理论力学期末考试复习资料

理论力学期末考试复习资料

题型及比例

填空题（20%）选择题（20%）证明题（10%）简答题（10%）计算题（40%）

第一章：质点力学（20~25%）

一．质点的运动学

I：（重点考查）非相对运动学

1、描述质点的运动需要确定参照系和坐标系。

参照系：没特别声明，一般以地球为参照系，且认为地球是不动的，即以静止坐标系为运动的参考。

坐标系：根据问题的方便，通常选择直角坐标系（适用于三维，二维，一维的运动），极坐标系（适用于二维运动，题中明显有极径，极角等字眼或者有心力作用下质点的运动时采用极坐标系），自然坐标系（适用于二维运动，题中明显有曲率半径，切向等字眼时，或者圆周曲线运动，抛物线运动等通常采用自然坐标系）。

2、描述质点运动的基本物理量是位移（坐标）、速度、加速度，明确速度、加速度，轨道方程在三种坐标系下的求解，直角坐标系下步骤：

（1）, 建立好坐标系

（2），表示出质点的坐标（可能借助于中间变量，如直角坐标系中借助于角度）

（3）对坐标求一阶导得速度，二阶导得加速度，涉及的未知量要利用题中所给的已知信息求得。

若求轨道方程，先求得x、y、z随时间或其他共同变量（参数）的函数关系，消去共同变量即可，其它坐标系下是一个道理。

若是采用处理二维运动的极坐标系和自然坐标系：

明确怎么建立这两种坐标系及速度、加速度表的达式和各项的意义

(a) 极坐标系：极轴（不变的），极角与极径（质点对质点的位矢大小）则随质点不断发生变化，特别需要明确的径向、横向的单位矢量i,j的确定，径向即沿径矢延长方向，横向是垂直径向，指向极角增加的一侧，它们的方向随质点的运动不断发生变化，称为是活动坐标系；我们只需应用相应的公式计算，并理解每一项的意义即可：

r 横向， v 速度： 径向， v r  r

加速度：径向 a r     r   2 ，明确第一项是由于径向速度得大小改变而引起，第二项则r

是横向速度得方向发生改变而引起；横向 a   2

 r ,第一项是混合项，其中之一表由横 r

向速度得大小改变而引起，其中之二表由径向速度得方向改变而引起，而第二项则表示由横向速度得大小变化而引起 

 (b)自然坐标系：明确是把矢量分为切向和法向，活动坐标系的单位矢量i沿切向，j沿

法向，并指向轨道弯曲的一侧：

不存在法向速度 是零； 法向

II：相对运动学

当质点相对于某平动运动参照系运动时，其对地的绝对速度 v  ' ，即等于牵v 0v

连速度(被运动参照系牵带着而具有与运动参照系相等的速度)+相对速度，这类问题，通常是平面运动问题，我们需建立适当坐标系，一般为直角坐标系和极坐标系，把该矢量式进行适当分解，如在直角坐标系中



V绝xV相xV牵x

V绝yV相yV牵y

该类问题中区分质点和运动参照系很重要，一般来讲，运动参照系的运动相对稳定， 质点的运动变化相对较大。

绝对加速度＝牵连加速度＋相对加速度，运动参照系匀速时两者相等

二 质点的动力学（牛顿运动微分方程）

I 惯性系（静止或做匀速直线运动的参照系，一般以地球为静止的惯性参照系 ）

我们明确牛顿第二定律是一矢量式，必须建立合理的坐标系把F和a分解到坐标轴上，用分量式才能求解，所以建立合理的坐标系，正确的受力分析，利用初始条件求解牛顿运动微分方程的分量式（逐次积分法或公式法进行积分，积分常数需由初始条件决定），是该类问题的三大步骤 自由质点：空间

平面的：

F(r,,r,t)r,mrr 2rF(r,,r,t), mr 非自由质点：受到约束，一般把力分为主动力（不随运动状态的变化而变化,如重力）和约束反力（约束所施加，通常会随运动状态的变化而变化，如支持力），这种情况采用自然坐标系比较方便 mrF主R

光滑约束的情况



在这样的参照系中，牛顿第二定律不再成立，必须引入惯性力，牛顿第二定律形式上才能继续成立 [Fma0]ma'

 惯性力  0 ，并非相互作用力，没有施力物体，仅表明我们是在非惯性系中研究动力学ma

问题，同样，需建立适当的坐标系，把相互作用力和惯性力，相对加速度进行分解，用分量式求解（相对平衡问题，可能能用矢量三角形法则求解）

三 功和能 功： wF.drFdscos

功是能量转化的量度，功是过程量，能是状态量

根据力做功是否与路径无关区分三类力

保守力：力做功与路径无关，只取决于初末位置，这是判断一个力是否是保守力的根本标准。另外两个判断标准是：

（1）存在相应的势能标量函数，满足

即保守力做功等于势能变化量的负值

（2）该力的旋度一定为零

F0

非保守力：做功与路径有关，如涡旋电场做功

耗散力： 做功与路径有关，而且总是做负功

四、动力学三大定理及相应的守恒定律（单个质点）

从牛顿第二定律出发,可推得

1，动量定理及动量守恒定律

（1）动量定理

微分形式：  d(mv)FdtdI

质点动量的微分等于作用在质点上力的元冲量。

积分形式： t2mv2mv1Fdt t1上式表明，在一段时间内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同一段时间内的冲量。 注意是矢量式：我们需建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解

（2）动量守恒定律

如质点不受力或者合力为零，则质点的动量守恒  mv2mv1

注意是动量定理及动量守恒定律都是矢量式：无论是几维，我们都需建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解

2，角动量定理及角动量守恒定律

（1） 角动量定理

力矩与角动量（动量矩）的概念 

对点的力矩： o(F)MrFM

 对点的角动量（动量矩）： M(mv)Jrmvo对轴线的力矩或角动量，是在该轴上取一点做为定点，先求根据上面两式求得对该点力矩和角动

量，再投影到该轴上即可（分量式请看书）。若力与轴线相交或平行，则该力对轴线没有力矩，利用该结论，可能有力对轴线的力矩与对某轴的力矩相等，因对其它两轴的力矩为零，即共面力系情况，只可能对垂直于该面的轴线有力矩，所以对该轴线的力矩等于对该轴线与这个面的交点的

角动量定理：微分形式

质点对某定点 的动量矩（角动量）对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。  积分形式

JJMdt21

某过程，角动量的变化量等于外力在该时间段内给予质点的冲量矩 

角动量守恒：若质点所受的力对某点力矩为量，则质点对该定点的角动量守恒JC

对单个质点，若动量受衡，则角动量也守恒，但反之不成立，比如有心力作用下质点的运动。

与动量定理及动量守恒定律一样，我们需要以定点为坐标原点，建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解

3 动能定理及机械能守恒定律

在某一过程，质点动能的变化量，等于该过程所有作用力所做功之代数和。因此，清楚研究过程，有哪些作用力，是否做功，做正功还是负功，初末态动能（未知的当未知数处理）是必须的。 机械能守恒：从动能定理出发，若某过程，只有保守力做功，则该过程机械能守恒

能用机械能守恒处理的问题，一定能用动能定理处理，反之，则不然。

动能定理和机械能守恒，是标量式，没有分量式，不需建立坐标系，但涉及势能时，务必规定势能零面或势能零点,一般对弹性势能，是以自然伸长为零势能点，引力或斥力势能是以无穷远为势能零点；重力势能是以某一水平面为零势能点。

五、有心力

总体认识： 有心力是保守力，必有机械能守恒；有心力对力心力矩为零，所以质点对力心的角动量守恒，并由此推断有心力下，质点只能在一个平面上用动，由于力总是沿径矢的反方向指向力心，所以一般采用极坐标系研究有心力下质点的运动。

1， 有心力下，质点的运动微分方程

1） 动力学方程： 2)F(r)径向： rm(r

横向： m(2rr)F()0

由横向方程，必能推得 r 2   h ，表对力心的角动量守恒，因对力心力矩为零，有 2irj)]mrkCm(rv)m[(ri)(r

2， 动力学方程的求解，轨道方程—

在动力学方程中，消去时间t，并设 得比耐公式：

根据比耐公式，（1）已知质点所受的有心力F, 求

质点的轨道方程 （2）已知质点的轨道方程求质点

所受的有心力

能量方程中，涉及力力心某点的势能求解，对于引力或斥力势能，我们一般以无穷远为势能零点，根据保守力做功与势能变化的关系，可得，离力心r处的势能

rr dvv(r)F.drv0v0

比的引力势能

3， 行星的运动

结合能量方程和角动量守恒方程，可推得轨道形状的能量（由于是常量）判据：

E0推得偏心率 e1,轨道为椭圆

E0，推得偏心率 e1,轨道为抛物线

E0,推得偏心率 e1,轨道为双曲线 我们知行星的轨道为椭圆轨道，所以其能量一定小于零（书58页），粒子的散射，由于其能量大于零，因而是双曲线的一支，其处理方法也不外乎比奈公式，角动量守恒方程，机械能守恒方程。

4 宇宙速度

明白第一（扰地球运行的最小发射速度，第二（脱离地球引力的最小发射速度），第三宇宙速度（脱离太阳引力的最小发射速度得）含义。

第二章 质点组力学（10%~15%）

一、基本概念和质心的求解

质点组：相互作用着的大量质点组成的质点系

内力：质点间的相互作用力，总是成对出现，内力之和一定为零

外力： 质点组以外的物体施加的作用力

质心：质点组的质量中心，是一几何点，而不是一质点，其定义如下

以某一点O为坐标原点（参考点），则质心对该点的位矢等于各质点对同一点的位矢乘以质量之矢量和除以总质量

n miri i1rCOC

i1mi

n分量式，则为 nmizin miyii1mxZCii i1YCi1mi XCi1mi mii1 i1对于质点间的距离不随时间发生变化的情况，参考点不同，所求出的质心坐标不同，但相对质点组的空间位置是不变的。

我们大多遇到的是连续的情况，所以求和需改为积分

xdmzdmydm XCZCYCdmdmdm

上面积分，并不意味着是一重积分。可能二重，可能三重，视情况而定，x,y,z是所选取微元的坐标，若是规则小几何体，如薄圆片，x,y,z则指的是规则几何体质心坐标。

“微元”的合理选取（微元或规则的小几何体）和构建适当的坐标系（要充分利用对称性），借助于密度，表达出微元质量及坐标是关键，最后再进行积分求解

密度均匀，形状规则，且各处重力加速度相同，则质心，几何中心，重心重合。

二(重点考查)质点组的三大定理及相应的守恒定律

由于质点数目可能较多，且内力通常未知，所以对每一个质点应用牛顿第二定律求解其运动规律是不切实际的，但对整个质点组利用动量定理，角动量定理，动能定理及相应的守恒定律，则可能消除未知的某些量，如内力，内力对定点O的力矩，从而使问题简化

1， 对质点组应用动量定理和相应的动量守恒定律

1） 动量定理（内力之矢量和为零） nn dP(e)P(mivi)Fi dti1i1

质点组动量对时

间的微商等于作用在质点组上诸外力之矢量和，

从动量定理，再结合质心的定义，不难导出质心运动定理

2ndr(e)C mFi2dti1

质心就好比一个‘质点’的运动一样，此‘质点’集中整个质点组的质量，作用在此‘质

点’上的力等于作用在质点组所有质点上诸外力的矢量和 

2） 动量守恒定律

若整个质点组不受外力，或虽受外力，但外力之矢量和为零，或外力远小于内力，

则整个质点组的总动量为常量

n vCm(mivi)PC

i1 

注意，上面这些都是矢量式，务必建立坐标系，进行矢量投影，用分量式求解，

一维的情况，规定正方向，也相当于建立以维的坐标系；另外，速度是绝对速度。

与单个质点一样，若质点组整体的合外力不为零，但在某方向投影之代数和为零，则该方向的各质点动量之投影的代数和为零，即该方向动量守恒。

2, 对质点组应用角动量定理和角动量守恒定律

1）角动量定理（内力对定点O的力矩之代数和为零）

 nn(e)dJ J(rimivi)(riFi)dti1i1

质点组对某一定点

的总角动量对时间的微商，等于诸外力对同一定

点的力矩之矢量和

2)角动量守恒定律

如果作用在质点组上的诸外力对某一定点O

的合力矩为零或不受外力矩作用，则质点组的总角动量保持不变

n J(rimivi)C i1

对质点组，不像对单个质点，动量守恒不能导出角动量守恒，当然反过来也不行。

同理，角动量定理和角动量守恒定律是矢量式，务必建立坐标系，进行矢量投影，用分量式求解，明确是对那个点或轴线的角动量和力矩

若所有外力对定点O的力矩之矢量和不为零，但对以该点为坐标原点的某轴线的投影为零，则所有质点对该轴线的角动量是一常数。

如： nn(e)(e) M x  ( y i i F iy )  0 Jxi)costantiziymi(yizF ix  z

i1i1

（2） 质点组对质心的角动量定理

此时是非惯性系，必须引入惯性力，但由于所有惯性力的合力通过质心，所以对质心的角动量定理在形式上与对定点的角动量定理相同

 nneddJ' [(r'imiv'i)]M'(r'iFi)dti1dti1

但对其它动点，该结论一般不成立。

3、对质点组应用动能定理和机械能守恒定律

1）动能定理，从单个质点的动能定理出发，可推得质点组的动能定理：

nnn(e)i12 d(miri)(Fi.dri)(Fi.dri)

i12i1i1

质点组总动能的微分等于诸内力和外力所做元功之和，特别强调内力做功之代数和不一定为零，只有在刚体（任意两质点的距离不变）的情况，才是零。应用时，通常是采用上式的积分形式，明确过程，哪些力做功，做负功还是正功

