24.1.3 弧、弦、圆心角
一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列说法中,正确的是( )
A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等,所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 2.如图24-1-3-1,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距等于1,那么两个同心圆的半径之比为(
)
图24-1-3-1
A.3∶2 B.5∶2 C.∶2 D.5∶4 3.半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE∶OF等于( )
A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 二、课中强化(10分钟训练)
1.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为_____________.
2.弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是____________,弦所对的圆心角是____________.
答案:2∶2 90°
3.如图24-1-3-2,已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于C、D.
(1)求证:AC=DB;
(2)如果AB=6 cm,CD=4 cm,求圆环的面积
.
图24-1-3-2
4.如图24-1-3-3所示,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上的两点,并且AC=BD. 求证:
OC=OD.
图24-1-3-3
5.如图24-1-3-4,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6 cm,EB=2 cm,∠CEA=30°,求CD的长
.
图24-1-3-4
6.如图24-1-3-5,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样
?
图24-1-3-5
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-3-6所示,AB、CD是⊙O的两条直径,弦BE=BD,则弧AC与弧BE是否相等?为什么?
图24-1-3-6
2.如图24-1-3-7所示,AB是⊙O的弦,C、D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC、OD,分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧
BF.
图24-1-3-7
3.如图24-1-3-8,AB、CD、EF都是⊙O的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC、EB、DF是否相等?为什么?
图24-1-3-8
4.为美化校园,学校准备在一块圆形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限),并且使整个图案成对称图形,请你画出你的设计方案图(至少两种).
5.如图24-1-3-9,已知在⊙O中,AD是⊙O的直径,BC是弦,AD⊥BC,E为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?(要求:不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,只写出6条以上的结论
)
图24-1-3-9
6.如图24-1-3-10,AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10 cm,OP=5 cm,PA=4 cm,求⊙O的半径
.
图24-1-3-10
7.⊙O的直径为50 cm,弦AB∥CD,且AB=40 cm,CD=48 cm,求弦AB和CD之间的距离.
参考答案
一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列说法中,正确的是( )
A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等,所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 思路解析:根据弧、弦、圆心角的关系知:等弦所对的弧不一定相等,圆心角相等,所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件,所以也不对;弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件,弦所对的弧也不一定是同弧,所以不正确;等弧所对的弦相等是成立的. 答案:B
2.如图24-1-3-1,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距等于1,那么两个同心圆的半径之比为(
)
图24-1-3-1
A.3∶2 B.5∶2 C.∶2 D.5∶4 思路解析:作OE⊥CD于E,则CE=DE=1,AE=BE=2,OE=1. 在Rt△ODE中,OD=212=2.
在Rt△OEB中,OB=BE2OE2=41=5.∴OB∶OD=5∶2. 答案:C
3.半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE∶OF等于( )
A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 思路解析:∵AB为直径,∴OE=0. ∴OE∶OF=0. 答案:D
二、课中强化(10分钟训练)
1.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为_____________.
思路解析:答案:90°
1
×360°=90°,∴弦所对的圆心角为90°. 4
2.弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是____________,弦所对的圆心角是____________.
思路解析:如图,OD⊥AB,OD=DB=AD. 设OD=x,则AD=DB=x.
在Rt△ODB中,∵OD=DB,OD⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°, OB=OD2DB2x2x22 x. ∴AB∶BC=1∶2=2∶2.
∴弦与直径的比为2∶2,弦所对的圆心角为90°. 答案:2∶2 90°
3.如图24-1-3-2,已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于C、
D.
图24-1-3-2
(1)求证:AC=DB;
(2)如果AB=6 cm,CD=4 cm,求圆环的面积.
思路分析:求圆环的面积不用求出OA、OC,应用等量代换的方法.事实上,OA、OC的长也求不出来.
