=∆ x →0∆x
/
∆y
师：非常好，并且我们从求导数的步骤中发现：导数就是求平均变化率当∆x
∆x
趋近于O 时的极限. 明确了导数的概念之后，今天我们来学习导数的几何意义. 二、引导探究、获得新知
∆y
师：观察函数y=f(x)的图象，平均变化率在图中
∆x
什么几何意义？
生：平均变化率表示的是割线AB 的斜率.
有
y 2-y 1
∆y
师：是的，平均变化率的几何意义就是割线的斜率.
∆x
师：请看教材第7页图1.1-2： P是一定点，当动点P n 沿着曲线y=f(x)趋近于点
P 时，观察割线PP n 的变化趋势图. （多媒体显示【动画1】）
生：当点P n 沿着曲线y=f(x)趋近于点P 时，割线PP n 趋近于在P 处的切线PT. 师：看来这位同学已经预习了，他说的很对，“当点P n 沿着曲线y=f(x)逼近点P 时，即∆x →0，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线. ”这就是切线的概念.
师：观察图①，曲线y=f(x)与它的割线有2个交点，与它的切线PT 有1个交点. 那么，能否根据直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系？
生：若曲线与直线有2个公共点，则它们相交；若曲线与直线有1个公共点，则它们相切.
① ②
师：观察图②，请指出（1）直线l 1与曲线L 是什么位置关系？（2）直线l 2与曲线L 是什么位置关系？
生：直线l 1与曲线L 相交，直线l 2与曲线L 相切.
师：直线l 1与曲线L 有唯一公共点但它不是曲线的切线，l 2与曲线L 不只一个公共点，但它是曲线在A 处的切线. 所以，今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系，应该从定义出发.
师：由切线的定义可知，
当∆x →0时，割线PP n 趋近于切线PT . 那么，割线PP n 的斜率趋近于„„？ 生：切线PT 的斜率.
师：割线PP n 的斜率k n =
∆y
，当∆x →0时，切线PT 的斜率k 就是„„？ ∆x
lim 生：k =∆
x →0
∆y ∆x
f (x 0+∆x )-f (x 0)
=f /(x 0). 至此，请同学们总结，导数师： 即k =lim ∆x →0∆x
f /(x 0)有什么几何意义？
生：f
/
(x 0)是PT 的斜率.
师：直线PT 是曲线y =f (x ) 的„„？
生：直线PT 是曲线y =f (x ) 在x =x 0处的斜率. 师：同学们说的非常好！（教师板书） 导数的几何意义：
函数在x =x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即
f (x 0+∆x )-f (x 0) ∆y
lim =lim =f /(x 0) k =∆
x →0∆x ∆x →0∆x
师：那么，通过导数的几何意义，我们可以通过函数在某点处的导数，来得到其
图像在该点处切线的斜率. 师：说出曲线y =
f (x )在x =1, 2,3处的切线的倾斜角.
（1）
//
f /(1)=1；（2）f (2)=0（3）f (
3)=生：45、0、120 四、知识应用、巩固理解 师：例1：求出曲线
000
f (x ) =x 2在x =1处的切线方程. 你们想怎样求切线方程呢?
生：求出函数在x =1处的导数师：求切线的斜率之后呢？ 生：（摇头，回答不出）
f /(1)，就知道了所求切线的斜率.
师：好，那我们不妨先求出斜率（教师板书）
f (1+∆x ) -f (1)(∆x ) 2+2∆x +1-1
k =f '(1)=lim =lim =lim(∆x +2) =2
∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x
那么，关于直线我们还知道哪些信息？ 生：x =1是切点的坐标
师：是切点的横坐标，那纵坐标呢？也是1 生：也是1，切点的坐标为（1，1）
师：知道直线上一点的坐标和斜率，那么直线方程„„？ 生：点斜式
y -1=2(x -1) ，即2x -y -1=0（学生回答，教师板书）
师：今后我们如何求曲线生：（1）求出
y =f (x ) 在x =x 0处的切线方程？
f '(x 0) ，则f '(x 0) 就是曲线在x =x 0切线的斜率；（2）求切点；
f (x 0) =f '(x 0)(x -x 0)
(3)写出切线的点斜式方程，y -
师：同学们很棒！例2. 如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像. 据图回答问题. 请描述、比较曲线h (t ) 在t 0，t 1，t 2附近的变化情况.
