《课题学习·镶嵌》教学设计
山阳县西照川镇初级中学 闫传江
【教材】：义务教育课程标准实验教科书(人教版) 数学七年级(下)
【教学目标】
1. 知识与技能
⑴平面图形的镶嵌，镶嵌的条件
⑵通过探究正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、四边形能镶嵌平面的理由，以及多种正多边形能铺满地面的理由，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计. ⑶发展合情推理的能力，运用数学知识解决问题的能力(形成解决问题的策略).
2. 过程与方法
剪一些多边形进行拼接，通过具体操作、归纳总结得出多边形能铺满地面的条件.
3. 情感态度价值观
通过讨论交流，合作探究多边形的镶嵌条件的过程，感受数学知识的价值， 增强应用意识，获得各种体验.
【学生起点能力】
在此之前，学生已学习了多边形内角和知识, 这为本节活动课起着铺垫作用。该活动课的内容体现了多边形在现实生活中的应用价值的一个方面，也在开发、培养学生创造性思维。
【教学重点】
理解平面镶嵌的概念，探究用一种正多边形能够镶嵌的规律.
【教学难点】
通过数学实验发现用正多边形镶嵌的规律.
本节课将采用学生小组合作探究、多媒体演示等方式来突出重点，突破难点. 教法：本节课采用“观察——实践——自主探究——合作探究”的方法.
学法：指导学生学会观察事物，善于把握事物规律与本质的学习方法. 通过自主探究、合作探究的学习方式，完成预期的学习任务，体验数学知识中数形结合的思想方法.
【课前准备】
教师：1、学生分组：4人2、镶嵌课件(搜集古今中外镶嵌实物图片).3、若干个彩色的全等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、任意三角形、任意四边形。
学生： 1、每小组准备若干个彩色的全等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、任意三角形、任意四边形；2、搜集、了解相关镶嵌知识.
【教学过程】
(一) 创设情景，引出课题
（展示荷兰艺术家爱舍尔的照片）
老师：同学们是否觉得很奇怪，老师今天怎么对这个艺术家感兴趣了。告诉大家他可不是一般的画家，他是一个将艺术与数学融合一起的画家，也因此享誉世界。下面我们一起来
欣赏一下他的作品。（学生欣赏图片）
老师：这些图案美不美？
学生：美！
老师：它们有什么共同点？我们挑一幅赏析一下。这幅图案是由哪些基本图形铺砌而成的？它们在拼接的时候有什么特点？（解释什么叫拼接点，为下面服务）
（学生各抒己见）
平面镶嵌概念提出：象这样，用一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，在数学中叫做平面图形的密铺。又称作平面图形的镶嵌。
老师：数学来源于生活，那么生活中有没有镶嵌现象呢？大家找找看。（学生找生活实例，如果学生回答的好，给予“你真是个有心人”···评价。）（展示图片）简单介绍蜂巢的知识让学生体会到自然界中，也蕴含着无穷的数学奥妙呢！
老师：只要我们注意观察，就会发现平面镶嵌在生活中处处存在。今天我们就从数学的角度来探索平面图形的镶嵌.(板书：7.4课题学习 镶嵌)
(二) 动手实验，探究结论
1. 探索用同一种正多边形镶嵌的规律
老师：是不是任意的多边形都可以通过镶嵌形成另一幅漂亮的图案呢？我们先来探索这个问题：“用若干个完全相同的等边三角形能否进行构成镶嵌图形？”学生四人为一小组，动手拼一拼。（学生动手实践得出正三角形能够进行密铺）
老师：正三角形为什么可以铺成一个平面？
（学生说理由，一般学生不会从拼接点处去考虑。可将图形分离一部分，引导学生看某个拼接点处的特点。）让学生得到 “正三角形的每个内角都为60°，把六个角拼到一起就在这个拼接点处形成了一个周角。”板书60°×6＝360°
老师：如果把上面问题中的正三角形分别换成正方形、正五边形、正六边形又怎么样呢？（学生动手拼）
老师：通过操作你有什么发现？（学生得出正五边形不能镶嵌）
老师：为什么正五边形不能镶嵌，其它的三种正多边形可以镶嵌？这其中有什么规律？ ⑴填写表格，寻找规律
⑵分析表格，得出结论
（分析表格可得到：正三角形、正四边形、正六边形的内角度数分别是60°、90°、120°，它们都是360°的约数，说明在一个顶点处有整数个这样的正多边形镶嵌；而正五边形的内
角为108°，108不是360的约数，在一个顶点处没有整数个正五边形镶嵌成一个平面图案. ） 老师：同学们想一想，对于一个正多边形能否镶嵌必须满足什么条件？
（学生通过刚才的探索得到：看这种正多边形的一个内角的度数能否被360°整除） ⑶深入思考，证明规律
想一想:用一种正多边形铺满地面是否只有正三角形、正四边形、正六边形呢? 这其中有什么规律？
按铺地砖的要求，就是要找出正n 边形，使它的每个内角的度数能整除360°，而正n 边n -2⨯180︒，要求k 个正n 边形各有一个拼于一点，恰好覆盖地面，这样，形每个内角为n
n -22n 4k ⨯⨯180︒=360︒，所以k ==2+，而k 为正整数，所以n 只能为3，4，6. n n -2n -2
(通过以上环节，学生在实验过程中充分体验数据的收集和分析给学习带来的帮助和启发，逐渐发现用一种正多边形能够镶嵌的规律.)