质点组的动能是标量，但根据柯尼希定理，可分解为质心的动能和相对质心的动能之和（标量分解）

22nn 1n111n11n2'22'2)T(mr)[m(rr')](mr)(mr)mr(mriiCiiCiiCii 222222i1ii1i1i1i1

2）机械能守恒定律

所有非保守力（可能是内力，可能是外力）不做功，则质点组的机械能保持不变

TVE

3） 对质心的动能定理

以质心为参考，是非惯性系，须考虑惯性力做功，但因惯性力做功之代数和为零

所以，在形式上与对定点相同

nnn (i)(e)'12(mir'i)(Fi.dr'i)(Fi.dri)

i12i1i1

质点组对质心的动能，等于质点组相对于 质心系位移时内力与外力所做功之和

三、三大定理及守恒定律的应用

1，两体问题（太阳与行星）

太阳不再静止不动，可对开普勒第三定律进行修正

2， 质心系和实验室坐标系（两质点的散射和碰撞）

质心系: 由于内力远大于外力（重力），可认为外力为零，根据质心运动理，质心做匀速运动，质心系是一惯性系，为理论工作者所用

实验室坐标系：即静止坐标系，为实验工作者所用。

实验室坐标系下的偏转角与质心系下的偏转角

sinCtgr cosC1 m2

根据m1(入射粒子)和 m2的关系，可讨论两种偏转角的关系，如m2远大于m1，则相等

2， 变质量物体的运动

有质量m和合并前的微质量m组成的质点组，应用动量定理有：

(mm)(vv)mvmuFt

约去二阶小量，可得变质量物体的动力学方程

d(mv)dmuF dtdt v是m的绝对速度，u是m的绝对速度，F是整个质点组的合外力（内力之和是零了），通常为重力

dm是质量随时间的变化率，增加是正，减少是负。当u0时，可简化为 dt

d(mv)F dt

注意，m是随时间变化的

求解时，由于是矢量式，所以需建立坐标系，一维的规定正方向，把矢量式转为标量式才能求

解；表达出质量和力随时间的变化情况是解决这类问题的关键。

第三章 刚体力学（20%~25%）

一、基本概念和整体认识

1，刚体：特殊质点组，任意两质点的距离保持不变，类似于质点是一种理想情况，相对于所研究的问题，当物体的大小和形状的变化，可以忽视时，则物体可当做刚体。

2，刚体空间位置的确定，只需确定不共线的三点位置坐标，但由于任意两点的位置不变，受到三个约束，所以只需6个即可

3，刚体运动的分类 根据运动时的限制，需要的独立变量数可少于6个，

根据限制的不同，把刚体的运动分为：

（1） 平动：任意两质点的联线在任意两个不同的时刻，都保持平行，各个质点的运动情况完

全相同，所以任意一质点的运动即可代表整个刚体的运动，显然只需3个独立变量

（2） 定轴转动：刚体运动时，始终有两点不动的运动，该两点的连线即为固定的转动轴，只

需确定刚体绕该定轴转过多少度，所以只需一个独立变量

（3） 平面平行运动：刚体运动时，始终与一固定平面平行的运动，可分解为质心的平面平动

和绕统过质心并垂直于该平面的转动（由轴线取向不变，所以相当于一定转动），因而需要3个独立变量

（4） 定点转动：刚体运动时，只有一个点不动，刚体只能绕通过这个点的轴线转动，显然轴

线的取向是可以不断发生变化的，确定轴线的空间取向（三个方向余旋，但三方向余旋平方和为1），所以只需两个独立变量，但还需一个变量来确定绕轴线转过的角度，因此总共需三个独立变量。通常用三个独立的欧拉角来描述，即进动角（0到2），章动角（0到），自转角（0到2） 教材121页，

（5） 一般运动：不受任何约束，一般分解为质心的平动和绕质心的定点转动，因而需6个独

立变量。

4， 描述刚体运动，最基本的物理量是角速度，即描述刚体绕某个点和轴线转动的快慢，是一

矢量（相应于无限小转动，无限小转动是可对易的（交换先后两次的转动顺序，结果不 变），而有限转动是不可对易的） ，方向用右手螺旋法则来确定。

5， 刚体的欧拉运动学方程，刚体定点转动时，把角速度（注意是状态量）投影到固连在刚体

上随刚体一块运动的随动坐标系上（只做为计算的工具，在后面的刚体的平面平行运动学和刚体的定点转动运动学，及非惯性系运动学、动力学，都常常这么做），但运动参照系仍是地球，而得其分量式，描述了角速度分量随欧拉角及时间之间的变化关系

二、刚体的运动方程与平衡方程

1、 力系的简化

由于刚体受力可能纷繁复杂，所以首先要对刚体的力系进行简化

1） I，非平行共面力系的简化

应用的基本原理是力的可传性原理，力可沿作用线滑移而不改变作用效果（但作用线不能随便移动）。所以可以采用两两相交的办法求得非平行共面力系的合力

II，平行共面力系的简化，采用合力对垂直于该平面的某一轴线的力矩与所有平行力对该轴线的力矩之代数和相等，来求得合力大小和作用点

平面平行力系中存在一特殊情况，即由一对对大小相等，方向相方的平行力所组成，其中的任何一对平行力，我们称为力偶，其唯一的作用效果是产生力偶矩，垂直于该平面，

但作用点不固定，称为自由矢量

MF2.PO2F1.PO1F.O1O2

大小：其中一力乘以力偶臂（两平行力的距离）

方向：右手螺旋法则

也等于其中一力对另一个力作用点的力矩

这样的平面平行力，可简化为一合力偶，可能是零，可能不是零

2） 空间力系的简化

共点力系和平行力系的简化，与平面情况类似，关键是既不平行也不共面的力系：

利用力偶的知识，我们可根据问题的方便，选择一简化中心（通常是质心），于是刚体上任意一力可以迁移到该点，为了消除迁移的影响（移动了作用线），必须加上一力偶，即加上未迁移前，该力对简化中心的力矩。因而所有力迁移到简化中心后，就有一合力和合力矩，我们称为主矢（作用效果使刚体平动）和主矩（作用效果使刚体绕通过简化中心的轴线转动）。显然简化中心不一样，主矢不变，主矩一般要改变，但显然不能因为人为选择的简化中心的不同而改变刚体的运动状态

2， 刚体的运动微分方程

根据前面的分析，刚体的运动一般分解为质心的平动和绕质心的定点转动，因此质心为简化中心，力系简化为一主矢和一主矩，我们利用质心的运动定理处理质心的平动和应用对质心的角动量定理处理绕质心的定点转动即可处理刚体的一般运动。

1） 质心的平动 n d2rCm2Fi(e)F dti1 矢量式，建立坐标系，转为标量式才能求解。

CFxmx

CFy my

CFymz

2）绕质心的定点转动  dJ''M 分量式，如

注意对轴线的力矩和角动量，一定是先求对点的力矩和角动量，再投影到该轴线上来做的；若对另外两坐标轴没有力矩（共面力系，平面运动），则此时对点和对轴线的力矩相等。

3、 刚体的平衡方程

以任意点为简化中心显然要求主矢为零，主矩为零

M0F0

Fx0,Fy0,Fz0

Mx0,My0,Mz0

所有外力之矢量和为零，对任意点的力矩为零。 

若为共面力系, 以所在面为xoy平面，则刚体平衡必有：

Fx0,Fy0

Mz0

所有外力 对垂直于xoy平面的任意轴线（不一定是对坐标Z轴）的力矩之代数和为零，由于共面力系不可能对x或y轴产生力矩（相交或平行），所以对任意垂直于该面的轴线的力矩就等于对该轴线与这个平面交点的力矩。又因与该点相交的力不可能对该点有力矩，所以我们当选较多力交汇点为参考点列力矩平衡方程（转动效果逆时针为正）。

若刚体在三个共面力下平衡，则三力必交于一点（反证法）

三 、刚体的转动惯量

1， 刚体的角动量和转动动能

应用对刚体对某点的总角动量等于所有质点对同一点角动量的矢量和，可得

nnn2 Jrimivirim（r）m[r（ri）ri]iiii

i1i1i1 所以方向一般与角速度不不同

对三轴线的分量式：

JxIxxxIxyyIxzz JyIyxxIyyyIyzz

JzIzxxIzyyIzzz

从上式可知，刚体做定轴转动，且转轴是惯量主轴（平面平行运动，可看做特殊的定轴转动），定点转动时，转轴为惯量主轴的情况，有xy0,IxzIyz0，在这几种特殊情况角动量才与角速度方向相同。所以，即便是定轴转动，角动量与角速度也不一定同向。

刚体的转动动动能

nn1n112 Tmirmv.vmviiiiii.(ri)222i1i1i1

1n1n1 .(rimivi).(rimivi).J2i12i12

11 Tmi(vivi)mi(ri)2

最常用的是 22

11122mi2risin2i2miiI2

222

2， 转动惯量

1） 概念 n

在上式动能的第二种表达式中， i 1 ，即为刚体对某轴线的转动惯量，i为各

质点到该轴线的垂直距离，显然同一刚体对不同的轴线具有不同的转动惯量，因此说到转动惯量，务必声明是对那轴线的转动惯量，就好像说到力矩务必清楚是对那个点或那轴线的力矩一样。对Imii2

比于平动动能T1mv2中的质量，知转动惯量就像平动中的质量一样，是描述转动惯性大小的2

量度。

2） 求解

上式定义是离散的情况，其实我们遇到的是连续的情况，所以上式求和需转为积分:

I2dm

‘微元’的选取可能是真正的微元，也可能为微元dm到转轴的距离，与质心的求解类似，

是规则几何体，当为规则几何体的时，应是每一部分到转轴的距离（应相等）。该积分可能是一重，二重，三重，视具体问题而定；计算时通常也要建立坐标系（也要充分利用对称性），转轴为一坐标轴，在该坐标系下表达出与dm,积分求解。

我们需要记住一些规则的刚体对特定轴线的转动惯量如：

均质细棒，对垂直通过端点的轴线的转动惯量为12ml，对垂直通过中心的轴线的转动惯量为3

1ml2 ,l为棒全长 12

半径是r均质薄圆片对垂直通过圆心的轴线的转动惯量为

是12mr，而对任意一直径的转动惯量212mr4

2半径是r的均质圆环对垂直通过圆心的轴线的转动惯量为mr，而对任意一直径的转动惯量是

12mr 2

实心圆柱体对中心对称轴（通过薄圆片的圆心）的转动惯量是12mr 2

等等

另外我们还可能借助于平行轴定理来求解

刚体对任意与质心轴平行的轴线的转动惯量为 I  I C  md 2 d为两平行轴的距离。

有时为了方便，可能用回转半径来表示，即刚体对某轴线的转动惯量等效于一集中刚体全部质量的一点对该轴线的转动惯量Imk，k即为回转半径，所以求刚体对某轴线的回转半径实际是求刚体对该轴线的转动惯量，比如半径为r的均质圆环对任意一直径的回转半径为k2r 2