生：作出曲线在这些点处的切线. 师：曲线在t 0处有怎样的变化趋势？ 生：不知道怎么表达.
师：我们观察在t 0处附近曲线几乎与切线l 0重合，所以，我们可以用切线的变化趋势刻画曲线在该点附近的变化
情况，这种思想方法叫“以直代曲”. 那么，l 0平行于x 轴，即h '(t 0) =0，
说明曲线在t 0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 师：在t 1，t 2处呢？
生：在t 1，t 2切线斜率h '(t 1)
=t 1，t 2附近单调递减.
师：曲线在t 1，t 2处都是下降的，下降的速率一样吗？ 生：不一样，在t 2处都是下降的快. 师：你们如何得知的？
生：图像在t 1处的切线倾斜程度小于在t 2处切线的倾斜程度，说明曲线在t 1附近比在t 2附近下降得缓慢.
五、分层练习、提升能力（看学案） 师：曲线 y =
x 2上有一点P ，过P 的切线平行于直线y=4x-5，求P 的坐标.
2
生：设P 的坐标为(x 0, x 0
) ，
2
f (x 0+∆x )-f (x 0) x 0+∆x )-x 02(∆y
f '(x 0) =lim =lim =lim =lim (∆x +2x 0)=2x 0=4
∆x →0∆x ∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x
即x 0=2
所以，P 的坐标为(2, 4) 六、课堂小结
师：非常好！这节课我们学习了哪些内容？ 生：（齐声回答） 一、切线的定义： 当点P n 沿着曲线
y =f (x ) 逼近点P 时，即∆x →0，割线PP n 趋近于确定的
位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线. 二、导数的几何意义： 导数
f '(x 0) 就是函数f (x ) 的图象在x 0处的切线的斜率，即
f (x 0+∆x )-f (x 0) ∆y
k =lim =lim =f /(x 0)
∆x →0∆x ∆x →0∆x
三、导数几何意义的应用.
（1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程；
（2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势. （“以直代曲”）
七、作业布置 完成学案！
附：板书设计
1.1.3 导数的几何意义
一、切线的定义 二、导数的几何意义 导数
f '(x 0) 就是函数f (x ) 的图象在x 0处的切线的斜率，即
k =lim
f (x 0+∆x )-f (x 0) ∆y
=lim =f /(x 0) ∆x →0∆x ∆x →0∆x
三、导数几何意义的应用.
（1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程； （2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.
例1：求出曲线解：曲线
f (x ) =x 2在x =1处的切线方程.
f (x ) =x 2在x =1处的切线斜率
f (1+∆x ) -f (1)(∆x ) 2+2∆x +1-1
k =f '(1)=lim =lim =lim(∆x +2) =2
∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x
因为
f (1)=1，即切点的坐标为（1，1），所以
y -1=2(x -1) ，即2x -y -1=0
切线方程为
学案
一. 例题部分
例1. 求曲线
f (x ) =x 2在x =1处的切线方程.
例2. 如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像，请描述、比较曲线h (t ) 在t 0，t 1，t 2附近的变化情况
.
二. 练习 （A 组）
1. 曲线 f (x ) =x 上有一点P ，过P 的切线平行于直线y =4x -5，求P 的坐标. 2. 若曲线
2
y =2x 2-4x +p 与直线y =1相切，则p =
（B 组） 1. 求曲线
2. 如图，请描述
f (x ) =x 3在x =1处的切线方程.
y =f (x ) 在x =-5, -4-2,0,1附近的变化情况
.
三. 小结
这节课我学到了：
海口市2009年高中数学课堂教学优质课评比教学实录
1.1.3 导数的几何意义
李明（湖南师大附中海口中学）
12月4日于海南华侨中学
一、创设情境、导入新课
师：上节课我们学习了导数的概念，请回答：函数在x =含义？ 生：函数在x =
x 0处的导数f '(x 0) 的
x 0处的瞬时变化率.
f /(x 0)=lim
f (x 0+∆x )-f (x 0) ∆y
=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x
师：那么，用定义求导数分哪几个步骤？同学们可参考教材第6页例1.
∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)
=生：第一步：求平均变化率； ∆x ∆x ∆y
lim 第二步：求瞬时变化率，即f (x 0)=∆ x →0∆x
/
∆y
师：非常好，并且我们从求导数的步骤中发现：导数就是求平均变化率当∆x
∆x
趋近于O 时的极限. 明确了导数的概念之后，今天我们来学习导数的几何意义. 二、引导探究、获得新知
∆y
师：观察函数y=f(x)的图象，平均变化率在图中
∆x
什么几何意义？
生：平均变化率表示的是割线AB 的斜率.
有
y 2-y 1
∆y
师：是的，平均变化率的几何意义就是割线的斜率.
∆x
师：请看教材第7页图1.1-2： P是一定点，当动点P n 沿着曲线y=f(x)趋近于点
P 时，观察割线PP n 的变化趋势图. （多媒体显示【动画1】）
生：当点P n 沿着曲线y=f(x)趋近于点P 时，割线PP n 趋近于在P 处的切线PT. 师：看来这位同学已经预习了，他说的很对，“当点P n 沿着曲线y=f(x)逼近点P 时，即∆x →0，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线. ”这就是切线的概念.
师：观察图①，曲线y=f(x)与它的割线有2个交点，与它的切线PT 有1个交点. 那么，能否根据直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系？
生：若曲线与直线有2个公共点，则它们相交；若曲线与直线有1个公共点，则它们相切.
① ②
师：观察图②，请指出（1）直线l 1与曲线L 是什么位置关系？（2）直线l 2与曲线L 是什么位置关系？
生：直线l 1与曲线L 相交，直线l 2与曲线L 相切.
师：直线l 1与曲线L 有唯一公共点但它不是曲线的切线，l 2与曲线L 不只一个公共点，但它是曲线在A 处的切线. 所以，今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系，应该从定义出发.
师：由切线的定义可知，
当∆x →0时，割线PP n 趋近于切线PT . 那么，割线PP n 的斜率趋近于„„？ 生：切线PT 的斜率.
师：割线PP n 的斜率k n =
∆y
，当∆x →0时，切线PT 的斜率k 就是„„？ ∆x
lim 生：k =∆
x →0
∆y ∆x
f (x 0+∆x )-f (x 0)
=f /(x 0). 至此，请同学们总结，导数师： 即k =lim ∆x →0∆x
f /(x 0)有什么几何意义？
生：f
/
(x 0)是PT 的斜率.
师：直线PT 是曲线y =f (x ) 的„„？
生：直线PT 是曲线y =f (x ) 在x =x 0处的斜率. 师：同学们说的非常好！（教师板书） 导数的几何意义：
函数在x =x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即
f (x 0+∆x )-f (x 0) ∆y
lim =lim =f /(x 0) k =∆
x →0∆x ∆x →0∆x
师：那么，通过导数的几何意义，我们可以通过函数在某点处的导数，来得到其
图像在该点处切线的斜率. 师：说出曲线y =
f (x )在x =1, 2,3处的切线的倾斜角.
（1）
//
f /(1)=1；（2）f (2)=0（3）f (
3)=生：45、0、120 四、知识应用、巩固理解 师：例1：求出曲线
000
f (x ) =x 2在x =1处的切线方程. 你们想怎样求切线方程呢?
生：求出函数在x =1处的导数师：求切线的斜率之后呢？ 生：（摇头，回答不出）
f /(1)，就知道了所求切线的斜率.