(1)证明:作OE⊥AB于E,∴EA=EB,EC=ED.∴EA-EC=EB-ED,即AC=BD. (2)解:连结OA、OC.∵AB=6 cm,CD=4 cm,∴AE=
11
AB=3 cm.CE=CD=2 cm. 22
∴S环=π·OA2-π·OC2=π(OA2-OC2)=π[(AE2+OE2)-(CE2+OE2)] =π(AE2-CE2)=π(32-22)=5π( cm2).
4.如图24-1-3-3所示,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上的两点,并且AC=BD.求证:OC=OD.
图24-1-3-3
思路分析:根据弧、弦、圆心角的关系得出.
证法一:如图(1),分别连结OA、OB.∵OA=OB,∴∠A=∠B. 又∵AC=BD,∴△AOC≌△BOD.∴
OC=OD.
(1) (2) 证法二:如图(2),过点O作OE⊥AB于E, ∴AE=BE.
∵AC=BD,∴CE=DE.∴OC=OD.
5.如图24-1-3-4,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6 cm,EB=2 cm,∠CEA=30°,求CD的长
.
图24-1-3-4
思路分析:如何利用∠CEA=30°是解题的关键,若作弦心距OF,构造直角三角形,问题就容易解决.
解:过O作OF⊥CD于F,连结CO. ∵AE=6 cm,EB=2 cm,∴AB=8 cm.∴OA=在Rt△OEF中, ∵∠CEA=30°,∴OF=
1
AB=4(cm),OE=AE-AO=2(cm). 2
1
OE=1(cm). 2
在Rt△CFO中,OF=1 cm,OC=OA=4(cm),∴CF=OC2OF2=(cm). 又∵OF⊥CD, ∴DF=CF.
∴CD=2CF=2( cm).
6.如图24-1-3-5,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样
?
图24-1-3-5
思路分析:考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线. 解:当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则
CM=DM.
通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF. 当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形. 所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-3-6所示,AB、CD是⊙O的两条直径,弦BE=BD,则弧AC与弧BE是否相等?为什么?
图24-1-3-6
思路分析:欲求两弧相等,结合图形,可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系,可先求弧AC与弧BE所对的弦相等,也可利用“等量代换”的思想,先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等. 解:弧AC=弧BE. 原因如下:
法一:连结AC,∵AB、CD是直径,
∴∠AOC=∠BOD.∴AC=BD.
又∵BE=BD,∴AC=BE.∴弧AC=弧BE. 法二:∵AB、CD是直径, ∴∠AOC=∠BOD. ∴弧AC=弧BD.
∵BE=BD,∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.
2.如图24-1-3-7所示,AB是⊙O的弦,C、D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC、OD,分别交⊙O于点E、F. 试证:弧AE=弧
BF.
图24-1-3-7
思路分析:欲求弧相等,结合图形,可先求弧所对的圆心角相等,即求∠AOE=∠BOF. 证明: ∵OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC. ∵AO=OB,∴∠A=∠B. ∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B, 即∠AOC=∠BOD, 即∠AOE=∠BOF. ∴弧AE=弧BF.
3.如图24-1-3-8,AB、CD、EF都是⊙O的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC、EB、DF是否相等?为什么?
图24-1-3-8
思路分析:应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.
解:在⊙O中,∵∠1=∠2=∠3,
又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE. ∴弧DF=弧AC=弧BE. ∴AC=EB=DF.
4.为美化校园,学校准备在一块圆形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限),并且使整个图案成对称图形,请你画出你的设计方案图(至少两种).
思路解析:设计的基本思路是等分圆心角,或等分圆周,取得轴(或中心)对称的对应点,适当画圆或连线,设计出一些适合要求的图案.
答案:根据题意画出如下方案供选用,如图,本题答案不唯一,只要符合条件即可
.
5.如图24-1-3-9,已知在⊙O中,AD是⊙O的直径,BC是弦,AD⊥BC,E为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?(要求:不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,只写出6条以上的结论
)
图24-1-3-9
思路解析:因AD⊥BC,且AD为直径,所以可以利用垂径定理得到一些结论,同时可证得AD垂直平分BC,据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题,是一个开放性试题,开放到可以不写步骤,但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广,因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.