3， 惯量张量和惯量椭球， 惯量主轴及求法

刚体做定点转动时，对任意过定点的轴线的转动惯量的一般表达式

IIxx2Iyy2Izz22Ixy2Iyz2Izx

若是静止坐标系，惯量系数是随时间变化的。

惯量张量分为轴转惯量和惯量积，按照一定规律排列成二阶张量形式，参考教材133页

惯量椭球，以刚体上的一点作为坐标原点（转动点O），建立固连在刚体上的坐标轴，

使得轴转动惯量和惯量积为常数，在转轴上截取一线段

OQ1RI

过O点有无限多转轴，则Q点所满足的曲面方程，就是惯量椭球，若坐标原点在质心，

则为中心惯量椭球。

建立固连的坐标系，随惯量系数为常数，但还不能消除惯量积，若以惯量椭球的三

对称轴（相互垂直的主轴）为为坐标轴，则因对称性而消去惯量积，使问题简化，于是

我们称惯量椭球的主轴为惯量主轴，对惯量主轴的转动惯量为主转动惯量。在这样的条

件下，对通过定点O（坐标原点）任意轴线的转动惯量

IIxx2Iyy2Izz2

一般以几何方法求得，即规则刚体的对称轴为惯量主轴，因此我们以规则几何体的

对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，求得刚体对三对称轴的轴转动惯量，则对任意

通过该点的轴线的转动惯量，只有知其与三坐标轴的方向余旋，则利用上述公式求解即

可

四， 刚体的平动和绕固定轴的转动

明确平动（3个独立变量）与定轴转动（1个独立变量）的概念

1） 定轴转动运动学

以轴上某一点为坐标原点，则任意一点的速度

dr viri dt

因每一质点做的圆周运动，所以加速度分为切向加速度和法向加速度

RiRiaiv vi2 ain2RiviRi

Ri为到转轴的距离，线量由于Ri不同，则不同，但角量则各点相同，角速度，角加

速度,角位移之间的关系，可以借用平动时，速度，加速度，位移之间的关系

2） 定轴转动动力学

显然采用对轴线的角动量定理（称为转动定理）

MzMz IzzIzzz 注意是对轴线上某点的角动量定理，在转轴上的投影，所以是标量式，应用该式解决

动力学问题，需解决两个问题

I， 刚体对定轴的转动惯量

II， 所有外力对定轴力矩之代数和

前面讲过，对力对轴的力矩一定是先求得对轴线上某点的力矩，然后再往该轴

线投影而得，看起来很麻烦，实则不然。我们所遇到的情况，基本都是共面力

系的情形（包括后面的平面平行运动），所以所有外力对转轴的力矩等于对转

轴与该面的交点的力矩（经过交点的力，如约束反力，对该点则无力矩），因

而大小就等于该力乘以交点到力的作用线的垂直距离，方向用右手螺旋法则判

断，要特别强调正负的取法，与平衡问题不同，这里是先确定角位移的正

方向（一定是静线指向动线为的方向），再根据右手螺旋法则确定力矩的正

方向。从而求得个外力对轴线与平面交点的力矩之代数和

若刚体所受的外力中，只有保守力做功，则机械能守恒，该类问题也可结合机

         v  v    r  v    ( r  r )

r'是研究对象对基点的位矢

械能守恒定律来求解 3） 轴承上的附加压力（通常是非共面力系） 应用动量定理和对轴花上某点的角动量定理求解 若要使刚体处于动平衡，即转动时使刚体所受的轴承施加的作用力与静止时相等，则要求刚体的转轴为惯量主轴，且质心在转轴上，所以制造和安装机器的转动部分时需要尽可能满足上述两条件，否则附加杂轴承上的压力会产生很大的破坏作用。 五， （重点考查）刚体的平面平行运动（需3个独立变量） 明确概念，由于刚体做平面平行运动时始终与某一固定平面平行，因此截取一平行于该固定平面的薄片做为代表，即可研究刚体平面平行运动的运动学和动力学（动力学要求是通过质心的薄片） 1） 运动学 薄片上任意一点的运动分解为基点的平动和绕基点的转动 I， 速度 于是薄片上任意一点的速度为基点的速度( 牵连)和绕基点的转动速度(相对)之矢量和 0AA

II，任意点的加速度，则是对上式求导，所以记住速度公式是基础

根据上述两公式，我们看到是矢量式，务必建立合理的固连在刚体上的坐标系（三维）作为

计算工具，但运动参照系是静止坐标系，用i,j,k来表示各矢量，才能运算, 后面的定点转

动运动学和转动参照系运动学和动力学都是采用相同的手法

IＩＩ）转动瞬心

做平面平动的刚体，角速度不为零时，每一时刻，刚体上总有一点的速度为零，该点即为转动瞬心，该点速度虽为零，但加速度不为零。

我们可以以该点为基点，求解其它点的速度带来方便，但不能求解其它点的加速度（此时，应以加速度已知点为基点） vrCP

可以根据该结论，只有知到薄片上任意两点的速度，则做两速度得垂线，交点必为转动瞬心。

相对于静止坐标系，随时间转动瞬心所描绘的轨迹为空间极迹；相对于刚体本身则为本体极迹；

2） 动力学

薄片的选取，一定为通过质心并平行于固定平面的薄片，以质心为基点，薄片的运动分解为质心的平面平动和绕通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动（由于轴线取向一定，可视为定

轴转动），这样可以利用质心运动定理处理质心的平动，和对质心的角动量定理（形式上与

对定点的角动量定理一样）研究绕通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动

I， 质心的平面平动

是而维运动，因此可采用直角坐标系，也可采用极坐标系，自然坐标系（质心做圆n周运动的情况），一般采用直角坐标系分解矢量式 d2rC(e)

CFixxmCFiyym(1)(2)mdt2Fii1

所以必须建立坐标系，并进行正确的受力分析（不明确力的方向时，可先假定其方

向，如静摩擦力），虽以含质心的薄片为代表，但我们知应是整个刚体所受的作用力（下面

对轴线的转动惯量也一样），应为共面力系，否则质心就不能做平面运动了

II， 绕通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动

由于可视为定轴转动，因而对质心的角动量定理简化为通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动定理（角动量定理），所以处理方法就给定轴转动一样

MIzzz I    M (3 或 )zzz

a) 明确刚体的对该轴线的转动惯量

b) 求所有外力对该轴线的力矩

由于是共面力系，因此若以轴线与薄片的交点即质心为坐标原点，转轴为一坐

标轴，则所有外力对薄片上两轴线的力矩必为零（因力与两轴线相交或平行，都不会

对轴线产生力矩效果），所以所有外力对该轴线的力矩等于对质心（点）的力矩，力叉

积相对于该点的位矢（大小：力乘力臂，方向：右手螺旋法则）；正负的取法，仍然是

先确定角位移的正方向（静线指动线），再用右手螺旋法则（握角位移）来确定力矩

的正方向，进而确定力矩的正负。

由于刚体做平面平行运动时要受到约束，因此，常要用到约束条件

如圆柱体无滑滚动，则XCa ，当然也意味着接触点的速度为零，是转动瞬心

III）还可能借助机械能守恒定律

若只有保守力做功(注意无滑滚动的静摩擦力不会做功)，则机械能守恒

121121TVmvCmivi2VmvCICz2VE 2222

应用了柯尼希定理，各质点相对质心是在做转动。

本节还涉及滚动摩擦的概念，是由于刚体和接触面都不是绝对刚性，刚体做无滑滚动

时，刚体陷入接触面而产生，它远小于滑动摩擦，所以常用滚珠，滚轴轴承是为了用

滚动摩擦代替滑动摩擦

六、刚体的定点转动（3个独立变量）

明确概念

空间极面：刚体定点转动时转动瞬轴在静止坐标系所描出的锥面

本体极面：刚体定点转动时转动瞬轴相对于刚体自身所描出的锥面 

1 )运动学

速度： 此时转动点为基点，速度为零，与平面平动相比，这里r是三维的 vrdr加速度：对速度求导即可，注意r

分别为转动加速度和向轴加速度，R是质点到瞬时转动轴的垂直距离，方向垂直

背离转轴指向质点；

r'表示质点到基点的位矢 

 vA(r)v

除了r是三维外，与平面平行运动还有不同之处，即无论是定点转动，还是一般运动，刚体上的质点都可能同时参与几种转动，因而角速度一定是绝对角速度即合角

速度，是分角速度的合成

上面都是矢量式，务必建立坐标系，一般建立固连在刚体上随刚体一块转动的随

动坐标系，作为计算的工具（明确运动参照系是地面），公式中的各矢量用i,j,k表示，

才能利用上述公式进行计算（注意i,j,k之间的叉积关系）

2）动力学

了解欧拉动力学方程的推导过程，做了两次简化，一为了使惯性系数为常数，用

固连在刚体上的随动坐标系；二为了消除惯量积，使用了惯量主轴作为坐标轴。

第四章 转动参照系 （~10%）

本章是研究相对于转动参照系运动的质点的运动学和动力学，而转动参照系

一般为刚体，所以区别于第三章刚体内部一质点（无相对运动）的运动学

一、运动学（建立固连在刚体上随刚体一块转动的随动坐标系）

1，

1 为相对速度（质点相对于转动参照系的速度）与牵连速度（被转动参照系牵带着一块运动而具有的速度）的矢量和；r质点相对转动点的位矢，在这里是二维 2）加速度：a aωr2r2ωvaatac  与第一章的平动参照系不同，除了相对加速度 ，牵连加速度（含的项, 牵连切向加速和牵连向心加速度）之外，还有一项是科氏加速度2v'，方向由右手螺旋法则确定，是由

于牵连运动和相对运动相互影响而产生，牵连运动改变相对运动的方向，相对运动改变牵连速度，若任意一项是零或特殊情况角速度和相对速度平行，则不存在科氏加速度

运算时，建立好固连在刚体上的随动坐标系。各矢量用随动坐标系的i,j,k表示再运算。

2， 空间转动参照系

明确在空间转动参照系任意一矢量（相对于空间转动参照系的坐标原点）的绝对变化率是相对变化率+牵连变化率 d*G dGd*G(GxiGyjGzk)G dtdt*dGydGdtdGdGxz相对变化率  i  j  k 是动坐标系不动时，该矢量的变dtdtdtdt化

率，若相对于动坐标系是常矢量，则该项为零；

牵连变化率G，是被转动参照系牵带着一块运动所具有的变化率，当0

或二者平行的时候，该项为零。

1）速度



与平面转动参照系相同，但意识到这里r

（质点相对转动点的位矢）是三维的

2) 加速度

形式上与平面转动参照系相同，但这里r，v

'都是三维，22(r)Rr，称为是牵连向轴加速度（不是牵连向心加速度），R是

质点到瞬时转动轴的垂直距离，方向垂直背离转轴指向质点；

显然，当质点相对转动参照系不动时，则与第三章的刚体定点转动公式一样，

转动参照系做定点转动的基础上推广到一般情形，即转动点在做平动，速度和加速度都该在加上一项，当然应归为牵连速度和牵连加速度。

与前面同理，具体操作时，应建立好固连在刚体上的随动坐标系，各矢量用随动坐标系的i,j,k

表示再运算，但明确运动参照系是静止坐标系，求得绝对速度和绝对加速度

二、 转动参照系动力学

转动参照系一定具有加速度，因此一定是非惯性系，在非惯性系中要是牛顿地二定律形式上

继续成立，必须加上由于运动参照系具有加速度而产生的非相互作用力惯性力

1， 平面转动参照系        出发，两边同乘以质量，利用惯性系中从公式 a    2 r aω r2ωvaatacFma，并移项有

rma'Fmm2r2mv'

这就是质点相对转动参照系运动时的动力学方程（a'即为相对加速度），由于是非惯性系，所以

必须添加上三项相应的惯性力才能得到形式上的牛顿第二定律，后面三项惯性力分别为牵联切向惯性力、惯性离心力（因沿位矢，背离转动点）、科氏力（用右手螺旋法则确定，但注意与科氏加速度2v的方向相反