师：好，那我们不妨先求出斜率（教师板书）
f (1+∆x ) -f (1)(∆x ) 2+2∆x +1-1
k =f '(1)=lim =lim =lim(∆x +2) =2
∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x
那么，关于直线我们还知道哪些信息？ 生：x =1是切点的坐标
师：是切点的横坐标，那纵坐标呢？也是1 生：也是1，切点的坐标为（1，1）
师：知道直线上一点的坐标和斜率，那么直线方程„„？ 生：点斜式
y -1=2(x -1) ，即2x -y -1=0（学生回答，教师板书）
师：今后我们如何求曲线生：（1）求出
y =f (x ) 在x =x 0处的切线方程？
f '(x 0) ，则f '(x 0) 就是曲线在x =x 0切线的斜率；（2）求切点；
f (x 0) =f '(x 0)(x -x 0)
(3)写出切线的点斜式方程，y -
师：同学们很棒！例2. 如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像. 据图回答问题. 请描述、比较曲线h (t ) 在t 0，t 1，t 2附近的变化情况.
生：作出曲线在这些点处的切线. 师：曲线在t 0处有怎样的变化趋势？ 生：不知道怎么表达.
师：我们观察在t 0处附近曲线几乎与切线l 0重合，所以，我们可以用切线的变化趋势刻画曲线在该点附近的变化
情况，这种思想方法叫“以直代曲”. 那么，l 0平行于x 轴，即h '(t 0) =0，
说明曲线在t 0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 师：在t 1，t 2处呢？
生：在t 1，t 2切线斜率h '(t 1)
=t 1，t 2附近单调递减.
师：曲线在t 1，t 2处都是下降的，下降的速率一样吗？ 生：不一样，在t 2处都是下降的快. 师：你们如何得知的？
生：图像在t 1处的切线倾斜程度小于在t 2处切线的倾斜程度，说明曲线在t 1附近比在t 2附近下降得缓慢.
五、分层练习、提升能力（看学案） 师：曲线 y =
x 2上有一点P ，过P 的切线平行于直线y=4x-5，求P 的坐标.
2
生：设P 的坐标为(x 0, x 0
) ，
2
f (x 0+∆x )-f (x 0) x 0+∆x )-x 02(∆y
f '(x 0) =lim =lim =lim =lim (∆x +2x 0)=2x 0=4
∆x →0∆x ∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x
即x 0=2
所以，P 的坐标为(2, 4) 六、课堂小结
师：非常好！这节课我们学习了哪些内容？ 生：（齐声回答） 一、切线的定义： 当点P n 沿着曲线
y =f (x ) 逼近点P 时，即∆x →0，割线PP n 趋近于确定的
位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线. 二、导数的几何意义： 导数
f '(x 0) 就是函数f (x ) 的图象在x 0处的切线的斜率，即
f (x 0+∆x )-f (x 0) ∆y
k =lim =lim =f /(x 0)
∆x →0∆x ∆x →0∆x
三、导数几何意义的应用.
（1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程；
（2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势. （“以直代曲”）
七、作业布置 完成学案！
附：板书设计
1.1.3 导数的几何意义
一、切线的定义 二、导数的几何意义 导数
f '(x 0) 就是函数f (x ) 的图象在x 0处的切线的斜率，即
k =lim
f (x 0+∆x )-f (x 0) ∆y
=lim =f /(x 0) ∆x →0∆x ∆x →0∆x
三、导数几何意义的应用.
（1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程； （2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.
例1：求出曲线解：曲线
f (x ) =x 2在x =1处的切线方程.
f (x ) =x 2在x =1处的切线斜率
f (1+∆x ) -f (1)(∆x ) 2+2∆x +1-1
k =f '(1)=lim =lim =lim(∆x +2) =2
∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x
因为
f (1)=1，即切点的坐标为（1，1），所以
y -1=2(x -1) ，即2x -y -1=0
切线方程为
学案
一. 例题部分
例1. 求曲线
f (x ) =x 2在x =1处的切线方程.
例2. 如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像，请描述、比较曲线h (t ) 在t 0，t 1，t 2附近的变化情况
.
二. 练习 （A 组）
1. 曲线 f (x ) =x 上有一点P ，过P 的切线平行于直线y =4x -5，求P 的坐标. 2. 若曲线
2
y =2x 2-4x +p 与直线y =1相切，则p =
（B 组） 1. 求曲线
2. 如图，请描述
f (x ) =x 3在x =1处的切线方程.
y =f (x ) 在x =-5, -4-2,0,1附近的变化情况
.
三. 小结
这节课我学到了：