答案:(1)BE=CE;(2)弧BD=弧CD;(3)弧AB=弧AC
(4)AB=AC;(5)BD=DC;(6)∠ABC=∠ACB;
(7)∠DBC=∠DCB;(8)∠ABD=∠ACD;(9)AD是BC的中垂线;
(10)△ABD≌△ACD;(11)O为△ABC的外心等等.
6.如图24-1-3-10,AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10 cm,OP=5 cm,PA=4 cm,求⊙O的半径
.
图24-1-3-10
思路分析:圆中的有关计算,大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形,再利用勾股定理来解决.
解:过O作OC⊥AB于C,连结OA,则AB=2AC=2BC.
在Rt△OCA和△OCP中,OC2=OA2-AC2,OC2=OP2-CP2,
∴OA2-AC2=OP2-CP2.
∵AB=10,PA=4,AB=2AC=2BC,∴CP=AB-PA-BC=1,AC=5.
∴OA2-52=52-1.∴OA=7,
即⊙O的半径为7 cm.
7.⊙O的直径为50 cm,弦AB∥CD,且AB=40 cm,CD=48 cm,求弦AB和CD之间的距离.
思路分析:(1)图形的位置关系是几何的一个重要方面,应逐步加强位置感的培养.(2)本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况
.
(1)
解:(1)当弦AB和CD在圆心同侧时,如图(1),作OG⊥AB于G,交CD于E,连结OB、OD.
∵AB∥CD,OG⊥AB,∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.
∵OE⊥CD,OG⊥AB,
11AB=×40=20(cm), 22
11DE=CD=×48=24(cm). 22∴BG=
在Rt△DEO中,OE=OD2DE2=252242=7(cm).
在Rt△BGO中,OG=OB2BG2=252202=15(cm).
∴EG=OG-OE=15-7=8(cm)
.
(2)
(2)当AB、CD在圆心两侧时,如图(2),同理可以求出OG=15 cm,OE=7 cm,∴GE=OG+OE=15+7=22(cm).
综上所述,弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.
24.1.3 弧、弦、圆心角
一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列说法中,正确的是( )
A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等,所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 2.如图24-1-3-1,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距等于1,那么两个同心圆的半径之比为(
)
图24-1-3-1
A.3∶2 B.5∶2 C.∶2 D.5∶4 3.半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE∶OF等于( )
A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 二、课中强化(10分钟训练)
1.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为_____________.
2.弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是____________,弦所对的圆心角是____________.
答案:2∶2 90°
3.如图24-1-3-2,已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于C、D.
(1)求证:AC=DB;
(2)如果AB=6 cm,CD=4 cm,求圆环的面积
.
图24-1-3-2
4.如图24-1-3-3所示,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上的两点,并且AC=BD. 求证:
OC=OD.
图24-1-3-3
5.如图24-1-3-4,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6 cm,EB=2 cm,∠CEA=30°,求CD的长
.
图24-1-3-4
6.如图24-1-3-5,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样
?
图24-1-3-5
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-3-6所示,AB、CD是⊙O的两条直径,弦BE=BD,则弧AC与弧BE是否相等?为什么?
图24-1-3-6
2.如图24-1-3-7所示,AB是⊙O的弦,C、D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC、OD,分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧
BF.
图24-1-3-7
3.如图24-1-3-8,AB、CD、EF都是⊙O的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC、EB、DF是否相等?为什么?
图24-1-3-8
4.为美化校园,学校准备在一块圆形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限),并且使整个图案成对称图形,请你画出你的设计方案图(至少两种).
5.如图24-1-3-9,已知在⊙O中,AD是⊙O的直径,BC是弦,AD⊥BC,E为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?(要求:不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,只写出6条以上的结论
)
图24-1-3-9
6.如图24-1-3-10,AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10 cm,OP=5 cm,PA=4 cm,求⊙O的半径
.
图24-1-3-10
7.⊙O的直径为50 cm,弦AB∥CD,且AB=40 cm,CD=48 cm,求弦AB和CD之间的距离.