练习:①当围绕一个点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成_______时，就镶嵌成一个平面图案. ②能用一种正多边形铺满地面的有____________________.
(培养学生用数学语言去描述刚才活动发现的规律)
2. 任意三角形、四边形的镶嵌
老师：下面我们来看一个更具有挑战性的问题：“用若干个全等的任意三角形能否构成镶嵌图案？”猜猜看，下面动手试一试。
（学生操作，教师巡回指导，实物投影）
老师：为什么可以镶嵌？
（让学生自己分析，由上面的知识学生较容易得出：每个拼接点处有六个角，这六个角分别是这种三角形的内角和的两倍，也就是它们的和为360º。）
老师：你们在操作的过程中遇到了什么问题？（学生说出自己的困惑，及如何通过合作解决的。最后得出拼图时不仅要考虑角的问题，还要考虑到要能继续拼下去，那么相等的边必须重合在一起。教师可从学生中找个反例给学生看看）
老师：如果换成若干个任意四边形呢？让学生先猜一下再动手拼。（分析过程都有学生完成）
老师：通过以上探索同学们议一议“能镶嵌的图形在一个拼接点处有什么特点？” （几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360º，并使相等的边互相重合。）
3. 探索用不同正多边形镶嵌的规律
老师：镶嵌密铺是丰富多彩的，生活中我们经常看到这样的图案。（展示图片）漂亮吗？ （带学生一起欣赏一些多边形组合镶嵌的图片）
老师：那是不是所有的多边形都可以组合起来镶嵌呢？我们看下面这个问题：在边长相等的正三角形、正方形、正六边形中，选择哪几种正多边形组合可以构成镶嵌？每种组合中各种图形需要几个？
（学生不动手操作，利用上面学的知识直接解决。可以相互讨论一下。）
（教师巡回，看学生是怎样思考的）（学生得到几种组合，教师板书）
板书： 正三角形 正方形 正六边形
3 2 3×60°+2×90°＝360° 2 2 2×60°+2×120°＝360° 4 1 4×60°+1×120°＝360°
1 2 1 1×60°+2×90°+1×120°＝360° 老师：你是如何解决这个问题的？相互交流一下。
还有没有漏网之鱼？这样的问题如何来考虑？（让学生说出思考过程，如何组合的） （如果有学生想到用方程思想解决该问题，那么后面的两个小问题就不拿出来了） （如果学生没想到用方程思想解决，就用下面的问题设置台阶）
问题1：有个平面镶嵌图形，在某个拼接点处，用了m 个正方形，n 个正八边形，那么可以得到怎样的数量关系式？
90°m+135°n ＝360°这里m 、n 的取值有要求吗？引导学生说出它们是正整数 问题2：能不能利用以上方法来判断边长相等正方形与正五边形能否进行镶嵌？ 90°m+108°n ＝360°
m 、 n有正整数解说明能够组合形成镶嵌。否则就不能。
(三) 联系实际，生活应用
练习：
1. 现有一些正三角形，正方形，正六边形，正八边形地砖，选择其中两种镶嵌地面，则有( )种选法.