与前面同理，具体操作时，应建立好固连在刚体上的随动坐标系，各矢量用随动坐标系的i,j,k

表示再运算，

2，

从上式出发，两边同乘质量，再移项

drm(r)2mv'FFtFc ma'Fmdt

形式上与平面转动参照系相同，但这里r，v'都是三维，(r)Rr，

在这基础上可推得一般情形下的表达式，这里不再陈述。

3， 相对平衡 当质点相对于转动参照系静止时，相对速度和相对加速为零，没有科氏力，这种状态称

为相对平衡，是在相互作用力和牵连惯性力的作用下处于相对平衡状态，可以利用它们

的合力为零来解决问题。所以相对平衡应该在非惯性系中处理。

四，应用（科氏力对地球自转影响）

当研究地表上物体的运动精度比较高时，不能再把地球看作是一惯性系，由于自转与公转， 是非惯性系，由于公转加速度比自转加速度还小得多，所以一般不考虑公转。

1， 惯性离心力的影响

22

明确重力是万有引力与惯性离心力的合力，因惯性离心力随纬度而减小，所以重力随纬

度增加而增加，两极处最大（等于万有引力），但，因是较小的量，所以重力随纬度

变化不会很大

2， 科氏力的影响

当然只有相对地表有运动的物体才谈得上科氏力

科氏力对相对地表运动的物体的影响得分北半球和南半球，在北半球科氏力总是指向质点

运动方向的右侧，但在南半球，正好相反，科氏力总是指向运动方向的左侧，以河流的冲刷为例，在北半球，是右岸（相对河流方向来说的）冲刷较左岸严重，因科氏力总指向运动方向的右侧。 在南半球，则是左岸（相对河流方向来说的）冲刷较右岸严重，因科氏力总指向运动方向的左侧。 对于火车单线轨道除了区分南北半球外，还要注意是单向行驶还是双向行驶。

第五章 分析力学（~30%）

明白分析力学与牛顿力学，研究对象都是宏观物体，任务都是解决宏观物体的运动规律，但所采用的方法很不相同，在牛顿力学中，最重要的量是力和加速度，矢量性很强，除了动能定理和机械能守恒定律外，几乎都是矢量式，因此务必要建立适当的坐标系，若是动力学则要进行准确的受力分析，把矢量式变为分量式；若是运动学，则矢量用分量来表达（如前面的转动参照系运动学），才能求解。而分析力学中最重要的是能量，即动能和势能，其次确定系统的自由度，进而确定广义坐标，用广义坐标来表示能量等函数，是十分重要的一步，因而标量性很明显，当然有时也免不了要受力分析，毕竟是力学。

一、约束与广义坐标

分析力学的研究对象：主要是相互作用着的大量质点组成的质点系，我们常见的就是特殊的质点系刚体，我们称为力学体系。单个质点当然也可用分析力学处理，不过，有时反使问题复杂化，因它的优势在于处理复杂体系，一方面用广义坐标(独立坐标)来描述力学体系使方程数减少，一方面消除未知的约束反力（目标是求解力学体系的运动规律，而不是约束反力）.

1, 约束

限制力学体系中质点自由运动的条件，通常为坐标，速度，时间的函数，该函数我们称为约束方程，简称约束

按照下面不同的划分标准，分为：

1） 限制质点空间位置的约束是否显含时间

f ( x , y , z )  不显含时间，稳定约束，形如 0

显含时间，不稳定约束，形如 f(x,y,z,t)0

2） 限制质点空间位置的约束是否可解

始终不能脱离约束曲面（曲线）的约束，是不可解约束，用等式表示，形如

f(x,y,z,t)0f(x,y,z)0

质点虽被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，是可解约束，同时用等式和不等式表示，形如：f (x,y,z)c

3)是否限制质点的速度

f(x,y,z,t)0 仅限制质点的空间位置的约束，形如： f(x,y,z)0

称为几何约束，给不可解约束完全等价，几何约束也称为完整约束；

不仅限制质点的坐标，而且限制质点的速度，是微分约束；可积分为几何约束的微分约束也为完整约束，所以完成约束包括几何约束(不可解约束)和可积分为几何约束的微分约束；而非完成约束则包括可解约束和不能积分为几何约束的微分约束，受完整约束的力学体系是完成系，2

反之是非完整系，我们主要研究完整系。

我们注意到，上面分类中有相互包含的情况，如同一个约束，即可是稳定约束，也可是不可解约束，还可是几何约束；可解约束只能是非完整约束。

3， 广义坐标

若一个有3n个质点组成的力学体系受到k个几何约束，则描述其空间位形的独立坐标数只需

3n-k个，此时力学体系的自由度和独立坐标数相等，若有微分约束，则自由度数可小于独立

坐标数，我们研究的是几何约束

这3n-k=s个独立坐标，称其为是广义坐标，每一质点的三个直角坐标都可用这s个独立

坐标来表示，于是整个力体系的空间位形当然就只需s个独立坐标来描述

明确位矢是广义坐标和时间的显函数，若不是时间的显函数是稳定约束的情况。广义坐标，

既然称广义，它可以是长度，还可是角度等，只需满足和广义力的乘积具有功的量纲或者说

具有功的形式

二， 虚功原理

1. 几个基本概念

1） 实位移与虚位移的区别和联系

实位移是实实在在由真实运动而发生的位移，必然经历时间，且受运动规律（初始条件和受力情况，所以已包含了约束条件）的限制，只有一个，用dr表示；而虚位移则是在

某一时刻，约束所许可的条件下，假象的可能发生的位移，可能由无数多个，且不经历时间，不受真实运动的影响，由约束条件和该时刻所在位置决定，用r表示；当在稳定

约束的情况下，实位移是诸多虚位移中的一个

2）虚功

所有主动力和约束反力在任意的虚位移所做的元功之和，与虚位移相应，物功能

转化，也不需经历时间

3）理想约束 若某一力学体系的所有约束反力在任意虚位移所做元功之和为零  Ri.ri0Ri为i第质点受约束力的合力

i1

常见理想约束

1)光滑曲面，曲线，铰链；

2)刚性杆；

3)不可伸长的轻绳 ；

后面我们研究的就是这类理想约束

2，虚功原理

研究对象是受理性的稳定的约束且处于静止状态的力学体系，研究任务，是解决该类体系的静力学平衡问题

内容：

即：受理想稳定约束的体系处于平衡的充要条件是，

在任何虚位移上所有主动力的虚功之和等于零 Firi0n

i1(FxFyixiiyi1niFizzi)0

由于3n个坐标不完全独立，所以不能令系数为零，需用独立的广义坐标表示

nsnsri wFiri(Fi)qQq0qi11i11 nnrxxxiQ Fi(FixiFiyiFiyi)0(1,2,s)qi1qqq i1

Q称为广义力 

对连续体的情况，ri应是主动力作用点对直角坐标系原点的位矢，从上式出发：

用虚功原理解决力学体系的平衡问题的步骤

1） 需建立固定的直角坐标系

2） 分析主动力，

3） 观察分析体系的自由度，并确定广义坐标

4） 用广义坐标表示主动力作用点的直角坐标

5） 代入直角坐标系下的虚功原理方程（主动力满足的平衡方程）或广义坐标下的平衡方程程都一样求解

用虚功原理解决力学体系的平衡问题相对于力学体系的好处

1） 可不考虑未知的约束反力

2） 力学体系约束越多，同等条件下，平衡方程越少，这正是处理复杂体系所需

要的，而牛顿力学正还相反

缺点：不能求出约束反力

三 （重点考查）拉格朗日方程

是在达郎贝尔原理（把动力学问题转为静力学问题的原理）和虚功原理的基础上推导的 1基本形式的拉格朗日方程

1）内容

dTT Q(1,2,3,4s) qdtq

（1） ，T为力学体系的动能，一般是广义速度，广义坐标及时间的函数，

2

也可以是角动量

nr 3  Q  i  i为广义力 ，根据虚功原理的步骤求得广义力  Fqi1 ,q1T,t)，q即TT(q是广义速度， T2,mx,我为广义动量，如Tmx们常见的，可以是线q2x动量，

T可理解为广义惯性力 q

2）理解

拉格朗日方程是以q为变量的s个二阶线性微分方程组, 是在s 维正交的位形空间中描述力学体系的运动，方程个数=自由度数，约束越多，自由度越少，方程越少，只要写出T，Qα，代入方

程即可得到运动方程. 注意是标量方程，所以直接求解。

3）适用范围：适用于理想的完整体系

2 保守力系下（主动力是保守力）的拉格朗日方程

letLTV,

dLL0(1,2,3,s)qdtq

L是体系在广义坐标所确定的位形空间中重要的特性函数，表征体系的约束、运动及其相互作用等情况，称为拉格朗日函数

对拉格朗日方程的认识:

(1)地位的重要性：是解决受理想完整约束的力学体系的普遍动力学方程，在分析力学中占有重要的地位

（2）拉格朗日方程是标量方程，以力学体系的动能为基本变量；应用时对非保守系，只需计算动能和广义力，对保守系只需计算系统的动能和势能

（3）拉格朗日方程是用一组与体系自由度数目相等的广义坐标（相互独立）表示的力学体系的二阶运动微分方程

（4）避开了约束反力，约束越多，独立坐标数越少，越容易求解，对于受复杂约束的体系的动力学研究开辟了捷径，正是它的优势所在

3 拉格朗日方程的应用

应用拉格朗日方程解题的一般步骤：

（1）明确是否是受理想完整约束的力学体系

（2）判断力学体系的自由度（确定广义坐标数）

（3）选广义坐标（根据题意，需要灵活选取），数目与自由度相等

（4）计算系统的动能，且用广义速度，广义坐标来表示

（5）对非保守系计算广义力，对保守系计算势能（用广义坐标表示）

（6）代入拉格朗日方程求得质点系的运动微分方程，进而求得运动

4 循环积分和能量积分

都是针对保守力系，

循环积分：若拉氏函数汇中不显含有某一广义坐标q

则 L0q

dLL0(1,2,3,s)qdtq

L C则

 q  便是一循环积分，该式称为广义动量守恒 

标） 一个循环积分 dL0dtq个广义动量守恒 能量积分：对于稳定的保守力力学体系，有 TVE

广义能量积分：对不稳定的保守力系，能量不守恒，

T2T0Vh

因拉氏方程中消去了约束反力，而约束反力，在不稳定约束下可能做功。

四 哈密顿正则方程

H1.内容 qp H p(1,2,3,s)q

2.理解

(1)是从保守力系下的拉氏方程推导出来的，所以适用于理想完整的保守体系

P是广义动量

（2） H 是 2s+1个 变量即 s个独立的q ，s个独立的p （q,p也相互独立） 和 t 的函数，

(3）哈密顿正则方程包含2s个一阶常微分方程的方程组，形式简单而对称，’正则’的形容正是由此而来；因是一阶方程，所以求解也简单

 作为独立变量广泛和方便， p 是动 （4）用 P,q 作为独立变量比用 q,q

力学量，而 q 仅是运动学量； H 称为哈密顿量，在稳定约束的情形下就是能量，能量是所有物理系统中最基本的量，从含动量、能量的正则方程出发，能相对容易的从经典物理过渡到量子物理

（5）对应于正则方程， q 和p 又称为正则变量，并用它们代表所有广义坐标

和广义动量所组成的2s维相空间的一个相点，哈密顿量H是2s维相空间的特性函数，而拉氏函数L是由s个广义坐标确定的在位形空间的特性函数

3. 解题步骤

（1）确定是否为保守系

（2）确定自由度，选广义坐标

（3）以广义坐标及广义速度表达出拉氏函数， s

（4）根据哈密顿函数的定义， HLpq

1求哈密顿函数 

（5）把哈2s个一阶微分方程

4 循环积分与能量积分

1）循环积分：

H 若H中不显含q，则p0，p常数 q

对比于拉格朗日方程，哈密顿方程直接给出循环积分，比拉格朗日方程更为方便，实际也更富有物理意义

2）能量积分

在稳定约束下，哈密顿函数就是能量

五、泊松括号与哈密顿原理

1，泊松括号

设(q1,q2,qs,p1,p2,ps,t)

则 s

,H(HH)pq1qp

泊松括号 

注意（1）是对力学体系所有广义坐标和广义动量求偏微商，（2）由于所有的 q 和 p相互独立

一般形式的泊松括号

s

,(pq1qp2 泊松定理 只要某函数  满足   , H   0 ，则 

泊松定理为：

(p,q,t)C1，(p,q,t)C2,

是正则方程的两个积分，则，C,也是正则方程的一个积分。33 哈密顿原理

仅研究保守力系作用下的哈密顿原理

与拉格朗日方程一样，是在由s个广义坐标所描述的s维位形空间中研究力学体系的运动规律，st 即为正则方程的第一积分

维位形空间与时间t构成了s+1维空间，它是采用变分的思想从多种可能轨道中挑出真是轨道。 数学表达式：

t2 Ldt0t1

该方程实际就是极值条件，哈密顿原理可以阐述为在完整的保守系统中，具有相同时间间隔和始末位置的一切可能运动与真实运动相比，对真实运动哈密顿作用函数

t2t1Ldt具有极值。

理论力学期末考试复习资料

题型及比例

填空题（20%）选择题（20%）证明题（10%）简答题（10%）计算题（40%）

第一章：质点力学（20~25%）

一．质点的运动学

I：（重点考查）非相对运动学

1、描述质点的运动需要确定参照系和坐标系。

参照系：没特别声明，一般以地球为参照系，且认为地球是不动的，即以静止坐标系为运动的参考。

坐标系：根据问题的方便，通常选择直角坐标系（适用于三维，二维，一维的运动），极坐标系（适用于二维运动，题中明显有极径，极角等字眼或者有心力作用下质点的运动时采用极坐标系），自然坐标系（适用于二维运动，题中明显有曲率半径，切向等字眼时，或者圆周曲线运动，抛物线运动等通常采用自然坐标系）。