参考答案
一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列说法中,正确的是( )
A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等,所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 思路解析:根据弧、弦、圆心角的关系知:等弦所对的弧不一定相等,圆心角相等,所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件,所以也不对;弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件,弦所对的弧也不一定是同弧,所以不正确;等弧所对的弦相等是成立的. 答案:B
2.如图24-1-3-1,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距等于1,那么两个同心圆的半径之比为(
)
图24-1-3-1
A.3∶2 B.5∶2 C.∶2 D.5∶4 思路解析:作OE⊥CD于E,则CE=DE=1,AE=BE=2,OE=1. 在Rt△ODE中,OD=212=2.
在Rt△OEB中,OB=BE2OE2=41=5.∴OB∶OD=5∶2. 答案:C
3.半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE∶OF等于( )
A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 思路解析:∵AB为直径,∴OE=0. ∴OE∶OF=0. 答案:D
二、课中强化(10分钟训练)
1.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为_____________.
思路解析:答案:90°
1
×360°=90°,∴弦所对的圆心角为90°. 4
2.弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是____________,弦所对的圆心角是____________.
思路解析:如图,OD⊥AB,OD=DB=AD. 设OD=x,则AD=DB=x.
在Rt△ODB中,∵OD=DB,OD⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°, OB=OD2DB2x2x22 x. ∴AB∶BC=1∶2=2∶2.
∴弦与直径的比为2∶2,弦所对的圆心角为90°. 答案:2∶2 90°
3.如图24-1-3-2,已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于C、
D.
图24-1-3-2
(1)求证:AC=DB;
(2)如果AB=6 cm,CD=4 cm,求圆环的面积.
思路分析:求圆环的面积不用求出OA、OC,应用等量代换的方法.事实上,OA、OC的长也求不出来.
(1)证明:作OE⊥AB于E,∴EA=EB,EC=ED.∴EA-EC=EB-ED,即AC=BD. (2)解:连结OA、OC.∵AB=6 cm,CD=4 cm,∴AE=
11
AB=3 cm.CE=CD=2 cm. 22
∴S环=π·OA2-π·OC2=π(OA2-OC2)=π[(AE2+OE2)-(CE2+OE2)] =π(AE2-CE2)=π(32-22)=5π( cm2).
4.如图24-1-3-3所示,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上的两点,并且AC=BD.求证:OC=OD.
图24-1-3-3
思路分析:根据弧、弦、圆心角的关系得出.
证法一:如图(1),分别连结OA、OB.∵OA=OB,∴∠A=∠B. 又∵AC=BD,∴△AOC≌△BOD.∴
OC=OD.
(1) (2) 证法二:如图(2),过点O作OE⊥AB于E, ∴AE=BE.
∵AC=BD,∴CE=DE.∴OC=OD.
5.如图24-1-3-4,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6 cm,EB=2 cm,∠CEA=30°,求CD的长
.
图24-1-3-4
思路分析:如何利用∠CEA=30°是解题的关键,若作弦心距OF,构造直角三角形,问题就容易解决.
解:过O作OF⊥CD于F,连结CO. ∵AE=6 cm,EB=2 cm,∴AB=8 cm.∴OA=在Rt△OEF中, ∵∠CEA=30°,∴OF=
1
AB=4(cm),OE=AE-AO=2(cm). 2
1
OE=1(cm). 2
在Rt△CFO中,OF=1 cm,OC=OA=4(cm),∴CF=OC2OF2=(cm). 又∵OF⊥CD, ∴DF=CF.
∴CD=2CF=2( cm).
6.如图24-1-3-5,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样
?
图24-1-3-5
思路分析:考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线. 解:当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则
CM=DM.
通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF. 当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形. 所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-3-6所示,AB、CD是⊙O的两条直径,弦BE=BD,则弧AC与弧BE是否相等?为什么?
图24-1-3-6
思路分析:欲求两弧相等,结合图形,可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系,可先求弧AC与弧BE所对的弦相等,也可利用“等量代换”的思想,先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等. 解:弧AC=弧BE. 原因如下:
法一:连结AC,∵AB、CD是直径,
∴∠AOC=∠BOD.∴AC=BD.
