题型二：三角形三边关系
图
1
B
C
B
图2 图3
C
1、已知：如图1，△ABC 中，D 是AB 上除顶点外的一点. ， 求证：AB+AC>DB+DC；
2、已知：如图2，△ABC 中，p 是△ABC 内的一点. ， 求证：AB+AC>DB+DC；
3. 已知：如图3，△ABC 中，点P 为△ABC 内任一点求证： AB+BC > PB+PC 延长BP 与AC 交于点D,
4. 如图所示，已知在△ABC 中，AB=AC=8，P 是BC 上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E. 若△ABC 的面积为14，问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由.
题型三：三角形的中线的性质
1、将△ABC 分成面积相等的四个三角形。
C C C 方法一 方法三 方法二
2、已知：如图，AD 、BC 、DE 是△ABC 的三条中线，O 为交点。
1
求证：（1）S ∆AOE =S ∆ABC (2) AO :OD =2:1
6
1. 如图，△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2。求证：AB ＝AC ＋CD ．
E
C
2. 已知：△ABC 中，AB>AC，AD 是∠BAC 的平分线，P 为AD 上一点。求证：AB-AC>PB-PC.
证明:∵AB大于AC 延长AC 到E 点, 使AE =AB ∴CE=AB-AC ∵AD平分角BAC 在△ABP和△AEP中 ∠BAP=∠EAP AP=AP AB=AE ∴△ABP≌△AEP PB=PE 在△PCE中: CE+PC=AB-AC+PC＞PE=PB ∴AB-AC ＞PB-PC
3. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD
B
D
解：延长AD 到E, 使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中 AD=DE
∠BDE=∠ADC BD=DC
∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中
AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4
即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2
三角形的角
1、已知△ABC ，
1
①如图1，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，请说明∠P =90+∠A ；
2
②如图2 ，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点, 你能说明∠P= ∠A 吗?
和∠B C E ③如图３，若P 点是外角∠C B F 的角平分线的交点，你能说明
1
∠P =90-∠A 吗?
2
1. 如图, 已知∆ABC 中, ∠ABC 和∠ACB 的角平分线BD,CE 相交于点O. （1）若∠ABC =50︒，∠ACB =70︒，则∠B 0C = ； （2）若∠ABC =48︒，∠ACB =64︒，则∠B 0C = ； （3） 若∠A =60 , 则∠B 0C = （4）请探究∠A 与∠BOC 的关系.
2．工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 __________性．
3．如图，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1＝20°，则∠2的度数为______．（记住结论） 4．如图，已知AB ∥CD ，∠A =55°，∠C =20°，则∠P =___________．
C
第2题 第3题 第4题
变式一：如图，BP 平分∠FBC ，CP 平分∠ECB. （1）若∠A=40°，求∠BPC 的度数；
（2）若∠A=a，求∠BPC 的度数（用含a 的代数式表示）.
变式二：已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系，并说明理由．
引申：如图，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的角平分线交于Q ，当E 滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A 1的值为定值；②∠Q-∠A 1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．（①正确，∠Q+∠A 1=180°）
变式三：已知：如图，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：
（1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P 的度数；（写出解答过程） （2）如果图中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间数量关系．（∠B+∠D=2∠P ）
如图甲，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ． （1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE= 20° ； （2）若∠C ﹣∠B=30°，则∠DAE= 15° ；
1
（3）若∠C ﹣∠B=a（∠C ＞∠B ），求∠DAE 的度数（用含a 的代数式表示）；（ ）
2
（4）如图乙，当∠C ＜∠B 时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：∠DAE=﹣18°，则∠EAD=18°，作出上述规定后，上述结论还成立吗？ _____成立____ ；若∠DAE=﹣7°，则∠B ﹣∠C= ____14_____ °．
变式一：已知：如图1，△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是△ABC 的角平分线，点P 是AD 上的一点，过点P 画PH ⊥BC 于H （1）求证：∠DPH=（∠B ﹣∠C ）；
（2）如图2，当点P 是线段AD 的延长线上的点时，过点P 画PH ⊥BC 于H ，上述结论任然成立吗？请你作出判断并加以说明．
变式二：如图，AE 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC ，求证：∠1=∠2．
由（1）得∠EOD =
1
(∠ACB -∠ABC ) =∠OCB -∠OBC 2
∠EOD +∠OBC =∠OCE
∴∠1+∠OBE +∠EOD =∠2+∠OCD =90︒ ∴∠1=∠2
例3．如图，P 是∆ABC 内任一点，求证：∠BPC >∠A 。
【证明】：联结AP 并延长，交BC 边于点D ；
在∆ABP 和∆ACP 中，由三角形外角性质知： ∠BPD >∠BAP ，∠CPD >∠CAP ∴∠BPD +∠CPD >∠BAP +∠CAP ∴∠BPC >∠A
►点评：证明此类角的不等关系时，大多考虑三角形内角和定理的推论，即三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，它指出了三角形的一个外角与它不相邻的内角的不等关系。
例4．如图，已知：在∆ABC 中，AB >AC ，∠AEF =∠AFE ，延长EF 与BC 的延
1
长线交于G 。求证：∠G =(∠ACB -∠B ) 。
2
【证明】：在∆BEG 中，可得∠AEG =∠B +∠G ........................... ① 在∆ABC 中，可得∠ACB =∠CFG +∠G ∵∠CFG =∠AFE =∠AEF
∴∠AEF =∠ACB -∠G ........................... ② 由①、②式可得：∠ACB -∠G =∠B +∠G
1
∴∠G =(∠ACB -∠B )
2
►点评：对于比较复杂的几何证明题，可以尝试运用“反推法”。
∴∠ADE =2∠BDE
1．如图，△ABC 中，∠A ＝400，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部的A '处时，求∠1＋∠2的度数，并说明理由。 1.