2、描述质点运动的基本物理量是位移（坐标）、速度、加速度，明确速度、加速度，轨道方程在三种坐标系下的求解，直角坐标系下步骤：

（1）, 建立好坐标系

（2），表示出质点的坐标（可能借助于中间变量，如直角坐标系中借助于角度）

（3）对坐标求一阶导得速度，二阶导得加速度，涉及的未知量要利用题中所给的已知信息求得。

若求轨道方程，先求得x、y、z随时间或其他共同变量（参数）的函数关系，消去共同变量即可，其它坐标系下是一个道理。

若是采用处理二维运动的极坐标系和自然坐标系：

明确怎么建立这两种坐标系及速度、加速度表的达式和各项的意义

(a) 极坐标系：极轴（不变的），极角与极径（质点对质点的位矢大小）则随质点不断发生变化，特别需要明确的径向、横向的单位矢量i,j的确定，径向即沿径矢延长方向，横向是垂直径向，指向极角增加的一侧，它们的方向随质点的运动不断发生变化，称为是活动坐标系；我们只需应用相应的公式计算，并理解每一项的意义即可：

r 横向， v 速度： 径向， v r  r

加速度：径向 a r     r   2 ，明确第一项是由于径向速度得大小改变而引起，第二项则r

是横向速度得方向发生改变而引起；横向 a   2

 r ,第一项是混合项，其中之一表由横 r

向速度得大小改变而引起，其中之二表由径向速度得方向改变而引起，而第二项则表示由横向速度得大小变化而引起 

 (b)自然坐标系：明确是把矢量分为切向和法向，活动坐标系的单位矢量i沿切向，j沿

法向，并指向轨道弯曲的一侧：

不存在法向速度 是零； 法向

II：相对运动学

当质点相对于某平动运动参照系运动时，其对地的绝对速度 v  ' ，即等于牵v 0v

连速度(被运动参照系牵带着而具有与运动参照系相等的速度)+相对速度，这类问题，通常是平面运动问题，我们需建立适当坐标系，一般为直角坐标系和极坐标系，把该矢量式进行适当分解，如在直角坐标系中



V绝xV相xV牵x

V绝yV相yV牵y

该类问题中区分质点和运动参照系很重要，一般来讲，运动参照系的运动相对稳定， 质点的运动变化相对较大。

绝对加速度＝牵连加速度＋相对加速度，运动参照系匀速时两者相等

二 质点的动力学（牛顿运动微分方程）

I 惯性系（静止或做匀速直线运动的参照系，一般以地球为静止的惯性参照系 ）

我们明确牛顿第二定律是一矢量式，必须建立合理的坐标系把F和a分解到坐标轴上，用分量式才能求解，所以建立合理的坐标系，正确的受力分析，利用初始条件求解牛顿运动微分方程的分量式（逐次积分法或公式法进行积分，积分常数需由初始条件决定），是该类问题的三大步骤 自由质点：空间

平面的：

F(r,,r,t)r,mrr 2rF(r,,r,t), mr 非自由质点：受到约束，一般把力分为主动力（不随运动状态的变化而变化,如重力）和约束反力（约束所施加，通常会随运动状态的变化而变化，如支持力），这种情况采用自然坐标系比较方便 mrF主R

光滑约束的情况



在这样的参照系中，牛顿第二定律不再成立，必须引入惯性力，牛顿第二定律形式上才能继续成立 [Fma0]ma'

 惯性力  0 ，并非相互作用力，没有施力物体，仅表明我们是在非惯性系中研究动力学ma

问题，同样，需建立适当的坐标系，把相互作用力和惯性力，相对加速度进行分解，用分量式求解（相对平衡问题，可能能用矢量三角形法则求解）

三 功和能 功： wF.drFdscos

功是能量转化的量度，功是过程量，能是状态量

根据力做功是否与路径无关区分三类力

保守力：力做功与路径无关，只取决于初末位置，这是判断一个力是否是保守力的根本标准。另外两个判断标准是：

（1）存在相应的势能标量函数，满足

即保守力做功等于势能变化量的负值

（2）该力的旋度一定为零

F0

非保守力：做功与路径有关，如涡旋电场做功

耗散力： 做功与路径有关，而且总是做负功

四、动力学三大定理及相应的守恒定律（单个质点）

从牛顿第二定律出发,可推得

1，动量定理及动量守恒定律

（1）动量定理

微分形式：  d(mv)FdtdI

质点动量的微分等于作用在质点上力的元冲量。

积分形式： t2mv2mv1Fdt t1上式表明，在一段时间内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同一段时间内的冲量。 注意是矢量式：我们需建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解

（2）动量守恒定律

如质点不受力或者合力为零，则质点的动量守恒  mv2mv1

注意是动量定理及动量守恒定律都是矢量式：无论是几维，我们都需建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解

2，角动量定理及角动量守恒定律

（1） 角动量定理

力矩与角动量（动量矩）的概念 

对点的力矩： o(F)MrFM

 对点的角动量（动量矩）： M(mv)Jrmvo对轴线的力矩或角动量，是在该轴上取一点做为定点，先求根据上面两式求得对该点力矩和角动

量，再投影到该轴上即可（分量式请看书）。若力与轴线相交或平行，则该力对轴线没有力矩，利用该结论，可能有力对轴线的力矩与对某轴的力矩相等，因对其它两轴的力矩为零，即共面力系情况，只可能对垂直于该面的轴线有力矩，所以对该轴线的力矩等于对该轴线与这个面的交点的

角动量定理：微分形式

质点对某定点 的动量矩（角动量）对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。  积分形式

JJMdt21

某过程，角动量的变化量等于外力在该时间段内给予质点的冲量矩 

角动量守恒：若质点所受的力对某点力矩为量，则质点对该定点的角动量守恒JC

对单个质点，若动量受衡，则角动量也守恒，但反之不成立，比如有心力作用下质点的运动。

与动量定理及动量守恒定律一样，我们需要以定点为坐标原点，建立坐标系（该步骤也是规定正方向的过程），各矢量投影到坐标轴上才能求解

3 动能定理及机械能守恒定律

在某一过程，质点动能的变化量，等于该过程所有作用力所做功之代数和。因此，清楚研究过程，有哪些作用力，是否做功，做正功还是负功，初末态动能（未知的当未知数处理）是必须的。 机械能守恒：从动能定理出发，若某过程，只有保守力做功，则该过程机械能守恒

能用机械能守恒处理的问题，一定能用动能定理处理，反之，则不然。

动能定理和机械能守恒，是标量式，没有分量式，不需建立坐标系，但涉及势能时，务必规定势能零面或势能零点,一般对弹性势能，是以自然伸长为零势能点，引力或斥力势能是以无穷远为势能零点；重力势能是以某一水平面为零势能点。

五、有心力

总体认识： 有心力是保守力，必有机械能守恒；有心力对力心力矩为零，所以质点对力心的角动量守恒，并由此推断有心力下，质点只能在一个平面上用动，由于力总是沿径矢的反方向指向力心，所以一般采用极坐标系研究有心力下质点的运动。

1， 有心力下，质点的运动微分方程

1） 动力学方程： 2)F(r)径向： rm(r

横向： m(2rr)F()0

由横向方程，必能推得 r 2   h ，表对力心的角动量守恒，因对力心力矩为零，有 2irj)]mrkCm(rv)m[(ri)(r

2， 动力学方程的求解，轨道方程—

在动力学方程中，消去时间t，并设 得比耐公式：

根据比耐公式，（1）已知质点所受的有心力F, 求

质点的轨道方程 （2）已知质点的轨道方程求质点

所受的有心力

能量方程中，涉及力力心某点的势能求解，对于引力或斥力势能，我们一般以无穷远为势能零点，根据保守力做功与势能变化的关系，可得，离力心r处的势能

rr dvv(r)F.drv0v0

比的引力势能

3， 行星的运动

结合能量方程和角动量守恒方程，可推得轨道形状的能量（由于是常量）判据：

E0推得偏心率 e1,轨道为椭圆

E0，推得偏心率 e1,轨道为抛物线

E0,推得偏心率 e1,轨道为双曲线 我们知行星的轨道为椭圆轨道，所以其能量一定小于零（书58页），粒子的散射，由于其能量大于零，因而是双曲线的一支，其处理方法也不外乎比奈公式，角动量守恒方程，机械能守恒方程。

4 宇宙速度

明白第一（扰地球运行的最小发射速度，第二（脱离地球引力的最小发射速度），第三宇宙速度（脱离太阳引力的最小发射速度得）含义。

第二章 质点组力学（10%~15%）

一、基本概念和质心的求解

质点组：相互作用着的大量质点组成的质点系

内力：质点间的相互作用力，总是成对出现，内力之和一定为零

外力： 质点组以外的物体施加的作用力

质心：质点组的质量中心，是一几何点，而不是一质点，其定义如下

以某一点O为坐标原点（参考点），则质心对该点的位矢等于各质点对同一点的位矢乘以质量之矢量和除以总质量

n miri i1rCOC

i1mi

n分量式，则为 nmizin miyii1mxZCii i1YCi1mi XCi1mi mii1 i1对于质点间的距离不随时间发生变化的情况，参考点不同，所求出的质心坐标不同，但相对质点组的空间位置是不变的。

我们大多遇到的是连续的情况，所以求和需改为积分

xdmzdmydm XCZCYCdmdmdm

上面积分，并不意味着是一重积分。可能二重，可能三重，视情况而定，x,y,z是所选取微元的坐标，若是规则小几何体，如薄圆片，x,y,z则指的是规则几何体质心坐标。

“微元”的合理选取（微元或规则的小几何体）和构建适当的坐标系（要充分利用对称性），借助于密度，表达出微元质量及坐标是关键，最后再进行积分求解

密度均匀，形状规则，且各处重力加速度相同，则质心，几何中心，重心重合。

二(重点考查)质点组的三大定理及相应的守恒定律

由于质点数目可能较多，且内力通常未知，所以对每一个质点应用牛顿第二定律求解其运动规律是不切实际的，但对整个质点组利用动量定理，角动量定理，动能定理及相应的守恒定律，则可能消除未知的某些量，如内力，内力对定点O的力矩，从而使问题简化

1， 对质点组应用动量定理和相应的动量守恒定律

1） 动量定理（内力之矢量和为零） nn dP(e)P(mivi)Fi dti1i1

质点组动量对时

间的微商等于作用在质点组上诸外力之矢量和，

从动量定理，再结合质心的定义，不难导出质心运动定理

2ndr(e)C mFi2dti1

质心就好比一个‘质点’的运动一样，此‘质点’集中整个质点组的质量，作用在此‘质

点’上的力等于作用在质点组所有质点上诸外力的矢量和 

2） 动量守恒定律

若整个质点组不受外力，或虽受外力，但外力之矢量和为零，或外力远小于内力，

则整个质点组的总动量为常量

n vCm(mivi)PC

i1 

注意，上面这些都是矢量式，务必建立坐标系，进行矢量投影，用分量式求解，

一维的情况，规定正方向，也相当于建立以维的坐标系；另外，速度是绝对速度。

与单个质点一样，若质点组整体的合外力不为零，但在某方向投影之代数和为零，则该方向的各质点动量之投影的代数和为零，即该方向动量守恒。

2, 对质点组应用角动量定理和角动量守恒定律

1）角动量定理（内力对定点O的力矩之代数和为零）

 nn(e)dJ J(rimivi)(riFi)dti1i1

质点组对某一定点

的总角动量对时间的微商，等于诸外力对同一定

点的力矩之矢量和

2)角动量守恒定律

如果作用在质点组上的诸外力对某一定点O

的合力矩为零或不受外力矩作用，则质点组的总角动量保持不变

n J(rimivi)C i1

对质点组，不像对单个质点，动量守恒不能导出角动量守恒，当然反过来也不行。

同理，角动量定理和角动量守恒定律是矢量式，务必建立坐标系，进行矢量投影，用分量式求解，明确是对那个点或轴线的角动量和力矩

若所有外力对定点O的力矩之矢量和不为零，但对以该点为坐标原点的某轴线的投影为零，则所有质点对该轴线的角动量是一常数。

如： nn(e)(e) M x  ( y i i F iy )  0 Jxi)costantiziymi(yizF ix  z

i1i1

（2） 质点组对质心的角动量定理

此时是非惯性系，必须引入惯性力，但由于所有惯性力的合力通过质心，所以对质心的角动量定理在形式上与对定点的角动量定理相同

 nneddJ' [(r'imiv'i)]M'(r'iFi)dti1dti1

但对其它动点，该结论一般不成立。

3、对质点组应用动能定理和机械能守恒定律

1）动能定理，从单个质点的动能定理出发，可推得质点组的动能定理：

nnn(e)i12 d(miri)(Fi.dri)(Fi.dri)

i12i1i1

质点组总动能的微分等于诸内力和外力所做元功之和，特别强调内力做功之代数和不一定为零，只有在刚体（任意两质点的距离不变）的情况，才是零。应用时，通常是采用上式的积分形式，明确过程，哪些力做功，做负功还是正功