又∵BE=BD,∴AC=BE.∴弧AC=弧BE. 法二:∵AB、CD是直径, ∴∠AOC=∠BOD. ∴弧AC=弧BD.
∵BE=BD,∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.
2.如图24-1-3-7所示,AB是⊙O的弦,C、D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC、OD,分别交⊙O于点E、F. 试证:弧AE=弧
BF.
图24-1-3-7
思路分析:欲求弧相等,结合图形,可先求弧所对的圆心角相等,即求∠AOE=∠BOF. 证明: ∵OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC. ∵AO=OB,∴∠A=∠B. ∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B, 即∠AOC=∠BOD, 即∠AOE=∠BOF. ∴弧AE=弧BF.
3.如图24-1-3-8,AB、CD、EF都是⊙O的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC、EB、DF是否相等?为什么?
图24-1-3-8
思路分析:应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.
解:在⊙O中,∵∠1=∠2=∠3,
又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE. ∴弧DF=弧AC=弧BE. ∴AC=EB=DF.
4.为美化校园,学校准备在一块圆形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限),并且使整个图案成对称图形,请你画出你的设计方案图(至少两种).
思路解析:设计的基本思路是等分圆心角,或等分圆周,取得轴(或中心)对称的对应点,适当画圆或连线,设计出一些适合要求的图案.
答案:根据题意画出如下方案供选用,如图,本题答案不唯一,只要符合条件即可
.
5.如图24-1-3-9,已知在⊙O中,AD是⊙O的直径,BC是弦,AD⊥BC,E为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?(要求:不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,只写出6条以上的结论
)
图24-1-3-9
思路解析:因AD⊥BC,且AD为直径,所以可以利用垂径定理得到一些结论,同时可证得AD垂直平分BC,据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题,是一个开放性试题,开放到可以不写步骤,但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广,因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.
答案:(1)BE=CE;(2)弧BD=弧CD;(3)弧AB=弧AC
(4)AB=AC;(5)BD=DC;(6)∠ABC=∠ACB;
(7)∠DBC=∠DCB;(8)∠ABD=∠ACD;(9)AD是BC的中垂线;
(10)△ABD≌△ACD;(11)O为△ABC的外心等等.
6.如图24-1-3-10,AB为⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10 cm,OP=5 cm,PA=4 cm,求⊙O的半径
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图24-1-3-10
思路分析:圆中的有关计算,大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形,再利用勾股定理来解决.
解:过O作OC⊥AB于C,连结OA,则AB=2AC=2BC.
在Rt△OCA和△OCP中,OC2=OA2-AC2,OC2=OP2-CP2,
∴OA2-AC2=OP2-CP2.
∵AB=10,PA=4,AB=2AC=2BC,∴CP=AB-PA-BC=1,AC=5.
∴OA2-52=52-1.∴OA=7,
即⊙O的半径为7 cm.
7.⊙O的直径为50 cm,弦AB∥CD,且AB=40 cm,CD=48 cm,求弦AB和CD之间的距离.
思路分析:(1)图形的位置关系是几何的一个重要方面,应逐步加强位置感的培养.(2)本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况
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(1)
解:(1)当弦AB和CD在圆心同侧时,如图(1),作OG⊥AB于G,交CD于E,连结OB、OD.
∵AB∥CD,OG⊥AB,∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.
∵OE⊥CD,OG⊥AB,
11AB=×40=20(cm), 22
11DE=CD=×48=24(cm). 22∴BG=
在Rt△DEO中,OE=OD2DE2=252242=7(cm).
在Rt△BGO中,OG=OB2BG2=252202=15(cm).
∴EG=OG-OE=15-7=8(cm)
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(2)
(2)当AB、CD在圆心两侧时,如图(2),同理可以求出OG=15 cm,OE=7 cm,∴GE=OG+OE=15+7=22(cm).
综上所述,弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.