80
2．已知：如图，在∆ABC 中，∠A :∠B :∠C =3:4:5，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，BD 、CE 相交于H ，求∠BHC 的度数。
2. 【解答】：∵∠A :∠B :∠C =3:4:5，∠A +∠B +∠C =180 ∴∠A =45，∠B =60，∠C =75
联结AH ，则∠A =∠EAH +∠D AH 、∠BHC =∠EHD =∠EHA +∠DHA ∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB
∴∠EAH +EHA =90，∠DAH +DHA =90
∴∠EAH +EHA +∠DAH +DHA =180 又∵∠EAH +∠DAH =∠A =45 ∴∠DAH +DHA =135 ∴∠BHC =
135
1
3．如图，∆ABC 中，∠ABC =∠C ，BD ⊥AC 交AC 于D ，求证：∠DBC =∠A 。
2
3. 【证明】：∵BD ⊥AC
∴∠BDC =90 ∴∠DBC +∠C =90
又∵∠ABC =∠C ， ∴∠A +2∠C =180 ∴∠C =
180-∠A
2
∴∠DBC +
180-∠A
=90 2
1
∴∠DBC =∠A
2
题型二：三角形三边关系
图
1
B
C
B
图2 图3
C
1、已知：如图1，△ABC 中，D 是AB 上除顶点外的一点. ， 求证：AB+AC>DB+DC；
2、已知：如图2，△ABC 中，p 是△ABC 内的一点. ， 求证：AB+AC>DB+DC；
3. 已知：如图3，△ABC 中，点P 为△ABC 内任一点求证： AB+BC > PB+PC 延长BP 与AC 交于点D,
4. 如图所示，已知在△ABC 中，AB=AC=8，P 是BC 上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E. 若△ABC 的面积为14，问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由.
题型三：三角形的中线的性质
1、将△ABC 分成面积相等的四个三角形。
C C C 方法一 方法三 方法二
2、已知：如图，AD 、BC 、DE 是△ABC 的三条中线，O 为交点。
1
求证：（1）S ∆AOE =S ∆ABC (2) AO :OD =2:1
6
1. 如图，△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2。求证：AB ＝AC ＋CD ．
E
C
2. 已知：△ABC 中，AB>AC，AD 是∠BAC 的平分线，P 为AD 上一点。求证：AB-AC>PB-PC.
证明:∵AB大于AC 延长AC 到E 点, 使AE =AB ∴CE=AB-AC ∵AD平分角BAC 在△ABP和△AEP中 ∠BAP=∠EAP AP=AP AB=AE ∴△ABP≌△AEP PB=PE 在△PCE中: CE+PC=AB-AC+PC＞PE=PB ∴AB-AC ＞PB-PC
3. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD
B
D
解：延长AD 到E, 使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中 AD=DE
∠BDE=∠ADC BD=DC
∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中
AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4
即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2
三角形的角
1、已知△ABC ，
1
①如图1，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，请说明∠P =90+∠A ；
2
②如图2 ，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点, 你能说明∠P= ∠A 吗?
和∠B C E ③如图３，若P 点是外角∠C B F 的角平分线的交点，你能说明
1
∠P =90-∠A 吗?
2
1. 如图, 已知∆ABC 中, ∠ABC 和∠ACB 的角平分线BD,CE 相交于点O. （1）若∠ABC =50︒，∠ACB =70︒，则∠B 0C = ； （2）若∠ABC =48︒，∠ACB =64︒，则∠B 0C = ； （3） 若∠A =60 , 则∠B 0C = （4）请探究∠A 与∠BOC 的关系.