质点组的动能是标量，但根据柯尼希定理，可分解为质心的动能和相对质心的动能之和（标量分解）

22nn 1n111n11n2'22'2)T(mr)[m(rr')](mr)(mr)mr(mriiCiiCiiCii 222222i1ii1i1i1i1

2）机械能守恒定律

所有非保守力（可能是内力，可能是外力）不做功，则质点组的机械能保持不变

TVE

3） 对质心的动能定理

以质心为参考，是非惯性系，须考虑惯性力做功，但因惯性力做功之代数和为零

所以，在形式上与对定点相同

nnn (i)(e)'12(mir'i)(Fi.dr'i)(Fi.dri)

i12i1i1

质点组对质心的动能，等于质点组相对于 质心系位移时内力与外力所做功之和

三、三大定理及守恒定律的应用

1，两体问题（太阳与行星）

太阳不再静止不动，可对开普勒第三定律进行修正

2， 质心系和实验室坐标系（两质点的散射和碰撞）

质心系: 由于内力远大于外力（重力），可认为外力为零，根据质心运动理，质心做匀速运动，质心系是一惯性系，为理论工作者所用

实验室坐标系：即静止坐标系，为实验工作者所用。

实验室坐标系下的偏转角与质心系下的偏转角

sinCtgr cosC1 m2

根据m1(入射粒子)和 m2的关系，可讨论两种偏转角的关系，如m2远大于m1，则相等

2， 变质量物体的运动

有质量m和合并前的微质量m组成的质点组，应用动量定理有：

(mm)(vv)mvmuFt

约去二阶小量，可得变质量物体的动力学方程

d(mv)dmuF dtdt v是m的绝对速度，u是m的绝对速度，F是整个质点组的合外力（内力之和是零了），通常为重力

dm是质量随时间的变化率，增加是正，减少是负。当u0时，可简化为 dt

d(mv)F dt

注意，m是随时间变化的

求解时，由于是矢量式，所以需建立坐标系，一维的规定正方向，把矢量式转为标量式才能求

解；表达出质量和力随时间的变化情况是解决这类问题的关键。

第三章 刚体力学（20%~25%）

一、基本概念和整体认识

1，刚体：特殊质点组，任意两质点的距离保持不变，类似于质点是一种理想情况，相对于所研究的问题，当物体的大小和形状的变化，可以忽视时，则物体可当做刚体。

2，刚体空间位置的确定，只需确定不共线的三点位置坐标，但由于任意两点的位置不变，受到三个约束，所以只需6个即可

3，刚体运动的分类 根据运动时的限制，需要的独立变量数可少于6个，

根据限制的不同，把刚体的运动分为：

（1） 平动：任意两质点的联线在任意两个不同的时刻，都保持平行，各个质点的运动情况完

全相同，所以任意一质点的运动即可代表整个刚体的运动，显然只需3个独立变量

（2） 定轴转动：刚体运动时，始终有两点不动的运动，该两点的连线即为固定的转动轴，只

需确定刚体绕该定轴转过多少度，所以只需一个独立变量

（3） 平面平行运动：刚体运动时，始终与一固定平面平行的运动，可分解为质心的平面平动

和绕统过质心并垂直于该平面的转动（由轴线取向不变，所以相当于一定转动），因而需要3个独立变量

（4） 定点转动：刚体运动时，只有一个点不动，刚体只能绕通过这个点的轴线转动，显然轴

线的取向是可以不断发生变化的，确定轴线的空间取向（三个方向余旋，但三方向余旋平方和为1），所以只需两个独立变量，但还需一个变量来确定绕轴线转过的角度，因此总共需三个独立变量。通常用三个独立的欧拉角来描述，即进动角（0到2），章动角（0到），自转角（0到2） 教材121页，

（5） 一般运动：不受任何约束，一般分解为质心的平动和绕质心的定点转动，因而需6个独

立变量。

4， 描述刚体运动，最基本的物理量是角速度，即描述刚体绕某个点和轴线转动的快慢，是一

矢量（相应于无限小转动，无限小转动是可对易的（交换先后两次的转动顺序，结果不 变），而有限转动是不可对易的） ，方向用右手螺旋法则来确定。

5， 刚体的欧拉运动学方程，刚体定点转动时，把角速度（注意是状态量）投影到固连在刚体

上随刚体一块运动的随动坐标系上（只做为计算的工具，在后面的刚体的平面平行运动学和刚体的定点转动运动学，及非惯性系运动学、动力学，都常常这么做），但运动参照系仍是地球，而得其分量式，描述了角速度分量随欧拉角及时间之间的变化关系

二、刚体的运动方程与平衡方程

1、 力系的简化

由于刚体受力可能纷繁复杂，所以首先要对刚体的力系进行简化

1） I，非平行共面力系的简化

应用的基本原理是力的可传性原理，力可沿作用线滑移而不改变作用效果（但作用线不能随便移动）。所以可以采用两两相交的办法求得非平行共面力系的合力

II，平行共面力系的简化，采用合力对垂直于该平面的某一轴线的力矩与所有平行力对该轴线的力矩之代数和相等，来求得合力大小和作用点

平面平行力系中存在一特殊情况，即由一对对大小相等，方向相方的平行力所组成，其中的任何一对平行力，我们称为力偶，其唯一的作用效果是产生力偶矩，垂直于该平面，

但作用点不固定，称为自由矢量

MF2.PO2F1.PO1F.O1O2

大小：其中一力乘以力偶臂（两平行力的距离）

方向：右手螺旋法则

也等于其中一力对另一个力作用点的力矩

这样的平面平行力，可简化为一合力偶，可能是零，可能不是零

2） 空间力系的简化

共点力系和平行力系的简化，与平面情况类似，关键是既不平行也不共面的力系：

利用力偶的知识，我们可根据问题的方便，选择一简化中心（通常是质心），于是刚体上任意一力可以迁移到该点，为了消除迁移的影响（移动了作用线），必须加上一力偶，即加上未迁移前，该力对简化中心的力矩。因而所有力迁移到简化中心后，就有一合力和合力矩，我们称为主矢（作用效果使刚体平动）和主矩（作用效果使刚体绕通过简化中心的轴线转动）。显然简化中心不一样，主矢不变，主矩一般要改变，但显然不能因为人为选择的简化中心的不同而改变刚体的运动状态

2， 刚体的运动微分方程

根据前面的分析，刚体的运动一般分解为质心的平动和绕质心的定点转动，因此质心为简化中心，力系简化为一主矢和一主矩，我们利用质心的运动定理处理质心的平动和应用对质心的角动量定理处理绕质心的定点转动即可处理刚体的一般运动。

1） 质心的平动 n d2rCm2Fi(e)F dti1 矢量式，建立坐标系，转为标量式才能求解。

CFxmx

CFy my

CFymz

2）绕质心的定点转动  dJ''M 分量式，如

注意对轴线的力矩和角动量，一定是先求对点的力矩和角动量，再投影到该轴线上来做的；若对另外两坐标轴没有力矩（共面力系，平面运动），则此时对点和对轴线的力矩相等。

3、 刚体的平衡方程

以任意点为简化中心显然要求主矢为零，主矩为零

M0F0

Fx0,Fy0,Fz0

Mx0,My0,Mz0

所有外力之矢量和为零，对任意点的力矩为零。 

若为共面力系, 以所在面为xoy平面，则刚体平衡必有：

Fx0,Fy0

Mz0

所有外力 对垂直于xoy平面的任意轴线（不一定是对坐标Z轴）的力矩之代数和为零，由于共面力系不可能对x或y轴产生力矩（相交或平行），所以对任意垂直于该面的轴线的力矩就等于对该轴线与这个平面交点的力矩。又因与该点相交的力不可能对该点有力矩，所以我们当选较多力交汇点为参考点列力矩平衡方程（转动效果逆时针为正）。

若刚体在三个共面力下平衡，则三力必交于一点（反证法）

三 、刚体的转动惯量

1， 刚体的角动量和转动动能

应用对刚体对某点的总角动量等于所有质点对同一点角动量的矢量和，可得

nnn2 Jrimivirim（r）m[r（ri）ri]iiii

i1i1i1 所以方向一般与角速度不不同

对三轴线的分量式：

JxIxxxIxyyIxzz JyIyxxIyyyIyzz

JzIzxxIzyyIzzz

从上式可知，刚体做定轴转动，且转轴是惯量主轴（平面平行运动，可看做特殊的定轴转动），定点转动时，转轴为惯量主轴的情况，有xy0,IxzIyz0，在这几种特殊情况角动量才与角速度方向相同。所以，即便是定轴转动，角动量与角速度也不一定同向。

刚体的转动动动能

nn1n112 Tmirmv.vmviiiiii.(ri)222i1i1i1

1n1n1 .(rimivi).(rimivi).J2i12i12

11 Tmi(vivi)mi(ri)2

最常用的是 22

11122mi2risin2i2miiI2

222

2， 转动惯量

1） 概念 n

在上式动能的第二种表达式中， i 1 ，即为刚体对某轴线的转动惯量，i为各

质点到该轴线的垂直距离，显然同一刚体对不同的轴线具有不同的转动惯量，因此说到转动惯量，务必声明是对那轴线的转动惯量，就好像说到力矩务必清楚是对那个点或那轴线的力矩一样。对Imii2

比于平动动能T1mv2中的质量，知转动惯量就像平动中的质量一样，是描述转动惯性大小的2

量度。

2） 求解

上式定义是离散的情况，其实我们遇到的是连续的情况，所以上式求和需转为积分:

I2dm

‘微元’的选取可能是真正的微元，也可能为微元dm到转轴的距离，与质心的求解类似，

是规则几何体，当为规则几何体的时，应是每一部分到转轴的距离（应相等）。该积分可能是一重，二重，三重，视具体问题而定；计算时通常也要建立坐标系（也要充分利用对称性），转轴为一坐标轴，在该坐标系下表达出与dm,积分求解。

我们需要记住一些规则的刚体对特定轴线的转动惯量如：

均质细棒，对垂直通过端点的轴线的转动惯量为12ml，对垂直通过中心的轴线的转动惯量为3

1ml2 ,l为棒全长 12

半径是r均质薄圆片对垂直通过圆心的轴线的转动惯量为

是12mr，而对任意一直径的转动惯量212mr4

2半径是r的均质圆环对垂直通过圆心的轴线的转动惯量为mr，而对任意一直径的转动惯量是

12mr 2

实心圆柱体对中心对称轴（通过薄圆片的圆心）的转动惯量是12mr 2

等等

另外我们还可能借助于平行轴定理来求解

刚体对任意与质心轴平行的轴线的转动惯量为 I  I C  md 2 d为两平行轴的距离。

有时为了方便，可能用回转半径来表示，即刚体对某轴线的转动惯量等效于一集中刚体全部质量的一点对该轴线的转动惯量Imk，k即为回转半径，所以求刚体对某轴线的回转半径实际是求刚体对该轴线的转动惯量，比如半径为r的均质圆环对任意一直径的回转半径为k2r 2