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 小刚和爸爸到市场买地板砖，准备装修新居，该市场有五种型号的正多边形地砖，它们的内角分别是60°、90°、108°、120°、150°，如果只选一种，这些地砖哪些适用? 如果选用两种呢? 说说你的方案.
(四) 课堂小结
1. 通过本节课的学习你学到了哪些知识？
⑴多边形能覆盖平面应满足的条件:拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
⑵只用一种多边形进行平面镶嵌能够做到的有：任意三角形、任意四边形、正六边形；
2. 你还有哪些收获？
巩固学习本章获得的一些研究方法，丰富自己研究策略和经验，并从中加深理解本章的数学知识.
(五) 布置作业
1. 向亲戚、朋友、家长解释现实生活中一些图形能镶嵌的道理.
2. 根据自己的爱好，为建筑物表面、广场的地面等设计美丽的图案.
3. 以“瓷砖中的数学”为题写一篇小论文.
【教学反思】
我认为“平面图形的镶嵌”这一课题来源于实际，而且在学习了之后又可以指导实际，并应用到生活中，真正体现了“人人学习有用的数学”。
在整个上课思路中，我力求体现新课程的教学理念，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能。数学思想和方法。
在上课过程中，我力求体现出备课思路，引导学生由浅入深。整节课中我比较满意的是学生动手实验、交流部分。学生的潜力是无限的，有着不同思维方式的不同学生在动手探索和交流之后所迸发的思维的火花让我很吃惊，整个探索过程非常生动活泼，并富有个性。教师不是把新知识传授给学生，而是让学生去主动建构，但教师的引导和帮助对于学生的思考和知识的建构来说也是极为重要的。本节课创设了良好的学习环境去促进学生的学习，始终引导学生通过持续的观察、分折、猜想、概括、推证和验证等思维活动和学生的动手操作、交流讨论等活动，来建构起与此相关的知识经验。正象费赖登搭尔认为：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。因为学校的数学教学必须就学生通过自身的实践来主动获取知识，让学生在学习中掌握进行再创造的方法，以便进行数学化”。而且在教学过程中不仅注意到要让学生掌握相应的数学知识，还感受到数学的实用价值，体会到数学来源于生活又为生活服务，我们学习的是有用的数学。
《课题学习·镶嵌》教学设计
山阳县西照川镇初级中学 闫传江
【教材】：义务教育课程标准实验教科书(人教版) 数学七年级(下)
【教学目标】
1. 知识与技能
⑴平面图形的镶嵌，镶嵌的条件
⑵通过探究正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、四边形能镶嵌平面的理由，以及多种正多边形能铺满地面的理由，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计. ⑶发展合情推理的能力，运用数学知识解决问题的能力(形成解决问题的策略).
2. 过程与方法
剪一些多边形进行拼接，通过具体操作、归纳总结得出多边形能铺满地面的条件.
3. 情感态度价值观
通过讨论交流，合作探究多边形的镶嵌条件的过程，感受数学知识的价值， 增强应用意识，获得各种体验.
【学生起点能力】
在此之前，学生已学习了多边形内角和知识, 这为本节活动课起着铺垫作用。该活动课的内容体现了多边形在现实生活中的应用价值的一个方面，也在开发、培养学生创造性思维。
【教学重点】
理解平面镶嵌的概念，探究用一种正多边形能够镶嵌的规律.
【教学难点】
通过数学实验发现用正多边形镶嵌的规律.
本节课将采用学生小组合作探究、多媒体演示等方式来突出重点，突破难点. 教法：本节课采用“观察——实践——自主探究——合作探究”的方法.
学法：指导学生学会观察事物，善于把握事物规律与本质的学习方法. 通过自主探究、合作探究的学习方式，完成预期的学习任务，体验数学知识中数形结合的思想方法.
【课前准备】
教师：1、学生分组：4人2、镶嵌课件(搜集古今中外镶嵌实物图片).3、若干个彩色的全等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、任意三角形、任意四边形。
学生： 1、每小组准备若干个彩色的全等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、任意三角形、任意四边形；2、搜集、了解相关镶嵌知识.