2．工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 __________性．
3．如图，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1＝20°，则∠2的度数为______．（记住结论） 4．如图，已知AB ∥CD ，∠A =55°，∠C =20°，则∠P =___________．
C
第2题 第3题 第4题
变式一：如图，BP 平分∠FBC ，CP 平分∠ECB. （1）若∠A=40°，求∠BPC 的度数；
（2）若∠A=a，求∠BPC 的度数（用含a 的代数式表示）.
变式二：已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系，并说明理由．
引申：如图，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的角平分线交于Q ，当E 滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A 1的值为定值；②∠Q-∠A 1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．（①正确，∠Q+∠A 1=180°）
变式三：已知：如图，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：
（1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P 的度数；（写出解答过程） （2）如果图中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间数量关系．（∠B+∠D=2∠P ）
如图甲，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ． （1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE= 20° ； （2）若∠C ﹣∠B=30°，则∠DAE= 15° ；
1
（3）若∠C ﹣∠B=a（∠C ＞∠B ），求∠DAE 的度数（用含a 的代数式表示）；（ ）
2
（4）如图乙，当∠C ＜∠B 时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：∠DAE=﹣18°，则∠EAD=18°，作出上述规定后，上述结论还成立吗？ _____成立____ ；若∠DAE=﹣7°，则∠B ﹣∠C= ____14_____ °．
变式一：已知：如图1，△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是△ABC 的角平分线，点P 是AD 上的一点，过点P 画PH ⊥BC 于H （1）求证：∠DPH=（∠B ﹣∠C ）；
（2）如图2，当点P 是线段AD 的延长线上的点时，过点P 画PH ⊥BC 于H ，上述结论任然成立吗？请你作出判断并加以说明．
变式二：如图，AE 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC ，求证：∠1=∠2．
由（1）得∠EOD =
1
(∠ACB -∠ABC ) =∠OCB -∠OBC 2
∠EOD +∠OBC =∠OCE
∴∠1+∠OBE +∠EOD =∠2+∠OCD =90︒ ∴∠1=∠2
例3．如图，P 是∆ABC 内任一点，求证：∠BPC >∠A 。
【证明】：联结AP 并延长，交BC 边于点D ；
在∆ABP 和∆ACP 中，由三角形外角性质知： ∠BPD >∠BAP ，∠CPD >∠CAP ∴∠BPD +∠CPD >∠BAP +∠CAP ∴∠BPC >∠A
►点评：证明此类角的不等关系时，大多考虑三角形内角和定理的推论，即三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，它指出了三角形的一个外角与它不相邻的内角的不等关系。
例4．如图，已知：在∆ABC 中，AB >AC ，∠AEF =∠AFE ，延长EF 与BC 的延
1
长线交于G 。求证：∠G =(∠ACB -∠B ) 。
2
【证明】：在∆BEG 中，可得∠AEG =∠B +∠G ........................... ① 在∆ABC 中，可得∠ACB =∠CFG +∠G ∵∠CFG =∠AFE =∠AEF
∴∠AEF =∠ACB -∠G ........................... ② 由①、②式可得：∠ACB -∠G =∠B +∠G
1
∴∠G =(∠ACB -∠B )
2
►点评：对于比较复杂的几何证明题，可以尝试运用“反推法”。
∴∠ADE =2∠BDE
1．如图，△ABC 中，∠A ＝400，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部的A '处时，求∠1＋∠2的度数，并说明理由。 1.
80
2．已知：如图，在∆ABC 中，∠A :∠B :∠C =3:4:5，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，BD 、CE 相交于H ，求∠BHC 的度数。
2. 【解答】：∵∠A :∠B :∠C =3:4:5，∠A +∠B +∠C =180 ∴∠A =45，∠B =60，∠C =75
联结AH ，则∠A =∠EAH +∠D AH 、∠BHC =∠EHD =∠EHA +∠DHA ∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB
∴∠EAH +EHA =90，∠DAH +DHA =90
∴∠EAH +EHA +∠DAH +DHA =180 又∵∠EAH +∠DAH =∠A =45 ∴∠DAH +DHA =135 ∴∠BHC =
135
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3．如图，∆ABC 中，∠ABC =∠C ，BD ⊥AC 交AC 于D ，求证：∠DBC =∠A 。
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3. 【证明】：∵BD ⊥AC
∴∠BDC =90 ∴∠DBC +∠C =90
又∵∠ABC =∠C ， ∴∠A +2∠C =180 ∴∠C =
180-∠A
2
∴∠DBC +
180-∠A
=90 2
1
∴∠DBC =∠A
2