3， 惯量张量和惯量椭球， 惯量主轴及求法

刚体做定点转动时，对任意过定点的轴线的转动惯量的一般表达式

IIxx2Iyy2Izz22Ixy2Iyz2Izx

若是静止坐标系，惯量系数是随时间变化的。

惯量张量分为轴转惯量和惯量积，按照一定规律排列成二阶张量形式，参考教材133页

惯量椭球，以刚体上的一点作为坐标原点（转动点O），建立固连在刚体上的坐标轴，

使得轴转动惯量和惯量积为常数，在转轴上截取一线段

OQ1RI

过O点有无限多转轴，则Q点所满足的曲面方程，就是惯量椭球，若坐标原点在质心，

则为中心惯量椭球。

建立固连的坐标系，随惯量系数为常数，但还不能消除惯量积，若以惯量椭球的三

对称轴（相互垂直的主轴）为为坐标轴，则因对称性而消去惯量积，使问题简化，于是

我们称惯量椭球的主轴为惯量主轴，对惯量主轴的转动惯量为主转动惯量。在这样的条

件下，对通过定点O（坐标原点）任意轴线的转动惯量

IIxx2Iyy2Izz2

一般以几何方法求得，即规则刚体的对称轴为惯量主轴，因此我们以规则几何体的

对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，求得刚体对三对称轴的轴转动惯量，则对任意

通过该点的轴线的转动惯量，只有知其与三坐标轴的方向余旋，则利用上述公式求解即

可

四， 刚体的平动和绕固定轴的转动

明确平动（3个独立变量）与定轴转动（1个独立变量）的概念

1） 定轴转动运动学

以轴上某一点为坐标原点，则任意一点的速度

dr viri dt

因每一质点做的圆周运动，所以加速度分为切向加速度和法向加速度

RiRiaiv vi2 ain2RiviRi

Ri为到转轴的距离，线量由于Ri不同，则不同，但角量则各点相同，角速度，角加

速度,角位移之间的关系，可以借用平动时，速度，加速度，位移之间的关系

2） 定轴转动动力学

显然采用对轴线的角动量定理（称为转动定理）

MzMz IzzIzzz 注意是对轴线上某点的角动量定理，在转轴上的投影，所以是标量式，应用该式解决

动力学问题，需解决两个问题

I， 刚体对定轴的转动惯量

II， 所有外力对定轴力矩之代数和

前面讲过，对力对轴的力矩一定是先求得对轴线上某点的力矩，然后再往该轴

线投影而得，看起来很麻烦，实则不然。我们所遇到的情况，基本都是共面力

系的情形（包括后面的平面平行运动），所以所有外力对转轴的力矩等于对转

轴与该面的交点的力矩（经过交点的力，如约束反力，对该点则无力矩），因

而大小就等于该力乘以交点到力的作用线的垂直距离，方向用右手螺旋法则判

断，要特别强调正负的取法，与平衡问题不同，这里是先确定角位移的正

方向（一定是静线指向动线为的方向），再根据右手螺旋法则确定力矩的正

方向。从而求得个外力对轴线与平面交点的力矩之代数和

若刚体所受的外力中，只有保守力做功，则机械能守恒，该类问题也可结合机

         v  v    r  v    ( r  r )

r'是研究对象对基点的位矢

械能守恒定律来求解 3） 轴承上的附加压力（通常是非共面力系） 应用动量定理和对轴花上某点的角动量定理求解 若要使刚体处于动平衡，即转动时使刚体所受的轴承施加的作用力与静止时相等，则要求刚体的转轴为惯量主轴，且质心在转轴上，所以制造和安装机器的转动部分时需要尽可能满足上述两条件，否则附加杂轴承上的压力会产生很大的破坏作用。 五， （重点考查）刚体的平面平行运动（需3个独立变量） 明确概念，由于刚体做平面平行运动时始终与某一固定平面平行，因此截取一平行于该固定平面的薄片做为代表，即可研究刚体平面平行运动的运动学和动力学（动力学要求是通过质心的薄片） 1） 运动学 薄片上任意一点的运动分解为基点的平动和绕基点的转动 I， 速度 于是薄片上任意一点的速度为基点的速度( 牵连)和绕基点的转动速度(相对)之矢量和 0AA

II，任意点的加速度，则是对上式求导，所以记住速度公式是基础

根据上述两公式，我们看到是矢量式，务必建立合理的固连在刚体上的坐标系（三维）作为

计算工具，但运动参照系是静止坐标系，用i,j,k来表示各矢量，才能运算, 后面的定点转

动运动学和转动参照系运动学和动力学都是采用相同的手法

IＩＩ）转动瞬心

做平面平动的刚体，角速度不为零时，每一时刻，刚体上总有一点的速度为零，该点即为转动瞬心，该点速度虽为零，但加速度不为零。

我们可以以该点为基点，求解其它点的速度带来方便，但不能求解其它点的加速度（此时，应以加速度已知点为基点） vrCP

可以根据该结论，只有知到薄片上任意两点的速度，则做两速度得垂线，交点必为转动瞬心。

相对于静止坐标系，随时间转动瞬心所描绘的轨迹为空间极迹；相对于刚体本身则为本体极迹；

2） 动力学

薄片的选取，一定为通过质心并平行于固定平面的薄片，以质心为基点，薄片的运动分解为质心的平面平动和绕通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动（由于轴线取向一定，可视为定

轴转动），这样可以利用质心运动定理处理质心的平动，和对质心的角动量定理（形式上与

对定点的角动量定理一样）研究绕通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动

I， 质心的平面平动

是而维运动，因此可采用直角坐标系，也可采用极坐标系，自然坐标系（质心做圆n周运动的情况），一般采用直角坐标系分解矢量式 d2rC(e)

CFixxmCFiyym(1)(2)mdt2Fii1

所以必须建立坐标系，并进行正确的受力分析（不明确力的方向时，可先假定其方

向，如静摩擦力），虽以含质心的薄片为代表，但我们知应是整个刚体所受的作用力（下面

对轴线的转动惯量也一样），应为共面力系，否则质心就不能做平面运动了

II， 绕通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动

由于可视为定轴转动，因而对质心的角动量定理简化为通过质心且垂直于该薄片的轴线的转动定理（角动量定理），所以处理方法就给定轴转动一样

MIzzz I    M (3 或 )zzz

a) 明确刚体的对该轴线的转动惯量

b) 求所有外力对该轴线的力矩

由于是共面力系，因此若以轴线与薄片的交点即质心为坐标原点，转轴为一坐

标轴，则所有外力对薄片上两轴线的力矩必为零（因力与两轴线相交或平行，都不会

对轴线产生力矩效果），所以所有外力对该轴线的力矩等于对质心（点）的力矩，力叉

积相对于该点的位矢（大小：力乘力臂，方向：右手螺旋法则）；正负的取法，仍然是

先确定角位移的正方向（静线指动线），再用右手螺旋法则（握角位移）来确定力矩

的正方向，进而确定力矩的正负。

由于刚体做平面平行运动时要受到约束，因此，常要用到约束条件

如圆柱体无滑滚动，则XCa ，当然也意味着接触点的速度为零，是转动瞬心

III）还可能借助机械能守恒定律

若只有保守力做功(注意无滑滚动的静摩擦力不会做功)，则机械能守恒

121121TVmvCmivi2VmvCICz2VE 2222

应用了柯尼希定理，各质点相对质心是在做转动。

本节还涉及滚动摩擦的概念，是由于刚体和接触面都不是绝对刚性，刚体做无滑滚动

时，刚体陷入接触面而产生，它远小于滑动摩擦，所以常用滚珠，滚轴轴承是为了用

滚动摩擦代替滑动摩擦

六、刚体的定点转动（3个独立变量）

明确概念

空间极面：刚体定点转动时转动瞬轴在静止坐标系所描出的锥面

本体极面：刚体定点转动时转动瞬轴相对于刚体自身所描出的锥面 

1 )运动学

速度： 此时转动点为基点，速度为零，与平面平动相比，这里r是三维的 vrdr加速度：对速度求导即可，注意r

分别为转动加速度和向轴加速度，R是质点到瞬时转动轴的垂直距离，方向垂直

背离转轴指向质点；

r'表示质点到基点的位矢 

 vA(r)v

除了r是三维外，与平面平行运动还有不同之处，即无论是定点转动，还是一般运动，刚体上的质点都可能同时参与几种转动，因而角速度一定是绝对角速度即合角

速度，是分角速度的合成

上面都是矢量式，务必建立坐标系，一般建立固连在刚体上随刚体一块转动的随

动坐标系，作为计算的工具（明确运动参照系是地面），公式中的各矢量用i,j,k表示，

才能利用上述公式进行计算（注意i,j,k之间的叉积关系）

2）动力学

了解欧拉动力学方程的推导过程，做了两次简化，一为了使惯性系数为常数，用

固连在刚体上的随动坐标系；二为了消除惯量积，使用了惯量主轴作为坐标轴。

第四章 转动参照系 （~10%）

本章是研究相对于转动参照系运动的质点的运动学和动力学，而转动参照系

一般为刚体，所以区别于第三章刚体内部一质点（无相对运动）的运动学

一、运动学（建立固连在刚体上随刚体一块转动的随动坐标系）

1，

1 为相对速度（质点相对于转动参照系的速度）与牵连速度（被转动参照系牵带着一块运动而具有的速度）的矢量和；r质点相对转动点的位矢，在这里是二维 2）加速度：a aωr2r2ωvaatac  与第一章的平动参照系不同，除了相对加速度 ，牵连加速度（含的项, 牵连切向加速和牵连向心加速度）之外，还有一项是科氏加速度2v'，方向由右手螺旋法则确定，是由

于牵连运动和相对运动相互影响而产生，牵连运动改变相对运动的方向，相对运动改变牵连速度，若任意一项是零或特殊情况角速度和相对速度平行，则不存在科氏加速度

运算时，建立好固连在刚体上的随动坐标系。各矢量用随动坐标系的i,j,k表示再运算。

2， 空间转动参照系

明确在空间转动参照系任意一矢量（相对于空间转动参照系的坐标原点）的绝对变化率是相对变化率+牵连变化率 d*G dGd*G(GxiGyjGzk)G dtdt*dGydGdtdGdGxz相对变化率  i  j  k 是动坐标系不动时，该矢量的变dtdtdtdt化

率，若相对于动坐标系是常矢量，则该项为零；

牵连变化率G，是被转动参照系牵带着一块运动所具有的变化率，当0

或二者平行的时候，该项为零。

1）速度



与平面转动参照系相同，但意识到这里r

（质点相对转动点的位矢）是三维的

2) 加速度

形式上与平面转动参照系相同，但这里r，v

'都是三维，22(r)Rr，称为是牵连向轴加速度（不是牵连向心加速度），R是

质点到瞬时转动轴的垂直距离，方向垂直背离转轴指向质点；

显然，当质点相对转动参照系不动时，则与第三章的刚体定点转动公式一样，

转动参照系做定点转动的基础上推广到一般情形，即转动点在做平动，速度和加速度都该在加上一项，当然应归为牵连速度和牵连加速度。

与前面同理，具体操作时，应建立好固连在刚体上的随动坐标系，各矢量用随动坐标系的i,j,k

表示再运算，但明确运动参照系是静止坐标系，求得绝对速度和绝对加速度

二、 转动参照系动力学

转动参照系一定具有加速度，因此一定是非惯性系，在非惯性系中要是牛顿地二定律形式上

继续成立，必须加上由于运动参照系具有加速度而产生的非相互作用力惯性力

1， 平面转动参照系        出发，两边同乘以质量，利用惯性系中从公式 a    2 r aω r2ωvaatacFma，并移项有

rma'Fmm2r2mv'

这就是质点相对转动参照系运动时的动力学方程（a'即为相对加速度），由于是非惯性系，所以

必须添加上三项相应的惯性力才能得到形式上的牛顿第二定律，后面三项惯性力分别为牵联切向惯性力、惯性离心力（因沿位矢，背离转动点）、科氏力（用右手螺旋法则确定，但注意与科氏加速度2v的方向相反