【教学过程】
(一) 创设情景，引出课题
（展示荷兰艺术家爱舍尔的照片）
老师：同学们是否觉得很奇怪，老师今天怎么对这个艺术家感兴趣了。告诉大家他可不是一般的画家，他是一个将艺术与数学融合一起的画家，也因此享誉世界。下面我们一起来
欣赏一下他的作品。（学生欣赏图片）
老师：这些图案美不美？
学生：美！
老师：它们有什么共同点？我们挑一幅赏析一下。这幅图案是由哪些基本图形铺砌而成的？它们在拼接的时候有什么特点？（解释什么叫拼接点，为下面服务）
（学生各抒己见）
平面镶嵌概念提出：象这样，用一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，在数学中叫做平面图形的密铺。又称作平面图形的镶嵌。
老师：数学来源于生活，那么生活中有没有镶嵌现象呢？大家找找看。（学生找生活实例，如果学生回答的好，给予“你真是个有心人”···评价。）（展示图片）简单介绍蜂巢的知识让学生体会到自然界中，也蕴含着无穷的数学奥妙呢！
老师：只要我们注意观察，就会发现平面镶嵌在生活中处处存在。今天我们就从数学的角度来探索平面图形的镶嵌.(板书：7.4课题学习 镶嵌)
(二) 动手实验，探究结论
1. 探索用同一种正多边形镶嵌的规律
老师：是不是任意的多边形都可以通过镶嵌形成另一幅漂亮的图案呢？我们先来探索这个问题：“用若干个完全相同的等边三角形能否进行构成镶嵌图形？”学生四人为一小组，动手拼一拼。（学生动手实践得出正三角形能够进行密铺）
老师：正三角形为什么可以铺成一个平面？
（学生说理由，一般学生不会从拼接点处去考虑。可将图形分离一部分，引导学生看某个拼接点处的特点。）让学生得到 “正三角形的每个内角都为60°，把六个角拼到一起就在这个拼接点处形成了一个周角。”板书60°×6＝360°
老师：如果把上面问题中的正三角形分别换成正方形、正五边形、正六边形又怎么样呢？（学生动手拼）
老师：通过操作你有什么发现？（学生得出正五边形不能镶嵌）
老师：为什么正五边形不能镶嵌，其它的三种正多边形可以镶嵌？这其中有什么规律？ ⑴填写表格，寻找规律
⑵分析表格，得出结论
（分析表格可得到：正三角形、正四边形、正六边形的内角度数分别是60°、90°、120°，它们都是360°的约数，说明在一个顶点处有整数个这样的正多边形镶嵌；而正五边形的内
角为108°，108不是360的约数，在一个顶点处没有整数个正五边形镶嵌成一个平面图案. ） 老师：同学们想一想，对于一个正多边形能否镶嵌必须满足什么条件？
（学生通过刚才的探索得到：看这种正多边形的一个内角的度数能否被360°整除） ⑶深入思考，证明规律
想一想:用一种正多边形铺满地面是否只有正三角形、正四边形、正六边形呢? 这其中有什么规律？
按铺地砖的要求，就是要找出正n 边形，使它的每个内角的度数能整除360°，而正n 边n -2⨯180︒，要求k 个正n 边形各有一个拼于一点，恰好覆盖地面，这样，形每个内角为n
n -22n 4k ⨯⨯180︒=360︒，所以k ==2+，而k 为正整数，所以n 只能为3，4，6. n n -2n -2
(通过以上环节，学生在实验过程中充分体验数据的收集和分析给学习带来的帮助和启发，逐渐发现用一种正多边形能够镶嵌的规律.)
练习:①当围绕一个点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成_______时，就镶嵌成一个平面图案. ②能用一种正多边形铺满地面的有____________________.
(培养学生用数学语言去描述刚才活动发现的规律)
2. 任意三角形、四边形的镶嵌
老师：下面我们来看一个更具有挑战性的问题：“用若干个全等的任意三角形能否构成镶嵌图案？”猜猜看，下面动手试一试。
（学生操作，教师巡回指导，实物投影）
老师：为什么可以镶嵌？
（让学生自己分析，由上面的知识学生较容易得出：每个拼接点处有六个角，这六个角分别是这种三角形的内角和的两倍，也就是它们的和为360º。）
老师：你们在操作的过程中遇到了什么问题？（学生说出自己的困惑，及如何通过合作解决的。最后得出拼图时不仅要考虑角的问题，还要考虑到要能继续拼下去，那么相等的边必须重合在一起。教师可从学生中找个反例给学生看看）
老师：如果换成若干个任意四边形呢？让学生先猜一下再动手拼。（分析过程都有学生完成）
老师：通过以上探索同学们议一议“能镶嵌的图形在一个拼接点处有什么特点？” （几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360º，并使相等的边互相重合。）
3. 探索用不同正多边形镶嵌的规律
老师：镶嵌密铺是丰富多彩的，生活中我们经常看到这样的图案。（展示图片）漂亮吗？ （带学生一起欣赏一些多边形组合镶嵌的图片）
老师：那是不是所有的多边形都可以组合起来镶嵌呢？我们看下面这个问题：在边长相等的正三角形、正方形、正六边形中，选择哪几种正多边形组合可以构成镶嵌？每种组合中各种图形需要几个？
（学生不动手操作，利用上面学的知识直接解决。可以相互讨论一下。）
（教师巡回，看学生是怎样思考的）（学生得到几种组合，教师板书）
板书： 正三角形 正方形 正六边形
3 2 3×60°+2×90°＝360° 2 2 2×60°+2×120°＝360° 4 1 4×60°+1×120°＝360°
1 2 1 1×60°+2×90°+1×120°＝360° 老师：你是如何解决这个问题的？相互交流一下。
还有没有漏网之鱼？这样的问题如何来考虑？（让学生说出思考过程，如何组合的） （如果有学生想到用方程思想解决该问题，那么后面的两个小问题就不拿出来了） （如果学生没想到用方程思想解决，就用下面的问题设置台阶）
问题1：有个平面镶嵌图形，在某个拼接点处，用了m 个正方形，n 个正八边形，那么可以得到怎样的数量关系式？
90°m+135°n ＝360°这里m 、n 的取值有要求吗？引导学生说出它们是正整数 问题2：能不能利用以上方法来判断边长相等正方形与正五边形能否进行镶嵌？ 90°m+108°n ＝360°
m 、 n有正整数解说明能够组合形成镶嵌。否则就不能。
(三) 联系实际，生活应用
练习：
1. 现有一些正三角形，正方形，正六边形，正八边形地砖，选择其中两种镶嵌地面，则有( )种选法.
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 小刚和爸爸到市场买地板砖，准备装修新居，该市场有五种型号的正多边形地砖，它们的内角分别是60°、90°、108°、120°、150°，如果只选一种，这些地砖哪些适用? 如果选用两种呢? 说说你的方案.
(四) 课堂小结
1. 通过本节课的学习你学到了哪些知识？
⑴多边形能覆盖平面应满足的条件:拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
⑵只用一种多边形进行平面镶嵌能够做到的有：任意三角形、任意四边形、正六边形；
2. 你还有哪些收获？
巩固学习本章获得的一些研究方法，丰富自己研究策略和经验，并从中加深理解本章的数学知识.
(五) 布置作业
1. 向亲戚、朋友、家长解释现实生活中一些图形能镶嵌的道理.
2. 根据自己的爱好，为建筑物表面、广场的地面等设计美丽的图案.
3. 以“瓷砖中的数学”为题写一篇小论文.
【教学反思】
我认为“平面图形的镶嵌”这一课题来源于实际，而且在学习了之后又可以指导实际，并应用到生活中，真正体现了“人人学习有用的数学”。
在整个上课思路中，我力求体现新课程的教学理念，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能。数学思想和方法。
在上课过程中，我力求体现出备课思路，引导学生由浅入深。整节课中我比较满意的是学生动手实验、交流部分。学生的潜力是无限的，有着不同思维方式的不同学生在动手探索和交流之后所迸发的思维的火花让我很吃惊，整个探索过程非常生动活泼，并富有个性。教师不是把新知识传授给学生，而是让学生去主动建构，但教师的引导和帮助对于学生的思考和知识的建构来说也是极为重要的。本节课创设了良好的学习环境去促进学生的学习，始终引导学生通过持续的观察、分折、猜想、概括、推证和验证等思维活动和学生的动手操作、交流讨论等活动，来建构起与此相关的知识经验。正象费赖登搭尔认为：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。因为学校的数学教学必须就学生通过自身的实践来主动获取知识，让学生在学习中掌握进行再创造的方法，以便进行数学化”。而且在教学过程中不仅注意到要让学生掌握相应的数学知识，还感受到数学的实用价值，体会到数学来源于生活又为生活服务，我们学习的是有用的数学。