与前面同理，具体操作时，应建立好固连在刚体上的随动坐标系，各矢量用随动坐标系的i,j,k

表示再运算，

2，

从上式出发，两边同乘质量，再移项

drm(r)2mv'FFtFc ma'Fmdt

形式上与平面转动参照系相同，但这里r，v'都是三维，(r)Rr，

在这基础上可推得一般情形下的表达式，这里不再陈述。

3， 相对平衡 当质点相对于转动参照系静止时，相对速度和相对加速为零，没有科氏力，这种状态称

为相对平衡，是在相互作用力和牵连惯性力的作用下处于相对平衡状态，可以利用它们

的合力为零来解决问题。所以相对平衡应该在非惯性系中处理。

四，应用（科氏力对地球自转影响）

当研究地表上物体的运动精度比较高时，不能再把地球看作是一惯性系，由于自转与公转， 是非惯性系，由于公转加速度比自转加速度还小得多，所以一般不考虑公转。

1， 惯性离心力的影响

22

明确重力是万有引力与惯性离心力的合力，因惯性离心力随纬度而减小，所以重力随纬

度增加而增加，两极处最大（等于万有引力），但，因是较小的量，所以重力随纬度

变化不会很大

2， 科氏力的影响

当然只有相对地表有运动的物体才谈得上科氏力

科氏力对相对地表运动的物体的影响得分北半球和南半球，在北半球科氏力总是指向质点

运动方向的右侧，但在南半球，正好相反，科氏力总是指向运动方向的左侧，以河流的冲刷为例，在北半球，是右岸（相对河流方向来说的）冲刷较左岸严重，因科氏力总指向运动方向的右侧。 在南半球，则是左岸（相对河流方向来说的）冲刷较右岸严重，因科氏力总指向运动方向的左侧。 对于火车单线轨道除了区分南北半球外，还要注意是单向行驶还是双向行驶。

第五章 分析力学（~30%）

明白分析力学与牛顿力学，研究对象都是宏观物体，任务都是解决宏观物体的运动规律，但所采用的方法很不相同，在牛顿力学中，最重要的量是力和加速度，矢量性很强，除了动能定理和机械能守恒定律外，几乎都是矢量式，因此务必要建立适当的坐标系，若是动力学则要进行准确的受力分析，把矢量式变为分量式；若是运动学，则矢量用分量来表达（如前面的转动参照系运动学），才能求解。而分析力学中最重要的是能量，即动能和势能，其次确定系统的自由度，进而确定广义坐标，用广义坐标来表示能量等函数，是十分重要的一步，因而标量性很明显，当然有时也免不了要受力分析，毕竟是力学。

一、约束与广义坐标

分析力学的研究对象：主要是相互作用着的大量质点组成的质点系，我们常见的就是特殊的质点系刚体，我们称为力学体系。单个质点当然也可用分析力学处理，不过，有时反使问题复杂化，因它的优势在于处理复杂体系，一方面用广义坐标(独立坐标)来描述力学体系使方程数减少，一方面消除未知的约束反力（目标是求解力学体系的运动规律，而不是约束反力）.

1, 约束

限制力学体系中质点自由运动的条件，通常为坐标，速度，时间的函数，该函数我们称为约束方程，简称约束

按照下面不同的划分标准，分为：

1） 限制质点空间位置的约束是否显含时间

f ( x , y , z )  不显含时间，稳定约束，形如 0

显含时间，不稳定约束，形如 f(x,y,z,t)0

2） 限制质点空间位置的约束是否可解

始终不能脱离约束曲面（曲线）的约束，是不可解约束，用等式表示，形如

f(x,y,z,t)0f(x,y,z)0

质点虽被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，是可解约束，同时用等式和不等式表示，形如：f (x,y,z)c

3)是否限制质点的速度

f(x,y,z,t)0 仅限制质点的空间位置的约束，形如： f(x,y,z)0

称为几何约束，给不可解约束完全等价，几何约束也称为完整约束；

不仅限制质点的坐标，而且限制质点的速度，是微分约束；可积分为几何约束的微分约束也为完整约束，所以完成约束包括几何约束(不可解约束)和可积分为几何约束的微分约束；而非完成约束则包括可解约束和不能积分为几何约束的微分约束，受完整约束的力学体系是完成系，2

反之是非完整系，我们主要研究完整系。

我们注意到，上面分类中有相互包含的情况，如同一个约束，即可是稳定约束，也可是不可解约束，还可是几何约束；可解约束只能是非完整约束。

3， 广义坐标

若一个有3n个质点组成的力学体系受到k个几何约束，则描述其空间位形的独立坐标数只需

3n-k个，此时力学体系的自由度和独立坐标数相等，若有微分约束，则自由度数可小于独立

坐标数，我们研究的是几何约束

这3n-k=s个独立坐标，称其为是广义坐标，每一质点的三个直角坐标都可用这s个独立

坐标来表示，于是整个力体系的空间位形当然就只需s个独立坐标来描述

明确位矢是广义坐标和时间的显函数，若不是时间的显函数是稳定约束的情况。广义坐标，

既然称广义，它可以是长度，还可是角度等，只需满足和广义力的乘积具有功的量纲或者说

具有功的形式

二， 虚功原理

1. 几个基本概念

1） 实位移与虚位移的区别和联系

实位移是实实在在由真实运动而发生的位移，必然经历时间，且受运动规律（初始条件和受力情况，所以已包含了约束条件）的限制，只有一个，用dr表示；而虚位移则是在

某一时刻，约束所许可的条件下，假象的可能发生的位移，可能由无数多个，且不经历时间，不受真实运动的影响，由约束条件和该时刻所在位置决定，用r表示；当在稳定

约束的情况下，实位移是诸多虚位移中的一个

2）虚功

所有主动力和约束反力在任意的虚位移所做的元功之和，与虚位移相应，物功能

转化，也不需经历时间

3）理想约束 若某一力学体系的所有约束反力在任意虚位移所做元功之和为零  Ri.ri0Ri为i第质点受约束力的合力

i1

常见理想约束

1)光滑曲面，曲线，铰链；

2)刚性杆；

3)不可伸长的轻绳 ；

后面我们研究的就是这类理想约束

2，虚功原理

研究对象是受理性的稳定的约束且处于静止状态的力学体系，研究任务，是解决该类体系的静力学平衡问题

内容：

即：受理想稳定约束的体系处于平衡的充要条件是，

在任何虚位移上所有主动力的虚功之和等于零 Firi0n

i1(FxFyixiiyi1niFizzi)0

由于3n个坐标不完全独立，所以不能令系数为零，需用独立的广义坐标表示

nsnsri wFiri(Fi)qQq0qi11i11 nnrxxxiQ Fi(FixiFiyiFiyi)0(1,2,s)qi1qqq i1

Q称为广义力 

对连续体的情况，ri应是主动力作用点对直角坐标系原点的位矢，从上式出发：

用虚功原理解决力学体系的平衡问题的步骤

1） 需建立固定的直角坐标系

2） 分析主动力，

3） 观察分析体系的自由度，并确定广义坐标

4） 用广义坐标表示主动力作用点的直角坐标

5） 代入直角坐标系下的虚功原理方程（主动力满足的平衡方程）或广义坐标下的平衡方程程都一样求解

用虚功原理解决力学体系的平衡问题相对于力学体系的好处

1） 可不考虑未知的约束反力

2） 力学体系约束越多，同等条件下，平衡方程越少，这正是处理复杂体系所需

要的，而牛顿力学正还相反

缺点：不能求出约束反力

三 （重点考查）拉格朗日方程

是在达郎贝尔原理（把动力学问题转为静力学问题的原理）和虚功原理的基础上推导的 1基本形式的拉格朗日方程

1）内容

dTT Q(1,2,3,4s) qdtq

（1） ，T为力学体系的动能，一般是广义速度，广义坐标及时间的函数，

2

也可以是角动量

nr 3  Q  i  i为广义力 ，根据虚功原理的步骤求得广义力  Fqi1 ,q1T,t)，q即TT(q是广义速度， T2,mx,我为广义动量，如Tmx们常见的，可以是线q2x动量，

T可理解为广义惯性力 q

2）理解

拉格朗日方程是以q为变量的s个二阶线性微分方程组, 是在s 维正交的位形空间中描述力学体系的运动，方程个数=自由度数，约束越多，自由度越少，方程越少，只要写出T，Qα，代入方

程即可得到运动方程. 注意是标量方程，所以直接求解。

3）适用范围：适用于理想的完整体系

2 保守力系下（主动力是保守力）的拉格朗日方程

letLTV,

dLL0(1,2,3,s)qdtq

L是体系在广义坐标所确定的位形空间中重要的特性函数，表征体系的约束、运动及其相互作用等情况，称为拉格朗日函数

对拉格朗日方程的认识:

(1)地位的重要性：是解决受理想完整约束的力学体系的普遍动力学方程，在分析力学中占有重要的地位

（2）拉格朗日方程是标量方程，以力学体系的动能为基本变量；应用时对非保守系，只需计算动能和广义力，对保守系只需计算系统的动能和势能

（3）拉格朗日方程是用一组与体系自由度数目相等的广义坐标（相互独立）表示的力学体系的二阶运动微分方程

（4）避开了约束反力，约束越多，独立坐标数越少，越容易求解，对于受复杂约束的体系的动力学研究开辟了捷径，正是它的优势所在

3 拉格朗日方程的应用

应用拉格朗日方程解题的一般步骤：

（1）明确是否是受理想完整约束的力学体系

（2）判断力学体系的自由度（确定广义坐标数）

（3）选广义坐标（根据题意，需要灵活选取），数目与自由度相等

（4）计算系统的动能，且用广义速度，广义坐标来表示

（5）对非保守系计算广义力，对保守系计算势能（用广义坐标表示）

（6）代入拉格朗日方程求得质点系的运动微分方程，进而求得运动

4 循环积分和能量积分

都是针对保守力系，

循环积分：若拉氏函数汇中不显含有某一广义坐标q

则 L0q

dLL0(1,2,3,s)qdtq

L C则

 q  便是一循环积分，该式称为广义动量守恒 

标） 一个循环积分 dL0dtq个广义动量守恒 能量积分：对于稳定的保守力力学体系，有 TVE

广义能量积分：对不稳定的保守力系，能量不守恒，

T2T0Vh

因拉氏方程中消去了约束反力，而约束反力，在不稳定约束下可能做功。

四 哈密顿正则方程

H1.内容 qp H p(1,2,3,s)q

2.理解

(1)是从保守力系下的拉氏方程推导出来的，所以适用于理想完整的保守体系

P是广义动量

（2） H 是 2s+1个 变量即 s个独立的q ，s个独立的p （q,p也相互独立） 和 t 的函数，

(3）哈密顿正则方程包含2s个一阶常微分方程的方程组，形式简单而对称，’正则’的形容正是由此而来；因是一阶方程，所以求解也简单

 作为独立变量广泛和方便， p 是动 （4）用 P,q 作为独立变量比用 q,q

力学量，而 q 仅是运动学量； H 称为哈密顿量，在稳定约束的情形下就是能量，能量是所有物理系统中最基本的量，从含动量、能量的正则方程出发，能相对容易的从经典物理过渡到量子物理

（5）对应于正则方程， q 和p 又称为正则变量，并用它们代表所有广义坐标

和广义动量所组成的2s维相空间的一个相点，哈密顿量H是2s维相空间的特性函数，而拉氏函数L是由s个广义坐标确定的在位形空间的特性函数

3. 解题步骤

（1）确定是否为保守系

（2）确定自由度，选广义坐标

（3）以广义坐标及广义速度表达出拉氏函数， s

（4）根据哈密顿函数的定义， HLpq

1求哈密顿函数 

（5）把哈2s个一阶微分方程

4 循环积分与能量积分

1）循环积分：

H 若H中不显含q，则p0，p常数 q

对比于拉格朗日方程，哈密顿方程直接给出循环积分，比拉格朗日方程更为方便，实际也更富有物理意义

2）能量积分

在稳定约束下，哈密顿函数就是能量

五、泊松括号与哈密顿原理

1，泊松括号

设(q1,q2,qs,p1,p2,ps,t)

则 s

,H(HH)pq1qp

泊松括号 

注意（1）是对力学体系所有广义坐标和广义动量求偏微商，（2）由于所有的 q 和 p相互独立

一般形式的泊松括号

s

,(pq1qp2 泊松定理 只要某函数  满足   , H   0 ，则 

泊松定理为：

(p,q,t)C1，(p,q,t)C2,

是正则方程的两个积分，则，C,也是正则方程的一个积分。33 哈密顿原理

仅研究保守力系作用下的哈密顿原理

与拉格朗日方程一样，是在由s个广义坐标所描述的s维位形空间中研究力学体系的运动规律，st 即为正则方程的第一积分

维位形空间与时间t构成了s+1维空间，它是采用变分的思想从多种可能轨道中挑出真是轨道。 数学表达式：

t2 Ldt0t1

该方程实际就是极值条件，哈密顿原理可以阐述为在完整的保守系统中，具有相同时间间隔和始末位置的一切可能运动与真实运动相比，对真实运动哈密顿作用函数

t2t1Ldt具有极值。